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新人教版数学8年级下册培优备课课件
21.3.3.2 正方形的判定
第二十一章 四边形
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月19日 .
1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
思考：满足什么条件的矩形是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形；
矩 形
正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形．
如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
AB＝CD，AD＝BC，
又AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
证一证
返回
C
1.
如图，在 ABCD中，连接对角线AC，BD，若
∠BAD＝90°，添加下列条件，能使 ABCD为正方形的是(　　)
A．AC＝2BC
B．AD＝BD
C．AB＝BC
D．AC＝BD
返回
2.
90°
如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AB＝AC，则当△ABC满足∠A＝______时，四边形DAEF是正方形．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．
求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD．
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，
OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
思考：满足什么条件的菱形是正方形？
请证明你的结论，并与同伴交流．
有一个角是直角的菱形是正方形；
菱 形
正方形
对角线相等的菱形是正方形．
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
证一证
3.
(4分)如图，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，AC为高，O是AE的中点，延长CO到点D，使OD＝OC，连接AD，DE，求证：四边形ACED是正方形．
返回
如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，
AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
定理 对角线相等的菱形是正方形．
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形．
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
例1 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．
求证：四边形CEDF是正方形．
A
B
C
D
E
F
∴DF＝DE，
∵CD平分∠ACB，
∴四边形CEDF为矩形．
又∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是正方形．
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4.
D
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是(　　)
A．BD⊥AC
B．AC平分∠BAD
C．AB＝BC
D．∠AOB＝60°
H
A
B
C
D
E
F
G
3
1
2
例2 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
H
A
B
C
D
E
F
G
3
1
2
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH,
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE,
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
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5.
2
[教材P76练习T1(1)变式]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为________．
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6.
证明：∵菱形ABCD的对角线
AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OB＝OD.
∵OE＝OF＝OB，∴OE＝OF＝OB＝OD，
∴四边形BFDE是矩形．
又∵BD⊥EF，∴四边形BFDE是正方形．
(4分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．
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7.
∠BAD＝90°
(答案不唯一)
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，要使四边形ABCD是正方形，则添加的条件是__________．(写一个即可)
8.
(4分)[2025西安期中] 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，∠OAB＝45°，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形．
返回
证明：∵AC，BD互相平分，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝45°，∴OA＝OB.
又∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是正方形．
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9.
C
如图是用尺规过点P作直线l的
垂线的两种方法，对图中虚
线段组成的四边形，
下列说法正确的是(　　)
A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形
B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形
C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形
D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形
10.
(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H．
(1)求证：AD⊥EF．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)．
∴AE＝AF.∴AD⊥EF.
90°
(2)当∠BAC＝________时，四边形AEDF是正方形．
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正方形
判定1
判定2
判定3
判定4
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形

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