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第2课时　简单旋转体及组合体
【课程标准要求】　1.通过简单旋转体结构特征的学习,培养直观想象的核心素养.2.通过简单旋转体轴截面的计算,培养数学运算的核心素养.
知识点一　圆柱的结构特征
名称 圆柱
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图形 及表示 　 图中圆柱记作圆柱O′O
相关 概念 圆柱的轴:旋转轴; 圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面; 圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面; 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边
对圆柱的结构特征的理解
(1)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个与底面全等的圆面.
(2)经过圆柱的轴的截面是一个矩形,其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径,经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面.
(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴.
知识点二　圆锥的结构特征
名称 圆锥
定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图形 及表示 　　　 图中圆锥记作圆锥SO
相关 概念 圆锥的轴:旋转轴; 圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面; 圆锥的侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面; 圆锥侧面的母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
对圆锥的结构特征的理解
(1)经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形,其底边是圆锥底面的直径,两腰是圆锥侧面的两条母线.
(2)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线.
知识点三　圆台的结构特征
名称 圆台
定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台
图形 及表示 　　　 图中圆台记作圆台O′O
相关 概念 圆台的轴:旋转轴; 圆台的底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面; 圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
知识拓展
圆台的其他结构特征
(1)圆台可以看作由圆锥截得,也可以看作是由直角梯形绕其一条直角边旋转而成.
(2)圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方.
知识点四　球的结构特征
名称 球
定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球
图形 及表示 图中的球记作球O
相关 概念 球心:半圆的圆心; 半径:连接球心和球面上任意一点的线段; 直径:连接球面上两点并经过球心的线段
知识拓展
球的其他结构特征
(1)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.如果截面经过球心,则截面圆的半径等于球的半径;如果截面不经过球心,则截面圆的半径小于球的半径.
(2)若半径为R的球的一个截面圆半径为r,球心与截面圆的圆心的距离为d,则有d=.
知识点五　简单组合体的结构特征
1.概念
由简单几何体组合而成的,这些几何体称作简单组合体.
2.基本形式
一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
知识拓展
常见的组合体的分类
常见的组合体有三种:①多面体与多面体的组合;②多面体与旋转体的组合;③旋转体与旋转体的组合.
基础自测
1.下列说法中正确的是(　　)
[A] 将正方形旋转不可能形成圆柱
[B] 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
[C] 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
[D] 通过圆台侧面上一点,有无数条母线
【答案】 C
【解析】 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中没有说明这两个平行截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况下结论不正确,所以B错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.故选C.
2.(人教A版必修第二册P105习题8.1 T4改编)下列几何体是台体的是(　　)
[A] 　 [B] 　 [C] 　 [D]
【答案】 D
【解析】 台体包括棱台和圆台两种,A中四条侧棱延长后没有交于一点,B中截面与圆锥底面不平行,C是棱锥,结合棱台和圆台的定义可知D正确.故选D.
3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体可能是(　　)
[A] 圆柱 [B] 圆台 [C] 球体 [D] 棱台
【答案】 D
【解析】 圆柱、圆台和球体无论怎样截,都不可能截出三角形,只有棱台可以截出三角形.故选D.
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形,以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为　　　　cm2.
【答案】 16π或9π　
【解析】 当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为4 cm,底面积为16π cm2;
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为3 cm,底面积为9π cm2.
题型一　旋转体的结构特征
[例1] 下列说法正确的是(　　)
[A] 以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
[B] 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
[C] 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
[D] 圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高
【答案】 D
【解析】 对于A,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体,A错误;
对于B,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成的旋转体不是圆台,B错误;
对于C,圆锥只有一个底面,C错误;
对于D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线,大于圆锥的高,D正确.故选D.
(1)判断简单旋转体结构特征的方法.
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用.
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[变式训练] 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　)
[A] ①③④ [B] ②③④
[C] ①②④ [D] ①②③
【答案】 A
【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时可得③;当截面过正方体的体对角线时可得④;
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时可得①.但无论如何都不能截得②.故选A.
题型二　简单组合体
[例2] (苏教版必修第二册P156例3)指出图①、图②中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的.
【解】 题图①中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的.
题图②中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的,也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的(如图).实际上,题图②也是一个柱体,它的底面为一个凹多边形.
(1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
[变式训练] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括(　　)
[A] 一个圆台、两个圆锥
[B] 两个圆柱、一个圆锥
[C] 两个圆台、一个圆柱
[D] 一个圆柱、两个圆锥
【答案】 D
【解析】 图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体,
如图②,包括一个圆柱、两个圆锥.
故选D.
题型三　旋转体中的计算
[例3] 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,圆台的上底面半径为1 cm,则圆台的高为　　　 cm.
【答案】 6
【解析】
因为用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,
所以圆台的上、下底面半径之比是1∶4.
因为截去的圆锥的母线长是3 cm,圆台的上底面半径为1 cm,
所以圆台的下底面半径为4 cm.作大圆锥的轴截面如图,设圆台的母线长为y,
由△SO′A′∽△SOA,得=,
解得AA′=y=9 cm.
所以圆台的高OO′==6(cm).
与圆锥(台)有关的计算问题的解题策略
(1)画出圆锥(台)的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关
系,建立高、母线长与底面圆的半径之间的等量关系.
(3)求解圆锥(台)的内接几何体问题,应画出其轴截面图形,借助平面几何的知识求解.
[变式训练] 将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环ABCD,OA=AD=6,∠COD=,如图①,用扇环ABCD制成一个圆台的侧面,如图②,则该圆台的高为　　　　.
【答案】 　
【解析】 依题意,圆台上底面圆周长为·OA=2π,则圆台上底面半径r1=1,
圆台下底面圆周长为·OD=4π,则圆台下底面半径r2=2.
因为圆台轴截面是等腰梯形,上、下底面边长分别为2,4,腰长为6,所以圆台的高,即等腰梯形的高为=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法正确的是(　　)
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成;②用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面;③以半圆的直径所在直线为轴旋转半周形成的旋转体叫做球;④圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交.
[A] ①② [B] ②③ [C] ①③ [D] ②④
【答案】 D
【解析】 圆台是直角梯形绕其垂直于两底边的腰所在直线或等腰梯形绕其两底边的中点连线旋转形成的,故①错误;
用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面,故②正确;
球是以半圆的直径所在直线为轴旋转一周形成的旋转体,故③错误;
圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交,故④正确.故选D.
2.如图所示的几何体是某数学竞赛的奖杯,该几何体由(　　)
[A] 一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
[B] 一个球、一个长方体、一个棱台构成
[C] 一个球、一个四棱台、一个圆台构成
[D] 一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】 B
【解析】 由题图可知,该几何体由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选B.
3.圆锥的截面形状不可能为(　　)
[A] 等腰三角形 [B] 平行四边形
[C] 圆 [D] 椭圆
【答案】 B
【解析】 对于A,用过轴的平面去截圆锥,得到的截面形状是等腰三角形,不符合题意;
对于B,圆锥的侧面是曲面,所以截面形状不可能为平行四边形,符合题意;
对于C,用垂直于轴的平面去截圆锥,得到的截面形状是圆,不符合题意;
对于D,用与轴斜交的平面去截圆锥,得到的截面形状可能是椭圆,不符合题意.
故选B.
4.如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形,若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体,下面说法错误的是(　　)
[A] 该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
[B] 该组合体仍然关于轴l对称
[C] 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
[D] 该组合体中的球和半球只有一个公共点
【答案】 A
【解析】 将该图形绕轴l旋转180°后形成一个组合体,该组合体是由圆台、圆柱、圆锥、球和半球组成的,由此A选项错误.故选A.
5.若某圆锥的底面半径r=1,且底面的周长等于母线长,则该圆锥的高为(　　)
[A] π [B]
[C] 2π [D]
【答案】 B
【解析】 设该圆锥的高为h,依题意有2πr=,则4π2r2=r2+h2,解得h=r=.故选B.
6.如图,已知圆柱体底面圆的半径为 cm,高为2 cm,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线.若一只小虫从点A出发,沿侧面爬行到C处,则小虫爬行的最短距离是(　　)
[A] 2 cm [B] 2 cm
[C] cm [D] 1 cm
【答案】 A
【解析】 如图,在圆柱侧面展开图中,线段AC1的长度即为所求.
在Rt△AB1C1中,AB1=π·=2(cm),
B1C1=2 cm,
所以AC1==2(cm).
故小虫爬行的最短距离是2 cm.
故选A.
7.(5分)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为　　　　.
【答案】 2
【解析】 设截面圆的半径为r,
因为平面截球所得的圆面面积为π,
所以πr2=π,
解得r=1.
因为截面与球心的距离d=1,
所以球半径R==,
直径为2.
8.(5分)如图,正方体AC1的上、下底面中心分别为O1,O2,将正方体绕直线O1O2旋转360°,下列四个图形中为线段BC1旋转所得的图形是　　　　(填序号).
【答案】 ④　
【解析】 设正方体的棱长等于a,
因为BC1的中点到旋转轴的距离等于a,而B,C1两点到旋转轴的距离等于a,
所以BC1的中点旋转一周,得到的圆较小,所以所得旋转体的中间圆较小,上、下底面圆较大.
由此可得①③项不符合题意,舍去.
又因为在所得旋转体的侧面上有无数条线段,且线段与旋转轴不共面,
所以②项不符合题意,只有④项符合题意.
9.(13分)如图,四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A在射线DE上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
【解】 当AD>BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼接而成的组合体,如图①;
当AD=BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱,如图②;
当AD10.(14分)把地球看成一个半径为6 371 km的球,已知某地靠近北纬40°,求北纬40°纬线的长度(π≈3.141 6,cos 40°≈0.766 0,结果精确到1 km).
【解】
作出轴截面,如图所示.设A是北纬40°圈上的一点,AK是北纬40°圈的半径,O为球心,所以OK⊥AK.设北纬40°的纬线长为c km,因为∠AOB=∠OAK=40°,
所以c=2π·AK
=2π·OA·cos∠OAK
=2π·OA·cos 40°
≈2×3.141 6×6 371×0.766 0
≈30 663.
即北纬40°的纬线长约为30 663 km.
11.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是(　　)
[A] ②⑤ [B] ①③
[C] ②④ [D] ①⑤
【答案】 D
【解析】 当截面ABCD为轴截面时(如图①),截面图形为①;
当截面ABCD不为轴截面时(如图②),截面图形为⑤,下侧为抛物线的形状.
故选D.
12.(多选题)已知圆锥底面半径为,母线长为2,则(　　)
[A] 圆锥的高为1
[B] 圆锥侧面积为2π
[C] 圆锥的侧面展开图中,扇形的圆心角为 π
[D] 过顶点的截面三角形的面积最大值为
【答案】 ABC
【解析】 由题意得,圆锥的高为=1,故A正确.
由题意可知,该圆锥的侧面展开图是半径为2,弧长为2π×=2π的扇形,所以圆锥侧面积为×2×2π=2π,故B正确.
设圆锥的侧面展开图中,扇形的圆心角为α.
因为扇形的面积为×α×22=2π,
所以α=π,故C正确.
如图,在Rt△AOB中,
sin∠OAB=,
所以∠OAB=,
所以轴截面三角形ABC中,∠CAB=.
设过顶点的截面三角形为△AEF,其中∠EAF=θ,θ∈(0,],过顶点的截面三角形的面积为×2×2×sin θ=2sin θ,当θ=时,过顶点的截面三角形的面积最大值为2,故D错误.故选ABC.
13.(17分)如图,圆台的上底面半径为2 cm,下底面半径为4 cm,母线长为6 cm.求轴截面相对顶点A,C在圆台侧面上的最短距离.
【解】 如图,
沿母线AD剪开将圆台侧面展开,问题转化为求展开图中线段AC的长.
设圆台的上底面、下底面半径分别为r1,r2,
因为侧面展开图圆心角∠AO′A′=·2π=·2π=,
且B,C分别为所在弧的中点,
所以在等腰△AO′B中,∠AO′B=,
所以△AO′B是等边三角形.
因为=O′C·=2π,
所以O′C=6,而BC=6,所以C为O′B的中点.
所以AC=6,即A,C两点在圆台侧面上的最短距离为6 cm.(共39张PPT)
第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
　第1课时　简单多面体
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的学习,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.通过运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述简单几何体及进行有关计算,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　多面体、旋转体的定义
类别 多面体 旋转体
定义 一般地,由若干个 围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫做 ,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
平面多边形
一条定直线
旋转面
图形
相关 概念 面:围成多面体的各个 ; 棱:两个面的 ; 顶点:棱与棱的公共点 轴:形成旋转体所绕的定直线
多边形
公共边
·疑难解惑·
构成空间几何体的基本元素
构成空间几何体的基本元素是点、直线、平面.
知识点二　棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
名称 棱柱
定义 一般地,有两个面互相 ,其余各面都是 ,并且相邻两个四边形的公共边都互相 ,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
平行
四边形
平行
图形及 表示
如图可记作:
棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
相关 概念 底面:两个互相 的面;
侧面:其余各面;
侧棱:相邻侧面的 ;
顶点:侧面与底面的
平行
公共边
公共顶点
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数:底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做 、 、 ……
(2)按侧棱是否与底面垂直:侧棱垂直于底面的棱柱叫做 ,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 .
底面是正多边形的直棱柱叫做 ,底面是平行四边形的四棱柱也叫做
.
三棱柱
四棱柱
五棱柱
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
平行六面体
·温馨提示·
棱柱判断的注意事项
判定一个几何体是否是棱柱时,除了看它是否满足:“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形”这两个条件外,还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件,不具备这一条件的几何体不是棱柱.
知识点三　棱锥的结构特征
1.棱锥的概念
名称 棱锥
定义 一般地,有一个面是 ,其余各面都是有一个公共顶点的 ,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
多边形
三角形
图形 及表示
如图可记作:棱锥S-ABCD
相关概念 底面: 面;
侧面:有公共顶点的各个 ;
侧棱:相邻侧面的 ;
顶点:各侧面的
多边形
三角形面
公共边
公共顶点
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做
.
正棱锥
·疑难解惑·
对棱锥结构特征的理解
棱锥有两个本质特征:
(1)有一个面是多边形;
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
二者缺一不可.
知识点四　棱台的结构特征
名称 棱台
定义 用一个 的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图形及 表示
如图可记作:棱台ABCD-A′B′C′D′
平行于棱锥底面
相关 概念 上底面:平行于棱锥底面的 ;
下底面:原棱锥的 ;
侧面:其余各面;
侧棱:相邻侧面的公共边;
顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
截面
底面
·疑难解惑·
对棱台结构特征的理解
(1)棱台必须是由棱锥用平行于其底面的平面截得的几何体.所以棱台可还原为棱锥,即延长棱台的所有侧棱,它们必相交于同一点.
(2)棱台的上、下底面是相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方.
基础自测
1.下面多面体中,是棱柱的有(　　)
[A] 1个 [B] 2个 [C] 3个 [D] 4个
D
【解析】 根据棱柱的定义进行判定知,这4个多面体都是棱柱.故选D.
2.下面多面体中,为棱锥的是(　　)
[A] ①③ [B] ①③④
[C] ①②④ [D] ①②③
C
【解析】 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.故选C.
3.有一个多面体,由五个面围成,只有一个面不是三角形,则这个几何体为
(　　)
[A] 四棱柱 [B] 四棱锥
[C] 三棱柱 [D] 三棱锥
B
【解析】 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.故选B.
4.(人教A版必修第二册P101练习T4改编)若一个几何体的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是　　　　　　;
(2)该几何体中与“祝”字相对的是“　　　”,与“你”字相对的是“　　　”.
【解析】 还原几何体如图,棱台的上底面为“祝”,下底面为“前”,左侧面为“似”,右侧面为“锦”,前面为“程”,后面为“你”.
四棱台
前
程
关键能力·素养培优
题型一　棱柱的结构特征
[例1] 下列说法中正确的是(　　)
[A] 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
[B] 棱柱的侧棱长度都相等
[C] 棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
[D] 棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
B
【解析】 A选项,棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面,也可能是棱柱的侧面,比如正方体,A错误;
B选项,所有连接两个底面相应顶点的侧棱都是平行且相等的,B正确;
C选项,若棱柱为斜棱柱,此时棱柱中侧棱不是棱柱的高,C错误;
D选项,棱柱的侧面一定是平行四边形,它的底面可能是平行四边形,比如长方体,D错误.故选B.
·解题策略·
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义:判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形.
②看“线”,即观察每两个相邻的四边形的公共边是否平行.
(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.
[变式训练] (多选题)下列关于棱柱的说法,正确的是(　 　)
[A] 所有的面都是平行四边形
[B] 两底面平行,并且各侧棱也平行
[C] 每一个面都不会是三角形
[D] 被平面截成的两部分可以都是棱柱
BD
【解析】 A错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
B正确,由棱柱的定义易知,棱柱的两底面平行,并且各侧棱也平行;
C错误,棱柱的底面可以是三角形;
D正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.故选BD.
[例2] (多选题)下列说法正确的是(　　 )
[A] 正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形
[B] 棱台的各侧棱延长线必交于一点
[C] 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台
[D] 棱锥的侧棱长都相等
题型二　棱锥、棱台的结构特征
AB
【解析】 对于A,正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形,故A正确;
对于B,根据棱台的定义可得,棱台的各侧棱延长线必交于一点,故B正确;
对于C,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台,故C错误;
对于D,根据棱锥的定义可知,只有正棱锥的侧棱长都相等,故D错误.
故选AB.
·解题策略·
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法.
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法.
多面体 棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
[变式训练] 下列说法正确的是(　　)
[A] 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
[B] 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
[C] 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
[D] 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
D
【解析】 对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,所以A错误;
对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后不一定交于一点,所以B错误;
对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点在底面的射影不一定为底面等边三角形的中心,所以C错误;
对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,所以D正确.故选D.
[例3] (多选题)在下面的四个平面图形中,侧棱都相等的四面体的展开图是
(　　 )
题型三　多面体的平面展开图
[A] 　[B] 　[C] 　 [D]
AB
【解析】 把四面体的底面固定不动,沿三条侧棱剪开,展在平面上,即得A选项的图形;
如图所示,沿棱AB,BC,AD剪开,展开在一个平面上,即得B选项的图形;无论怎么展开,展开图都不会是C,D选项的图形,因为它们的四个面都共点.故选AB.
·解题策略·
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.
(2)若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.
(3)若是给出表面展开图还原多面体,则可把(2)中操作逆推.
[变式训练] 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
[A] 　 [B] 　[C] 　 [D]
A
【解析】 相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻.B,C,D中至少有一对相同图案相邻,可排除.故选A.
感谢观看第2课时　简单旋转体及组合体
【课程标准要求】　1.通过简单旋转体结构特征的学习,培养直观想象的核心素养.2.通过简单旋转体轴截面的计算,培养数学运算的核心素养.
知识点一　圆柱的结构特征
名称 圆柱
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图形 及表示 　 图中圆柱记作圆柱O′O
相关 概念 圆柱的轴:旋转轴; 圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面; 圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面; 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边
对圆柱的结构特征的理解
(1)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个与底面全等的圆面.
(2)经过圆柱的轴的截面是一个矩形,其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径,经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面.
(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴.
知识点二　圆锥的结构特征
名称 圆锥
定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图形 及表示 　　　 图中圆锥记作圆锥SO
相关 概念 圆锥的轴:旋转轴; 圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面; 圆锥的侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面; 圆锥侧面的母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
对圆锥的结构特征的理解
(1)经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形,其底边是圆锥底面的直径,两腰是圆锥侧面的两条母线.
(2)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线.
知识点三　圆台的结构特征
名称 圆台
定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台
图形 及表示 　　　 图中圆台记作圆台O′O
相关 概念 圆台的轴:旋转轴; 圆台的底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面; 圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
知识拓展
圆台的其他结构特征
(1)圆台可以看作由圆锥截得,也可以看作是由直角梯形绕其一条直角边旋转而成.
(2)圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方.
知识点四　球的结构特征
名称 球
定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球
图形 及表示 图中的球记作球O
相关 概念 球心:半圆的圆心; 半径:连接球心和球面上任意一点的线段; 直径:连接球面上两点并经过球心的线段
知识拓展
球的其他结构特征
(1)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.如果截面经过球心,则截面圆的半径等于球的半径;如果截面不经过球心,则截面圆的半径小于球的半径.
(2)若半径为R的球的一个截面圆半径为r,球心与截面圆的圆心的距离为d,则有d=.
知识点五　简单组合体的结构特征
1.概念
由简单几何体组合而成的,这些几何体称作简单组合体.
2.基本形式
一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
知识拓展
常见的组合体的分类
常见的组合体有三种:①多面体与多面体的组合;②多面体与旋转体的组合;③旋转体与旋转体的组合.
基础自测
1.下列说法中正确的是(　　)
[A] 将正方形旋转不可能形成圆柱
[B] 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
[C] 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
[D] 通过圆台侧面上一点,有无数条母线
2.(人教A版必修第二册P105习题8.1 T4改编)下列几何体是台体的是(　　)
[A] 　 [B] 　 [C] 　 [D]
3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体可能是(　　)
[A] 圆柱 [B] 圆台 [C] 球体 [D] 棱台
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形,以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为　　　　cm2.
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为3 cm,底面积为9π cm2.
题型一　旋转体的结构特征
[例1] 下列说法正确的是(　　)
[A] 以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
[B] 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
[C] 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
[D] 圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高
对于B,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成的旋转体不是圆台,B错误;
对于C,圆锥只有一个底面,C错误;
对于D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线,大于圆锥的高,D正确.故选D.
(1)判断简单旋转体结构特征的方法.
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用.
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[变式训练] 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　)
[A] ①③④ [B] ②③④
[C] ①②④ [D] ①②③
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时可得①.但无论如何都不能截得②.故选A.
题型二　简单组合体
[例2] (苏教版必修第二册P156例3)指出图①、图②中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的.
题图②中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的,也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的(如图).实际上,题图②也是一个柱体,它的底面为一个凹多边形.
(1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
[变式训练] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括(　　)
[A] 一个圆台、两个圆锥
[B] 两个圆柱、一个圆锥
[C] 两个圆台、一个圆柱
[D] 一个圆柱、两个圆锥
如图②,包括一个圆柱、两个圆锥.
故选D.
题型三　旋转体中的计算
[例3] 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,圆台的上底面半径为1 cm,则圆台的高为　　　 cm.
因为用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,
所以圆台的上、下底面半径之比是1∶4.
因为截去的圆锥的母线长是3 cm,圆台的上底面半径为1 cm,
所以圆台的下底面半径为4 cm.作大圆锥的轴截面如图,设圆台的母线长为y,
由△SO′A′∽△SOA,得=,
解得AA′=y=9 cm.
所以圆台的高OO′==6(cm).
与圆锥(台)有关的计算问题的解题策略
(1)画出圆锥(台)的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关
系,建立高、母线长与底面圆的半径之间的等量关系.
(3)求解圆锥(台)的内接几何体问题,应画出其轴截面图形,借助平面几何的知识求解.
[变式训练] 将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环ABCD,OA=AD=6,∠COD=,如图①,用扇环ABCD制成一个圆台的侧面,如图②,则该圆台的高为　　　　.
圆台下底面圆周长为·OD=4π,则圆台下底面半径r2=2.
因为圆台轴截面是等腰梯形,上、下底面边长分别为2,4,腰长为6,所以圆台的高,即等腰梯形的高为=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法正确的是(　　)
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成;②用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面;③以半圆的直径所在直线为轴旋转半周形成的旋转体叫做球;④圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交.
[A] ①② [B] ②③ [C] ①③ [D] ②④
用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面,故②正确;
球是以半圆的直径所在直线为轴旋转一周形成的旋转体,故③错误;
圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交,故④正确.故选D.
2.如图所示的几何体是某数学竞赛的奖杯,该几何体由(　　)
[A] 一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
[B] 一个球、一个长方体、一个棱台构成
[C] 一个球、一个四棱台、一个圆台构成
[D] 一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
3.圆锥的截面形状不可能为(　　)
[A] 等腰三角形 [B] 平行四边形
[C] 圆 [D] 椭圆
对于B,圆锥的侧面是曲面,所以截面形状不可能为平行四边形,符合题意;
对于C,用垂直于轴的平面去截圆锥,得到的截面形状是圆,不符合题意;
对于D,用与轴斜交的平面去截圆锥,得到的截面形状可能是椭圆,不符合题意.
故选B.
4.如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形,若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体,下面说法错误的是(　　)
[A] 该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
[B] 该组合体仍然关于轴l对称
[C] 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
[D] 该组合体中的球和半球只有一个公共点
5.若某圆锥的底面半径r=1,且底面的周长等于母线长,则该圆锥的高为(　　)
[A] π [B]
[C] 2π [D]
6.如图,已知圆柱体底面圆的半径为 cm,高为2 cm,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线.若一只小虫从点A出发,沿侧面爬行到C处,则小虫爬行的最短距离是(　　)
[A] 2 cm [B] 2 cm
[C] cm [D] 1 cm
在Rt△AB1C1中,AB1=π·=2(cm),
B1C1=2 cm,
所以AC1==2(cm).
故小虫爬行的最短距离是2 cm.
故选A.
7.(5分)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为　　　　.
因为平面截球所得的圆面面积为π,
所以πr2=π,
解得r=1.
因为截面与球心的距离d=1,
所以球半径R==,
直径为2.
8.(5分)如图,正方体AC1的上、下底面中心分别为O1,O2,将正方体绕直线O1O2旋转360°,下列四个图形中为线段BC1旋转所得的图形是　　　　(填序号).
因为BC1的中点到旋转轴的距离等于a,而B,C1两点到旋转轴的距离等于a,
所以BC1的中点旋转一周,得到的圆较小,所以所得旋转体的中间圆较小,上、下底面圆较大.
由此可得①③项不符合题意,舍去.
又因为在所得旋转体的侧面上有无数条线段,且线段与旋转轴不共面,
所以②项不符合题意,只有④项符合题意.
9.(13分)如图,四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A在射线DE上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
当AD=BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱,如图②;
当AD10.(14分)把地球看成一个半径为6 371 km的球,已知某地靠近北纬40°,求北纬40°纬线的长度(π≈3.141 6,cos 40°≈0.766 0,结果精确到1 km).
作出轴截面,如图所示.设A是北纬40°圈上的一点,AK是北纬40°圈的半径,O为球心,所以OK⊥AK.设北纬40°的纬线长为c km,因为∠AOB=∠OAK=40°,
所以c=2π·AK
=2π·OA·cos∠OAK
=2π·OA·cos 40°
≈2×3.141 6×6 371×0.766 0
≈30 663.
即北纬40°的纬线长约为30 663 km.
11.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是(　　)
[A] ②⑤ [B] ①③
[C] ②④ [D] ①⑤
当截面ABCD不为轴截面时(如图②),截面图形为⑤,下侧为抛物线的形状.
故选D.
12.(多选题)已知圆锥底面半径为,母线长为2,则(　　)
[A] 圆锥的高为1
[B] 圆锥侧面积为2π
[C] 圆锥的侧面展开图中,扇形的圆心角为 π
[D] 过顶点的截面三角形的面积最大值为
由题意可知,该圆锥的侧面展开图是半径为2,弧长为2π×=2π的扇形,所以圆锥侧面积为×2×2π=2π,故B正确.
设圆锥的侧面展开图中,扇形的圆心角为α.
因为扇形的面积为×α×22=2π,
所以α=π,故C正确.
如图,在Rt△AOB中,
sin∠OAB=,
所以∠OAB=,
所以轴截面三角形ABC中,∠CAB=.
设过顶点的截面三角形为△AEF,其中∠EAF=θ,θ∈(0,],过顶点的截面三角形的面积为×2×2×sin θ=2sin θ,当θ=时,过顶点的截面三角形的面积最大值为2,故D错误.故选ABC.
13.(17分)如图,圆台的上底面半径为2 cm,下底面半径为4 cm,母线长为6 cm.求轴截面相对顶点A,C在圆台侧面上的最短距离.
沿母线AD剪开将圆台侧面展开,问题转化为求展开图中线段AC的长.
设圆台的上底面、下底面半径分别为r1,r2,
因为侧面展开图圆心角∠AO′A′=·2π=·2π=,
且B,C分别为所在弧的中点,
所以在等腰△AO′B中,∠AO′B=,
所以△AO′B是等边三角形.
因为=O′C·=2π,
所以O′C=6,而BC=6,所以C为O′B的中点.
所以AC=6,即A,C两点在圆台侧面上的最短距离为6 cm.第1课时　简单多面体
【课程标准要求】　1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的学习,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.通过运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述简单几何体及进行有关计算,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一　多面体、旋转体的定义
类别 多面体 旋转体
定义 一般地,由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关 概念 面:围成多面体的各个多边形; 棱:两个面的公共边; 顶点:棱与棱的公共点 轴:形成旋转体所绕的定直线
构成空间几何体的基本元素
构成空间几何体的基本元素是点、直线、平面.
知识点二　棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
名称 棱柱
定义 一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形 及 表示 如图可记作: 棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
相关 概念 底面:两个互相平行的面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与底面的公共顶点
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数:底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
棱柱判断的注意事项
判定一个几何体是否是棱柱时,除了看它是否满足:“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形”这两个条件外,还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件,不具备这一条件的几何体不是棱柱.
知识点三　棱锥的结构特征
1.棱锥的概念
名称 棱锥
定义 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形 及表示 如图可记作:棱锥S-ABCD
相关概念 底面:多边形面; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:各侧面的公共顶点
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
对棱锥结构特征的理解
棱锥有两个本质特征:
(1)有一个面是多边形;
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
二者缺一不可.
知识点四　棱台的结构特征
名称 棱台
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图形 及 表示 如图可记作:棱台ABCD-A′B′C′D′
相关 概念 上底面:平行于棱锥底面的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
对棱台结构特征的理解
(1)棱台必须是由棱锥用平行于其底面的平面截得的几何体.所以棱台可还原为棱锥,即延长棱台的所有侧棱,它们必相交于同一点.
(2)棱台的上、下底面是相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方.
基础自测
1.下面多面体中,是棱柱的有(　　)
[A] 1个 [B] 2个 [C] 3个 [D] 4个
2.下面多面体中,为棱锥的是(　　)
[A] ①③ [B] ①③④
[C] ①②④ [D] ①②③
故选C.
3.有一个多面体,由五个面围成,只有一个面不是三角形,则这个几何体为(　　)
[A] 四棱柱 [B] 四棱锥
[C] 三棱柱 [D] 三棱锥
4.(人教A版必修第二册P101练习T4改编)若一个几何体的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是　　　　　　;
(2)该几何体中与“祝”字相对的是“　　　　”,与“你”字相对的是“　　　　”.
题型一　棱柱的结构特征
[例1] 下列说法中正确的是(　　)
[A] 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
[B] 棱柱的侧棱长度都相等
[C] 棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
[D] 棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
B选项,所有连接两个底面相应顶点的侧棱都是平行且相等的,B正确;
C选项,若棱柱为斜棱柱,此时棱柱中侧棱不是棱柱的高,C错误;
D选项,棱柱的侧面一定是平行四边形,它的底面可能是平行四边形,比如长方体,D错误.故选B.
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义:判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形.
②看“线”,即观察每两个相邻的四边形的公共边是否平行.
(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.
[变式训练] (多选题)下列关于棱柱的说法,正确的是(　　)
[A] 所有的面都是平行四边形
[B] 两底面平行,并且各侧棱也平行
[C] 每一个面都不会是三角形
[D] 被平面截成的两部分可以都是棱柱
B正确,由棱柱的定义易知,棱柱的两底面平行,并且各侧棱也平行;
C错误,棱柱的底面可以是三角形;
D正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.故选BD.
题型二　棱锥、棱台的结构特征
[例2] (多选题)下列说法正确的是(　　)
[A] 正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形
[B] 棱台的各侧棱延长线必交于一点
[C] 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台
[D] 棱锥的侧棱长都相等
对于B,根据棱台的定义可得,棱台的各侧棱延长线必交于一点,故B正确;
对于C,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台,故C错误;
对于D,根据棱锥的定义可知,只有正棱锥的侧棱长都相等,故D错误.
故选AB.
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法.
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法.
多面体 棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
[变式训练] 下列说法正确的是(　　)
[A] 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
[B] 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
[C] 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
[D] 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,所以A错误;
对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后不一定交于一点,所以B错误;
对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点在底面的射影不一定为底面等边三角形的中心,所以C错误;
对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,所以D正确.故选D.
题型三　多面体的平面展开图
[例3] (多选题)在下面的四个平面图形中,侧棱都相等的四面体的展开图是(　　)
[A] 　[B] 　[C] 　[D]
把四面体的底面固定不动,沿三条侧棱剪开,展在平面上,即得A选项的图形;
如图所示,沿棱AB,BC,AD剪开,展开在一个平面上,即得B选项的图形;无论怎么展开,展开图都不会是C,D选项的图形,因为它们的四个面都共点.故选AB.
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.
(2)若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.
(3)若是给出表面展开图还原多面体,则可把(2)中操作逆推.
[变式训练] 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
[A] 　 　[B]
[C] 　 　[D]
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 棱柱的侧面都是矩形
[B] 棱柱的侧棱不全相等
[C] 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
[D] 棱柱中至少有两个面互相平行
对选项A,由棱柱的定义知,棱柱的侧面是平行四边形,不一定是矩形,故A错误;
对选项B,由棱柱的定义知,棱柱的侧棱相等,故B错误;
对选项C,如图是有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体,但这种结构不是棱柱,故C错误;
对选项D,由棱柱的定义可知,棱柱的上、下底面一定平行,所以至少有两个面互相平行,故D正确.
故选D.
2.下列说法正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形;②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;③棱锥的侧棱平行.
[A] ①③ [B] ①② [C] ②③ [D] ③
四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故②正确;
棱锥的侧棱交于一点,故③错误.故选B.
3.如图是一个正方体纸盒的平面展开图,则以下几何体中,可能是展开前的正方体的是(　　)
[A] 　 [B] 　[C] 　[D]
B和D选项,由展开图得到的直线和黑色三角没有交点,而正方体中有交点,故错误;
故C选项符合题意.
故选C.
4.如图所示,三棱台ABC-A′B′C′截去三棱锥A′-ABC后,剩余部分几何体是(　　)
[A] 三棱锥
[B] 三棱柱
[C] 四棱锥
[D] 不规则几何体
5.下列说法正确的是(　　)
[A] 底面是正方形,有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
[B] 底面是正方形,有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱
[C] 每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱
[D] 底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
如图,若底面是正方形的棱柱,左、右两个侧面是矩形,但侧面不与底面垂直,则该棱柱不是正四棱柱,故A错误;
若前、后两个侧面是与底面垂直的平行四边形,则棱柱不一定是正四棱柱,故B错误;
对于C,底面有可能不是正方形,故C错误;
对于D,因为有一个顶点处的三条棱两两垂直,
而底面又为菱形,故底面为正方形.该顶点处的侧棱与底面两条边都垂直,意味着侧棱是“直上直下”的,所以侧棱与底面垂直.因为棱柱的侧棱相互平行,所以侧棱都垂直于底面,且底面为正方形,故该棱柱为正四棱柱.故选D.
6.(多选题)若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12,则A和B可能分别是(　　)
[A] 三棱锥和四棱柱 [B] 四棱锥和三棱柱
[C] 四棱锥和四棱柱 [D] 五棱锥和三棱柱
所以两个几何体的顶点数之和为12,符合题意;
对于B,因为四棱锥的顶点数为5,三棱柱的顶点数为6,
所以两个几何体的顶点数之和为11,不符合题意;
对于C,因为四棱锥的顶点数为5,四棱柱的顶点数为8,
所以两个几何体的顶点数之和为13,不符合题意;
对于D,因为五棱锥的顶点数为6,三棱柱的顶点数为6,
所以两个几何体的顶点数之和为12,符合题意.
故选AD.
7.(5分)关于如图所示的几何体,下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
8.(5分)若一个长方体从一个顶点出发的三个面的面积分别是 ,,,则这个长方体的体对角线长是　　　　.
故长方体的体对角线长是=.
9.(13分)如图是一个正三棱台,而且下底面边长为2,上底面边长和侧棱长都为1.O与O′分别是下底面与上底面的中心.
(1)求棱台的斜高;
(2)求棱台的高.
(1)因为是正三棱台,所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示,在梯形ACC′A′中,分别过A′,C′作AC的垂线A′E与C′F,则由AC=2,
AA′=A′C′=C′C=1可知AE=FC=,从而A′E=C′F=,即斜高为.
(2)根据O与O′分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1,可以算出BO=2B′O′=.假设正三棱台ABC-A′B′C′是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A′B′C′得到的, 则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高,VO′是棱锥V-A′B′C′的高,O′O是所求棱台的高.
因此△VBO是一个直角三角形,画出这个三角形,如图所示,则B′O′是△VBO的中位线.
因为棱台的侧棱长为1,所以BB′=1,VB=2,从而
VO=
==,
因此O′O=VO=.
因此棱台的高为.
10.(14分)如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
(3)每个面的三角形面积为多少
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=·2a·a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE
=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
11.(多选题)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,O,O1分别为四边形ABCD,A1B1C1D1对角线的交点,则下列结论正确的是(　　)
[A] 若四棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,则棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥
[B] 几何体C1D1D-B1A1A是三棱柱
[C] 几何体ACD-A1C1D1是三棱台
[D] 三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高相等
12.若正三棱锥V-ABC和正四棱锥V1-A1B1C1D1的所有棱长均为a,将其中两个侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后,得到新的组合体是(　　)
[A] 六面体 [B] 七面体
[C] 斜三棱柱 [D] 正三棱柱
13.(16分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=10,AA1=3,P为A1B上的一个动点,求AP+PC的最小值.第1课时　简单多面体
【课程标准要求】　1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的学习,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.通过运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述简单几何体及进行有关计算,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一　多面体、旋转体的定义
类别 多面体 旋转体
定义 一般地,由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关 概念 面:围成多面体的各个多边形; 棱:两个面的公共边; 顶点:棱与棱的公共点 轴:形成旋转体所绕的定直线
构成空间几何体的基本元素
构成空间几何体的基本元素是点、直线、平面.
知识点二　棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
名称 棱柱
定义 一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形 及 表示 如图可记作: 棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
相关 概念 底面:两个互相平行的面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与底面的公共顶点
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数:底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
棱柱判断的注意事项
判定一个几何体是否是棱柱时,除了看它是否满足:“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形”这两个条件外,还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件,不具备这一条件的几何体不是棱柱.
知识点三　棱锥的结构特征
1.棱锥的概念
名称 棱锥
定义 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形 及表示 如图可记作:棱锥S-ABCD
相关概念 底面:多边形面; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:各侧面的公共顶点
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
对棱锥结构特征的理解
棱锥有两个本质特征:
(1)有一个面是多边形;
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
二者缺一不可.
知识点四　棱台的结构特征
名称 棱台
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图形 及 表示 如图可记作:棱台ABCD-A′B′C′D′
相关 概念 上底面:平行于棱锥底面的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
对棱台结构特征的理解
(1)棱台必须是由棱锥用平行于其底面的平面截得的几何体.所以棱台可还原为棱锥,即延长棱台的所有侧棱,它们必相交于同一点.
(2)棱台的上、下底面是相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方.
基础自测
1.下面多面体中,是棱柱的有(　　)
[A] 1个 [B] 2个 [C] 3个 [D] 4个
【答案】 D
【解析】 根据棱柱的定义进行判定知,这4个多面体都是棱柱.故选D.
2.下面多面体中,为棱锥的是(　　)
[A] ①③ [B] ①③④
[C] ①②④ [D] ①②③
【答案】 C
【解析】 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.
故选C.
3.有一个多面体,由五个面围成,只有一个面不是三角形,则这个几何体为(　　)
[A] 四棱柱 [B] 四棱锥
[C] 三棱柱 [D] 三棱锥
【答案】 B
【解析】 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.故选B.
4.(人教A版必修第二册P101练习T4改编)若一个几何体的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是　　　　　　;
(2)该几何体中与“祝”字相对的是“　　　　”,与“你”字相对的是“　　　　”.
【答案】 (1)四棱台　(2)前　程
【解析】 还原几何体如图,棱台的上底面为“祝”,下底面为“前”,左侧面为“似”,右侧面为“锦”,前面为“程”,后面为“你”.
题型一　棱柱的结构特征
[例1] 下列说法中正确的是(　　)
[A] 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
[B] 棱柱的侧棱长度都相等
[C] 棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
[D] 棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【答案】 B
【解析】 A选项,棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面,也可能是棱柱的侧面,比如正方体,A错误;
B选项,所有连接两个底面相应顶点的侧棱都是平行且相等的,B正确;
C选项,若棱柱为斜棱柱,此时棱柱中侧棱不是棱柱的高,C错误;
D选项,棱柱的侧面一定是平行四边形,它的底面可能是平行四边形,比如长方体,D错误.故选B.
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义:判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形.
②看“线”,即观察每两个相邻的四边形的公共边是否平行.
(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.
[变式训练] (多选题)下列关于棱柱的说法,正确的是(　　)
[A] 所有的面都是平行四边形
[B] 两底面平行,并且各侧棱也平行
[C] 每一个面都不会是三角形
[D] 被平面截成的两部分可以都是棱柱
【答案】 BD
【解析】 A错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
B正确,由棱柱的定义易知,棱柱的两底面平行,并且各侧棱也平行;
C错误,棱柱的底面可以是三角形;
D正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.故选BD.
题型二　棱锥、棱台的结构特征
[例2] (多选题)下列说法正确的是(　　)
[A] 正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形
[B] 棱台的各侧棱延长线必交于一点
[C] 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台
[D] 棱锥的侧棱长都相等
【答案】 AB
【解析】 对于A,正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形,故A正确;
对于B,根据棱台的定义可得,棱台的各侧棱延长线必交于一点,故B正确;
对于C,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台,故C错误;
对于D,根据棱锥的定义可知,只有正棱锥的侧棱长都相等,故D错误.
故选AB.
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法.
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法.
多面体 棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
[变式训练] 下列说法正确的是(　　)
[A] 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
[B] 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
[C] 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
[D] 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
【答案】 D
【解析】
对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,所以A错误;
对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后不一定交于一点,所以B错误;
对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点在底面的射影不一定为底面等边三角形的中心,所以C错误;
对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,所以D正确.故选D.
题型三　多面体的平面展开图
[例3] (多选题)在下面的四个平面图形中,侧棱都相等的四面体的展开图是(　　)
[A] 　[B] 　[C] 　[D]
【答案】 AB
【解析】
把四面体的底面固定不动,沿三条侧棱剪开,展在平面上,即得A选项的图形;
如图所示,沿棱AB,BC,AD剪开,展开在一个平面上,即得B选项的图形;无论怎么展开,展开图都不会是C,D选项的图形,因为它们的四个面都共点.故选AB.
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.
(2)若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.
(3)若是给出表面展开图还原多面体,则可把(2)中操作逆推.
[变式训练] 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
[A] 　 　[B]
[C] 　 　[D]
【答案】 A
【解析】 相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻.B,C,D中至少有一对相同图案相邻,可排除.故选A.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 棱柱的侧面都是矩形
[B] 棱柱的侧棱不全相等
[C] 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
[D] 棱柱中至少有两个面互相平行
【答案】 D
【解析】
对选项A,由棱柱的定义知,棱柱的侧面是平行四边形,不一定是矩形,故A错误;
对选项B,由棱柱的定义知,棱柱的侧棱相等,故B错误;
对选项C,如图是有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体,但这种结构不是棱柱,故C错误;
对选项D,由棱柱的定义可知,棱柱的上、下底面一定平行,所以至少有两个面互相平行,故D正确.
故选D.
2.下列说法正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形;②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;③棱锥的侧棱平行.
[A] ①③ [B] ①② [C] ②③ [D] ③
【答案】 B
【解析】 由棱锥的定义,知棱锥的各个侧面都是三角形,故①正确;
四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故②正确;
棱锥的侧棱交于一点,故③错误.故选B.
3.如图是一个正方体纸盒的平面展开图,则以下几何体中,可能是展开前的正方体的是(　　)
[A] 　 [B] 　[C] 　[D]
【答案】 C
【解析】 A选项,直线和长方形在正方体中一定没有交点,故错误;
B和D选项,由展开图得到的直线和黑色三角没有交点,而正方体中有交点,故错误;
故C选项符合题意.
故选C.
4.如图所示,三棱台ABC-A′B′C′截去三棱锥A′-ABC后,剩余部分几何体是(　　)
[A] 三棱锥
[B] 三棱柱
[C] 四棱锥
[D] 不规则几何体
【答案】 C
【解析】 根据题图可知,底面为四边形,所以为四棱锥.故选C.
5.下列说法正确的是(　　)
[A] 底面是正方形,有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
[B] 底面是正方形,有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱
[C] 每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱
[D] 底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
【答案】 D
【解析】
如图,若底面是正方形的棱柱,左、右两个侧面是矩形,但侧面不与底面垂直,则该棱柱不是正四棱柱,故A错误;
若前、后两个侧面是与底面垂直的平行四边形,则棱柱不一定是正四棱柱,故B错误;
对于C,底面有可能不是正方形,故C错误;
对于D,因为有一个顶点处的三条棱两两垂直,
而底面又为菱形,故底面为正方形.该顶点处的侧棱与底面两条边都垂直,意味着侧棱是“直上直下”的,所以侧棱与底面垂直.因为棱柱的侧棱相互平行,所以侧棱都垂直于底面,且底面为正方形,故该棱柱为正四棱柱.故选D.
6.(多选题)若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12,则A和B可能分别是(　　)
[A] 三棱锥和四棱柱 [B] 四棱锥和三棱柱
[C] 四棱锥和四棱柱 [D] 五棱锥和三棱柱
【答案】 AD
【解析】 对于A,因为三棱锥的顶点数为4,四棱柱的顶点数为8,
所以两个几何体的顶点数之和为12,符合题意;
对于B,因为四棱锥的顶点数为5,三棱柱的顶点数为6,
所以两个几何体的顶点数之和为11,不符合题意;
对于C,因为四棱锥的顶点数为5,四棱柱的顶点数为8,
所以两个几何体的顶点数之和为13,不符合题意;
对于D,因为五棱锥的顶点数为6,三棱柱的顶点数为6,
所以两个几何体的顶点数之和为12,符合题意.
故选AD.
7.(5分)关于如图所示的几何体,下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
【答案】 ①③④⑤
【解析】 ①正确,因为此几何体有六个面,符合六面体的定义;②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点;③正确,把几何体放倒,就会发现是一个四棱柱;④正确,如图(a)所示;⑤正确,如图(b)所示.
8.(5分)若一个长方体从一个顶点出发的三个面的面积分别是 ,,,则这个长方体的体对角线长是　　　　.
【答案】 　
【解析】 设三条棱的长分别是a,b,c,则有ab=,bc=,ca=,可得abc=,故可解得a=,b=1,c=,
故长方体的体对角线长是=.
9.(13分)如图是一个正三棱台,而且下底面边长为2,上底面边长和侧棱长都为1.O与O′分别是下底面与上底面的中心.
(1)求棱台的斜高;
(2)求棱台的高.
【解】
(1)因为是正三棱台,所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示,在梯形ACC′A′中,分别过A′,C′作AC的垂线A′E与C′F,则由AC=2,
AA′=A′C′=C′C=1可知AE=FC=,从而A′E=C′F=,即斜高为.
(2)根据O与O′分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1,可以算出BO=2B′O′=.假设正三棱台ABC-A′B′C′是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A′B′C′得到的, 则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高,VO′是棱锥V-A′B′C′的高,O′O是所求棱台的高.
因此△VBO是一个直角三角形,画出这个三角形,如图所示,则B′O′是△VBO的中位线.
因为棱台的侧棱长为1,所以BB′=1,VB=2,从而
VO=
==,
因此O′O=VO=.
因此棱台的高为.
10.(14分)如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
(3)每个面的三角形面积为多少
【解】 (1)如图,折起后形成的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=·2a·a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE
=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
11.(多选题)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,O,O1分别为四边形ABCD,A1B1C1D1对角线的交点,则下列结论正确的是(　　)
[A] 若四棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,则棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥
[B] 几何体C1D1D-B1A1A是三棱柱
[C] 几何体ACD-A1C1D1是三棱台
[D] 三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高相等
【答案】 ACD
【解析】 由正棱台的定义知四边形A1B1C1D1是正方形,O1O是高,则由正棱锥的定义知O-A1B1C1D1是正四棱锥,选项A正确;几何体C1D1D-B1A1A中,没有任何两个平面平行,选项B错误;将四棱台ABCDA1B1C1D1沿轴截面A1C1CA分成两部分,其中之一是三棱台ACD-A1C1D1,选项C正确;三棱锥O-A1B1C1的高和四棱锥O1-ABCD的高都是四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,所以相等,选项D正确.故选ACD.
12.若正三棱锥V-ABC和正四棱锥V1-A1B1C1D1的所有棱长均为a,将其中两个侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后,得到新的组合体是(　　)
[A] 六面体 [B] 七面体
[C] 斜三棱柱 [D] 正三棱柱
【答案】 C
【解析】
由题意作出正三棱锥与正四棱锥按对应顶点粘合成的新的组合体,如图所示,所以新的组合体是斜三棱柱.故选C.
13.(16分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=10,AA1=3,P为A1B上的一个动点,求AP+PC的最小值.
【解】 将半平面ABA1沿A1B翻折到EBA1且平面EBA1与平面A1BCD1位于同一平面,截面图如图所示,连接EC,与A1B交于点P,此时EC即AP+PC的最小值.
因为AB=4,BC=10,AA1=3,
所以EB=4,
A1B==5,
sin∠A1BE==.
所以cos∠EBC=cos(∠A1BE+90°)=-sin∠A1BE=-.
在△EBC中,由余弦定理,得
EC2=BE2+BC2-2BE·BCcos∠EBC=42+102-2×4×10×(-)=164,
所以EC=2.
故AP+PC的最小值是2.(共40张PPT)
第2课时　简单旋
转体及组合体
1.通过简单旋转体结构特征的学习,培养直观想象的核心素养.2.通过简单旋转体轴截面的计算,培养数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　圆柱的结构特征
名称 圆柱
定义 以 所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图形 及表示
　
图中圆柱记作圆柱O′O
矩形的一边
相关 概念 圆柱的轴: ;
圆柱的底面: 的边旋转而成的圆面;
圆柱的侧面: 的边旋转而成的曲面;
圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置, 的边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
·疑难解惑·
对圆柱的结构特征的理解
(1)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个与底面全等的圆面.
(2)经过圆柱的轴的截面是一个矩形,其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径,经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面.
(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴.
知识点二　圆锥的结构特征
名称 圆锥
定义 以直角三角形的 所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图形 及表示
　　　
图中圆锥记作圆锥SO
一条直角边
相关 概念 圆锥的轴:旋转轴;
圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面;
圆锥的侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面;
圆锥侧面的母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
·疑难解惑·
对圆锥的结构特征的理解
(1)经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形,其底边是圆锥底面的直径,两腰是圆锥侧面的两条母线.
(2)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线.
知识点三　圆台的结构特征
名称 圆台
定义 用 的平面去截圆锥, 之间的部分叫做圆台
图形 及表示
　　　
图中圆台记作圆台O′O
平行于圆锥底面
底面与截面
相关 概念 圆台的轴:旋转轴;
圆台的底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面;
圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面;
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
『知识拓展』
圆台的其他结构特征
(1)圆台可以看作由圆锥截得,也可以看作是由直角梯形绕其一条直角边旋转而成.
(2)圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方.
知识点四　球的结构特征
名称 球
定义 所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球
图形 及表示
图中的球记作球O
半圆以它的直径
相关 概念 球心:半圆的 ;
半径:连接 和球面上任意一点的 ;
直径:连接球面上 并经过球心的
圆心
球心
线段
两点
线段
『知识拓展』
球的其他结构特征
(1)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.如果截面经过球心,则截面圆的半径等于球的半径;如果截面不经过球心,则截面圆的半径小于球的半径.
知识点五　简单组合体的结构特征
1.概念
由 组合而成的,这些几何体称作简单组合体.
2.基本形式
一种是由简单几何体 而成,另一种是由简单几何体 或 一部分而成.
简单几何体
拼接
截去
挖去
『知识拓展』
常见的组合体的分类
常见的组合体有三种:①多面体与多面体的组合;②多面体与旋转体的组合;③旋转体与旋转体的组合.
基础自测
1.下列说法中正确的是(　　)
[A] 将正方形旋转不可能形成圆柱
[B] 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
[C] 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
[D] 通过圆台侧面上一点,有无数条母线
C
【解析】 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中没有说明这两个平行截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况下结论不正确,所以B错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.故选C.
2.(人教A版必修第二册P105习题8.1 T4改编)下列几何体是台体的是(　　)
D
【解析】 台体包括棱台和圆台两种,A中四条侧棱延长后没有交于一点,B中截面与圆锥底面不平行,C是棱锥,结合棱台和圆台的定义可知D正确.故选D.
[A] 　[B] 　[C] 　 [D]
3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体可能是
(　　)
[A] 圆柱 [B] 圆台 [C] 球体 [D] 棱台
D
【解析】 圆柱、圆台和球体无论怎样截,都不可能截出三角形,只有棱台可以截出三角形.故选D.
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形,以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为　　　 　cm2.
【解析】 当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为4 cm,底面积为16π cm2;
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为3 cm,底面积为9π cm2.
16π或9π
关键能力·素养培优
题型一　旋转体的结构特征
[例1] 下列说法正确的是(　 　)
[A] 以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
[B] 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
[C] 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
[D] 圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高
D
【解析】 对于A,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体,A错误;
对于B,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成的旋转体不是圆台,B错误;
对于C,圆锥只有一个底面,C错误;
对于D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线,大于圆锥的高,D正确.故选D.
·解题策略·
(1)判断简单旋转体结构特征的方法.
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用.
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[变式训练] 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　)
[A] ①③④ [B] ②③④
[C] ①②④ [D] ①②③
A
【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时可得③;当截面过正方体的体对角线时可得④;
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时可得①.但无论如何都不能截得②.故选A.
[例2] (苏教版必修第二册P156例3)指出图①、图②中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的.
题型二　简单组合体
【解】 题图①中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的.
题图②中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的,也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的(如图).实际上,题图②也是一个柱体,它的底面为一个凹多边形.
·解题策略·
(1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
[变式训练] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括(　　)
[A] 一个圆台、两个圆锥
[B] 两个圆柱、一个圆锥
[C] 两个圆台、一个圆柱
[D] 一个圆柱、两个圆锥
D
【解析】 图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体,
如图②,包括一个圆柱、两个圆锥.
故选D.
[例3] 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,圆台的上底面半径为1 cm,则圆台的高为　　 　 cm.
题型三　旋转体中的计算
【解析】 因为用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,
所以圆台的上、下底面半径之比是1∶4.
因为截去的圆锥的母线长是3 cm,圆台的上底面半径为1 cm,
所以圆台的下底面半径为4 cm.作大圆锥的轴截面如图,设圆台的母线长为y,
·解题策略·
与圆锥(台)有关的计算问题的解题策略
(1)画出圆锥(台)的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关
系,建立高、母线长与底面圆的半径之间的等量关系.
(3)求解圆锥(台)的内接几何体问题,应画出其轴截面图形,借助平面几何的知识求解.
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