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新人教版数学8年级下册培优备课课件
21.3.3.1 正方形的性质
第二十一章 四边形
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月19日 .
新疆吐鲁番市托克逊县第一中学
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
问题2:菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
菱形
矩形
轴对称图形
正方形
对称轴是两条对角线所在的直线
对称轴是过对边中点的两条直线
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C
1.
如图，一个四边形顺次添加下列条件
中的三个便得到正方形．
a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角．
顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c．则正确的添加顺序是(　　)
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
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2.
B
如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AD＝AO
C．DO＝CO
D．∠DAO＝∠BAC
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形的性质：
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
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3.
C
[教材P86复习题T1(4)变式]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE的度数是(　　)
A．55°
B．60°
C．75°
D．80°
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4.
D
[2025广州花都区一模]如图，正方形ABCD的边长为4，点B的坐标是(3，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标是(　　)
A．(－1，5)
B．(3，3)
C．(5，3)
D．(3，5)
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB=BC=CD=AD.
证一证
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
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5.
A
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
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6.
A
如图，四边形ABCD、四边形AECF分别是菱形与正方形．若∠BAE＝22°，则∠D的度数是(　　)
A．46°
B．56°
C．57°
D．67°
例2 如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
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7.
1
如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是________．
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8.
3
如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为________．
9.
(4分)[教材P81习题T16变式]如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若DE＝5，BF＝3，求EF的长．
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解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠EAD＝90°.
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴∠ADE＋∠EAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF－AE＝5－3＝2.
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10.
C
如图，已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O，那么图中等腰直角三角形有(　　)
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
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11.
D
如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为(　　)
正方形的性质
边：对边平行，四边相等
角：四个角都是直角
对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性：轴对称图形，有四条对称轴

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