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8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【课程标准要求】　通过求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
几何体 多面体
图形
表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和,也就是展开图的面积
在棱锥与平行于底面的截面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:
===对应线段(如高、棱长、底面边长等)的平方比.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积, h为棱柱的高
棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面面积, h为棱锥的高
棱台 V棱台=h(S′+ +S) S′,S分别为棱台的 上、下底面面积, h为棱台的高
知识拓展
体积公式之间的关系
基础自测
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　)
[A] 27 cm3 [B] 60 cm3
[C] 64 cm3 [D] 125 cm3
【答案】 B
【解析】 V长方体=3×4×5=60(cm3).故选B.
2.若正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为8,高为4,则它的表面积为(　　)
[A] 50 [B] 100 [C] 248 [D] 168
【答案】 D
【解析】 由题意可知,正四棱台的斜高为=5,
故侧面积等于4××5=100,所以表面积为S=100+22+82=168.
故选D.
3.正四棱锥底面正方形的边长为4,侧面是等边三角形,则该四棱锥的侧面积为(　　)
[A] 16 [B] 48
[C] 64 [D]
【答案】 A
【解析】
如图,在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,交于点O,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P-ABCD的高,PE为等边三角形PBC边BC上的高,
所以PE=2,
则S侧=4××4×2=16.
故选A.
4.(人教A版必修第二册P119习题8.3 T2改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　　　　.
【答案】 　
【解析】 ==××1×1×1=.
题型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.
【解】 如图,设底面对角线长AC=a,BD=b,交点为O,
体对角线长A1C=15,
B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=()2+()2===64,
所以AB=8.
所以直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160.
所以直四棱柱的一个底面面积
S底=AC·BD=20.
所以直四棱柱的表面积
S表=160+2×20=160+40.
棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
[变式训练] (1)已知正三棱锥的底面边长为4,高为2,则该三棱锥的表面积是(　　)
[A] 4 [B] 6
[C] 8 [D] 12
(2)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积为(　　)
[A] 36 [B] 12+20
[C] 12+20 [D] 48
【答案】 (1)D　(2)B
【解析】 (1)
如图,在正三棱锥O-ABC中,OM=2,
取BC的中点N,连接AN,ON,则点M在AN上,
且MN=AN.
又AB=4,BN=2,
所以AN==2.
所以MN=AN=,
则ON==.
所以S△OBC=BC·ON=,
S△ABC=BC·AN=4.
故三棱锥的表面积为×3+4=12.故选D.
(2)设正四棱台上、下底面的中心分别为O,O1,CD为侧面上的斜高,
过C作CE⊥O1D交边O1D于点E,所以O1O=3,OC=1,O1D=2,
所以CD==,
所以正四棱台的上、下底面的面积和为S1=22+42=20,
正四棱台的侧面积为S2=××4=12,则其表面积为S=S1+S2=20+12.
故选B.
题型二　棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2] 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积.
【解】
正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,连接E1E,则E1E为斜高.
设O1,O分别是上、下底面的中心,连接E1O1,EO,O1O,则四边形EOO1E1为直角梯形.
因为S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2),
所以EE1=13 cm.
在直角梯形EOO1E1中,
O1E1=A1B1=5 cm,OE=AB=10 cm,
所以O1O==12(cm).
故该正四棱台的体积为V=×12×(102+202+10×20)=2 800(cm3).
求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中解决问题;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决问题.
[变式训练] 如图,一个直四棱柱型容器中盛有水,底面A1ADD1为梯形,AD=3A1D1,侧棱长AB=8.当侧面ABCD水平放置时,液面与棱AA1的交点恰为AA1的中点.当底面A1ADD1水平放置时,液面高为(　　)
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
【答案】 C
【解析】
取底面梯形A1ADD1两腰的中点为E,F,如图所示,
由AD=3A1D1可得EF=2A1D1,
所以四边形A1D1FE与四边形ADFE的面积之比为=,
即可知容器中水的体积占整个容器体积的
=.
当底面A1ADD1水平放置时,可知液面高为直四棱柱侧棱长的,
即可得液面高为AB=5.
故选C.
题型三　简单组合体的表面积和体积
[例3] 某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元
【解】 因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,
所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).
又四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,
所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)×=1 120(cm2).
于是该实心零部件的表面积
S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2).
又0.2S=0.2×2 420=484(元),
故所需加工处理费为484元.
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形,再利用相应多边形的面积公式求得面积.
[变式训练] 一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则该几何体的表面积为　　　　.
【答案】 110　
【解析】 设正四棱柱的底面边长为m,
则4×(42-m2)=60,解得m=1,
所以该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则此棱锥的表面积是(　　)
[A] a2 [B] a2
[C] a2 [D] 都不对
【答案】 A
【解析】
如图,由已知,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC,
△ABC为等边三角形,
AB=a.
在Rt△PAB中,
PA2+PB2=AB2=a2,
所以PA=PB=PC=a,
所以此棱锥的表面积是
a2sin 60°+×(a)2×3=a2+a2=a2.
故选A.
2.有一个正四棱台形状的油槽,最多装油215 L,已知它的两底面边长分别为80 cm和50 cm,则它的深度为(　　)
[A] 40 cm [B] 50 cm
[C] 60 cm [D] 70 cm
【答案】 B
【解析】 因为215 L=215 dm3,
而80 cm=8 dm,50 cm=5 dm,
设棱台的深度为h,
由棱台的体积公式可得,(82+52+)h=215,解得h=5 dm=50 cm.
故选B.
3.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为(　　)
[A] m3
[B] m3
[C] 1 m3
[D] m3
【答案】 B
【解析】 设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1,解得a=,h=,所以六棱柱的体积V=×()2×6×=(m3).故选B.
4.某文创小组设计了一款校园香囊,它是由6个边长为6 cm的全等正三角形拼接而成的六面体(如图),那么香囊内可供填充的容量为(　　)
[A] 9 cm3
[B] 18 cm3
[C] 36 cm3
[D] 72 cm3
【答案】 C
【解析】
依题意,这个六面体可视为共底面的两个棱长为6 cm的正四面体拼接而成的.
正四面体DABC的棱长为6 cm,O为正三角形ABC的中心,连接OC,OD,如图所示,
则正三角形ABC中,
OC=×AB=2(cm),
正四面体DABC的高OD==2(cm),
于是得V四面体DABC=S△ABC·OD=×AB2·OD=18(cm3),
所以这个六面体香囊内可供填充的容量为36 cm3.故选C.
5.某观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台,现有一个除去塔尖的观音塔模型,塔底宽20 cm,塔顶宽10 cm,侧面面积为300 cm2,据此计算该观音塔模型体积为(　　)
[A] 31 500 cm3 [B] 30 000 cm3
[C] 10 500 cm3 [D] 10 000 cm3
【答案】 C
【解析】 由题意知每个侧面面积为75 cm2,设侧面的斜高为h1,则×(20+10)h1=75,
所以h1=5 cm.
侧棱长为5 cm,
正四棱台的高h==45(cm),
V=×(400+100+200)×45=10 500(cm3).故选C.
6.已知长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=2BB′=4,则四面体AB′CD′的体积是(　　)
[A] [B] 16 [C] [D] 32
【答案】 A
【解析】 如图,
可知四面体AB′CD′即为长方体ABCD-A′B′C′D′中去掉4个全等的三棱锥,
所以四面体AB′CD′的体积为4×4×2-4××2××4×4=.故选A.
7.(5分)如图,P-ABCD是正四棱锥,A1B1C1D1-ABCD是正方体,其中AB=2,PA=,则该几何体的表面积为　　　　.
【答案】 4+20　
【解析】 由题意得正四棱锥的斜高h′==,
故几何体表面积为
S=(×2×)×4+5×2×2=4+20.
8.(5分)《九章算术·商功》中记载:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”我们可以翻译为:取一长方体,分成两个一模一样的直三棱柱,称为堑堵,再沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开,得一个四棱锥和一个三棱锥,这个四棱锥称为阳马,这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2,则原长方体的体积是　　　　.
【答案】 6　
【解析】 原长方体ABCD-A1B1C1D1如图所示,
设矩形ABCD的面积为S,DD1=h,
因为阳马D1-ABCD的体积为2,
即Sh=2,所以Sh=6,即原长方体的体积是6.
9.(13分)某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,如图所示.若被截正方体的棱长是60 cm.
为了美观,工人准备将石凳的表面进行粉刷(接触地面的部分也要粉刷),已知每平方米造价50元,请问粉刷一个石凳需要多少钱 (精确到0.1元,≈1.732)
【解】 石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成,其中正方形和正三角形的边长均为30 cm,
则石凳表面积为6×(30)2+8××(30)2×sin 60°=(10 800+3 600)cm2,
则粉刷一个石凳需要
×50=54+18≈85.2(元).
10.(15分)如图,在几何体ABC-EDF中,AB=8,BC=10,AC=6,侧棱AE,CF,BD均垂直于底面ABC,BD=3,FC=4,AE=5,求该几何体的体积.
【解】 在AE上取点M,在CF上取点N,使得AM=CN=BD,连接DM,DN,MN,
则几何体ABC-MDN为直三棱柱.
因为AB=8,BC=10,AC=6,
所以AB2+AC2=BC2,
所以△ABC是以∠BAC为直角的直角三角形,
ME=2,NF=1,DM=AB=8,MN=AC=6,
则多面体D-MNFE是四棱锥,高为8,
所以几何体ABC-EDF是由三棱柱ABC-MDN和四棱锥D-MNFE组合而成的,
=×8×6×3=72,
=××8=24,
所以该几何体的体积为72+24=96.
11.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等,侧面积相等,且它们的高均为,则此正四棱锥的体积为(　　)
[A] 60 [B] 60
[C] 120 [D] 180
【答案】 B
【解析】 如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱锥O1-ABCD,
设底边边长AB=a,高OO1=,
则O1E==.
又正四棱柱的侧面积
S1=4AB·OO1=4a,
正四棱锥的侧面积
S2=4×AB·O1E=2·a,
所以4a=2·a,
解得a=6.
所以正四棱锥体积V=S正方形ABCD·OO1=a2=60.故选B.
12.(5分)如图,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x cm.若要使包装盒的侧面积最大,则x的值为　.
【答案】 15
【解析】 因为AE=FB=x cm(0所以EF=(60-2x)cm,
又阴影部分为等腰直角三角形,所以包装盒侧面高为(60-2x)=(30-x)cm,
由勾股定理得包装盒底边长为 x cm,
所以包装盒侧面积S=4(30-x)·x=-8x2+240x,所以当x=-=15时,包装盒侧面积取得最大值.
13.(17分)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且表面积为2 m2的正四棱锥有盖容器(如图),设容器的高为h m,盖子边长为a m.
(1)求a关于h的函数表达式a=f(h);
(2)设容器的容积为V m3,当h为何值时,V最大 并求出V的最大值(不计容器的厚度).
【解】 (1)如图,连接AC,BD,交点为O,则PO即为正四棱锥的高.
取CD的中点E,连接OE,PE,则OE=a.
由勾股定理,得PE=,
由题意,得a2+4×a=2,
整理,得a=,即f(h)=(h>0).
(2)V=a2h==,
因为h+≥2=2,当且仅当h=,
即h=1时,等号成立,
所以V=≤,
即棱锥的高为1 m,底面边长为 m时,V的最大值为.(共33张PPT)
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
通过求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
几何体 多面体
图形
表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和,也就是展开图的面积
·疑难解惑·
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的 ,
h为棱柱的
底面积
高
底面面积
高
上、下底面面积
高
『知识拓展』
体积公式之间的关系
基础自测
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　)
[A] 27 cm3 [B] 60 cm3
[C] 64 cm3 [D] 125 cm3
B
【解析】 V长方体=3×4×5=60(cm3).故选B.
2.若正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为8,高为4,则它的表面积为(　　)
[A] 50 [B] 100 [C] 248 [D] 168
D
A
4.(人教A版必修第二册P119习题8.3 T2改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.
【解】 如图,设底面对角线长AC=a,BD=b,交点为O,
体对角线长A1C=15,
B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
·解题策略·
棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
D
B
[例2] 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积.
题型二　棱柱、棱锥、棱台的体积
【解】 正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,连接E1E,则E1E为斜高.
设O1,O分别是上、下底面的中心,连接E1O1,EO,O1O,则四边形EOO1E1为
直角梯形.
·解题策略·
求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中解决问题;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决问题.
[变式训练] 如图,一个直四棱柱型容器中盛有水,底面A1ADD1为梯形,AD=
3A1D1,侧棱长AB=8.当侧面ABCD水平放置时,液面与棱AA1的交点恰为AA1的中点.当底面A1ADD1水平放置时,液面高为(　　)
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
C
[例3] 某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=
13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元
题型三　简单组合体的表面积和体积
于是该实心零部件的表面积
S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2).
又0.2S=0.2×2 420=484(元),
故所需加工处理费为484元.
·解题策略·
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形,再利用相应多边形的面积公式求得面积.
[变式训练] 一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则该几何体的表面积为　　　　.
110
【解析】 设正四棱柱的底面边长为m,
则4×(42-m2)=60,解得m=1,
所以该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
感谢观看8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【课程标准要求】　通过求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
几何体 多面体
图形
表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和,也就是展开图的面积
在棱锥与平行于底面的截面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:
===对应线段(如高、棱长、底面边长等)的平方比.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积, h为棱柱的高
棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面面积, h为棱锥的高
棱台 V棱台=h(S′+ +S) S′,S分别为棱台的 上、下底面面积, h为棱台的高
知识拓展
体积公式之间的关系
基础自测
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　)
[A] 27 cm3 [B] 60 cm3
[C] 64 cm3 [D] 125 cm3
2.若正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为8,高为4,则它的表面积为(　　)
[A] 50 [B] 100 [C] 248 [D] 168
故侧面积等于4××5=100,所以表面积为S=100+22+82=168.
故选D.
3.正四棱锥底面正方形的边长为4,侧面是等边三角形,则该四棱锥的侧面积为(　　)
[A] 16 [B] 48
[C] 64 [D]
如图,在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,交于点O,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P-ABCD的高,PE为等边三角形PBC边BC上的高,
所以PE=2,
则S侧=4××4×2=16.
故选A.
4.(人教A版必修第二册P119习题8.3 T2改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　　　　.
题型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.
体对角线长A1C=15,
B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=()2+()2===64,
所以AB=8.
所以直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160.
所以直四棱柱的一个底面面积
S底=AC·BD=20.
所以直四棱柱的表面积
S表=160+2×20=160+40.
棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
[变式训练] (1)已知正三棱锥的底面边长为4,高为2,则该三棱锥的表面积是(　　)
[A] 4 [B] 6
[C] 8 [D] 12
(2)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积为(　　)
[A] 36 [B] 12+20
[C] 12+20 [D] 48
如图,在正三棱锥O-ABC中,OM=2,
取BC的中点N,连接AN,ON,则点M在AN上,
且MN=AN.
又AB=4,BN=2,
所以AN==2.
所以MN=AN=,
则ON==.
所以S△OBC=BC·ON=,
S△ABC=BC·AN=4.
故三棱锥的表面积为×3+4=12.故选D.
(2)设正四棱台上、下底面的中心分别为O,O1,CD为侧面上的斜高,
过C作CE⊥O1D交边O1D于点E,所以O1O=3,OC=1,O1D=2,
所以CD==,
所以正四棱台的上、下底面的面积和为S1=22+42=20,
正四棱台的侧面积为S2=××4=12,则其表面积为S=S1+S2=20+12.
故选B.
题型二　棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2] 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积.
正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,连接E1E,则E1E为斜高.
设O1,O分别是上、下底面的中心,连接E1O1,EO,O1O,则四边形EOO1E1为直角梯形.
因为S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2),
所以EE1=13 cm.
在直角梯形EOO1E1中,
O1E1=A1B1=5 cm,OE=AB=10 cm,
所以O1O==12(cm).
故该正四棱台的体积为V=×12×(102+202+10×20)=2 800(cm3).
求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中解决问题;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决问题.
[变式训练] 如图,一个直四棱柱型容器中盛有水,底面A1ADD1为梯形,AD=3A1D1,侧棱长AB=8.当侧面ABCD水平放置时,液面与棱AA1的交点恰为AA1的中点.当底面A1ADD1水平放置时,液面高为(　　)
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
取底面梯形A1ADD1两腰的中点为E,F,如图所示,
由AD=3A1D1可得EF=2A1D1,
所以四边形A1D1FE与四边形ADFE的面积之比为=,
即可知容器中水的体积占整个容器体积的
=.
当底面A1ADD1水平放置时,可知液面高为直四棱柱侧棱长的,
即可得液面高为AB=5.
故选C.
题型三　简单组合体的表面积和体积
[例3] 某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元
所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).
又四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,
所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)×=1 120(cm2).
于是该实心零部件的表面积
S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2).
又0.2S=0.2×2 420=484(元),
故所需加工处理费为484元.
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形,再利用相应多边形的面积公式求得面积.
[变式训练] 一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则该几何体的表面积为　　　　.
则4×(42-m2)=60,解得m=1,
所以该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则此棱锥的表面积是(　　)
[A] a2 [B] a2
[C] a2 [D] 都不对
如图,由已知,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC,
△ABC为等边三角形,
AB=a.
在Rt△PAB中,
PA2+PB2=AB2=a2,
所以PA=PB=PC=a,
所以此棱锥的表面积是
a2sin 60°+×(a)2×3=a2+a2=a2.
故选A.
2.有一个正四棱台形状的油槽,最多装油215 L,已知它的两底面边长分别为80 cm和50 cm,则它的深度为(　　)
[A] 40 cm [B] 50 cm
[C] 60 cm [D] 70 cm
而80 cm=8 dm,50 cm=5 dm,
设棱台的深度为h,
由棱台的体积公式可得,(82+52+)h=215,解得h=5 dm=50 cm.
故选B.
3.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为(　　)
[A] m3
[B] m3
[C] 1 m3
[D] m3
4.某文创小组设计了一款校园香囊,它是由6个边长为6 cm的全等正三角形拼接而成的六面体(如图),那么香囊内可供填充的容量为(　　)
[A] 9 cm3
[B] 18 cm3
[C] 36 cm3
[D] 72 cm3
依题意,这个六面体可视为共底面的两个棱长为6 cm的正四面体拼接而成的.
正四面体DABC的棱长为6 cm,O为正三角形ABC的中心,连接OC,OD,如图所示,
则正三角形ABC中,
OC=×AB=2(cm),
正四面体DABC的高OD==2(cm),
于是得V四面体DABC=S△ABC·OD=×AB2·OD=18(cm3),
所以这个六面体香囊内可供填充的容量为36 cm3.故选C.
5.某观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台,现有一个除去塔尖的观音塔模型,塔底宽20 cm,塔顶宽10 cm,侧面面积为300 cm2,据此计算该观音塔模型体积为(　　)
[A] 31 500 cm3 [B] 30 000 cm3
[C] 10 500 cm3 [D] 10 000 cm3
所以h1=5 cm.
侧棱长为5 cm,
正四棱台的高h==45(cm),
V=×(400+100+200)×45=10 500(cm3).故选C.
6.已知长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=2BB′=4,则四面体AB′CD′的体积是(　　)
[A] [B] 16 [C] [D] 32
可知四面体AB′CD′即为长方体ABCD-A′B′C′D′中去掉4个全等的三棱锥,
所以四面体AB′CD′的体积为4×4×2-4××2××4×4=.故选A.
7.(5分)如图,P-ABCD是正四棱锥,A1B1C1D1-ABCD是正方体,其中AB=2,PA=,则该几何体的表面积为　　　　.
故几何体表面积为
S=(×2×)×4+5×2×2=4+20.
8.(5分)《九章算术·商功》中记载:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”我们可以翻译为:取一长方体,分成两个一模一样的直三棱柱,称为堑堵,再沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开,得一个四棱锥和一个三棱锥,这个四棱锥称为阳马,这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2,则原长方体的体积是　　　　.
设矩形ABCD的面积为S,DD1=h,
因为阳马D1-ABCD的体积为2,
即Sh=2,所以Sh=6,即原长方体的体积是6.
9.(13分)某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,如图所示.若被截正方体的棱长是60 cm.
为了美观,工人准备将石凳的表面进行粉刷(接触地面的部分也要粉刷),已知每平方米造价50元,请问粉刷一个石凳需要多少钱 (精确到0.1元,≈1.732)
则石凳表面积为6×(30)2+8××(30)2×sin 60°=(10 800+3 600)cm2,
则粉刷一个石凳需要
×50=54+18≈85.2(元).
10.(15分)如图,在几何体ABC-EDF中,AB=8,BC=10,AC=6,侧棱AE,CF,BD均垂直于底面ABC,BD=3,FC=4,AE=5,求该几何体的体积.
则几何体ABC-MDN为直三棱柱.
因为AB=8,BC=10,AC=6,
所以AB2+AC2=BC2,
所以△ABC是以∠BAC为直角的直角三角形,
ME=2,NF=1,DM=AB=8,MN=AC=6,
则多面体D-MNFE是四棱锥,高为8,
所以几何体ABC-EDF是由三棱柱ABC-MDN和四棱锥D-MNFE组合而成的,
=×8×6×3=72,
=××8=24,
所以该几何体的体积为72+24=96.
11.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等,侧面积相等,且它们的高均为,则此正四棱锥的体积为(　　)
[A] 60 [B] 60
[C] 120 [D] 180
设底边边长AB=a,高OO1=,
则O1E==.
又正四棱柱的侧面积
S1=4AB·OO1=4a,
正四棱锥的侧面积
S2=4×AB·O1E=2·a,
所以4a=2·a,
解得a=6.
所以正四棱锥体积V=S正方形ABCD·OO1=a2=60.故选B.
12.(5分)如图,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x cm.若要使包装盒的侧面积最大,则x的值为　.
所以EF=(60-2x)cm,
又阴影部分为等腰直角三角形,所以包装盒侧面高为(60-2x)=(30-x)cm,
由勾股定理得包装盒底边长为 x cm,
所以包装盒侧面积S=4(30-x)·x=-8x2+240x,所以当x=-=15时,包装盒侧面积取得最大值.
13.(17分)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且表面积为2 m2的正四棱锥有盖容器(如图),设容器的高为h m,盖子边长为a m.
(1)求a关于h的函数表达式a=f(h);
(2)设容器的容积为V m3,当h为何值时,V最大 并求出V的最大值(不计容器的厚度).
取CD的中点E,连接OE,PE,则OE=a.
由勾股定理,得PE=,
由题意,得a2+4×a=2,
整理,得a=,即f(h)=(h>0).
(2)V=a2h==,
因为h+≥2=2,当且仅当h=,
即h=1时,等号成立,
所以V=≤,
即棱锥的高为1 m,底面边长为 m时,V的最大值为.

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