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第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
（第2课时）
理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简．
1．一般地，我们把形如__________的式子叫作二次根式．
2．判断一个式子是二次根式的条件
（1）含有_________；
（2）被开方数（或式子）是________.
(a≥0)
二次根号
非负数
3．算术平方根的定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝____，那么这个正数 x 叫作a 的算术平方根．0 的算术平方根是 ________．
a
0
上节课我们了解二次根式的概念、二次根式有意义的条件，下面研究二次根式的性质．
思考：我们知道，当a＞0时，表示a的算术平方根，因此____0；当a＝0时，表示0的算术平方根，_____0 ．
这就是说：
_____0（a≥0）．
双重非负性
＞
＝
≥
例1：已知，求－2xy的平方根．
解：因为0，
且，
所以＝0且＝0，
解得x＝，y＝4．
所以．
所以－2xy的平方根是±4．
（1）几个常见的非负数：，|a|，a2；
（2）若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．
探究1：根据算术平方根的意义填空．
____；____；_____；_____.
分析：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数．因此，有3.
同理， ， ， 分别是0.5， ，0的算术平方根。因此，有0.5 ， ， 0.
二次根式的性质
一般地，＝a(a≥0)．
例2：计算．
（1）； （2）．
解：（1）＝1.5；
（2）＝22×＝4×5＝20．
表示，用到了(ab)2=a2b2这个性质．
探究2：填空．
＝____；＝_____；＝_____；＝____．
分析：根据算术平方根的意义，可以得到
二次根式的性质
一般地，＝a(a≥0)．
思考：当a为任意实数时， 都有意义，如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
填空：
　　＝________；＝_________．
分析：
　　＝ ＝ 3；＝ ＝ ．
由此可以看出：＝－a (a＜0)．
3
二次根式的性质
一般地，
化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π．
例3：化简．
　　（1）； （2）．
解：（1）＝＝4；
　　（2）＝＝5．
【知识技能类练习】必做题：
1．当时，二次根式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【知识技能类练习】必做题：
2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A． B． C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1) (2)
解：（1）原式．
（2）原式．
【知识技能类练习】选做题：
4．已知，化简： ．
5．当时，求．

(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：__________；
(3)当时，求的值．
【综合拓展类练习】
小亮
解：（3）∵，∴，
∴原式．
二次根式的性质
≥ 0（a≥0）
＝a(a≥0)
【知识技能类作业】必做题：
1．二次根式的值是（ ）
A． B．2 C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）

A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．化简：
(1)； (2)； (3)．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．计算：．
【综合拓展类作业】
5．已知，，是的三边长，若，求的值．
解：∵，，是的三边长，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
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分课时教学设计
第二课时《19.1 二次根式及其性质（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级下册第19章第1节二次根式及其性质的第2课时，承接上节课二次根式的概念与有意义的条件，核心探究二次根式的双重非负性、＝a(a≥0)、＝a(a≥0)等关键性质，是二次根式运算与化简的理论基础．其内容既是对算术平方根知识的延伸，也是后续学习二次根式加减乘除运算、解无理方程的重要铺垫，在实数运算体系中起到承上启下的作用．同时，二次根式性质的探究过程能培养学生的逻辑推理与抽象概括能力，为高中数学中更复杂的根式运算和函数定义域求解奠定基础．
学习者分析 学生已掌握算术平方根的定义、有理数与实数的基本运算，在上节课中理解了二次根式的概念和有意义的条件，具备初步的观察、猜想与简单推理能力．但学生对“非负性”的双重约束理解易混淆，对与的区别可能存在模糊认知，抽象思维仍需具象实例支撑．此外，学生在运用性质进行化简时，容易忽略被开方数的取值范围，计算过程中对公式的灵活运用能力有待提升，需要通过分层练习强化理解．
教学目标 理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简．
教学重点 二次根式的性质及其运用．
教学难点 二次根式的性质的灵活应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1．一般地，我们把形如__________的式子叫作二次根式． 答案：(a≥0) 2．判断一个式子是二次根式的条件 （1）含有_________； （2）被开方数（或式子）是________. 答案：二次根号，非负数 3．算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝____，那么这个正数x叫作a的算术平方根．0的算术平方根是________． 答案：a，0 引言：上节课我们了解二次根式的概念、二次根式有意义的条件，下面研究二次根式的性质．学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过问题巩固二次根式的概念、判定条件及算术平方根定义，帮助学生夯实基础，为后续学习二次根式性质做好铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 思考：我们知道，当a＞0时，表示a的算术平方根，因此____0；当a＝0时，表示0的算术平方根，_____0． 这就是说： _____0（a≥0）． 预设：＞，=，≥ 指出：≥0（a≥0）具有双重非负性 例1：已知，求－2xy的平方根． 解：因为0， 且， 所以＝0且＝0， 解得x＝，y＝4． 所以． 所以－2xy的平方根是±4． 归纳：（1）几个常见的非负数：，|a|，a2； （2）若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0． 探究1：根据算术平方根的意义填空． ____；____；_____；_____. 分析：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于3的非负数．因此，有3. 同理，，，分别是0.5，，0的算术平方根．因此，有0.5，，0. 答案：3，，，0 归纳：二次根式的性质 一般地，＝a(a≥0)． 例2：计算． （1）； （2）． 指出：表示，用到了(ab)2=a2b2这个性质． 解：（1）＝1.5； （2）＝22×＝4×5＝20． 探究2：填空． ＝____；＝_____；＝_____；＝____． 分析：根据算术平方根的意义，可以得到 答案：2，，，0 归纳：二次根式的性质 一般地，＝a(a≥0)． 思考：当a为任意实数时，都有意义，如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 填空： ＝________；＝_________． 分析： ＝＝3；＝＝． 答案：3， 归纳：由此可以看出：＝－a(a＜0)． 即：二次根式的性质 一般地， 指出：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π． 例3：化简． （1）； （2）． 解：（1）＝＝4； （2）＝＝5．学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究并推导二次根式性质，完成例题班内交流后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过思考与探究，帮助学生理解二次根式双重非负性及相关性质，并通过例题提高学生运用知识的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：19.1 二次根式及其性质（第2课时）一、二次根式具有双重非负性，即 ≥ 0（a≥0） 二、二次根式的性质 ＝a(a≥0) 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．当时，二次根式的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解：当时， ． 故选：B． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：A 解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 3．计算： (1) (2) 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 选做题： 4．已知，化简： ． 答案： 解：， ， ，， ∴原式． 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 解：（1）∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）∵， ∴， ∴原式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．二次根式的值是（ ） A． B．2 C． D． 答案：B 【解析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 解： 故选：B． 2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 答案：A 【解析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 3．化简： (1)； (2)； (3)． 答案：(1)； (2)； (3)． 【解析】本题主要考查了二次根式性质，有理数乘法，有理数乘方，积的乘方，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据二次根式的性质进行化简，然后计算乘法即可； （）先进行积的乘方的运算，然后根据二次根式的性质进行化简，最后计算乘法即可； （）根据二次根式的性质进行化简，然后计算乘方即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 选做题： 4．计算： ． 答案：/ 【解析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再根据内部表达式的符号进行化简即可． 解：根据二次根式的性质可得：， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．已知，，是的三边长，若，求的值． 答案： 【解析】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，由三角形的三边关系得，，即得，，再根据二次根式的性质对等式的左边化简后即可求解，由三角形的三边关系判断出式子和的符号是解题的关键． 解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得．
教学反思 本节课围绕二次根式的性质展开探究，通过实例填空、例题解析、分层练习的环节，帮助学生构建知识体系．但教学中对对与的区别讲解不够透彻，部分学生仍存在混淆．同时，对学生易错点的预设不足，课堂练习的反馈针对性有待加强．后续教学应增加对比辨析环节，结合具体错题强化理解，设计更多生活化实例激发兴趣，注重引导学生自主总结性质的适用条件，提升知识运用的准确性与灵活性．
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同步探究学案
课题 19.1 二次根式及其性质（第2课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简．
重点 二次根式的性质及其运用．
难点 二次根式的性质的灵活应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．一般地，我们把形如__________的式子叫作二次根式． 2．判断一个式子是二次根式的条件 （1）含有_________； （2）被开方数（或式子）是________. 3．算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝____，那么这个正数x叫作a的算术平方根．0的算术平方根是________．
新知探究 本节课来研究： 上节课我们了解二次根式的概念、二次根式有意义的条件，下面研究二次根式的性质。 思考：我们知道，当a＞0时，表示a的算术平方根，因此____0；当a＝0时，表示0的算术平方根，_____0． 这就是说： _____0（a≥0）． 注意：≥0（a≥0）具有双重非负性 例1：已知，求－2xy的平方根． 归纳：（1）几个常见的非负数：，|a|，a2； （2）若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0． 探究1：根据算术平方根的意义填空． ____；____；_____；_____. 归纳：二次根式的性质 一般地，＝a(a≥0)． 例2：计算． （1）； （2）． 提示：表示，用到了(ab)2=a2b2这个性质． 探究2：填空． ＝____；＝_____；＝_____；＝____． 归纳：二次根式的性质 一般地，＝a(a≥0)． 思考：当a为任意实数时，都有意义，如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 填空： ＝________；＝_________． 归纳：由此可以看出：＝－a(a＜0)． 即：二次根式的性质 一般地， 注意：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝________． 例3：化简． （1）； （2）．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．当时，二次根式的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2) 选做题： 4．已知，化简： ． 【综合拓展类练习】 5．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．二次根式的值是（ ） A． B．2 C． D． 2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 3．化简： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．计算： ． 【综合拓展类作业】 5．已知，，是的三边长，若，求的值．
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