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8.2　立体图形的
直观图
1.通过利用斜二测画法画水平放置的平面图形及立体图形的直观图,培养直观想象的核心素养.2.根据斜二测画法的规则进行相关的运算,强化直观想象及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
45°
135°
水平面
x'轴或y '轴
的线段
保持原长度不变
一半
·疑难解惑·
用斜二测画法画图的关键
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出.一般情况下,这些点的位置都要通过其所在的平行于x轴、y轴的线段来确定,当原图中无所需线段时,需要作辅助线段.
知识点二　空间几何体直观图的画法
(1)画轴:与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的
轴.
(2)画底面:平面 表示水平平面,平面 和 表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.
(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中
和 都不变.
(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为 .
z
xOy
yOz
xOz
平行性
长度
虚线
『知识拓展』
直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”:(1)坐标轴的夹角改变;(2)与y轴平行的线段长度变为原来的一半;(3)图形改变.
“三不变”:(1)平行性不改变;(2)与x轴和z轴平行的线段长度不改变;(3)相对位置不改变.
基础自测
1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 90° [D] 45°或135°
D
【解析】 因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,所以∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.故选D.
2.(人教A版必修第二册P111习题8.2 T1改编)关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是(　　)
[A] 等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
[B] 正方形的直观图为平行四边形
[C] 梯形的直观图不是梯形
[D] 正三角形的直观图一定为等腰三角形
B
【解析】 由于直角在直观图中有的成为45°,有的成为135°,当线段与x轴平行时,在直观图中长度不变且仍与x轴平行,因此正方形的直观图为平行四边形,B正确;梯形的直观图仍保持平行性不变,仍为梯形,C错误;正三角形的直观图不是等腰三角形,故A,D错误.故选B.
3.如图有一个直角梯形OABC,则它的水平放置的直观图是(　　)
A
[A] 　 　 　[B] [C] 　 　 　[D]
【解析】 作出直角梯形OABC的直观图如图所示,
A选项满足要求.故选A.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　画水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解】 (1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点,取CD的中点E,连接OE,建立平面直角坐标系,使∠x′O′y′=45°,如图②所示;
(3)连接B′C′,D′A′,擦去辅助线,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③所示.
·解题策略·
(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点.作图时,常利用图形的对称性,并让顶点尽可能多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
(2)画水平放置的平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
[变式训练] 如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是(　　)
C
[A] 　 　 　[B] [C] 　 　 　[D]
【解析】 根据该平面图形的直观图知,该平面图形为一个直角梯形,
且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直,原图形如图所示,
此平面图形可能是C.故选C.
[例2] (北师大版必修第二册P214例2)用斜二测画法画正五棱锥的直观图.
题型二　画空间几何体的直观图
【解】 (1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图①);
(2)画z′轴(z′轴与x′轴的交角为90°),并画高(与原长相等)(如图②);
(3)连线成图,将被遮线画成虚线(如图③),擦去辅助线,就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图④).
·解题策略·
空间几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
注意:空间几何体直观图画法口诀可以总结为“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变.”
[变式训练] 用斜二测画法画出正五棱柱的直观图.
【解】 (1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,
∠xOz=90°.
(2)画底面.根据平面图形的直观图画法画底面.
(3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′使它们都相等.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正五棱柱的直观图,如图②所示.
[例3] 等边三角形AOB的边长为4,建立如图所示的直角坐标系xOy,用斜二测画法得到它的直观图,则它的直观图的面积是　　　　.
题型三　直观图的还原与计算
·解题策略·
(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴,y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的高,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
B
感谢观看【课程标准要求】　1.通过利用斜二测画法画水平放置的平面图形及立体图形的直观图,培养直观想象的核心素养.2.根据斜二测画法的规则进行相关的运算,强化直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画图的关键
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出.一般情况下,这些点的位置都要通过其所在的平行于x轴、y轴的线段来确定,当原图中无所需线段时,需要作辅助线段.
知识点二　空间几何体直观图的画法
(1)画轴:与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴.
(2)画底面:平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.
(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
知识拓展
直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”:(1)坐标轴的夹角改变;(2)与y轴平行的线段长度变为原来的一半;(3)图形改变.
“三不变”:(1)平行性不改变;(2)与x轴和z轴平行的线段长度不改变;(3)相对位置不改变.
基础自测
1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 90° [D] 45°或135°
2.(人教A版必修第二册P111习题8.2 T1改编)关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是(　　)
[A] 等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
[B] 正方形的直观图为平行四边形
[C] 梯形的直观图不是梯形
[D] 正三角形的直观图一定为等腰三角形
故选B.
3.如图有一个直角梯形OABC,则它的水平放置的直观图是(　　)
[A] 　 　　[B]
[C] 　　 　[D]
A选项满足要求.故选A.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　.
题型一　画水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
(2)以O′为中点,在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD;
(3)连接B′C′,D′A′,擦去辅助线,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③所示.
(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点.作图时,常利用图形的对称性,并让顶点尽可能多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
(2)画水平放置的平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
[变式训练] 如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是(　　)
[A] 　[B] 　[C] 　[D]
根据该平面图形的直观图知,该平面图形为一个直角梯形,
且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直,原图形如图所示,
此平面图形可能是C.故选C.
题型二　画空间几何体的直观图
[例2] (北师大版必修第二册P214例2)用斜二测画法画正五棱锥的直观图.
(2)画z′轴(z′轴与x′轴的交角为90°),并画高(与原长相等)(如图②);
(3)连线成图,将被遮线画成虚线(如图③),擦去辅助线,就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图④).
空间几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
注意:空间几何体直观图画法口诀可以总结为“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变.”
[变式训练] 用斜二测画法画出正五棱柱的直观图.
(2)画底面.根据平面图形的直观图画法画底面.
(3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′使它们都相等.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正五棱柱的直观图,如图②所示.
题型三　直观图的还原与计算
[例3] 等边三角形AOB的边长为4,建立如图所示的直角坐标系xOy,用斜二测画法得到它的直观图,则它的直观图的面积是　　　　.
BC⊥y轴,则OD=a,BD=OC=a.
如图②,作x′轴和y′轴,使得∠x′O′y′=45°,
在x′轴上取点A′,D′,使得O′A′=OA=a,
O′D′=OD=a,
在y′轴上取点C′,使得O′C′=OC=a,
过点C′作C′B′∥x′轴,使得C′B′=O′D′=a,连接O′B′,A′B′,B′D′,则△A′O′B′是△AOB的直观图.
由直观图作法可知B′D′=O′C′=a,
∠B′D′A′=∠x′O′y′=45°.
过点B′作B′E⊥O′A′于点E,
则B′E=B′D′sin 45°=a,所以S△A′O′B′=O′A′·B′E=×a×a== .
(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴,y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的高,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:
S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
[变式训练] 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O′A′B′C′,其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O′A′的长为(　　)
[A] [B]
[C] 1 [D]
其中OA=O′A′,B′C′=BC,
故BC=OA,
OB=2O′B′=2O′A′=2OA.
设BC=x,则OA=2x,OB=4x,
平面图形OABC的面积为
(BC+OA)·OB=6x2,
故6x2=3,解得x=,
故O′A′=2x=.故选B.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.下列说法中正确的是(　　)
[A] 直角在直观图中对应的角仍为直角
[B] 边长为2的正方形在直观图中对应的是各边相等的四边形
[C] 封闭图形在直观图中对应的面积与原图形面积相等
[D] 线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画成(　　)
[A] 平行于z′轴且大小为10 cm的线段
[B] 平行于z′轴且大小为5 cm的线段
[C] 与z′轴成45°且大小为10 cm的线段
[D] 与z′轴成45°且大小为5 cm的线段
3.如图,已知等腰直角三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图,O′A′=A′B′,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是(　　)
[A] 2 [B] 1 [C] [D]
利用斜二测画法的定义,画出原图形,如图所示,
由Rt△O′A′B′是等腰直角三角形,O′A′=A′B′,斜边O′B′=2,
得O′A′=O′B′=,
因此OB=O′B′=2,OA=2O′A′=2,
∠AOB=90°,
所以原平面图形的面积是×2×2=2.故选A.
4.如图是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图,D是△ABC的AB边的中点,A′B′,B′C′分别与y′轴,x′轴平行,则在原图中,三条线段CB,CD,AC(　　)
[A] 最长的是CB,最短的是CA
[B] 最长的是CA,最短的是CB
[C] 最长的是CB,最短的是CD
[D] 最长的是CA,最短的是CD
在原平面图形中AB⊥BC,∠ADC是钝角,
从而CB5.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
[A] 4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
[B] 4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
[C] 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
[D] 4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中平行于x′轴,保持长度不变;已知图形中平行于y轴的线段,在直观图中平行于y′轴,长度变为原来的一半;已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中平行于z′轴,保持长度不变.
所以该建筑物按1∶500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm和1.6 cm.故选C.
6.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知A′B′∥y′轴,O′B′=4,且△ABO的面积为16,过点A′作A′C′⊥O′B′,垂足为C′,则A′C′的长为(　　)
[A] 2 [B] [C] 16 [D] 1
因为△ABO的面积为16,O′B′=4=OB,
所以AB·OB=16,
解得AB=8,A′B′=4.
因为∠A′B′C′=45°,A′C′⊥x′轴于点C′,
所以A′C′=A′B′·sin 45°=4×=2.故选A.
7.(5分)在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′,则点M′的坐标为　　　　.
8.(5分)用斜二测画法,画一个水平放置的平面图形的直观图,已知直观图是一个底角为45°,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是　　　　.
作D′E′∥A′B′,交B′C′于点E′,
根据题意可得E′C′=A′B′=,所以B′C′=1+.由斜二测画法规则,等腰梯形A′B′C′D′对应的原图形为直角梯形ABCD,且AB=2,BC=1+,AD=1,
所以直角梯形ABCD的面积
S梯形ABCD=×(1+1+)×2=2+.
9.(13分)如图,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.
在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.由斜二测画法规则知,梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示,
在直观图中,O′D′=OD,梯形的高D′E′=×=,于是,梯形A′B′C′D′的面积S=×(1+2)×=.
10.(15分)在初中,我们已经学习了一些空间几何体的三视图[正(主)视图、侧视图、俯视图].如图是某几何体的三视图(尺寸单位:cm),试画出它的直观图.
(2)画圆柱的直观图.如图①,以O为中点,在x轴上截取AB=6 cm,借助椭圆模板画出下底面☉O的直观图.在z轴上截取OO′=10 cm,过点O′分别作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy.以O′为中点,在x′轴上截取A′B′=6 cm,借助椭圆模板画出上底面☉O′的直观图.连接AA′与BB′.
(3)画球的直观图.如图②,在O′z轴上截取O′O″=3 cm,以点O″为中心,分别沿三个方向(两两之间的夹角为120°)画半径为3 cm的圆的直观图(三个椭圆).以点O″为圆心画一个半径为3 cm的圆.该几何体的直观图如图③所示.
11.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形,底角为30°,腰长为2,如图,那么它在原平面图形中,顶点B到x轴的距离是(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] [D] 2
在△O′B′C′中,∠B′O′C′=30°,∠B′C′O′=135°,O′B′=2,
由正弦定理得=,
于是得B′C′=,且原图中BC即为点B到x轴的距离,
由斜二测画法规则知,在原平面图形中,顶点B到x轴的距离是2.故选D.
12.(5分)如图,在水平放置的平面α上画一个边长为2的等边三角形,则在斜二测画法中线段AC的长为　　　　.
则AD=,CD=1,∠ADC=45°.
在△ADC中,由余弦定理,得
AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC=1+-2×1××=,所以AC=.
13.(17分)设一正方形纸片ABCD边长为4 cm,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形,沿虚线折起,恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计),图中AH⊥PQ,O为正四棱锥底面中心.若正四棱锥的棱长都相等,请求出它的棱长并画出它的直观图示意图.
则AH=a,
由2×a+a=AC=4可得a=2-2.
该正四棱锥的直观图画法如下.
①画轴,画Ox轴,Oy轴,Oz轴,使∠xOy=45°,
∠xOz=90°.
②画底面正方形的直观图,并画高.
③连线成图.擦去辅助线,且将被遮线画成虚线,就得到该四棱锥的直观图A-PQFN,如图所示.【课程标准要求】　1.通过利用斜二测画法画水平放置的平面图形及立体图形的直观图,培养直观想象的核心素养.2.根据斜二测画法的规则进行相关的运算,强化直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画图的关键
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出.一般情况下,这些点的位置都要通过其所在的平行于x轴、y轴的线段来确定,当原图中无所需线段时,需要作辅助线段.
知识点二　空间几何体直观图的画法
(1)画轴:与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴.
(2)画底面:平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.
(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
知识拓展
直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”:(1)坐标轴的夹角改变;(2)与y轴平行的线段长度变为原来的一半;(3)图形改变.
“三不变”:(1)平行性不改变;(2)与x轴和z轴平行的线段长度不改变;(3)相对位置不改变.
基础自测
1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 90° [D] 45°或135°
【答案】 D
【解析】 因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,所以∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.故选D.
2.(人教A版必修第二册P111习题8.2 T1改编)关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是(　　)
[A] 等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
[B] 正方形的直观图为平行四边形
[C] 梯形的直观图不是梯形
[D] 正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】 B
【解析】 由于直角在直观图中有的成为45°,有的成为135°,当线段与x轴平行时,在直观图中长度不变且仍与x轴平行,因此正方形的直观图为平行四边形,B正确;梯形的直观图仍保持平行性不变,仍为梯形,C错误;正三角形的直观图不是等腰三角形,故A,D错误.
故选B.
3.如图有一个直角梯形OABC,则它的水平放置的直观图是(　　)
[A] 　 　　[B]
[C] 　　 　[D]
【答案】 A
【解析】 作出直角梯形OABC的直观图如图所示,
A选项满足要求.故选A.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　.
【答案】
【解析】 由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,计算得AB=5,所求中线长为.
题型一　画水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解】 (1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点,取CD的中点E,连接OE,建立平面直角坐标系,使∠x′O′y′=45°,如图②所示;
(2)以O′为中点,在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD;
(3)连接B′C′,D′A′,擦去辅助线,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③所示.
(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点.作图时,常利用图形的对称性,并让顶点尽可能多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
(2)画水平放置的平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
[变式训练] 如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是(　　)
[A] 　[B] 　[C] 　[D]
【答案】 C
【解析】
根据该平面图形的直观图知,该平面图形为一个直角梯形,
且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直,原图形如图所示,
此平面图形可能是C.故选C.
题型二　画空间几何体的直观图
[例2] (北师大版必修第二册P214例2)用斜二测画法画正五棱锥的直观图.
【解】 (1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图①);
(2)画z′轴(z′轴与x′轴的交角为90°),并画高(与原长相等)(如图②);
(3)连线成图,将被遮线画成虚线(如图③),擦去辅助线,就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图④).
空间几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
注意:空间几何体直观图画法口诀可以总结为“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变.”
[变式训练] 用斜二测画法画出正五棱柱的直观图.
【解】 (1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.根据平面图形的直观图画法画底面.
(3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′使它们都相等.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正五棱柱的直观图,如图②所示.
题型三　直观图的还原与计算
[例3] 等边三角形AOB的边长为4,建立如图所示的直角坐标系xOy,用斜二测画法得到它的直观图,则它的直观图的面积是　　　　.
【答案】 　
【解析】 设a=4,如图①,过点B作BD⊥OA,
BC⊥y轴,则OD=a,BD=OC=a.
如图②,作x′轴和y′轴,使得∠x′O′y′=45°,
在x′轴上取点A′,D′,使得O′A′=OA=a,
O′D′=OD=a,
在y′轴上取点C′,使得O′C′=OC=a,
过点C′作C′B′∥x′轴,使得C′B′=O′D′=a,连接O′B′,A′B′,B′D′,则△A′O′B′是△AOB的直观图.
由直观图作法可知B′D′=O′C′=a,
∠B′D′A′=∠x′O′y′=45°.
过点B′作B′E⊥O′A′于点E,
则B′E=B′D′sin 45°=a,所以S△A′O′B′=O′A′·B′E=×a×a== .
(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴,y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的高,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:
S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
[变式训练] 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O′A′B′C′,其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O′A′的长为(　　)
[A] [B]
[C] 1 [D]
【答案】 B
【解析】 画出原平面图形OABC,如图所示,
其中OA=O′A′,B′C′=BC,
故BC=OA,
OB=2O′B′=2O′A′=2OA.
设BC=x,则OA=2x,OB=4x,
平面图形OABC的面积为
(BC+OA)·OB=6x2,
故6x2=3,解得x=,
故O′A′=2x=.故选B.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.下列说法中正确的是(　　)
[A] 直角在直观图中对应的角仍为直角
[B] 边长为2的正方形在直观图中对应的是各边相等的四边形
[C] 封闭图形在直观图中对应的面积与原图形面积相等
[D] 线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
【答案】 D
【解析】 如图,由斜二测画法得到的正方形的直观图是邻边不相等的平行四边形,可知A,B,C均错误,D正确.故选D.
2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画成(　　)
[A] 平行于z′轴且大小为10 cm的线段
[B] 平行于z′轴且大小为5 cm的线段
[C] 与z′轴成45°且大小为10 cm的线段
[D] 与z′轴成45°且大小为5 cm的线段
【答案】 A
【解析】 平行于z′轴(或在z′轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持一致,所以圆柱的高应画成平行于z′轴且大小为10 cm的线段.故选A.
3.如图,已知等腰直角三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图,O′A′=A′B′,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是(　　)
[A] 2 [B] 1 [C] [D]
【答案】 A
【解析】
利用斜二测画法的定义,画出原图形,如图所示,
由Rt△O′A′B′是等腰直角三角形,O′A′=A′B′,斜边O′B′=2,
得O′A′=O′B′=,
因此OB=O′B′=2,OA=2O′A′=2,
∠AOB=90°,
所以原平面图形的面积是×2×2=2.故选A.
4.如图是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图,D是△ABC的AB边的中点,A′B′,B′C′分别与y′轴,x′轴平行,则在原图中,三条线段CB,CD,AC(　　)
[A] 最长的是CB,最短的是CA
[B] 最长的是CA,最短的是CB
[C] 最长的是CB,最短的是CD
[D] 最长的是CA,最短的是CD
【答案】 B
【解析】 如图,画出原图,
在原平面图形中AB⊥BC,∠ADC是钝角,
从而CB5.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
[A] 4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
[B] 4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
[C] 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
[D] 4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
【答案】 C
【解析】 由比例可知,所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm.又因为斜二测画直观图的画法:
已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中平行于x′轴,保持长度不变;已知图形中平行于y轴的线段,在直观图中平行于y′轴,长度变为原来的一半;已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中平行于z′轴,保持长度不变.
所以该建筑物按1∶500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm和1.6 cm.故选C.
6.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知A′B′∥y′轴,O′B′=4,且△ABO的面积为16,过点A′作A′C′⊥O′B′,垂足为C′,则A′C′的长为(　　)
[A] 2 [B] [C] 16 [D] 1
【答案】 A
【解析】 由题可知,在△ABO中,∠ABO=90°,
因为△ABO的面积为16,O′B′=4=OB,
所以AB·OB=16,
解得AB=8,A′B′=4.
因为∠A′B′C′=45°,A′C′⊥x′轴于点C′,
所以A′C′=A′B′·sin 45°=4×=2.故选A.
7.(5分)在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′,则点M′的坐标为　　　　.
【答案】 (4,2)　
【解析】 在x′轴的正方向上取点M1,使O′M1=4,在y′轴上取点M2,使O′M2=2.在平面坐标系x′O′y′中,过点(4,0)和y′轴平行的直线与过(0,2)和x′轴平行的直线的交点(4,2)即是点M′的坐标.
8.(5分)用斜二测画法,画一个水平放置的平面图形的直观图,已知直观图是一个底角为45°,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是　　　　.
【答案】 2+　
【解析】 如图,等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图,
作D′E′∥A′B′,交B′C′于点E′,
根据题意可得E′C′=A′B′=,所以B′C′=1+.由斜二测画法规则,等腰梯形A′B′C′D′对应的原图形为直角梯形ABCD,且AB=2,BC=1+,AD=1,
所以直角梯形ABCD的面积
S梯形ABCD=×(1+1+)×2=2+.
9.(13分)如图,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.
【解】
在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.由斜二测画法规则知,梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示,
在直观图中,O′D′=OD,梯形的高D′E′=×=,于是,梯形A′B′C′D′的面积S=×(1+2)×=.
10.(15分)在初中,我们已经学习了一些空间几何体的三视图[正(主)视图、侧视图、俯视图].如图是某几何体的三视图(尺寸单位:cm),试画出它的直观图.
【解】 (1)画轴.画Ox轴,Oy轴,Oz轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画圆柱的直观图.如图①,以O为中点,在x轴上截取AB=6 cm,借助椭圆模板画出下底面☉O的直观图.在z轴上截取OO′=10 cm,过点O′分别作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy.以O′为中点,在x′轴上截取A′B′=6 cm,借助椭圆模板画出上底面☉O′的直观图.连接AA′与BB′.
(3)画球的直观图.如图②,在O′z轴上截取O′O″=3 cm,以点O″为中心,分别沿三个方向(两两之间的夹角为120°)画半径为3 cm的圆的直观图(三个椭圆).以点O″为圆心画一个半径为3 cm的圆.该几何体的直观图如图③所示.
11.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形,底角为30°,腰长为2,如图,那么它在原平面图形中,顶点B到x轴的距离是(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] [D] 2
【答案】 D
【解析】 如图,过点B′作B′C′∥y′轴,交x′轴于点C′,
在△O′B′C′中,∠B′O′C′=30°,∠B′C′O′=135°,O′B′=2,
由正弦定理得=,
于是得B′C′=,且原图中BC即为点B到x轴的距离,
由斜二测画法规则知,在原平面图形中,顶点B到x轴的距离是2.故选D.
12.(5分)如图,在水平放置的平面α上画一个边长为2的等边三角形,则在斜二测画法中线段AC的长为　　　　.
【答案】 　
【解析】 如图,在斜二测画法中,取BC的中点D,
则AD=,CD=1,∠ADC=45°.
在△ADC中,由余弦定理,得
AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC=1+-2×1××=,所以AC=.
13.(17分)设一正方形纸片ABCD边长为4 cm,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形,沿虚线折起,恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计),图中AH⊥PQ,O为正四棱锥底面中心.若正四棱锥的棱长都相等,请求出它的棱长并画出它的直观图示意图.
【解】 由题意,设正四棱锥的棱长为a cm,
则AH=a,
由2×a+a=AC=4可得a=2-2.
该正四棱锥的直观图画法如下.
①画轴,画Ox轴,Oy轴,Oz轴,使∠xOy=45°,
∠xOz=90°.
②画底面正方形的直观图,并画高.
③连线成图.擦去辅助线,且将被遮线画成虚线,就得到该四棱锥的直观图A-PQFN,如图所示.

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