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5　共点力的平衡
[定位·学习目标]　
1.通过对共点力平衡条件的学习,形成物体在平衡状态下,所受合力为零,则物体处于静止或匀速直线运动状态的物理观念。2.通过对物体的受力分析,进一步培养应用平衡条件解决实际问题的科学思维。
探究·必备知识
知识点　共点力平衡的条件
「探究新知」
1.平衡状态
物体受到几个力作用时,保持 或 的状态。
2.平衡条件
(1)在共点力作用下物体平衡的条件是 为0,即F合=0。
(2)若将物体受到的力进行正交分解,则有Fx合=0,Fy合=0。
静止
匀速直线运动
合力
正误辨析
(1)运动的物体不可能处于平衡状态。(　 　)
(2)作用在一个物体上的两个力,如果大小相等,方向相反,这两个力一定平衡。
(　 　)
(3)跳高运动员到达空中最高点时处于平衡状态。(　 　)
(4)如果一个物体受到三个力作用而保持平衡,则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向。(　 　)
×
×
×
√
突破·关键能力
要点一　共点力平衡的条件
「情境探究」
我们处在一个异彩纷呈的世界里,世界上的物体可谓千姿百态。远古的巨石千百年来一直神奇地矗立着。都市里的人,却自有动中取静的办法,到了大商场里,你只要站着不动,自动扶梯就会安稳匀速地送你上楼下楼。
【答案】 (1)平衡状态指的是静止或匀速直线运动状态。
探究:(1)从运动学视角思考,平衡状态指的是什么
(2)保持物体平衡需要什么条件呢
【答案】 (2)三个以上共点力的平衡,最终也都可以简化为二力平衡。根据二力平衡条件,可以得出在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零,即F合=0。
1.对平衡状态的理解
(1)两种平衡情形。
①物体在共点力作用下处于静止状态。
②物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态。
(2)“静止”和“v=0”的区别与联系。
「要点归纳」
2.对平衡条件的理解
(1)共点力作用下物体的平衡条件。
①F合=0。
(2)平衡条件的三个推论。
①二力作用:二力等大、反向,且为一对平衡力。
②三力作用:任意两力的合力与第三个力等大、反向。
③N个力作用:任意一个力与其他所有力的合力等大、反向。
[例1] (多选)(2025·辽宁期中)如图,一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上,一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点,另一端系在滑块上,弹簧与斜面垂直,则(　 　)
[A] 滑块不可能只受到三个力作用
[B] 弹簧可能处于伸长状态
[C] 斜面对滑块的支持力大小可能为0
「典例研习」
BD
要点二　静态平衡问题的处理方法
「情境探究」
悬挂式广告牌如图所示,广告牌受到的重力为G,两侧绳与竖直方向的夹角都为θ,广告牌保持静止。
探究:你有哪些方法可求出两侧绳的拉力大小
【答案】 (1)合成法:根据两侧绳的拉力的合力与重力大小相等、方向相反,就可以利用解三角形的知识,确定绳的拉力大小。
(2)正交分解法:将广告牌所受各力沿两个互相垂直的方向正交分解后,有
Fx合=0,Fy合=0,列方程可确定绳的拉力大小。
(3)分解法:将重力沿两侧绳的方向分解,则沿两绳方向的合力均等于0,可列式求解绳的拉力大小。
「要点归纳」
1.解决三个共点力的平衡问题
(1)合成法:根据“任意两个力的合力与第三个力等大、反向”的关系,结合三角函数、相似三角形等知识求解。
(2)分解法:将某一个力分解到另外两个力的反方向上,这两个分力必定与另外两个力等大、反向,由此列式求解。
(3)正交分解法:建立适当方向的直角坐标系,将力正交分解,应用Fx合=0,Fy合=
0列式求解。
2.解答三个以上共点力的平衡问题
建立适当方向的直角坐标系,以尽量少地分解力,将各个力均沿x轴、y轴分解,使力只沿两坐标轴方向,由Fx合=0、Fy合=0列方程求解。
[例2] 在科学研究中,可以用风力仪直接测量风力的大小,其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝,悬挂着一个金属球。无风时,金属丝竖直下垂;当受到沿水平方向吹来的风时,金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大,偏角越大。通过传感器就可以根据偏角的大小指示出风力大小。那么,风力大小F跟金属球质量m、偏角θ之间有什么样的关系
「典例研习」
【答案】 F=mgtan θ
【解析】 方法一　力的合成法
如图甲所示由平衡条件风力F和拉力FT的合力与重力等大反向,
可得F=mgtan θ。
方法二　效果分解法
如图乙所示,重力有两个作用效果分别为使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧,所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解,由平衡条件及几何关系可得F=F′=mgtan θ。
方法三　正交分解法
如图丙所示,以金属球为坐标原点,取水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系。由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零,
即Fx合=FTsin θ-F=0,
Fy合=FTcos θ-mg=0,
解得F=mgtan θ。
·规律方法·
解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象(物体、质点或绳的结点等),对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统,应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体(整体法或隔离法)。
(2)对所选研究对象进行受力分析,并画出受力示意图。
(3)将力合成、按效果分解(适用于三个力作用下的平衡问题)或进行正交分解(适用于多个力作用下的平衡问题)。
(4)列平衡方程进行求解或讨论。
要点三　平衡问题中的“活结”与“死结”、“可动杆”与“固定杆”
「要点归纳」
1.对“活结”与“死结”模型的理解
(1)“活结”:一般是由轻绳跨过光滑滑轮、绕过光滑杆或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
(2)“死结”:两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2.对“可动杆”与“固定杆”模型的理解
(1)“可动杆”:轻杆用转轴或铰链光滑连接,当杆处于平衡状态时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆。如图甲所示,C为转轴,则轻杆在缓慢转动中,弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“固定杆”:若轻杆被固定不发生转动,则杆所受弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示,水平横梁的一端A插在墙壁内,另一端装有一个小滑轮B,一轻绳的一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。绳子对滑轮的作用力应为两段绳中拉力的合力F,由牛顿第三定律可知固定杆弹力的方向并不沿杆的方向。
[例3] 如图甲所示,轻杆BC水平插入竖直墙内,轻绳AD跨过水平轻杆BC右端的轻滑轮挂住一个质量为10 kg的物体。如图乙所示,轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上,另一端G通过轻绳EG拉住,且G端用轻绳GF挂住一个质量也为10 kg的物体,轻杆HG水平。AC、EG与水平方向的夹角均为30°,重力加速度g取10 m/s2。不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
「典例研习」
A
【解析】 题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态,根据平衡条件可判断,与物体相连的细绳拉力大小等于物体的重力,分别取C点和G点为研究对象,进行受力分析如图1、2所示,
图1中,因滑轮摩擦不计,FAC=FCD=M1g=100 N,且二者夹角为120°,根据平衡条件可得,横梁BC对C端的弹力与FAC和FCD的合力等大反向,故可得横梁BC对C端的弹力大小为FNC=F合=FAC=100 N,方向和水平方向成30°斜向右上方;
提升·核心素养
拉密定理
「核心归纳」
「典例研习」
[例题] 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图,悬吊吊灯的细绳,其O点被一水平绳BO牵引,使悬绳AO段和竖直方向成θ=30°角。若吊灯所受的重力为G,求:
(1)悬绳AO的拉力大小;
(2)水平绳BO的拉力大小。
检测·学习效果
1.(多选)(教材改编)如图所示,一物体在五个共点力的作用下保持平衡(五个力在同一平面)。如果撤去力F3,而保持其余四个力不变,下列关于这四个力的合力的大小和方向正确的是(　 　)
[A] 合力的大小可能等于0
[B] 合力的大小等于撤去的F3
[C] 合力的方向在F1和F5之间
[D] 合力的方向在F4和F5之间
BC
【解析】 根据共点力的平衡条件可知其余四个力的合力一定与F3等大反向,故撤去力F3,而保持其余四个力不变,这四个力的合力与F3大小相等,方向相反,即指向F1和F5之间,故B、C正确,A、D错误。
2.如图所示,一个细绳系着一个乒乓球靠近水流时,会被水流“吸”住。乒乓球的重力为G,此时细线的拉力大小为F1,水流对乒乓球的作用力大小为F2,则(　　)
[A] F1与F2的合力大于G
[B] F1与F2的合力小于G
[C] F2的竖直分力等于G
[D] F2的水平分力等于F1的水平分力
D
【解析】 乒乓球处于静止状态,则根据共点力平衡条件可知F1与F2的合力等于G,故A、B错误;乒乓球所受重力竖直向下,根据共点力平衡条件可知F2的水平分力等于F1的水平分力,F2的竖直分力和F1的竖直分力的矢量和等于重力,故C错误,D正确。
3.倾角为37°的两个完全相同的直角三角形滑块a、b按如图所示放置,a与桌面间的动摩擦因数为 0.75。现在b上作用一水平推力使a、b一起在水平桌面上匀速运动,且a、b保持相对静止,则a的受力情况为(　　)
C
[A] [B] [C] [D]
【解析】 设滑块质量为m,整体在水平方向上受推力和滑动摩擦力,有F=Ff=2μmg,代入数据可得F=1.5 mg。对b受力分析,假设b不受斜面a的摩擦力,则b受到重力、推力F′和支持力,如图所示,根据受力平衡,可得F′=mgtan θ,代入数据得F′=0.75 mg,因为F=1.5 mg>F′,所以b受到a沿斜面向下的摩擦力,则b对a有沿斜面向上的摩擦力,除此外斜面a还受重力、地面的支持力和摩擦力、b对a的压力,故C正确,A、B、D错误。
4.某同学为了研究三角形承重结构各部分受力大小的规律,设计如图所示的装置:一长度AB=10 cm的轻质细杆,A端通过光滑铰链连接于竖直墙上,B端系上轻质细绳,细绳水平,另一端系于竖直墙上C点,B点悬挂一质量为
3 kg的重物,该系统保持静止状态。已知此时细绳长度为BC=8 cm,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求此时轻杆AB和轻绳BC受到的弹力大小。
【答案】 (1)50 N　40 N
【解析】 (1)B点受力如图甲所示,设∠BAC为θ,
水平方向FABsin θ=FBC,
竖直方向FABcos θ=mg,
解得FAB=50 N,FBC=40 N。
(2)若保持细杆AB位置不动,只改变轻绳BC的长度及C点位置,要使系统静止且绳子承受的拉力最小,求此时轻绳BC的长度及所受拉力大小。
感谢观看5　共点力的平衡
[定位·学习目标]　1.通过对共点力平衡条件的学习,形成物体在平衡状态下,所受合力为零,则物体处于静止或匀速直线运动状态的物理观念。2.通过对物体的受力分析,进一步培养应用平衡条件解决实际问题的科学思维。
知识点　共点力平衡的条件
探究新知
1.平衡状态
物体受到几个力作用时,保持静止或匀速直线运动的状态。
2.平衡条件
(1)在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0,即F合=0。
(2)若将物体受到的力进行正交分解,则有Fx合=0,Fy合=0。
正误辨析
(1)运动的物体不可能处于平衡状态。(　×　)
(2)作用在一个物体上的两个力,如果大小相等,方向相反,这两个力一定平衡。(　×　)
(3)跳高运动员到达空中最高点时处于平衡状态。(　×　)
(4)如果一个物体受到三个力作用而保持平衡,则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向。(　√　)
要点一　共点力平衡的条件
情境探究
我们处在一个异彩纷呈的世界里,世界上的物体可谓千姿百态。远古的巨石千百年来一直神奇地矗立着。都市里的人,却自有动中取静的办法,到了大商场里,你只要站着不动,自动扶梯就会安稳匀速地送你上楼下楼。
探究:(1)从运动学视角思考,平衡状态指的是什么
(2)保持物体平衡需要什么条件呢
【答案】 (1)平衡状态指的是静止或匀速直线运动状态。
(2)三个以上共点力的平衡,最终也都可以简化为二力平衡。根据二力平衡条件,可以得出在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零,即F合=0。
要点归纳
1.对平衡状态的理解
(1)两种平衡情形。
①物体在共点力作用下处于静止状态。
②物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态。
(2)“静止”和“v=0”的区别与联系。
v=0
2.对平衡条件的理解
(1)共点力作用下物体的平衡条件。
①F合=0。
②其中Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后,在x轴与y轴上的合力。
(2)平衡条件的三个推论。
①二力作用:二力等大、反向,且为一对平衡力。
②三力作用:任意两力的合力与第三个力等大、反向。
③N个力作用:任意一个力与其他所有力的合力等大、反向。
典例研习
[例1] (多选)(2025·辽宁期中)如图,一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上,一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点,另一端系在滑块上,弹簧与斜面垂直,则(　　)
[A] 滑块不可能只受到三个力作用
[B] 弹簧可能处于伸长状态
[C] 斜面对滑块的支持力大小可能为0
[D] 斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mg
【答案】 BD
【解析】 弹簧的方向垂直于斜面,因为弹簧的形变情况未知,所以斜面与滑块之间的弹力大小不确定,所以滑块可能只受重力、斜面支持力和静摩擦力三个力的作用而平衡,此时弹簧弹力为零,处于原长状态,故A错误;如果弹簧处于伸长状态,滑块受重力、支持力、静摩擦力和弹簧的拉力,是可能平衡的,故B正确;若斜面对滑块的支持力大小为0,则摩擦力为0,滑块不可能处于平衡状态,故C错误;根据平衡条件,在平行于斜面方向平衡,一定有Ff=mgsin 30°=mg,故D正确。
要点二　静态平衡问题的处理方法
情境探究　
悬挂式广告牌如图所示,广告牌受到的重力为G,两侧绳与竖直方向的夹角都为θ,广告牌保持静止。
探究:你有哪些方法可求出两侧绳的拉力大小
【答案】
(1)合成法:根据两侧绳的拉力的合力与重力大小相等、方向相反,就可以利用解三角形的知识,确定绳的拉力大小。
(2)正交分解法:将广告牌所受各力沿两个互相垂直的方向正交分解后,有Fx合=0,Fy合=0,列方程可确定绳的拉力大小。
(3)分解法:将重力沿两侧绳的方向分解,则沿两绳方向的合力均等于0,可列式求解绳的拉力大小。
要点归纳
1.解决三个共点力的平衡问题
(1)合成法:根据“任意两个力的合力与第三个力等大、反向”的关系,结合三角函数、相似三角形等知识求解。
(2)分解法:将某一个力分解到另外两个力的反方向上,这两个分力必定与另外两个力等大、反向,由此列式求解。
(3)正交分解法:建立适当方向的直角坐标系,将力正交分解,应用Fx合=0,Fy合=0列式求解。
2.解答三个以上共点力的平衡问题
建立适当方向的直角坐标系,以尽量少地分解力,将各个力均沿x轴、y轴分解,使力只沿两坐标轴方向,由Fx合=0、Fy合=0列方程求解。
典例研习
[例2] 在科学研究中,可以用风力仪直接测量风力的大小,其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝,悬挂着一个金属球。无风时,金属丝竖直下垂;当受到沿水平方向吹来的风时,金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大,偏角越大。通过传感器就可以根据偏角的大小指示出风力大小。那么,风力大小F跟金属球质量m、偏角θ之间有什么样的关系
【答案】 F=mgtan θ
【解析】 方法一　力的合成法
如图甲所示由平衡条件风力F和拉力FT的合力与重力等大反向,可得
F=mgtan θ。
方法二　效果分解法
如图乙所示,重力有两个作用效果分别为使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧,所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解,由平衡条件及几何关系可得F=F′=mgtan θ。
方法三　正交分解法
如图丙所示,以金属球为坐标原点,取水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系。由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零,即
Fx合=FTsin θ-F=0,
Fy合=FTcos θ-mg=0,
解得F=mgtan θ。
解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象(物体、质点或绳的结点等),对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统,应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体(整体法或隔离法)。
(2)对所选研究对象进行受力分析,并画出受力示意图。
(3)将力合成、按效果分解(适用于三个力作用下的平衡问题)或进行正交分解(适用于多个力作用下的平衡问题)。
(4)列平衡方程进行求解或讨论。
要点三　平衡问题中的“活结”与“死结”、“可动杆”与“固定杆”
要点归纳
1.对“活结”与“死结”模型的理解
(1)“活结”:一般是由轻绳跨过光滑滑轮、绕过光滑杆或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
(2)“死结”:两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2.对“可动杆”与“固定杆”模型的理解
(1)“可动杆”:轻杆用转轴或铰链光滑连接,当杆处于平衡状态时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆。如图甲所示,C为转轴,则轻杆在缓慢转动中,弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“固定杆”:若轻杆被固定不发生转动,则杆所受弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示,水平横梁的一端A插在墙壁内,另一端装有一个小滑轮B,一轻绳的一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。绳子对滑轮的作用力应为两段绳中拉力的合力F,由牛顿第三定律可知固定杆弹力的方向并不沿杆的方向。
典例研习
[例3] 如图甲所示,轻杆BC水平插入竖直墙内,轻绳AD跨过水平轻杆BC右端的轻滑轮挂住一个质量为10 kg的物体。如图乙所示,轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上,另一端G通过轻绳EG拉住,且G端用轻绳GF挂住一个质量也为10 kg的物体,轻杆HG水平。AC、EG与水平方向的夹角均为30°,重力加速度g取10 m/s2。不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
[A] 绳AC与绳EG的拉力大小之比为1∶2
[B] 滑轮对绳子的弹力大小为100 N
[C] 杆BC与杆HG产生的弹力方向均沿杆向外
[D] 将H端的铰链去掉,杆HG插入墙内,绳EG的拉力大小一定不变
【答案】 A
【解析】 题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态,根据平衡条件可判断,与物体相连的细绳拉力大小等于物体的重力,分别取C点和G点为研究对象,进行受力分析如图1、2所示,
图1中,因滑轮摩擦不计,FAC=FCD=M1g=100 N,且二者夹角为120°,根据平衡条件可得,横梁BC对C端的弹力与FAC和FCD的合力等大反向,故可得横梁BC对C端的弹力大小为FNC=F合=FAC=100 N,方向和水平方向成30°斜向右上方;图2中,沿水平和竖直方向建立平面直角坐标系并分解FEG,根据平衡方程有FEGsin 30°=M2g,FEGcos 30°=FNG,所以可得轻杆HG对 G端的弹力大小为FNG=100 N,方向水平向右;根据分析可得=,滑轮对绳子的弹力大小为100 N,杆BC产生的弹力不沿杆向外,故A正确,B、C错误;将H端的铰链去掉,杆HG插入墙内,杆的弹力方向不一定沿着杆,则绳EG的拉力大小可能发生改变,故 D错误。
拉密定理
核心归纳
如图甲所示,在同一平面内,当三个共点力的合力为零时,根据共点力的平衡条件,其中两个力的合力与第三个力必定大小相等、方向相反,结合平行四边形定则,可知三个力的矢量组成封闭的三角形,将F2、F3平移,如图乙所示,由正弦定理得==,即每个力与其他两个力夹角正弦值的比值均相等,该结论称为拉密定理。
典例研习
[例题] 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图,悬吊吊灯的细绳,其O点被一水平绳BO牵引,使悬绳AO段和竖直方向成θ=30°角。若吊灯所受的重力为G,求:
(1)悬绳AO的拉力大小;
(2)水平绳BO的拉力大小。
【答案】 (1)G　(2)G
【解析】 对结点O进行受力分析如图所示,F3=G,
由拉密定理得==,
由上式得FOA=G,FOB=G,
即AO拉力为G,BO拉力为G。
1.(多选)(教材改编)如图所示,一物体在五个共点力的作用下保持平衡(五个力在同一平面)。如果撤去力F3,而保持其余四个力不变,下列关于这四个力的合力的大小和方向正确的是(　　)
[A] 合力的大小可能等于0
[B] 合力的大小等于撤去的F3
[C] 合力的方向在F1和F5之间
[D] 合力的方向在F4和F5之间
【答案】 BC
【解析】 根据共点力的平衡条件可知其余四个力的合力一定与F3等大反向,故撤去力F3,而保持其余四个力不变,这四个力的合力与F3大小相等,方向相反,即指向F1和F5之间,故B、C正确,A、D错误。
2.如图所示,一个细绳系着一个乒乓球靠近水流时,会被水流“吸”住。乒乓球的重力为G,此时细线的拉力大小为F1,水流对乒乓球的作用力大小为F2,则(　　)
[A] F1与F2的合力大于G
[B] F1与F2的合力小于G
[C] F2的竖直分力等于G
[D] F2的水平分力等于F1的水平分力
【答案】 D
【解析】 乒乓球处于静止状态,则根据共点力平衡条件可知F1与F2的合力等于G,故A、B错误;乒乓球所受重力竖直向下,根据共点力平衡条件可知F2的水平分力等于F1的水平分力,F2的竖直分力和F1的竖直分力的矢量和等于重力,故C错误,D正确。
3.倾角为37°的两个完全相同的直角三角形滑块a、b按如图所示放置,a与桌面间的动摩擦因数为 0.75。现在b上作用一水平推力使a、b一起在水平桌面上匀速运动,且a、b保持相对静止,则a的受力情况为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】
设滑块质量为m,整体在水平方向上受推力和滑动摩擦力,有F=Ff=2μmg,代入数据可得F=1.5 mg。对b受力分析,假设b不受斜面a的摩擦力,则b受到重力、推力F′和支持力,如图所示,根据受力平衡,可得F′=mgtan θ,代入数据得F′=0.75 mg,因为F=1.5 mg>F′,所以b受到a沿斜面向下的摩擦力,则b对a有沿斜面向上的摩擦力,除此外斜面a还受重力、地面的支持力和摩擦力、b对a的压力,故C正确,A、B、D错误。
4.某同学为了研究三角形承重结构各部分受力大小的规律,设计如图所示的装置:一长度AB=10 cm的轻质细杆,A端通过光滑铰链连接于竖直墙上,B端系上轻质细绳,细绳水平,另一端系于竖直墙上C点,B点悬挂一质量为 3 kg的重物,该系统保持静止状态。已知此时细绳长度为BC=8 cm,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求此时轻杆AB和轻绳BC受到的弹力大小。
(2)若保持细杆AB位置不动,只改变轻绳BC的长度及C点位置,要使系统静止且绳子承受的拉力最小,求此时轻绳BC的长度及所受拉力大小。
【答案】 (1)50 N　40 N　(2) cm　24 N
【解析】 (1)B点受力如图甲所示,设∠BAC为θ,
水平方向FABsin θ=FBC,
竖直方向FABcos θ=mg,
解得FAB=50 N,FBC=40 N。
(2)当BC绳与AB杆垂直时受到的拉力最小,如图乙所示,此时细绳BC长度为L=ABtan θ,
解得L= cm,
细绳拉力大小FBC′=mgsin θ,
解得FBC′=24 N。
课时作业
(分值:60分)
考点一　共点力平衡条件
1.(4分)(2025·浙江宁波期中)无风天气直升机用轻绳吊起大质量的货物水平向右匀速飞行,在不考虑空气阻力的理想状态下,下列图示形态最接近该状态的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 无风天气直升机用轻绳吊起大质量的货物水平向右匀速飞行,则货物处于平衡状态,受到的重力和拉力应该等大反向。
2.(4分)(2023·广东卷)如图所示,可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面,与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时,机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用,磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
[A] Ff=G [B] F=FN
[C] Ff=Gcos θ [D] F=Gsin θ
【答案】 C
【解析】 如图所示,将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解,根据平衡条件可知,沿斜面方向有 Ff=Gcos θ,垂直于斜面方向有F=Gsin θ+FN,故C正确。
考点二　静态平衡问题
3.(4分)如图所示,倾角θ=30°的斜面体静止在水平面上,一质量为m、可看成质点的光滑小球在橡皮筋拉力的作用下静止在斜面上。已知橡皮筋与斜面间的夹角也为θ,重力加速度大小为g,则斜面体对小球的支持力大小为(　　)
[A] mg [B] mg
[C] mg [D] mg
【答案】 B
【解析】 对小球受力分析,如图所示,由受力平衡可得 F′=mg,由几何知识可得FN与F′夹角为30°,FT与F′夹角也为30°,故平行四边形为菱形,连接对角线便可找出直角三角形,则FNcos 30°=F′=mg,得FN=mg,故A、C、D错误,B正确。
4.(4分)一质量为m=0.4 kg的长方形标志牌用两根轻直细绳AB、CD悬挂于水平天花板下,由于某些因素,标志牌未挂正,如图所示。已知两细绳与天花板均成θ=53°,重力加速度g取
10 m/s2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,则细绳AB对天花板的拉力大小为(　　)
[A] 1.2 N [B] 1.6 N
[C] 2.5 N [D] N
【答案】 C
【解析】 如图,对标志牌进行受力分析,标志牌受到重力,细绳AB和细绳CD的拉力,根据正交分解可得FTABcos θ=FTCDcos θ,FTABsin θ+FTCDsin θ=mg,解得FTAB=FTCD=2.5 N,绳两端拉力相等,故细绳AB对天花板的拉力大小为2.5 N,故选C。
5.(4分)如图甲所示,用瓦片做屋顶是我国建筑特色之一。屋顶部分结构如图乙所示,横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的木板正中间。已知木板间距离为d,与水平面夹角均为θ,瓦片质量为m,圆弧半径为d,忽略瓦片厚度,重力加速度为g,则(　　)
[A] 每根木板对瓦片的支持力大小为mg
[B] 每根木板对瓦片的支持力大小为mgcos θ
[C] 每根木板对瓦片的摩擦力大小为mgcos θ
[D] 若θ越小,则每根木板对瓦片的摩擦力越大
【答案】 B
【解析】
根据题意,作垂直平分一片瓦片且垂直于木板的截面,截面及受力分析图如图所示,A、B分别为截面上瓦片与两根木板的接触点,两根木板对瓦片的支持力的合力与瓦片垂直于木板向下的重力分力mgcos θ等大反向。由题意知△OAB为等边三角形,α=30°。瓦片静止,所受合力为零,根据平衡关系、结合几何关系可得 2FNcos α=mgcos θ,解得每根木板对瓦片的支持力大小为FN=mgcos θ,故A错误,B正确;设每根木板对瓦片的摩擦力大小为Ff,沿木板方向根据平衡条件可得2Ff=mgsin θ,解得每根木板对瓦片的摩擦力大小为Ff=mgsin θ,故C错误;若θ越小,根据Ff=mgsin θ可知,每根木板对瓦片的摩擦力越小,故D错误。
考点三　“活结”与“死结”“可动杆”与“固定杆”
6.(4分)在甲、乙、丙、丁四幅图中,AB、BC均为轻质杆,各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接,两杆都在B处由铰链连接,且系统均处于静止状态。现用等长的轻绳来代替轻杆,使系统依然保持平衡,下列说法正确的是(　　)
[A] 图中的AB杆可以用轻绳代替的是甲、乙、丁
[B] 图中的AB杆可以用轻绳代替的是甲、丙、丁
[C] 图中的BC杆可以用轻绳代替的是乙、丙、丁
[D] 图中的BC杆可以用轻绳代替的是甲、乙、丁
【答案】 B
【解析】 题图甲、丙、丁中,AB杆对B点产生的是拉力,当用轻绳代替时效果不变,仍能使装置平衡,故AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有题图甲、丙、丁;同理可知,BC杆可以用轻绳代替的只有题图丙。
7.(6分)(多选)(2025·河北石家庄期中)如图甲、乙、丙所示为三种形式的吊车工作示意图,OA为固定杆,绳、杆和固定面间的夹角θ=30°,绳和滑轮的质量忽略不计,AB缆绳通过滑轮吊着相同重物,均处于静止状态。甲图中∠AOB=120°。则下列关于定滑轮受到缆绳的作用力F甲、
F乙和F丙的说法正确的是(　　)
[A] F甲、F乙和F丙均沿杆
[B] F甲沿杆,F乙和F丙与杆夹角均为30°
[C] F甲∶F乙∶F丙=∶1∶1
[D] F甲∶F乙∶F丙=∶∶1
【答案】 BC
【解析】 由题意,设重物所受重力为G,可知甲、乙、丙三图中,每段绳的拉力大小等于重物的重力大小G,题图甲中定滑轮受到缆绳的作用力与两段绳合力大小相等,方向相同,根据平行四边形定则,可得F甲=2Gcos 30°=G,方向沿杆AO方向;同理,题图乙中定滑轮受到缆绳的作用力等于题图乙中两段绳的合力,根据平行四边形定则,可得F乙=2Gcos 60°=G,方向与AO杆成30°角指向右下方;题图丙中F丙=2Gcos 60°=G,方向与竖直方向成60°角指向右下方,即与杆AO夹角为30°;且F甲∶F乙∶F丙=∶1∶1,故选B、C。
8.(4分)如图所示,有两本书叠放在一起静止放置于倾角为θ的倾斜桌面上,上面书本质量为M,下面书本质量为m,下面书本有二分之一伸出桌面,桌面与书本之间的动摩擦因数为μ1,书本与书本之间的动摩擦因数为μ2,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 下面书本受到的支持力大小为mgcos θ+Mgcos θ
[B] 桌面对上面书本的作用力方向一定竖直向上
[C] 逐渐增大桌面倾斜的角度,上面书本一定比下面书本先滑动
[D] 上面书本受到的摩擦力大小为Mgsin θ
【答案】 D
【解析】 将两本书看作一个整体,如图进行受力分析并沿桌面和垂直于桌面建立平面直角坐标系分解,根据平衡条件可知下面书本受到的支持力大小为FN=(m+M)gcos θ,故A错误;桌面与上面书本没有相互作用,没有作用力,故B错误;逐渐增大桌面倾斜的角度,当书恰好要滑动时,根据平衡条件对上面的书有Mgsin θ=μ2Mgcos θ,对于下面的书有(m+M)gsin θ=
μ1(m+M)gcos θ,但由于不知道μ1、μ2间的大小关系,则无法判断哪本书先滑动,故 C错误;由于书本静止,对上面书本根据平衡条件有Ff=Mgsin θ,故D正确。
9.(6分)(多选)(2025·安徽期中)如图所示,直角三角形斜面体(∠A=30°)固定在地面上,斜面体的AC、BC面光滑,物块1、2 用轻绳相连后与悬挂在天花板O点的轻绳在O′点拴接,两物块静止时OO′竖直,与物块相连的轻绳分别平行于斜面。已知物块1的质量为m,当地重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 与物块1相连的绳子拉力大小为mg
[B] 与物块2 相连的绳子拉力大小为mg
[C] 物块2的质量为m
[D] 绳子OO′的拉力大小为mg
【答案】 BCD
【解析】 对物块1 受力分析可得,与物块1 相连的绳子拉力大小为F1=mgsin 30°=mg,选项A错误;取O′点为研究对象有F1cos 30°=m2gsin 60°cos 60°,可得m2=m,所以与物块2 相连的绳子拉力大小为F2=m2gsin 60°=mg,选项B、C正确;绳子OO′的拉力为FOO′=F1sin 30°+F2sin 60°=mg,选项D正确。
10.(4分)如图所示,穿过小动滑轮的轻绳两端分别固定在a、b两点,质量为m的小物块通过轻绳拴接在小动滑轮的轴上的O点。现给小物块施加一个水平向右的拉力F,系统静止时,滑轮到固定点a、b的两部分轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°,滑轮质量、大小忽略不计,重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
[A] 小物块与滑轮间的轻绳与竖直方向夹角为37°
[B] 作用在小物块上的水平拉力大小为 mg
[C] 跨过滑轮的轻绳中的张力大小为(-1)mg
[D] 跨过滑轮的轻绳中的张力大小为(+1)mg
【答案】 C
【解析】 设跨过滑轮的轻绳中的张力大小为FT,如图甲,把滑轮与物块看作整体进行受力分析并沿水平和竖直方向建立平面直角坐标系进行正交分解,竖直方向有 FTcos 30°+FTcos 60°=mg,解得FT=(-1)mg,故C正确,D错误;水平方向有 FTsin 30°+FTsin 60°=F,解得F=mg,故B错误;如图乙,对O点处进行受力分析,根据平衡条件可知FT′方向与Ob、Oa拉力合力的方向相反,根据几何知识得θ=15°,由于Ob拉力与竖直方向夹角为30°,所以FT′与竖直方向夹角为45°,故A错误。
11.(16分)消防队员在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练。如图所示,设消防队员做匀速直线运动,运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ=60°,所构成的平面与水平面间的夹角恒为α=53°,轮胎质量为9 kg,地面和轮胎之间的动摩擦因数为0.3,g取10 m/s2。
(1)求地面对轮胎的支持力FN的大小;
(2)求每根绳的拉力FT的大小;
(3)若两绳间的夹角θ变大,其他条件不变,求每根绳子上的拉力FT的大小变化。
【答案】 (1) N　(2) N　(3)变大
【解析】 (1)设这两根绳拉力的合力为F合,方向沿绳子所组成角的角平分线,与水平面的夹角为α,受力分析如图甲所示,沿水平方向和竖直方向建立平面直角坐标系正交分解,对轮胎,由平衡条件得mg=FN+F合sin α,F合cos α=Ff=μFN,
代入数据解得F合= N,FN= N。
(2)如图乙将两绳拉力合成,两根绳拉力的合力为F合=2FTcos ,解得FT= N。
(3)由以上分析可得FT=,
若两绳间的夹角θ变大,其他条件不变,可知FT变大。

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