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新人教版数学8年级下册培优备课课件
21.3.2.2 菱形的判定
第二十一章 四边形
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月19日 .
新疆吐鲁番市托克逊县第一中学
1．掌握菱形的判定及证明过程．
2．能熟练运用菱形的判定进行计算和证明．
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．
B
A
C
D
符号语言：
我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
同样地，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形．转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形
可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
下面我们证明这个结论．
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC．
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC．
∴四边形ABCD是菱形．
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C
1.
如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
A．AD＝CD
B．AB＝AD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠BCA
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2.
1
[2025东莞期中]如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝2，将线段BC水平向左平移k(k<3)个单位长度得到线段FE，当k＝________时，四边形ADEF为菱形．
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
A
C
B
D
你是怎么做的？你认为上述做法正确吗？与同伴交流．
如图，分别以A，C为圆心，
以大于AC的长为半径作弧，
两条弧分别相交于点B，D，
依次连接A，B，C，D，
四边形ABCD看上去是菱形．
判定定理 四条边相等的四边形是菱形．
由前面的探究可以得到定理如下：
请你完成这个定理的证明．
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝CD ， BC＝AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
你能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形．
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你能说说这样做的道理吗？
因为四边相等的四边形是菱形．
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3.
(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE．求证：四边形BECD是菱形．
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点．
求证：四边形EFGH是菱形．
D
A
B
C
O
E
F
G
H
分析：利用三角形的中位线定理，证明四边形EFGH的四条边相等即可．
证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD．
∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴EF，FG，GH，EH分别是△AOB，△BOC， △COD，△AOD的中位线，
∴ EF＝AB，FG＝BC，GH＝CD，EH＝AD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
D
A
B
C
O
E
F
G
H
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4.
D
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是(　　)
A．∠AOB＝60°
B．AC＝BD
C．AB＝DC
D．AC⊥BD
例2 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于E，F． 求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE//CF． ∴ ∠1=∠2.
又∠AOE＝∠COF， AO＝CO,
∴EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
A
B
C
D
E
F
1
2
∴△AOE≌△COF .
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5.
C
[教材P75练习T1变式][2025湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．6
B．9
C．12
D．18
6.
(4分)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，点E是AC的延长线上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．求证：四边形ABCD是菱形．
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.
又∵OE＝OE，BE＝DE，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∴∠BOE＝∠DOE.
∵∠BOE＋∠DOE＝180°，
∴∠BOE＝90°，∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
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7.
四条边相等的四边形是菱形
如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC构成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是__________________________．
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8.
D
[2025内江中考]按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)
A．64° B．66°
C．68° D．70°
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9.
D
一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是(　　)
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10.
C
在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线BD上找两点M，N，使得四边形AMCN是菱形，现有如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是(　　)
A．只有甲
B．只有乙
C．甲和乙
D．甲、乙都不是
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11.
C
如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，添加下列条件，可以判定四边形EHFG为菱形的是(　　)
A．AC＝BD
B．AB∥CD
C．AD＝BC
D．AC⊥BD
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12.
[教材P75练习T2变式]如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm．
13.
证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS)．
(8分)[2025遂宁中考]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
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菱形的判定
判定1
判定3
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
判定2
四条边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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