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4　力的合成和分解
第1课时　力的合成与分解
[定位·学习目标]　1.通过学习分力、合力、力的合成的物理概念并解决相关的实际问题,深化力的合成的等效思想。2.会利用作图法和计算法求合力,明确合力与分力关系。3.会根据力的作用效果分解力,会根据实际情况建立合适的直角坐标系将力进行正交分解。4.会区别矢量和标量,知道三角形定则,了解三角形定则与平形四边形定则的关系。
知识点一　合力和分力
探究新知
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于一点,这几个力叫作共点力。
2.合力与分力
(1)假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同,这个力就叫作那几个力的合力。
(2)假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同,这几个力就叫作那个力的分力。
正误辨析
(1)作用在一个物体上的两个力,如果大小相等、方向相反,则这两个力一定是共点力。(　×　)
(2)合力F一定与分力F1、F2共同作用产生的效果相同。(　√　)
(3)合力的作用可以替代几个分力的共同作用,它与分力是等效替代关系。(　√　)
(4)两个小朋友共同提起一桶水,他们两力的合力就是重力。(　×　)
知识点二　力的合成与分解
探究新知
1.力的合成:求几个力的合力的过程。
2.平行四边形定则:如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
3.两个以上共点力合力的求法:先求出任意两个力的合力,再求出这个合力跟第三个力的合力,直到把所有的力都合成进去,最后得到的结果就是这些力的合力。
4.力的分解:求一个力的分力的过程。
5.力的分解方法:以表示该力的有向线段为对角线,作出的平行四边形的两个邻边所对应的两个力为分力。如果没有限制,同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。
正误辨析
(1)合力F可以等于分力F1、F2的和。(　√　)
(2)合力F的大小随分力F1、F2之间夹角的增大而减小。(　√　)
(3)如果不加限制,一个力理论上可以分解出无数组分力。(　√　)
(4)分解一个力时,只能按力的作用效果分解。(　×　)
知识点三　矢量和标量
探究新知
1.矢量:既有大小又有方向,相加时遵从平行四边形定则的物理量。
2.标量:只有大小,没有方向,相加时遵从算术法则的物理量。
正误辨析
(1)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(　×　)
(2)由于矢量的方向可以用正、负表示,故具有正负值的物理量一定是矢量。(　×　)
(3)矢量与标量的区别之一是它们的运算方法不同。(　√　)
(4)两个矢量的大小之和等于合矢量的大小。(　×　)
要点一　合力和分力
情境探究
某班师生在植树节给树浇水,老师一人提着一桶水到现场,放下桶,然后甲和乙共同提起该桶,准备给树浇水,老师的拉力为F,甲、乙作用在桶上的力分别为F1、F2。
探究:(1)F、F1、F2是同时作用在水桶上吗
(2)F与F1、F2共同作用的效果相同吗 有什么关系
(3)判断力F、F1、F2哪些是分力,哪些是合力。
【答案】 (1)F、F1、F2不是同时作用在水桶上的。
(2)F与F1、F2共同作用的效果相同。F与F1、F2是等效替代的关系。
(3)F是合力,F1、F2是分力。
要点归纳
1.合力与分力的性质
2.合力和分力的关系
合力和分力不是同时作用在物体上的,而是等效替代的关系,分析合力时不分析分力,分析分力时不分析合力。
典例研习
[例1] (多选)关于分力和合力,下列说法正确的是(　　)
[A] 合力和分力同时作用在同一物体上
[B] 分力作用在物体上共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
[C] 各个分力一定是同一性质的力才可以进行合成
[D] 各个分力必须是同一个物体同一时刻受到的力
【答案】 BD
【解析】 本题考查合力和分力的关系,准确理解合力和分力的关系是解题的关键。合力是各个分力的等效替代,作用效果相同,合力和分力并不同时作用于物体上,选项A错误,B正确;各个分力可以是不同性质的力,也可以是同一性质的力,选项C错误;各个分力必须是同一时刻同一物体受到的力,选项D正确。
要点二　合力的求解及合力与分力关系
情境探究
探究:(1)当两个分力之间的夹角分别为0°和180°时,它们的合力如何计算 合力的最大值、最小值分别是多少
(2)合力是否总是大于两个分力
【答案】 (1)两分力同向(θ=0°)时,合力最大,F=F1+F2,合力方向与分力同向。两分力反向(θ=180°)时,合力最小,F=|F1-F2|,合力的方向与较大的一个分力的方向相同。合力的取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)合力不一定总是大于两个分力。
要点归纳
1.合力的求解
(1)作图法。
以表示两个分力的图示为邻边,用作图工具作出平行四边形,然后用测量工具测量出两邻边所夹对角线的长度和方向,从而确定合力的大小和方向。具体步骤如下:
(2)计算法。
①两分力共线时,规定正方向后求合力。
②两分力不共线时,作出对应的平行四边形,结合解三角形的知识求合力。
③常见的三种情况
类型 作图 合力
两分力 相互垂直 大小:F= 方向:tan θ=
两分力 大小相等 大小:F=2F1cos 方向:F与F1夹角为 (当θ=120°时,F1=F2=F)
合力与其中一个分力垂直 大小:F= 方向:sin θ=
2.合力与分力的关系
(1)两个力的合力。
①两分力同向(夹角θ=0°)时,合力最大,其大小为F=F1+F2,合力与分力方向相同。
②两分力反向(夹角θ=180°)时,合力最小,其大小为F=|F1-F2|,合力的方向与其中较大的分力方向相同。
③当两个分力大小不变时,合力F随两分力夹角θ的增大而减小,其取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)三个力的合力。
①最大值:三个力的方向相同时,合力最大,Fm=F1+F2+F3。
②最小值。
a.若|F1-F2|≤F3≤F1+F2,则合力的最小值为零。
b.若F3不在|F1-F2|～(F1+F2)范围内,则合力的最小值不可能为零,其最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
典例研习
[例2] (两个力的合成)在蒸汽机发明以前,大运河中逆水行船经常用纤夫来拉船,其情境如图所示。假设河两岸每边10个人,每个人沿绳方向的拉力为600 N,绳与河岸方向的夹角为30°,试用作图法和计算法分别求出船受到拉力的合力。
【答案】 10 400 N,方向沿河岸方向
【解析】 作图法　如图甲所示,自O点引两条有向线段OA和OB,相互间夹角为60°,设每单位长度表示2 000 N,则OA和OB的长度都是3个单位长度,作出平行四边形OACB,其对角线OC就表示绳的拉力F1、F2的合力F。量得OC长5.2个单位长度,故合力F=5.2×2 000 N=
10 400 N。
用量角器量得∠AOC=∠BOC=30°,所以合力沿河岸方向。
计算法　先作出力的平行四边形如图乙所示,由于两力F1、F2大小相等,故得到的平行四边形是一个菱形。由几何关系易得合力F=2F1cos 30°=2×600 N×10×=6 000 N≈10 400 N,方向沿河岸方向。
作图法与计算法的比较
(1)作图法简单、直观,是物理学中常用的方法之一,但不够精确。
(2)应用作图法时,各力必须选定同一标度,并且标度的比例适当。
(3)应用计算法时,要画出力的合成示意图。
(4)两力夹角为特殊角(如120°、90°等)时,应用计算法求合力更简单。
[例3] (合力与分力的关系)关于合力与其两个分力的关系,下列说法正确的是(　　)
[A] 合力与分力同时作用在物体上
[B] 合力的大小随两分力夹角的增大而增大
[C] 合力的大小一定大于任意一个分力
[D] 合力的大小可能大于大的分力,也可能小于小的分力
【答案】 D
【解析】 合力与分力是等效替代关系,它们并不能同时作用在物体上,选项A错误;根据|F1-F2|≤F≤F1+F2知,合力的大小不一定大于小的分力,也不一定小于大的分力,合力的大小也不随夹角的增大而增大,也不一定大于任意一个分力,故D正确,B、C错误。
[例4] (多个力的合成)如图,有五个力作用于同一点O,表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2=10 N,则这五个力的合力大小为(　　)
[A] 20 N [B] 30 N
[C] 40 N [D] 60 N
【答案】 D
【解析】 利用平行四边形定则,如图所示,最大力为F1,根据平行四边形定则,F3与F4的合力为F1,F2与F5的合力为F1,这五个力的合力为3F1,已知F2=10 N,根据几何关系可知F1=20 N,所以合力的大小为F=3F1=60 N,故选D。
合力的大小,可能小于分力,可能等于分力,也可能大于分力。
要点三　几种限制条件下的力的分解
要点归纳
　力的分解的几种情况
(1)一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力。
一个力分解为两个力,从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示),这样分解是没有实际意义的,实际分解时,按力的作用效果可分解为两个确定的分力。
(2)几种典型限制条件下力的分解。
将一个力按一定条件分解时,合力可能能按要求进行分解,即有解。也可能不能按要求进行分解,即无解。分析是否有解的方法是看代表合力的有向线段与代表分力的有向线段能否按要求构成平行四边形,如果能构成平行四边形,说明有解;如果它们不能构成平行四边形,说明无解。典型的情况有以下几种:
①已知合力和两个分力的方向时,有唯一解。(如图甲所示)
②已知合力和一个分力的大小和方向时,有唯一解。(如图乙所示)
③已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时,若F与F1的夹角为α,有下面几种可能:
a.当Fsin αb.当F2=Fsin α时,有唯一解,如图丁所示。
c.当F2d.当F2≥F时,有唯一解,如图己所示。
典例研习
[例5] 将一个大小为20 N的已知力F分解成两个力,其中一个分力F1的方向与F的夹角为53°,则当另一个分力F2的大小取以下哪个数值时,力F的分解结果存在两种可能 (　　)
[A] 16 N [B] 18 N
[C] 20 N [D] 22 N
【答案】 B
【解析】 假设F2与力F1垂直,则F1=12 N、F2=16 N,所以当F2小于16 N时,不能满足题目所给的条件;当F2=16 N时,不存在两个F2的情况,所以只有当F2大于16 N时才能满足题意,并且F2不能大于力F,所以16 N要点四　力的效果分解法
情境探究　
如图所示,某同学设计了一个小实验,他将细绳的一端系在手指上,细绳的另一端系在直杆的A端,杆的左端顶在掌心,组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂重物,并保持静止。
探究:(1)通过实验该同学会有什么感受
(2)重物对A点的拉力产生了什么效果
(3)重物对A点的拉力应该怎样分解
【答案】 (1)该同学会感受到手指被绳拉紧、掌心被杆压紧。
(2)重物对A点的拉力产生的作用效果有两个,一是拉紧细绳,二是使杆压紧掌心。
(3)重物对A点的拉力可分解为沿细绳方向的力F1和沿杆方向的力F2,如图所示,由三角函数关系得F1=,F2=Gtan θ。
要点归纳
1.力的效果分解法的一般思路
2.按效果分解力的几个实例
实例 产生效果分析
拉力F一方面使物体沿水平地面前进或有运动的趋势,另一方面向上提物体,其分力F1、F2分别为F1=Fcos α,F2=Fsin α
物体静止在斜面上,其重力产生两个效果:一是使物体具有沿斜面下滑的趋势,二是使物体压紧斜面,其分力分别为F1=mgsin α,F2=mgcos α
光滑小球被竖直挡板挡住,其重力产生两个效果:一是使球压紧挡板,二是使球压紧斜面,其分力分别为F1=mgtan α,F2=
光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁,二是使球拉紧悬线,其分力分别为F1=mgtan α,F2=
物体被AO、BO两等长细线拉住,其重力产生两个效果:一是使物体拉紧AO线,二是使物体拉紧BO线,其分力为F1=F2=
物体被支架悬挂,其重力产生两个效果:一是拉伸AB,二是压缩BC,其分力分别为F1=mgtan α,F2=
典例研习
[例6] 汽车发生爆胎后,需要用千斤顶抬起汽车后更换轮胎。当摇动把手时,水平面上的千斤顶的两臂(长度相等)靠拢,顶起汽车。图甲、乙为汽车内常备的两种类型的千斤顶,一种是“Y”形,另一种是“菱形”,摇动手柄,使螺旋杆转动,A、B间距离发生改变,从而实现重物的升降。若物重为G,AB与AC间的夹角为θ,螺旋杆保持水平,不计杆自身重力,求图甲、乙两种千斤顶螺旋杆的拉力大小之比。
【答案】 1∶1
【解析】 对“Y”形千斤顶的A点受力分析如图1所示,
将压力F分解为拉螺旋杆的力F1和压斜杆的力F2,作出平行四边形,可知F=G,F1=;
对“菱形”千斤顶的A点和C点受力分析如图2所示,
根据力的实际作用效果,首先将G分解为两个等大的力F′,有F′=,F′作用在
A点,又可以分解为拉螺旋杆F1′和压斜杆F2′的两个分力,由于ACBD是一个菱形,根据力的三角形与几何三角形相似可得F2′=F′,
在A点可得F1′=2F′cos θ,
所以F1′=·2cos θ==F1,
所以题图甲、乙两种千斤顶螺旋杆的拉力大小之比为1∶1。
作力的分解的平行四边形的技巧
(1)确定力产生的效果,由该力的始端沿两个效果方向作线段。
(2)由力的末端分别作出两个效果线段的平行线,得到该力与两个分力关系的平行四边形。
(3)将表示两个分力的线段标明方向。
要点五　力的正交分解法
要点归纳
1.定义:把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法。
如图所示,将力F沿x轴和y轴两个方向分解,则
Fx=Fcos α,
Fy=Fsin α。
2.适用情境:适用于物体受到三个或三个以上的力的问题。
3.优势:若求几个力的合力或求某一方向的合力时,可先把各力沿x轴和y轴分解,然后求沿两坐标轴的合力,进而求总的合力,可以避免用平行四边形定则依次求合力的复杂运算。
4.正交分解法求合力
(1)建立坐标系:以力的作用点为坐标原点,直角坐标系x轴和y轴的选择原则是应使尽量多的力落在坐标轴上。
(2)分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解为沿x轴和y轴上的两个分力,并在图上注明其序号,如图所示。
(3)确定分力大小:由力与x轴或y轴的夹角,写出其分力Fx、Fy的数学表达式。
(4)求轴上合力:分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力,即
Fx=F1x+F2x+…
Fy=F1y+F2y+…
(5)求总的合力:合力大小F合=,合力的方向与x轴的夹角为α,则tan α=。
典例研习
[例7] 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N,方向如图所示,求它们的合力。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
【答案】 38.2 N,方向与F1夹角成45°斜向右上
【解析】 如图甲,建立平面直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有Fx=F1+F2cos 37°-F3cos 37°=27 N,Fy=F2sin 37°+F3sin 37°-F4=27 N,
因此,如图乙所示,合力F=≈38.2 N,tan ==1。即合力的大小约为38.2 N,方向与F1夹角为45°斜向右上。
用正交分解法求合力的思路
三角形定则
核心归纳
三角形定则:把两个矢量首尾相接,从而求出合矢量的方法(如图所示)。三角形定则与平行四边形定则在本质上是一样的。
典例研习
[例题] 如图所示,F1、F2、F3三个力恰好构成封闭的直角三角形,则这三个力的合力大小为(　　)
[A] 0 [B] 2F1 [C] 2F2 [D] 2F3
【答案】 C
【解析】 由矢量合成的法则可知,F1与F3的合力为F2,则这三个力的合力大小为2F2,故选C。
1.(教材改编)如图所示,把光滑斜面上物体受到的重力mg分解为F1、F2两个力,下列说法正确的是(　　)
[A] F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是物体对斜面的压力
[B] 物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用
[C] 力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同
[D] FN和F2是作用力和反作用力
【答案】 C
【解析】 F1是使物体下滑的力,F2不是物体对斜面的压力,因为物体对斜面的压力的受力物体是斜面,不是物体,而F2作用在物体上,故A错误;物体只受重力和支持力两个力作用,故B错误;将物体受到的重力mg分解为F1、F2两个力,则FN、F1、F2三个力的作用效果与mg、FN两个力的效果相同,故C正确;FN和F2都作用在物体上,不是一对作用力和反作用力,FN与物体对斜面的压力是一对作用力与反作用力,故D错误。
2.教室里要挂一个城市文化宣传框,假若粘钩的承重能力足够,以下悬挂方式绳上的拉力最小的是(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 当悬挂的两条绳子长度相等时,绳子上的拉力也相等。由力的合成法则可知,在合力不变的情况下,两条绳子间的夹角越小,绳子上的拉力就越小,如图所示,故选A。
3.如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为(　　)
[A] 9 N [B] 9 N
[C] 12 N [D] 20 N
【答案】 B
【解析】 力是矢量,遵循平行四边形定则,将手掌对水的作用力按照平行四边形定则进行分解,即沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力分解,则该力在水平方向的分力大小为F′=Fcos 30°=18× N=9 N,故A、C、D错误,B正确。
4.如图所示,一质量为0.8 kg的木块放在水平面上向左运动,且受到一个与水平面成30°角向上的拉力F=8 N 作用,木块与水平面间的动摩擦因数是0.5,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 木块受到的支持力大小是8 N
[B] 摩擦力大小为4 N,方向水平向左
[C] 合力大小是8 N
[D] 摩擦力大小是2 N,方向水平向右
【答案】 D
【解析】 如图所示,对力F进行正交分解,
在竖直方向上有FN+F·sin 30°=G,解得FN=4 N,故A错误;由滑动摩擦力公式Ff=μFN,解得Ff=
2 N,故B错误;木块相对水平面向左运动,所受滑动摩擦力方向向右,大小为2 N,故D正确;木块竖直方向上合力为零,对水平方向求合力得Ff+F·cos 30°=2 N+4 N=(2+4) N,木块所受合力F合=(2+4) N,故C错误。
5.(2025·浙江期中)如图为运动员射箭的示意图。已知弦均匀且弹性良好,其弹力满足胡克定律,自由长度为l,劲度系数为k,发射箭时弦的最大长度为l(弹性限度内)。此时弓的顶部跨度(虚线长)为l(假设箭在弦的正中间,弦夹在类似动滑轮的附加装置上),箭被发射瞬间所受的弹力为(　　)
[A] kl [B] kl [C] kl [D] 2kl
【答案】 A
【解析】
根据胡克定律F=kx可知,弦上产生弹力大小F=k(l-l)=kl,设弦与水平方向夹角为θ,如图所示,箭被发射瞬间所受的合力为F合=2Fcos θ,几何关系可知sin θ==0.6,则cos θ=0.8,联立以上可得 F合=kl,故箭被发射瞬间所受的弹力为kl,故A正确,B、C、D错误。
课时作业
(分值:70分)
考点一　力的合成
1.(4分)两个力F1和F2间的夹角为θ(0°≤θ≤180°),两力的合力为F,下列说法正确的是(　　)
[A] 合力F一定比分力F1和F2都大
[B] 若F1和F2大小不变,θ角越小,合力F越大
[C] 若合力F增大,θ角不变,分力F1和F2一定都增大
[D] 如果夹角θ不变,F1大小不变,只要F2增大,合力F就增大
【答案】 B
【解析】 由力的合成可知,两力合力的范围为|F1-F2|≤F合≤F1+F2,所以合力有可能大于任一分力,也可能小于任一分力,还可能与两个分力都相等,故A错误;若F1和F2大小不变,力的合成遵循平行四边形定则,θ角越小,合力F越大,故B正确;当θ接近180°时,当较大的分力增加或较小的分力减小时,合力F都增大,故C错误;如果夹角θ不变,F1大小不变,F2增大,合力F可能减小,也可能增大,故D错误。
2.(4分)(2025·上海虹口期中)有三个大小为6 N、8 N、16 N的力作用于同一作用点,其方向可以任意改变,则这三个力的合力大小不可能为(　　)
[A] 14 N [B] 8 N
[C] 6 N [D] 1 N
【答案】 D
【解析】 三个力方向相同,合力最大为Fmax=(6+16+8) N=30 N,因为6 N、8 N合力范围为2～14 N,16 N不在范围之内,所以三力合力最小值为Fmin=16 N-(6+8) N=2 N,所以合力大小不可能为1 N。
3.(4分)(2023·重庆卷)矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F,夹角为α(如图),则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
[A] 2Fsin [B] 2Fcos
[C] Fsin α [D] Fcos α
【答案】 B
【解析】 根据平行四边形定则可知,该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos,故选B。
4.(4分)如图所示,在同一平面内,大小分别为2 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N的六个力共同作用于一点,其方向互成60°的角,则其合力大小为(　　)
[A] 0
[B] 1 N
[C] 2 N
[D] 3 N
【答案】 B
【解析】 先将同一直线上的三对力进行合成,分别合成三个力,如图所示,F1=5 N-2 N=3 N,
F2=6 N-3 N=3 N,F3=4 N-2 N=2 N,其中F1、F2 可以再次合成F12=3 N,方向与F3方向相反,再次合成F=F12-F3=3 N-2 N=1 N。故A、C、D错误,B正确。
考点二　力的分解
5.(4分)如图所示,AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°角。如把球O受到的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为(　　)
[A] G,G [B] G,G
[C] G,G [D] G,G
【答案】 A
【解析】 已知重力和两个分力的方向,根据平行四边形定则作力的分解,如图所示,由图得到F1=G·sin 60°=G,F2=G·sin 30°=G,故选A。
6.(4分)滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一,如图所示,人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m,与地面之间的动摩擦因数为μ,绳子对雪圈的拉力为F,F与水平方向之间的夹角为θ,重力加速度为g。以水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。把拉力F分解为x方向的分量Fx和y方向的分量Fy。则Fy的大小为(　　)
[A] Fsin θ [B] Fcos θ
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 对合力进行分解,如图所示,可知Fy的大小为Fy=Fsin θ,故选A。
7.(12分)如图所示,小孩与冰车静止在冰面上,大人用F=20 N的恒定拉力,使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°,小孩与冰车的总质量m=20 kg,冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小孩与冰车所受的支持力;
(2)小孩与冰车在水平方向所受的合力。
【答案】 (1)188 N,方向竖直向上
(2)6.6 N,方向水平向右
【解析】 (1)小孩与冰车竖直方向合力为0,冰车竖直方向受重力、支持力FN;竖直方向有FN+Fsin 37°-mg=0,代入数据解得支持力为FN=188 N,方向竖直向上。
(2)小孩与冰车在水平方向所受的合力
F合=Fcos 37°-μFN=6.6 N,方向水平向右。
8.(4分)如图所示,水平地面上固定着一根竖直立柱,某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端,且该绳端与水平方向的夹角为30°,则柱顶所受压力大小为(　　)
[A] 200 N [B] 100 N
[C] 100 N [D] 50 N
【答案】 B
【解析】 对于重物,受重力和绳子拉力而静止,两力为一对平衡力,即绳子拉力为100 N,由牛顿第三定律可知重物拉绳子的力或人拉绳子的力F1=F2=100 N,柱顶受力如图所示,则柱顶受力F=2F1cos 30°=2×100 N×=100 N,故B正确。
9.(6分)(多选)在药物使用时应用到很多物理知识,下面分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图,针尖的顶角很小,医生沿着注射器施加一个较小的力F,针尖会对瓶塞产生很大的推力(接触面摩擦力不计)。现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力,则(　　)
[A] 针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
[B] 针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小
[C] 若F一定,增大θ,直侧面推力减小
[D] 若θ一定,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比不变
【答案】 CD
【解析】 力的分解如图所示,则=cos θ,故FN′10.(6分)(多选)(2025·浙江期中)已知F1、F2的合力F大小为5 N,F2大小为4 N,F1与F的夹角为37°(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),则F1大小可能为(　　)
[A] (4-)N [B] (4+)N
[C] 3 N [D] 6 N
【答案】 AB
【解析】 如图,做出力F及F1的方向,以F的顶点为圆心,以F2的大小为半径画一段圆弧,与F1的延长线交于两个点,可知F1有两个解,在力的三角形中,利用正弦定理 =,
代入数据可得sin α=,
可推得cos α=±,
利用=,
可得F1=(4±)N,
故选AB。
11.(18分)如图所示,质量为0.8 kg的小球在轻弹簧和水平轻绳的拉力作用下处于静止状态,弹簧与竖直方向的夹角θ=37°,弹簧的拉力F=10 N,伸长量为x=0.01 m,取sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2。
(1)画出小球的受力示意图;
(2)求出弹簧的劲度系数;
(3)已知弹簧的拉力与小球所受重力的合力方向水平向右,求该合力的大小。
【答案】 (1)见解析图甲　(2)1 000 N/m　(3)6 N
【解析】 (1)小球受到重力、细绳的拉力和弹簧的拉力,其受力示意图如图甲所示。
(2)由胡克定律F=kx得弹簧的劲度系数为k===1 000 N/m。
(3)小球受到的重力
G=mg=0.8 kg×10 N/kg=8 N。
由于弹簧拉力F与小球所受重力G的合力水平向右,其关系如图乙所示。
由几何关系可知F合===6 N。(共30张PPT)
第2课时　实验:探究两个互成
角度的力的合成
规律
[定位·学习目标]　
1.根据已有的科学探究方案,使用基本的器材探究两个互成角度的力的合成规律。2.有控制变量的意识,能制订科学探究方案,选用合适的器材获得数据。3.学会用作图法处理实验数据和得出实验结论,会分析导致实验误差的原因。
探究·必备知识
一、实验原理
如果两个互成角度的力F1、F2作用于挂在橡皮条一端的小圆环上,与只用一个力F作用于小圆环上都能使小圆环伸长到同一点,也就是作用效果相同,则F为F1和F2的合力,作出力F及F1、F2的图示,分析F、F1和F2的关系。
二、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮条、轻质小圆环、三角板、刻度尺、图钉(若干)、铅笔等。
三、实验步骤
1.用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上。
2.用图钉把橡皮条的一端固定在G点,橡皮条的另一端挂上小圆环,橡皮条的原长为GE,如图甲所示。
3.用两个弹簧测力计分别钩住小圆环,用手通过两个弹簧测力计共同互成角度地拉动小圆环至某点O,橡皮条伸长的长度为EO。记录两弹簧测力计的读数F1、F2,用铅笔描下O点的位置及此时两弹簧测力计拉力F1、F2的方向,如图乙所示。
4.撤去F1、F2,改用一个力F单独拉住小圆环,仍使它处于O点,橡皮条伸长的长度仍为EO,记录此时弹簧测力计的读数F和F的方向,如图丙所示。
5.改变两个力F1和F2的大小和夹角,再重复上述实验几次。
四、数据处理
1.用铅笔和刻度尺在O点按选定的标度画出F、F1和F2三个力的图示,如图丁所示。
2.比较F与以F1和F2为邻边所作的平行四边形的对角线在误差允许范围内是否完全重合。
3.对其他几次实验也做上述处理。
「思考讨论」
1.实验中如何正确使用弹簧测力计
提示:(1)测量前应首先检查弹簧测力计的零点是否准确,注意使用中不要超过其量程。
(2)实验时,弹簧测力计必须保持与木板平行,且拉力应沿轴线方向。弹簧测力计的指针、拉杆都不要与刻度板和刻度板末端的限位孔发生摩擦。
(3)读数时应正视、平视刻度。
2.在同一次实验中,两次将橡皮条拉长时结点的位置为什么要求不变
提示:为了使弹簧测力计两次拉橡皮条的效果相同,要求在同一次实验中,O点位置不动。
突破·关键能力
要点一　实验原理与操作
[例1] (2025·北京海淀期中)在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中,如图所示,桌上放一块方木板,用图钉把一张白纸钉在方木板上。再用图钉把橡皮筋的一端固定在板上的A点。在橡皮筋的另一端拴上两根细绳形成结点,细绳的另一端系着绳套。先用两个弹簧测力计分别钩住绳套,互成角度地拉橡皮筋使结点到位置O;再用一个弹簧测力计通过细绳套拉橡皮筋。
(1)判断力F单独作用与力F1、F2共同作用效果相同的依据是　　　　。
A.F的大小等于F1与F2的大小之和
B.使绳OB和绳OC相互垂直
C.使橡皮筋上的结点到达同一位置
【解析】 (1)判断力F单独作用与力F1、F2共同作用效果相同的依据是,使橡皮筋上的结点到达同一位置,表示力的作用效果完全相同。故选C。
C
(2)实验中需要标记或者记录的信息有　　　　。(多选)
A.橡皮筋的原长
B.橡皮筋处于原长时结点的位置
C.力F的大小和方向
D.力F1、F2的大小和方向
CD
【解析】 (2)实验时各力的大小可以通过弹簧测力计直接读取,无须记录橡皮筋的原长及原长的结点位置,A、B错误;实验中需要标记或者记录的信息有合力F的大小和方向及分力F1、F2的大小和方向,以便于画出它们的力的图示,并加以比较,C、D正确。
(3)下列措施可以减小实验误差的是　　。(多选)
A.用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,两绳套的夹角必须等于90°
B.用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,弹簧测力计尽量与木板平行
C.拉橡皮筋的细绳要长些,标记同一细绳方向的两点要远些
D.橡皮筋应与两绳套夹角的平分线在同一直线上
BC
【解析】 (3)两个弹簧测力计拉橡皮筋时,两绳套的夹角可以适当大些,但也不能过大,更无须都等于90°,A错误;用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,弹簧测力计尽量与木板平行,可以减小实验误差,B正确;拉橡皮筋的细绳要长些,标记同一细绳方向的两点要远些,以便于标出拉力的方向,也有利于作出力的图示,C正确;橡皮筋不一定要与两绳套夹角的平分线在同一直线上,D错误。
·方法点拨·
实验操作时的注意要点
(1)位置不变:在同一次实验中,两次拉长橡皮条时结点的位置一定要相同。
(2)拉力方向及记录:在使用弹簧测力计时,应通过细绳套拉动小圆环,这时,弹簧与木板面平行,避免弹簧与弹簧测力计外壳有摩擦;为了提高实验精度,细绳略长一些好,以便更好地确定拉力的方向。
(3)角度合适:有两个弹簧测力计拉橡皮条时,两拉力的夹角不要太大,也不要太小,在60°～120°为宜,作力的图示时,标度要适当大些。
(4)拉力合适:在满足拉力不超过弹簧测力计的量程及橡皮条形变不超过弹性限度的条件下,应该使拉力尽量大一些,以减小实验误差。
要点二　数据处理及分析
[例2] (2024·海南卷)为验证两个互成角度的力的合成规律,某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材,按照如下实验步骤完成实验:
(Ⅰ)用图钉将白纸固定在水平木板上;
(Ⅱ)如图甲、乙、丙所示,橡皮条的一端固定在木板上的G点,另一端连接轻质小圆环,将两细线系在小圆环上,细线另一端系在弹簧测力计上,用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置,并标记圆环的圆心位置为O点,拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点,大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N;拉力F1和F2改用一个弹簧测力计拉动小圆环,使其圆心到O点,在拉力F的方向上标记P3点,拉力的大小为F=5.60 N,请回答下列问题。
(1)在图丙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′。
【答案及解析】 (1)按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′,如图所示。
(2)比较F和F′,写出可能产生误差的两点原因:
　。
①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行;②读数时没有正视弹簧测力计
【解析】 (2)F和F′不完全重合的原因可能是①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行;②读数时没有正视弹簧测力计。
·方法点拨·
误差分析
(1)理论值不一定沿橡皮条方向,但单个弹簧测力计的拉力F′一定沿橡皮条方向。
(2)读数不准确和作图不精确都可能使F与F′不完全重合。
要点三　创新型实验
[例3] (2025·山东日照期中)某同学用如下实验器材测量一重物的质量:一根轻质弹性绳(类似于弹簧)、量角器、质量为50 g的钩码、不计质量的细线、刻度尺、白纸和被测重物。已知弹性绳始终没超过弹性限度,重力加速度g取10 m/s2。
实验步骤如下:
(1)如图甲所示,用弹性绳竖直悬挂一个钩码,测出弹性绳的伸长量为1.00 cm,则该弹性绳的劲度系数为　　　　 N/m。
50
(2)用弹性绳OA与细线OB互成角度吊起重物如图乙所示,稳定时测出弹性绳OA的伸长量为6.00 cm,则此时弹性绳OA的弹力大小为　　　　 N。
3
【解析】(2)弹性绳OA的伸长量为6.00 cm,根据胡克定律有F=kΔx′=3 N。
(3)用量角器测出两绳与竖直方向的夹角分别为α、β。在白纸上画出OA、OB的拉力方向如图丙所示,请用作图法在图丙中画出这两个力及二者的合力(已知单位长度表示的力为1 N)。
【答案及解析】 (3)力的合成符合平行四边形定则,如图所示。
(4)由作图结果可得重物的质量为　　　　 kg(结果保留2位小数)。
0.50
·方法点拨·
创新 角度 实验装置/原理图 创新解读
实验 原理 创新 利用三力平衡的结论,一个力与另外两个力的合力等大反向,验证这个力与另外两个力的关系
实验 器材 创新 电子秤代替弹簧测力计,可以直接读出力的大小
感谢观看第2课时　实验:探究两个互成角度的力的合成规律
[定位·学习目标]　1.根据已有的科学探究方案,使用基本的器材探究两个互成角度的力的合成规律。2.有控制变量的意识,能制订科学探究方案,选用合适的器材获得数据。3.学会用作图法处理实验数据和得出实验结论,会分析导致实验误差的原因。
一、实验原理
如果两个互成角度的力F1、F2作用于挂在橡皮条一端的小圆环上,与只用一个力F作用于小圆环上都能使小圆环伸长到同一点,也就是作用效果相同,则F为F1和F2的合力,作出力F及F1、F2的图示,分析F、F1和F2的关系。
二、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮条、轻质小圆环、三角板、刻度尺、图钉(若干)、铅笔等。
三、实验步骤
1.用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上。
2.用图钉把橡皮条的一端固定在G点,橡皮条的另一端挂上小圆环,橡皮条的原长为GE,如图甲所示。
3.用两个弹簧测力计分别钩住小圆环,用手通过两个弹簧测力计共同互成角度地拉动小圆环至某点O,橡皮条伸长的长度为EO。记录两弹簧测力计的读数F1、F2,用铅笔描下O点的位置及此时两弹簧测力计拉力F1、F2的方向,如图乙所示。
4.撤去F1、F2,改用一个力F单独拉住小圆环,仍使它处于O点,橡皮条伸长的长度仍为EO,记录此时弹簧测力计的读数F和F的方向,如图丙所示。
5.改变两个力F1和F2的大小和夹角,再重复上述实验几次。
四、数据处理
1.用铅笔和刻度尺在O点按选定的标度画出F、F1和F2三个力的图示,如图丁所示。
2.比较F与以F1和F2为邻边所作的平行四边形的对角线在误差允许范围内是否完全重合。
3.对其他几次实验也做上述处理。
思考讨论
1.实验中如何正确使用弹簧测力计
提示:(1)测量前应首先检查弹簧测力计的零点是否准确,注意使用中不要超过其量程。
(2)实验时,弹簧测力计必须保持与木板平行,且拉力应沿轴线方向。弹簧测力计的指针、拉杆都不要与刻度板和刻度板末端的限位孔发生摩擦。
(3)读数时应正视、平视刻度。
2.在同一次实验中,两次将橡皮条拉长时结点的位置为什么要求不变
提示:为了使弹簧测力计两次拉橡皮条的效果相同,要求在同一次实验中,O点位置不动。
要点一　实验原理与操作
[例1] (2025·北京海淀期中)在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中,如图所示,桌上放一块方木板,用图钉把一张白纸钉在方木板上。再用图钉把橡皮筋的一端固定在板上的A点。在橡皮筋的另一端拴上两根细绳形成结点,细绳的另一端系着绳套。先用两个弹簧测力计分别钩住绳套,互成角度地拉橡皮筋使结点到位置O;再用一个弹簧测力计通过细绳套拉橡皮筋。
(1)判断力F单独作用与力F1、F2共同作用效果相同的依据是　　　　。
A.F的大小等于F1与F2的大小之和
B.使绳OB和绳OC相互垂直
C.使橡皮筋上的结点到达同一位置
(2)实验中需要标记或者记录的信息有　　　　。(多选)
A.橡皮筋的原长
B.橡皮筋处于原长时结点的位置
C.力F的大小和方向
D.力F1、F2的大小和方向
(3)下列措施可以减小实验误差的是　　。(多选)
A.用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,两绳套的夹角必须等于90°
B.用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,弹簧测力计尽量与木板平行
C.拉橡皮筋的细绳要长些,标记同一细绳方向的两点要远些
D.橡皮筋应与两绳套夹角的平分线在同一直线上
【答案】 (1)C　(2)CD　(3)BC
【解析】 (1)判断力F单独作用与力F1、F2共同作用效果相同的依据是,使橡皮筋上的结点到达同一位置,表示力的作用效果完全相同。故选C。
(2)实验时各力的大小可以通过弹簧测力计直接读取,无须记录橡皮筋的原长及原长的结点位置,A、B错误;实验中需要标记或者记录的信息有合力F的大小和方向及分力F1、F2的大小和方向,以便于画出它们的力的图示,并加以比较,C、D正确。
(3)两个弹簧测力计拉橡皮筋时,两绳套的夹角可以适当大些,但也不能过大,更无须都等于90°,A错误;用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,弹簧测力计尽量与木板平行,可以减小实验误差,B正确;拉橡皮筋的细绳要长些,标记同一细绳方向的两点要远些,以便于标出拉力的方向,也有利于作出力的图示,C正确;橡皮筋不一定要与两绳套夹角的平分线在同一直线上,D错误。
实验操作时的注意要点
(1)位置不变:在同一次实验中,两次拉长橡皮条时结点的位置一定要相同。
(2)拉力方向及记录:在使用弹簧测力计时,应通过细绳套拉动小圆环,这时,弹簧与木板面平行,避免弹簧与弹簧测力计外壳有摩擦;为了提高实验精度,细绳略长一些好,以便更好地确定拉力的方向。
(3)角度合适:有两个弹簧测力计拉橡皮条时,两拉力的夹角不要太大,也不要太小,在60°～120°为宜,作力的图示时,标度要适当大些。
(4)拉力合适:在满足拉力不超过弹簧测力计的量程及橡皮条形变不超过弹性限度的条件下,应该使拉力尽量大一些,以减小实验误差。
要点二　数据处理及分析
[例2] (2024·海南卷)为验证两个互成角度的力的合成规律,某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材,按照如下实验步骤完成实验:
(Ⅰ)用图钉将白纸固定在水平木板上;
(Ⅱ)如图甲、乙、丙所示,橡皮条的一端固定在木板上的G点,另一端连接轻质小圆环,将两细线系在小圆环上,细线另一端系在弹簧测力计上,用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置,并标记圆环的圆心位置为O点,拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点,大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N;拉力F1和F2改用一个弹簧测力计拉动小圆环,使其圆心到O点,在拉力F的方向上标记P3点,拉力的大小为F=5.60 N,请回答下列问题。
(1)在图丙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′。
(2)比较F和F′,写出可能产生误差的两点原因: 　。
【答案】 (1)图见解析
(2)①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行;②读数时没有正视弹簧测力计
【解析】 (1)按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′,如图所示。
(2)F和F′不完全重合的原因可能是①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行;②读数时没有正视弹簧测力计。
误差分析
(1)理论值不一定沿橡皮条方向,但单个弹簧测力计的拉力F′一定沿橡皮条方向。
(2)读数不准确和作图不精确都可能使F与F′不完全重合。
要点三　创新型实验
[例3] (2025·山东日照期中)某同学用如下实验器材测量一重物的质量:一根轻质弹性绳(类似于弹簧)、量角器、质量为50 g的钩码、不计质量的细线、刻度尺、白纸和被测重物。已知弹性绳始终没超过弹性限度,重力加速度g取10 m/s2。
实验步骤如下:
(1)如图甲所示,用弹性绳竖直悬挂一个钩码,测出弹性绳的伸长量为1.00 cm,则该弹性绳的劲度系数为　　　　 N/m。
(2)用弹性绳OA与细线OB互成角度吊起重物如图乙所示,稳定时测出弹性绳OA的伸长量为6.00 cm,则此时弹性绳OA的弹力大小为　　　　 N。
(3)用量角器测出两绳与竖直方向的夹角分别为α、β。在白纸上画出OA、OB的拉力方向如图丙所示,请用作图法在图丙中画出这两个力及二者的合力(已知单位长度表示的力为1 N)。
(4)由作图结果可得重物的质量为　　　　 kg(结果保留2位小数)。
【答案】 (1)50　(2)3　(3)图见解析　(4)0.50
【解析】 (1)由胡克定律可得,弹性绳的劲度系数为k===50 N/m。
(2)弹性绳OA的伸长量为6.00 cm,根据胡克定律有F=kΔx′=3 N。
(3)力的合成符合平行四边形定则,如图所示。
(4)由(3)可知重物的重力为5 N,则质量为m==0.50 kg。
创新 角度 实验装置/原理图 创新解读
实验 原理 创新 利用三力平衡的结论,一个力与另外两个力的合力等大反向,验证这个力与另外两个力的关系
续　表
创新 角度 实验装置/原理图 创新解读
实验 器材 创新 电子秤代替弹簧测力计,可以直接读出力的大小
课时作业
(分值:40分)
1.(10分)(2025·浙江嘉兴阶段检测)在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中。
步骤一:如图甲a,轻质小圆环挂在橡皮条的一端,另一端固定,橡皮条的长度为GE。
步骤二:在图甲b中,用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环。小圆环受到拉力F1、F2的共同作用,处于O点,橡皮条伸长的长度为EO。
步骤三:撤去F1、F2,改用一个力F单独拉住小圆环,如图甲c仍使它处于O点。
(1)如下图所示,实验中需要的器材有　　　　。
　　　
A B C D
(2)弹簧测力计的示数如图乙所示,读数为　　　　N。
(3)关于此实验的操作,下列说法正确的是　　　　。
A.测力计的钩子可以直接钩住小圆环进行实验
B.实验过程中,测力计外壳不能与木板(纸面)有接触
C.完成步骤三后重复实验再次探究时,小圆环的位置可以与前一组实验不同
D.为了减小误差,两个测力计的夹角越大越好
(4)做实验时,根据测量结果在白纸上画出,如图丙所示,F1和F2为两个分力,请通过作平行四边形的方法求出合力。(合力大小标记在图上)
【答案】 (1)B　(2)1.90　(3)C　(4)见解析
【解析】 (1)探究两个互成角度的力的合成规律实验需要刻度尺确定力的方向和作图。故选B。
(2)弹簧测力计的示数如题图乙所示,读数为 1.90 N。
(3)测力计若直接钩住小圆环进行实验,会在确定力的方向时出现误差,故A错误;实验过程中,弹簧测力计外壳与木板是否接触不影响弹簧测力计示数大小,只要弹簧测力计与木板保持平行即可,故B错误;实验过程中用一个弹簧测力计的作用效果替代两个弹簧测力计作用效果,只需同一次实验“结点”的位置相同即可,但完成后重复实验再次探究时,小圆环的位置可以与前一组实验不同,故C正确;画平行四边形时,夹角适当大些,画出的平行四边形会更准确些,但不是要求夹角尽量大,故D错误。
(4)根据平行四边形定则作图,如图所示,
由图可知合力大小约为3.16 N。
2.(10分)(2025·江苏无锡期中)某同学做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验,他用图钉把白纸固定在水平放置的木板上,将橡皮条的一端固定在木板上的A点,另一端系两个细绳套,用两个弹簧测力计分别拉住两个细绳套,互成角度施加拉力,使橡皮条伸长,让结点到达纸面上某位置,记为O,然后撤去两个力,再用一个弹簧测力计把结点拉到位置O,如图甲所示。
(1)同一次实验过程中,弹簧末端都要拉到同一位置O点,这体现了　　　　的科学方法。
(2)某次实验中,一弹簧测力计的指针位置如图乙所示,读数为　　　　 N。
(3)关于该实验的操作,下列说法正确的是　 。
A.使用弹簧测力计时,施力方向应沿弹簧测力计轴线方向,读数时视线应正对弹簧测力计刻
度线
B.把结点拉到O点位置时,两个弹簧测力计之间夹角应取90°,以便算出合力大小
C.改变拉力,进行多次实验,每次都要使O点在同一位置
D.用两个弹簧测力计分别钩住细绳套,互成角度地拉橡皮条时,只需要记下结点O的位置及两细绳套的方向
(4)实验中F1与F2的夹角为θ(θ>90°),如图丙所示,保持F1的方向不变、增大θ角的过程中,为保证结点位置不变,F2的大小将　　　　。
A.一直增大 B.一直减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【答案】 (1)等效替代　(2)3.00　(3)A　(4)A
【解析】 (1)“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中,同一次实验过程中,弹簧末端都要拉到同一位置O点,采用了“等效替代”的科学方法。
(2)结合题图乙可知,弹簧测力计读数为3.00 N。
(3)使用弹簧测力计时,施力方向应沿弹簧测力计轴线方向,读数时视线要正对弹簧测力计刻度线,故A正确;把结点拉到O点位置时,两个弹簧测力计之间夹角适当就好,不用取90°,故B错误;改变拉力,进行多次实验,不同实验时,O点不需要在同一位置,故C错误;用两个弹簧测力计分别钩住细绳套,互成角度地拉橡皮条时,不仅需要记下结点O的位置及两细绳套的方向,还要记下两个弹簧测力计的示数,故D错误。
(4)依题意保持F1的方向不变、增大θ角的过程中,为保证结点位置不变,即F1与F2的合力不变,由力的三角形定则作图,如图所示,由图可知F2的大小一直增大,故选A。
3.(10分)(2025·湖南期中)物理学习小组利用实验室的器材设计了如图甲所示的实验装置进行“验证两个互成角度的力的合成规律”实验,量角器竖直放置,结点O与量角器的中心点在同一位置。
(1)本实验采用的科学方法是　　　　。
A.理想实验法 B.等效替代法
C.控制变量法 D.建立物理模型法
(2)实验中保持重物c质量不变以及O点位置不变,改变细绳OA与细绳OB的方向,细绳OA与细绳OB拉力的合力　　　　(选填“变化”或“不变化”)。
(3)关于该实验,下列说法正确的是　　　　。
A.弹簧测力计必须与量角器平行
B.连接弹簧测力计的两细绳之间的夹角越大越好
C.两细绳OA、OB必须垂直
(4)在某次实验中,弹簧测力计a、b的读数分别是F1、F2,然后只用弹簧测力计a测量物体重力,其读数为F,最后根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′。若操作正确,则作出的图应是图　　　　(选填“乙”或“丙”)。
【答案】 (1)B　(2)不变化　(3)A　(4)乙
【解析】 (1)该实验是用一个力作用产生的作用效果与两个力共同作用产生的作用效果相同,来探究两个互成角度的力的合成规律,所以使用的科学方法是等效替代法。故选B。
(2)仅改变细绳OA与细绳OB的方向,细绳OA与细绳OB拉力的合力大小仍等于细绳Oc的拉力大小,由于重物c质量不变以及O点位置不变,细绳Oc的拉力不变化,则细绳OA与细绳OB拉力的合力不变化。
(3)测量时弹簧测力计必须与量角器平行且在同一竖直平面内,故A正确;为减小实验误差,与两弹簧测力计相连的细绳之间的夹角要适当大一点,但不是越大越好,也不是一定要垂直,故B、C错误。故选A。
(4)F是通过实验得到的合力,一定沿竖直方向,合力F′是通过平行四边形得到的理论值,不一定在竖直方向上,则若操作正确,则作出的图应是题图乙。
4.(10分)(2025·江苏徐州期中)小明同学在家做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。他找到了几个相同的橡皮筋,又找来了一些同规格的钩码,但没有弹簧测力计。他猜想橡皮筋上的弹力也遵循胡克定律,可以代替弹簧测力计完成实验。为了探究橡皮筋弹力的变化规律,他先设计实验装置如图甲所示并实施了以下方案:
①将橡皮筋挂在固定的钩子上,并在橡皮筋上挂上一个钩码;
②待静止后,用刻度尺测量橡皮筋的长度l1;
③逐次增加钩码的个数,测量对应的长度l;
④将测量数据输入电脑,用电脑中WPS软件生成如图丙所示的Fl图像,其中l<12 cm时的图像为直线,后半部分为平滑曲线。
(1)实验中某次用刻度尺测量橡皮筋长度的情形如图乙所示,则此时l1=　　　　 cm。
(2)由图丙可知,橡皮筋自然伸长时的长度l0约为　　　　 cm。
(3)接下来小明做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。将三根相同的橡皮筋一端系在一起形成结点O;在方木板上合适位置钉好三根图钉,随后将三根橡皮筋分别挂在图钉上,如图丁所示。小明认为橡皮筋OA和OB的弹力的合力应与OC上的弹力等大反向,于是测量了三根橡皮筋的长度;为了明确各力方向,此时　　　　(选填“需要”或“不需要”)记录结点O的位置。
(4)取下图钉后,小明直接用橡皮筋的形变量l-l0当作橡皮筋上弹力的大小,在坐标纸上绘制了戊图所示的橡皮筋OA、OB、OC上弹力FA、FB、FC的示意图,请你帮他把FA、FB的合力F合画出来。
(5)多次实验发现,当某一橡皮筋拉伸太长时,画出的另外两个拉伸较短橡皮筋的合力F合总是小于拉伸太长橡皮筋的弹力F。对此,小明提出了以下猜想来解释这个现象,你认为合理的是　　　　。
A.绘制F合时出现作图误差
B.F对应橡皮筋的长度测量值偏大
C.橡皮筋提供弹力较大时不遵从胡克定律,其形变量偏大
【答案】 (1)8.10　(2)6.1　(3)需要
(4)图见解析　(5)C
【解析】 (1)题图乙中刻度尺每小格代表0.1 cm,读数时应精确到0.01 cm,所以橡皮筋的长度l1为8.10 cm。
(2)题图丙中横轴每小格代表0.5 cm,读数时应精确到0.1 cm,所以橡皮筋自然伸长时的长度l0约为6.1 cm。
(3)O点与三根图钉所在位置的连线就是三根橡皮筋拉力的方向,记录了结点O的位置就可以确定三个拉力的方向,这样可以大大减小实验误差,所以需要记录结点O的位置。
(4)根据平行四边形定则作出FA与FB的合力F合,如图所示。
(5)绘制F合时出现作图误差和F对应橡皮筋的长度测量值偏大都属于偶然误差,偶然误差不可能在多次实验中总是偏大或者总是偏小,故A、B错误;
当橡皮筋的形变超出弹性限度时,将不再遵从胡克定律,形变量偏大,这是合理的猜想,故C正确。(共70张PPT)
4　力的合成和分解
第1课时　力的合成与分解
[定位·学习目标]　
1.通过学习分力、合力、力的合成的物理概念并解决相关的实际问题,深化力的合成的等效思想。2.会利用作图法和计算法求合力,明确合力与分力关系。3.会根据力的作用效果分解力,会根据实际情况建立合适的直角坐标系将力进行正交分解。4.会区别矢量和标量,知道三角形定则,了解三角形定则与平形四边形定则的关系。
探究·必备知识
知识点一　合力和分力
「探究新知」
1.共点力
几个力如果都作用在物体的 ,或者它们的 相交于一点,这几个力叫作共点力。
2.合力与分力
(1)假设一个力单独作用的效果跟 共同作用的 相同,这个力就叫作那几个力的 。
(2)假设几个力共同作用的效果跟 单独作用的效果相同,这几个力就叫作那个力的 。
同一点
作用线
某几个力
效果
合力
某个力
分力
正误辨析
(1)作用在一个物体上的两个力,如果大小相等、方向相反,则这两个力一定是共点力。(　 　)
(2)合力F一定与分力F1、F2共同作用产生的效果相同。(　 　)
(3)合力的作用可以替代几个分力的共同作用,它与分力是等效替代关系。
(　 　)
(4)两个小朋友共同提起一桶水,他们两力的合力就是重力。(　 　)
×
√
√
×
知识点二　力的合成与分解
「探究新知」
1.力的合成:求几个力的 的过程。
2.平行四边形定则:如果以表示这两个力的有向线段为 作平行四边形,这 的对角线就代表合力的大小和方向。
3.两个以上共点力合力的求法:先求出 的合力,再求出这个合力跟 的合力,直到把所有的力都合成进去,最后得到的结果就是这些力的合力。
合力
邻边
两个邻边之间
任意两个力
第三个力
4.力的分解:求一个力的 的过程。
5.力的分解方法:以表示该力的有向线段为对角线,作出的平行四边形的两个邻边所对应的两个力为分力。如果没有限制,同一个力F可以分解为
对大小、方向不同的分力。
分力
无数
(1)合力F可以等于分力F1、F2的和。(　 　)
(2)合力F的大小随分力F1、F2之间夹角的增大而减小。(　 　)
(3)如果不加限制,一个力理论上可以分解出无数组分力。(　 　)
(4)分解一个力时,只能按力的作用效果分解。(　 　)
正误辨析
√
√
√
×
知识点三　矢量和标量
「探究新知」
1.矢量:既有大小又有方向,相加时遵从 的物理量。
2.标量:只有大小,没有方向,相加时遵从 的物理量。
平行四边形定则
算术法则
(1)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(　 　)
(2)由于矢量的方向可以用正、负表示,故具有正负值的物理量一定是矢量。
(　 　)
(3)矢量与标量的区别之一是它们的运算方法不同。(　 　)
(4)两个矢量的大小之和等于合矢量的大小。(　 　)
正误辨析
×
×
√
×
突破·关键能力
要点一　合力和分力
「情境探究」
某班师生在植树节给树浇水,老师一人提着一桶水到现场,放下桶,然后甲和乙共同提起该桶,准备给树浇水,老师的拉力为F,甲、乙作用在桶上的力分别为F1、F2。
【答案】 (1)F、F1、F2不是同时作用在水桶上的。
探究:(1)F、F1、F2是同时作用在水桶上吗
(2)F与F1、F2共同作用的效果相同吗 有什么关系
【答案】 (2)F与F1、F2共同作用的效果相同。F与F1、F2是等效替代的关系。
(3)判断力F、F1、F2哪些是分力,哪些是合力。
【答案】 (3)F是合力,F1、F2是分力。
1.合力与分力的性质
「要点归纳」
2.合力和分力的关系
合力和分力不是同时作用在物体上的,而是等效替代的关系,分析合力时不分析分力,分析分力时不分析合力。
[例1] (多选)关于分力和合力,下列说法正确的是(　 　)
[A] 合力和分力同时作用在同一物体上
[B] 分力作用在物体上共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
[C] 各个分力一定是同一性质的力才可以进行合成
[D] 各个分力必须是同一个物体同一时刻受到的力
「典例研习」
BD
【解析】 本题考查合力和分力的关系,准确理解合力和分力的关系是解题的关键。合力是各个分力的等效替代,作用效果相同,合力和分力并不同时作用于物体上,选项A错误,B正确;各个分力可以是不同性质的力,也可以是同一性质的力,选项C错误;各个分力必须是同一时刻同一物体受到的力,选项D正确。
要点二　合力的求解及合力与分力关系
「情境探究」
探究:(1)当两个分力之间的夹角分别为0°和180°时,它们的合力如何计算 合力的最大值、最小值分别是多少
【答案】 (1)两分力同向(θ=0°)时,合力最大,F=F1+F2,合力方向与分力同向。两分力反向(θ=180°)时,合力最小,F=|F1-F2|,合力的方向与较大的一个分力的方向相同。合力的取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)合力是否总是大于两个分力
【答案】 (2)合力不一定总是大于两个分力。
「要点归纳」
1.合力的求解
(1)作图法。
以表示两个分力的图示为邻边,用作图工具作出平行四边形,然后用测量工具测量出两邻边所夹对角线的长度和方向,从而确定合力的大小和方向。具体步骤如下:
(2)计算法。
①两分力共线时,规定正方向后求合力。
②两分力不共线时,作出对应的平行四边形,结合解三角形的知识求合力。
③常见的三种情况
2.合力与分力的关系
(1)两个力的合力。
①两分力同向(夹角θ=0°)时,合力最大,其大小为F=F1+F2,合力与分力方向相同。
②两分力反向(夹角θ=180°)时,合力最小,其大小为F=|F1-F2|,合力的方向与其中较大的分力方向相同。
③当两个分力大小不变时,合力F随两分力夹角θ的增大而减小,其取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)三个力的合力。
①最大值:三个力的方向相同时,合力最大,Fm=F1+F2+F3。
②最小值。
a.若|F1-F2|≤F3≤F1+F2,则合力的最小值为零。
b.若F3不在|F1-F2|～(F1+F2)范围内,则合力的最小值不可能为零,其最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
[例2] (两个力的合成)在蒸汽机发明以前,大运河中逆水行船经常用纤夫来拉船,其情境如图所示。假设河两岸每边10个人,每个人沿绳方向的拉力为600 N,绳与河岸方向的夹角为30°,试用作图法和计算法分别求出船受到拉力的合力。
「典例研习」
【答案】 10 400 N,方向沿河岸方向
【解析】 作图法　如图甲所示,自O点引两条有向线段OA和OB,相互间夹角为60°,设每单位长度表示2 000 N,则OA和OB的长度都是3个单位长度,作出平行四边形OACB,其对角线OC就表示绳的拉力F1、F2的合力F。量得OC长5.2个单位长度,故合力F=5.2×2 000 N=10 400 N。
用量角器量得∠AOC=∠BOC=30°,所以合力沿河岸方向。
·规律方法·
作图法与计算法的比较
(1)作图法简单、直观,是物理学中常用的方法之一,但不够精确。
(2)应用作图法时,各力必须选定同一标度,并且标度的比例适当。
(3)应用计算法时,要画出力的合成示意图。
(4)两力夹角为特殊角(如120°、90°等)时,应用计算法求合力更简单。
[例3] (合力与分力的关系)关于合力与其两个分力的关系,下列说法正确的是(　　)
[A] 合力与分力同时作用在物体上
[B] 合力的大小随两分力夹角的增大而增大
[C] 合力的大小一定大于任意一个分力
[D] 合力的大小可能大于大的分力,也可能小于小的分力
D
【解析】 合力与分力是等效替代关系,它们并不能同时作用在物体上,选项A错误;根据|F1-F2|≤F≤F1+F2知,合力的大小不一定大于小的分力,也不一定小于大的分力,合力的大小也不随夹角的增大而增大,也不一定大于任意一个分力,故D正确,B、C错误。
[例4] (多个力的合成)如图,有五个力作用于同一点O,表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2=10 N,则这五个力的合力大小为(　　)
[A] 20 N [B] 30 N
[C] 40 N [D] 60 N
D
【解析】 利用平行四边形定则,如图所示,最大力为F1,根据平行四边形定
则,F3与F4的合力为F1,F2与F5的合力为F1,这五个力的合力为3F1,已知F2=
10 N,根据几何关系可知F1=20 N,所以合力的大小为F=3F1=60 N,故选D。
·规律方法·
合力的大小,可能小于分力,可能等于分力,也可能大于分力。
要点三　几种限制条件下的力的分解
「要点归纳」
力的分解的几种情况
(1)一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力。
一个力分解为两个力,从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示),这样分解是没有实际意义的,实际分解时,按力的作用效果可分解为两个确定的分力。
(2)几种典型限制条件下力的分解。
将一个力按一定条件分解时,合力可能能按要求进行分解,即有解。也可能不能按要求进行分解,即无解。分析是否有解的方法是看代表合力的有向线段与代表分力的有向线段能否按要求构成平行四边形,如果能构成平行四边形,说明有解;如果它们不能构成平行四边形,说明无解。典型的情况有以下几种:
①已知合力和两个分力的方向时,有唯一解。(如图甲所示)
②已知合力和一个分力的大小和方向时,有唯一解。(如图乙所示)
③已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时,若F与F1的夹角为α,有下面几种可能:
a.当Fsin αb.当F2=Fsin α时,有唯一解,如图丁所示。
c.当F2d.当F2≥F时,有唯一解,如图己所示。
[例5] 将一个大小为20 N的已知力F分解成两个力,其中一个分力F1的方向与F的夹角为53°,则当另一个分力F2的大小取以下哪个数值时,力F的分解结果存在两种可能 (　　)
[A] 16 N [B] 18 N
[C] 20 N [D] 22 N
「典例研习」
B
【解析】 假设F2与力F1垂直,则F1=12 N、F2=16 N,所以当F2小于16 N时,不能满足题目所给的条件;当F2=16 N时,不存在两个F2的情况,所以只有当F2大于16 N时才能满足题意,并且F2不能大于力F,所以16 N要点四　力的效果分解法
「情境探究」
如图所示,某同学设计了一个小实验,他将细绳的一端系在手指上,细绳的另一端系在直杆的A端,杆的左端顶在掌心,组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂重物,并保持静止。
探究:(1)通过实验该同学会有什么感受
【答案】 (1)该同学会感受到手指被绳拉紧、掌心被杆压紧。
(2)重物对A点的拉力产生了什么效果
【答案】 (2)重物对A点的拉力产生的作用效果有两个,一是拉紧细绳,二是使杆压紧掌心。
(3)重物对A点的拉力应该怎样分解
「要点归纳」
1.力的效果分解法的一般思路
2.按效果分解力的几个实例
实例 产生效果分析
拉力F一方面使物体沿水平地面前进或有运动的趋势,另一方面向上提物体,其分力F1、F2分别为F1=Fcos α,
F2=Fsin α
物体静止在斜面上,其重力产生两个效果:一是使物体具有沿斜面下滑的趋势,二是使物体压紧斜面,其分力分别为F1=mgsin α,F2=mgcos α
[例6] 汽车发生爆胎后,需要用千斤顶抬起汽车后更换轮胎。当摇动把手时,水平面上的千斤顶的两臂(长度相等)靠拢,顶起汽车。图甲、乙为汽车内常备的两种类型的千斤顶,一种是“Y”形,另一种是“菱形”,摇动手柄,使螺旋杆转动,A、B间距离发生改变,从而实现重物的升降。若物重为G,AB与AC间的夹角为θ,螺旋杆保持水平,不计杆自身重力,求图甲、乙两种千斤顶螺旋杆的拉力大小之比。
「典例研习」
【答案】 1∶1
·规律方法·
作力的分解的平行四边形的技巧
(1)确定力产生的效果,由该力的始端沿两个效果方向作线段。
(2)由力的末端分别作出两个效果线段的平行线,得到该力与两个分力关系的平行四边形。
(3)将表示两个分力的线段标明方向。
要点五　力的正交分解法
「要点归纳」
1.定义:把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法。
如图所示,将力F沿x轴和y轴两个方向分解,则
Fx=Fcos α,
Fy=Fsin α。
2.适用情境:适用于物体受到三个或三个以上的力的问题。
3.优势:若求几个力的合力或求某一方向的合力时,可先把各力沿x轴和y轴分解,然后求沿两坐标轴的合力,进而求总的合力,可以避免用平行四边形定则依次求合力的复杂运算。
4.正交分解法求合力
(1)建立坐标系:以力的作用点为坐标原点,直角坐标系x轴和y轴的选择原则是应使尽量多的力落在坐标轴上。
(2)分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解为沿x轴和y轴上的两个分力,并在图上注明其序号,如图所示。
(3)确定分力大小:由力与x轴或y轴的夹角,写出其分力Fx、Fy的数学表
达式。
(4)求轴上合力:分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力,即
Fx=F1x+F2x+…
Fy=F1y+F2y+…
[例7] 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、
40 N、30 N和15 N,方向如图所示,求它们的合力。(取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8)
「典例研习」
【答案】 38.2 N,方向与F1夹角成45°斜向右上
·规律方法·
用正交分解法求合力的思路
提升·核心素养
三角形定则
「核心归纳」
三角形定则:把两个矢量首尾相接,从而求出合矢量的方法(如图所示)。三角形定则与平行四边形定则在本质上是一样的。
「典例研习」
[例题] 如图所示,F1、F2、F3三个力恰好构成封闭的直角三角形,则这三个力的合力大小为(　　)
[A] 0 [B] 2F1
[C] 2F2 [D] 2F3
C
【解析】 由矢量合成的法则可知,F1与F3的合力为F2,则这三个力的合力大小为2F2,故选C。
检测·学习效果
1.(教材改编)如图所示,把光滑斜面上物体受到的重力mg分解为F1、F2两个力,下列说法正确的是(　　)
[A] F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是物体对斜面的压力
[B] 物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用
[C] 力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同
[D] FN和F2是作用力和反作用力
C
【解析】 F1是使物体下滑的力,F2不是物体对斜面的压力,因为物体对斜面的压力的受力物体是斜面,不是物体,而F2作用在物体上,故A错误;物体只受重力和支持力两个力作用,故B错误;将物体受到的重力mg分解为F1、F2两个力,则FN、F1、F2三个力的作用效果与mg、FN两个力的效果相同,故C正确;FN和F2都作用在物体上,不是一对作用力和反作用力,FN与物体对斜面的压力是一对作用力与反作用力,故D错误。
2.教室里要挂一个城市文化宣传框,假若粘钩的承重能力足够,以下悬挂方式绳上的拉力最小的是(　　)
A
【解析】 当悬挂的两条绳子长度相等时,绳子上的拉力也相等。由力的合成法则可知,在合力不变的情况下,两条绳子间的夹角越小,绳子上的拉力就越小,如图所示,故选A。
[A] [B] [C] [D]
3.如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为(　　)
B
4.如图所示,一质量为0.8 kg的木块放在水平面上向左运动,且受到一个与水平面成30°角向上的拉力F=8 N 作用,木块与水平面间的动摩擦因数是0.5,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
D
A
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