资源简介

(共53张PPT)
小结与评价
第4章 平面内的两条直线
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
相交线与平行线
图形的平移
平移的基本性质
平移的应用
对顶角
垂线与垂线段
垂线的基本事实
点到直线的距离
同位角、内错角、同旁内角
平行线的概念及其基本事实
平行线的性质与判定
知识图谱
三角形
四边形
圆
定义、命题、定理
点、线、面、角
图形的变化
图形与坐标
图形的性质
图形与几何
1.平面内两条直线的位置关系有哪几种
2.如何判断一组角是不是对顶角 一组对顶角的大小相等吗
3.怎样识别同位角、内错角、同旁内角
4.两条什么样的直线叫作平行线 平行线的基本事实是什么 平行于同一条直线的两条直线是否平行
5.举例说明什么是平移.平移的基本性质是什么
6.平行线的性质有哪些
7.判定两条直线平行有哪些方法
8.垂线的基本事实是什么
9.怎样度量点到直线的距离
10.怎样度量两条平行线间的距离
平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线.
对顶角的概念与性质
有共同的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 这样的两个角叫作对顶角.
对顶角相等.
1
2
3
4
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都是没有公共顶点的
图形 已知 结果 依据
AB∥CD
∠1=∠2
两直线平行，
( )相等
两直线平行，
( )相等
两直线平行，
( )互补
∠2=∠3
∠2+∠4=180°
同位角
内错角
同旁内角
平行线的性质：
文字叙述 符号语言 图形
平行线的判断：
( )相等，
两直线平行
( )相等，
两直线平行
( )互补，
两直线平行
因为
所以 AB∥CD
因为
所以AB∥CD
因为
所以AB∥CD
∠1=∠2
∠2=∠3
∠2+∠4=180°
同位角
内错角
同旁内角
平移的概念：
把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作平移.
原来的图形叫作原像，在新位置的图形叫作该图形在平移下的像.
平移的特点：
平移不改变图形的形状和大小.平移还不改变直线的方向.
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫作__________. 其中一条直线叫作另外一条直线的______. 它们的交点叫作______.
互相垂直
垂足
垂线
垂线的概念
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
关于垂直的两个结论
a
b
l
设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，
线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的________.
垂线段
垂线与垂线段有何区别和联系？
区别：垂线是直线，垂线段是线段.
联系：垂线段是垂线的一部分.
垂线段最短.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质与垂线段
连接两点的线段的长度叫作两点间的距离，
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离.
点到直线的距离
两条平行线的所有公垂线段都相等.
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.
公垂线段的概念及性质
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
两条平行线间的距离
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
1. 下列说法错误的是（ ）
A.同位角不一定相等
B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等
D.同旁内角互补则两直线平行
B
典例精析
2. 同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两直线不平行，则一定相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
3.如图，
（1）因为∠ABD=∠BDC(已知)，
所以____∥____，( )；
（2）因为∠DBC=∠ADB(已知)，
所以____∥____，( )；
（3）因为∠CBE=∠DCB(已知)，
所以____∥____，( )；
CD
AB
内错角相等，两直线平行
AD
BC
内错角相等，两直线平行
CD
BE
内错角相等，两直线平行
（4）因为∠CBE=∠A，(已知)，
所以____∥____，( )；
（5）因为∠A+∠ADC=180°(已知)，
所以____∥_____，( )；
（6）因为∠A+∠ABC=180°(已知)，
所以____∥____，( ).
AD
BC
同位角相等，两直线平行
AB
CD
同旁内角互补，两直线平行
AD
BC
同旁内角互补，两直线平行
4.如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明：DC∥AB.
解: 因为 AC平分∠DAB，
所以 ∠1=∠CAB.
又因为 ∠1=∠2，
所以 ∠2 =∠CAB.
所以 DC∥AB (内错角相等，两直线平行).
5. 如图，平移三角形 ABC，使点 C 移动到 C′ 的位置.
1. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
B
巩固提高
2. 如图，直线 l1∥l2 , 则∠α 为（ ）.
A.150° B.140° C.130° D.120°
D
3. 如图，有一条河，C 是河边 AB 外一点：
(1)过点 C 要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图.
(2)现欲用水管从河边 AB，将水引到 C 处，请在图上测量并计算出水管至少要多长？( 本图比例尺为 1∶2000 )
解：如图：
(1)过点 C 画一平行线平行于AB.
(2)过点 C 作 CD 垂直于 AB 交 AB 于点 D.
然后用尺子量 CD 的长度，再按1∶2000的比例求得实际距离即可.
4.如图，已知三角形 ABC，AD⊥BC 于 D，E 为 AB 上一点，EF⊥BC 于 F，DG∥BA 交 CA 于 G.∠1=∠2 相等吗？为什么？
解：∠1=∠2.
理由：因为 AD⊥BC ，EF ⊥ BC，
所以∠EFB =∠ADB = 90°.
所以 EF // AD (同位角相等，两直线平行)
所以∠2 =∠3 (两直线平行，同位角相等)
因为DG // BA ，
所以∠3 =∠1 (两直线平行，内错角相等)
所以∠1 =∠2.
5. 已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由.
解：∠A＝∠F. 理由如下：
因为∠1＝∠DGF，∠1＝∠2，
所以∠DGF＝∠2.
所以 DB∥EC (同位角相等，两直线平行).
所以 ∠DBA＝∠C (两直线平行，同位角相等).
又因为∠C＝∠D，
所以∠DBA＝∠D.
所以 DF∥AC (内错角相等，两直线平行).
所以∠A＝∠F (两直线平行，内错角相等).
6.如图，已知∠ABC. 请你再画一个∠DEF，使 DE∥AB，EF∥BC ， 且 DE 交 BC 边于点 P.
探究：∠ABC 与∠DEF 的数量关系？并说明理由.
解：∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补.
理由：如图①，因为 DE∥AB，
所以 ∠ABC =∠DPC.
又因为 EF∥BC，
所以∠DEF =∠DPC.
于是有∠ABC =∠DEF.
①
如图②，
因为 DE∥AB，
所以∠ABC ＋∠DPB = 180°，
又因为 EF∥BC，
所以∠DEF =∠DPB.
所以 ∠ABC＋∠DEF = 180°.
②
6.如图，已知∠ABC. 请你再画一个∠DEF，使 DE∥AB，EF∥BC ， 且 DE 交 BC 边于点 P.
探究：∠ABC 与∠DEF 的数量关系？并说明理由.
考点1 四个概念
概念1 垂线
1.直线，相交于点，过点作 .
（1）如图①，若 ，求 的度数；
【解】因为 ，
所以 ，即 .
又因为 ，
所以 .
（2）如图②，作射线使，则是 的
平分线，请说明理由；
因为 ，
所以 ，
即
.
又因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以是 的平分线.
（3）在图①上作，直接写出与 的数量关系.
或 .
【点拨】①当在 下方时，如图①，
因为 ，
所以 ，
即 .
因为 ，
所以 ，即 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ；
②当在 上方时，如图②，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
所以.综上，与 的数量关系为
或 .
概念2 三线八角
2.如图，，相交于点，交于点 ，
交于点 .
（1）指出，被 所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：和；内错角：和 ；同旁内
角：和 .
（2）指出，被 所截形成的内错角；
和，和 都是内错角.
（3）指出，被 所截形成的同旁内角.
和，和 都是同旁内角.
此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边
构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“ ”形.
概念3 平行线
3.如图，在方格纸中，有两条线段， .利用方格纸完成
以下操作：
（1）过点作的平行线 ；
【解】如图.
（2）过点作的平行线 ，与（1）中的平行线相交于点
；
如图.
（3）用符号表示出图中的一组平行线为
________________________.
（答案不唯一）
概念4 平移
4.[2024·北京朝阳区校级期末] 如图，将周长为的
沿方向平移得到，连接，若四边形 的周长
是,则平移的距离是___ .
1
考点2 一个判定——平行线的判定
5.如图，已知， .
（1）试说明： ；
【解】因为 ，
所以 .
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .
（2）若平分，于点， ，求
的度数.
因为 ，
所以 .
由（1）知 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
又因为平分 ，
所以 .
课堂小结
通过本节课的复习，你还有哪些问题
谢谢观看！

展开更多......

收起↑