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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
1．能解可化为一元一次方程的分式方程．
2．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理．
1．分式方程的概念
（1）分式方程：分母中含有________的方程叫作分式方程．
（2）分式方程满足的条件：
①是________；
②方程中含________；
③分母中含有________．
2．解分式方程的基本解法
（1）去分母，把分式方程转化为________方程．
（2）解这个整式方程，求得这个整式方程的________．
（3）检验，将整式方程的解代入________，如果最简公分母的值不为________，则整式方程的解________原分式方程的解；否则，这个解________原分式方程的解．
即：
3．分式方程无解的两种情况
（1）增根：使分式方程分母为________的未知数的值即为分式方程的增根．分式方程的增根有两个特征：
①增根使最简公分母为________；
②增根是分式方程化成的整式方程的________．
（2）分式方程化为整式方程后，整式方程________．
4．列分式方程解应用题
（1）审：弄清题意，找出数量关系和________关系；
（2）设：设出________；
（3）列：根据________关系列出方程；
（4）解：________方程；
（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的________；②检验求得的解是否符合________；
（6）答：根据题意写出________．
■考点一 分式方程的概念
◇典例1：（2025·上海闵行区·适应性）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·广西贺州八步区·三模）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·广西·一模）下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
■考点二 解分式方程
◇典例2：（2026·广东广州·模拟）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·北京·一模）方程的解为 ．
2．（2026·广东·模拟）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
■考点三 含参数的分式方程
◇典例3：（2025·黑龙江龙西·模拟）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
◆变式训练
1．（2025·江苏省仪征市·金升外国语实验学校·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ．
2．（2025·山东省淄博市周村区·一模）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
■考点四 分式方程无解问题
◇典例4：（2025·黑龙江省佳木斯市第二十中学·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．－1或
◆变式训练
1．（2025·广东揭阳·揭阳实验学校·三模）若关于的分式方程无解，则的值是
2．（2025·广东深圳·布心中学一模）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
■考点五 分式方程应用题
◇典例5：（2025·四川绵阳·中考）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
◆变式训练
1．（2025·青岛·模拟）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ．
2．（2025·山西临汾永和·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数．
A 基础达标练
1．（2025·四川乐山夹江·适应性考）将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2025·内蒙古·模拟）方程的解为（ ）
A．或 B． C． D．无解
3．（2026·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．2或
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．且
5．（2025·上海·模拟）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　）
A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天
C．列方程 D．列方程
6．（2025·南京·中考）已知是方程的解，则的值是 ．
7．（2025·四川省雅安市石棉县·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ．
8．（2025·上海·模拟）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ．
9．（2025·江苏·一模）解方程：
10．（2025·北京三帆中学·零模）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？
B 强化提升练
11．（2025·黑龙江佳木斯富锦·四校一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
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2026年中考一轮复习
2.2 分式方程
方程与不等式
第2章
“—”
1．能解可化为一元一次方程的分式方程．
2．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理．
1．分式方程的概念
（1）分式方程：分母中含有________的方程叫作分式方程．
（2）分式方程满足的条件：
①是________；
②方程中含________；
③分母中含有________．
未知数
方程
分母
未知数
2．解分式方程的基本解法
（1）去分母，把分式方程转化为________方程．
（2）解这个整式方程，求得这个整式方程的________．
（3）检验，将整式方程的解代入___________，如果最简公分母的值不为________，则整式方程的解________原分式方程的解；否则，这个解________原分式方程的解．
整式
解
最简公分母
0
是
不是
即：
3．分式方程无解的两种情况
（1）增根：使分式方程分母为________的未知数的值即为分式方程的增根．分式方程的增根有两个特征：
①增根使最简公分母为________；
②增根是分式方程化成的整式方程的________．
（2）分式方程化为整式方程后，整式方程________．
0
0
解
无解
4．列分式方程解应用题
（1）审：弄清题意，找出数量关系和________关系；
（2）设：设出________；
（3）列：根据________关系列出方程；
（4）解：________方程；
（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的________；②检验求得的解是否符合________；
（6）答：根据题意写出________．
相等
未知数
相等
解
解
题意
答案
■考点一 分式方程的概念
◇典例1：（2025·上海闵行区·适应性）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
C
1．（2025·广西贺州八步区·三模）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
D
2．（2025·广西·一模）下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
C
■考点二 解分式方程
◇典例2：（2026·广东广州·模拟）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
B
◆变式训练
1．（2025·北京·一模）方程的解为 ．
2．（2026·广东·模拟）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是_______________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是_______________________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
等式的基本性质2
二
完全平方式展开错误
解：任务二：，
，
，
，
，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
■考点三 含参数的分式方程
◇典例3：（2025·黑龙江龙西·模拟）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
B
◆变式训练
1．（2025·江苏省仪征市·金升外国语实验学校·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ．
且
2．（2025·山东省淄博市周村区·一模）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
解：（1）当时，，
，
去分母得：，解得：，
（2），
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且，即：且
检验：当时，
故方程的解为：；
■考点四 分式方程无解问题
◇典例4：（2025·黑龙江省佳木斯市第二十中学·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．－1或
C
◆变式训练
1．（2025·广东揭阳·揭阳实验学校·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 .
2
2．（2025·广东深圳·布心中学一模）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
解：
方程两边同乘，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，∴第三步出现错误．
■考点五 分式方程应用题
◇典例5：（2025·四川绵阳·中考）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
D
◆变式训练
1．（2025·青岛·模拟）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ．
2．（2025·山西临汾永和·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数．
解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩．
A 基础达标练
1．（2025·四川乐山夹江·适应性考）将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
C
2．（2025·内蒙古·模拟）方程的解为（ ）
A．或 B．
C． D．无解
C
3．（2026·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．2或
B
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A． B．
C．或 D．且
C
5．（2025·上海·模拟）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成．现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　）
A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天
C．列方程 D．列方程
C
6．（2025·南京·中考）已知是方程的解，则的值是 ．
7．（2025·四川省雅安市石棉县·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ．
6或
8．（2025·上海·模拟）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ．
9．（2025·江苏·一模）解方程：
解：方程两边乘，得
，
整理得
，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
10．（2025·北京三帆中学·零模）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？
解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，
，
解得，（舍），
经检验，是原方程的解，
答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里．
B 强化提升练
11．（2025·黑龙江佳木斯富锦·四校一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
（元，
答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
（2）解：根据题意得：
，
商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，
，
解得：，
，
而为整数，
可取347或348或349或350；
有4种购买方案；
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
（3）解：由（2）知，，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为，
设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，
根据题意得：，
，
、都为非负整数，
，，
答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
44
Thanks!
2
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
1．能解可化为一元一次方程的分式方程．
2．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理．
1．分式方程的概念
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
（2）分式方程满足的条件：
①是方程；
②方程中含分母；
③分母中含有未知数．
2．解分式方程的基本解法
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得这个整式方程的解．
（3）检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
即：
3．分式方程无解的两种情况
（1）增根：使分式方程分母为0的未知数的值即为分式方程的增根．分式方程的增根有两个特征：
①增根使最简公分母为0；
②增根是分式方程化成的整式方程的解．
（2）分式方程化为整式方程后，整式方程无解．
4．列分式方程解应用题
（1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系；
（2）设：设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程；
（4）解：解方程；
（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解；②检验求得的解是否符合题意；
（6）答：根据题意写出答案．
■考点一 分式方程的概念
◇典例1：（2025·上海闵行区·适应性）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意；
B、是整式方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项符合题意；
D、不是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C
◆变式训练
1．（2025·广西贺州八步区·三模）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程，
D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：D．
2．（2025·广西·一模）下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项符合题意．
故选：C．
■考点二 解分式方程
◇典例2：（2026·广东广州·模拟）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解法是正确解答此题的关键，注意要检验．
将分母因式分解后通分，转化为整式方程求解，并检验分母不为零．
【详解】解：
原方程化为，
两边同乘，得．
∴，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·北京·一模）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
2．（2026·广东·模拟）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析
【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
任务一：①利用等式的基本性质判断即可；
②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；
任务二：写出分式方程的正确的解即可．
【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误；
故答案为：二，完全平方式展开错误；
任务二：，
，
，
，
，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
■考点三 含参数的分式方程
◇典例3：（2025·黑龙江龙西·模拟）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答．
【详解】解：∵方程，
∴分母，即．
方程两边乘得：，
移项得：．
当时，．
解为负数，即，
∴．
∵分子，
∴分母，即．
当时，方程无解，不符合题意．
又∵，即，
∴，
综上，当时解为负数．
故选B．
◆变式训练
1．（2025·江苏省仪征市·金升外国语实验学校·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．
先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
解得：，
分式方程的增根为：
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，且．
故答案为：且．
2．（2025·山东省淄博市周村区·一模）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）当时，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2），
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且，
即：且
【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键．
■考点四 分式方程无解问题
◇典例4：（2025·黑龙江省佳木斯市第二十中学·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．－1或
【答案】C
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
去分母：，
展开：，
移项：，
整理得：．
方程无解时：
当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解；
当解出的根为增根，代入整式方程：，解得．
∴或．
故选C．
◆变式训练
1．（2025·广东揭阳·揭阳实验学校·三模）若关于的分式方程无解，则的值是
【答案】2
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可．
【详解】解：
去分母，得：，
整理，得：；
∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得，
把，代入，得：，
解得：；
故答案为：2．
2．（2025·广东深圳·布心中学一模）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
∴第三步出现错误．
■考点五 分式方程应用题
◇典例5：（2025·四川绵阳·中考）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解．
设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率．
【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨．
，
解得，
∴智能机器人每小时装载货物吨．
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·青岛·模拟）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可．
【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ．
故答案为：．
2．（2025·山西临汾永和·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数．
【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩
【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可．
【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩．
A 基础达标练
1．（2025·四川乐山夹江·适应性考）将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可．
【详解】解：，
两边同乘以得：
．
故选：C．
2．（2025·内蒙古·模拟）方程的解为（ ）
A．或 B． C． D．无解
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解．
【详解】解：，
整理得，
去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
，
解得或，
检验：当时，，
当时，，
原方程的解为．
故选：C ．
3．（2026·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．2或
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值．
先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项．
【详解】解：分式方程的分母为和，
令分母为零，得增根．
方程两边同乘去分母，得：．
将增根代入整式方程：，
即，解得．
故选：B．
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】C
【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
整理，得：；
∵原方程无解，
∴①整式方程无解，则：，解得：；
②分式方程有增根，则：，解得：；
把代入，得：，解得：；
综上：或
故选C．
5．（2025·上海·模拟）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　）
A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天
C．列方程 D．列方程
【答案】C
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可.
【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，
∴甲的工作效率为，
故A选项不符合题意；
∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，
∴乙总共做了天
故B选项不符合题意；
设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成
由题意得方程：，
故C选项符合题意；D选项不符合题意；
故选：C.
6．（2025·南京·中考）已知是方程的解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
是该方程的解，
，
解得：，
当时，原分式方程有意义，
故答案为：．
7．（2025·四川省雅安市石棉县·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ．
【答案】6或
【分析】本题考查了解分式方程．
将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
即，
∵增根是使公分母为零的x值，
∴，
解得：，
当时，；
当时，；
则的值为6或．
故答案为：6或．
8．（2025·上海·模拟）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增加，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为，
由题意，得：，
解得或（舍去）；
∴；
∴；
故答案为：
9．（2025·江苏·一模）解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握相关运算法则和计算方法是解题的关键．
先把方程两边同时乘以，把分式方程转化成整式方程，去括号、整理即可求出的值，最后检验即可．
【详解】解：方程两边乘，得
，
整理得
，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
10．（2025·北京三帆中学·零模）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？
【答案】1000公里
【分析】本题考查了分式方程在行程问题中的应用，涉及路程，速度和时间这三个行程问题的基本量，解决本题的关键是由“节省10天”这一条件建立分式方程．
先设出巴拿马运河航线每天能走的公里数为未知数，根据“时间=路程速度”这一关系分别表示出巴拿马运河航线和北极航道所需的时间，然后由时间差列方程求解即可．
【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，
，
解得，（舍），
经检验，是原方程的解，
答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里．
B 强化提升练
11．（2025·黑龙江佳木斯富锦·四校一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
(2)，有4种购买方案；
(3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元；
（2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案；
（3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个．
【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
（元，
答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
（2）解：根据题意得：，
商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，
，
解得：，
，
而为整数，
可取347或348或349或350；
有4种购买方案；
（3）解：由（2）知，，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为，
设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，
根据题意得：，
，
、都为非负整数，
，，
答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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