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新人教版数学8年级下册培优备课课件
23.1 一次函数的概念
第二十三章 一次函数
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月19日 .
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.
(1)试用函数解析式表示y与x的关系.
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.
解：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.
这个函数也可以写为y＝－6x＋5.
(2)求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温.
当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数 y＝－6x＋5 的值，即 y＝－6×2＋5 ＝-7(℃).
在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
m=7.9V;
h=0.5n;
　 （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以cm为单位量出身高 h ，再减去常数105，所得差是m 的值，m 随 h 的变化而变化.
（4）把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化．
y=－5x＋50
m=h－105
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
(1)m=7.9V; (2)h=0.5n;
(3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50.
上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？
一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数.
特别地,当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx ，形如 y=kx ( k是常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数.
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A
1.
下列函数是一次函数的是(　　)
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2.
D
在一次函数y＝1－2x中，比例系数是(　　)
A．1
B．2
C．－1
D．－2
特别提醒：
一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
1.k ≠ 0；
2.自变量 x 的次数是1；
3.常数项 b 可以是任意实数 .
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3.
D
[2025上海中考]下列函数中，为正比例函数的是(　　)
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4.
D
若y＝(a－2)x＋b是关于x的正比例函数，则a，b应满足的条件是(　　)
A．a≠2
B．b＝0
C．a＝2且b＝0
D．a≠2且b＝0
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5.
D
如果每盒圆珠笔有12支，售价36元，用y(元)表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x之间的函数解析式是(　　)
例1 下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1)y＝－2x2；(2)y＝; (3)y＝3x2－x(3x－2)；
(4)x2＋y＝1；(5)y＝.
分析：看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断．
解：(1)因为 x 的指数是2，所以 y＝－2x2 不是一次函数．
(2)因为 y＝，k＝≠0，b＝，
所以y＝ 是一次函数.
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它是一次函数，也是正比例函数．
(4)x2＋y＝1，即 y＝1－x2.因为 x 的指数是2，所以x2＋y＝1不是一次函数．
(5)因为 y＝ 中 不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，所以它不是一次函数．
判断函数式是否为一次函数的方法：
先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数．
思考：一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
例2 已知函数 y=(m－1)x＋1－m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：由题意可得m－1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
解：由题意可得m－1≠0，1－m2=0，解得m=－1.
即m=－1时，这个函数是正比例函数.
例2 已知函数 y=(m－1)x＋1－m2.
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6.
V＝10＋5t
一个水池的容积是90 m3，现水池中有水10 m3，用水管以5 m3/h的速度向水池中注水，直到注满为止，则水池水量V(m3)与注水时间t(h)之间的关系式为____________．
7.
解：设y关于x的函数解析式为y＝kx(k≠0)，
把x＝2，y＝4代入，得4＝2k，解得k＝2，
∴y关于x的函数解析式为y＝2x.
(8分)[教材P116习题T3变式]已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
(1)求y关于x的函数解析式；
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例3 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为 y=2x+12.
（2）把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
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8.
利用20 m长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其他边用总长为30 m的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABFE和矩形EFCD，设AB边的长为
x m，BC边的长为y m，写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围：__________________．
9.
解：根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，且m－1≠0，解得m＝－1，
∴当m＝－1，n为任意实数时，y是x的一次函数．
(8分)已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋4．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
根据正比例函数的定义，
得2－|m|＝1，n＋4＝0，且m－1≠0，
解得m＝－1，n＝－4，
∴当m＝－1，n＝－4时，y是x的正比例函数．
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
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10.
(8分)[2025杭州期末]已知等腰三角形ABC的周长为12，设腰AB的长为x，底边BC的长为y．
(1)求y关于x的函数解析式；
解：把x＝4代入y＝12－2x，得y＝12－2×4＝4，
∴当腰长为4时，底边的长为4.
(2)当腰长为4时，求底边的长．
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一次函数
一次函数的概念
简单应用
y＝kx＋b， x是自变量，
y是x的函数
自变量取值满足实际意义

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