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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与表面积之间的关系,培养逻辑推理的核心素养.2.通过求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积:S上下底= ;
侧面积:S侧= ;
表面积:S=
2πr2
2πrl
2πr(r+l)
圆锥 底面积:S底= ;
侧面积:S侧= ;
表面积:S=
πr2
πrl
πr(r+l)
圆台 上底面面积:S上底= ;
下底面面积:S下底= ;
侧面积:S侧= ;
表面积:S=
πr′2
πr2
π(r′l+rl)
π(r′2+r2+r′l+rl)
·温馨提示·
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系
S圆柱侧=2πrl S圆台侧=π(r+r′)l S圆锥侧=πrl.
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱=Sh= 圆柱底面圆的半径为r,面积为S,高为h
圆锥 V圆锥= = 圆锥底面圆的半径为r,面积为S,高为h
圆台 V圆台= = 圆台上底面圆的半径为r′,面积为S′,下底面圆的半径为r,面积为S,高为h
πr2h
『知识拓展』
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
当S′=S时,台体变为柱体,台体的体积公式也就是柱体的体积公式;当S′=0时,台体变为锥体,台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
知识点三　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S= (R为球的半径).
2.球的体积公式V= .
4πR2
『知识拓展』
球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
基础自测
1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
[A] 36π,144π [B] 36 π,36 π
[C] 144 π,36 π [D] 144 π,144 π
B
D
3.(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)
[A] 120° [B] 150°
[C] 180° [D] 240°
C
4.已知圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为　　.
3
关键能力·素养培优
题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
[例1] 已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.
(1)求圆台的母线长;
【解】 (1)设圆台的母线长为l,
则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62,8πl=40π,l=5,所以该圆台的母线长为5.
(2)求圆台的表面积.
【解】 (2)由(1)可得圆台的表面积S=π×(2+6)×5+π×22+π×62=
40π+4π+36π=80π.
·解题策略·
求旋转体侧面积及表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,所以处理好轴截面中边角关系是解题的关键.
(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法.
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程.
A
题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积
B
·解题策略·
求解圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高,对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求的量转化到轴截面内求.
B
[例3] 如图,一个装有水的圆柱形玻璃杯,测得其内部半径为3 cm.将一个玻璃球完全浸入水中,杯中水面上升了0.5 cm.求玻璃球的半径.
题型三　球的表面积和体积
·解题策略·
求球的体积与表面积的方法
要求球的体积或表面积,必须知道半径R或通过条件求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
2
培优拓展4　空间几何体的截面、球的切接问题
　　空间几何体的截面、球的切接问题是高考命题的热点之一,高考命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见,此部分是重点也是难点,属于中等难度.
1.正方体或长方体的外接球球心为体对角线的中点,直三棱柱的外接球球心为上、下底面三角形外接圆圆心连线的中点.
3.圆柱、直棱柱
(1)内切球.
若球与圆柱各个面相切,则球的直径为圆柱的高(如图①).
若球与直三棱柱三个侧面相切,可由平行于底面的截面图,求出球的半径(如图②).
(2)外接球.
直棱柱外接球半径求法(如图所示):
①球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点;
②球心到底面的距离是侧棱长的一半.
4.正棱锥、圆锥的外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法.
(1)球心在棱锥的高所在的直线上.
(2)球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h减去球半径R的绝对值d=|h-R|.
(3)R2=r2+(h-R)2.
题型一　几何体的内切球
C
【题型演绎】
·反思总结·
几何体与球相切问题的解题策略
(1)体积分割法求内切球半径.
(2)作出合适的截面(过球心、切点等),在平面上求解.
(3)多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.
[跟踪训练] 一个球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切,且圆台下底面的半径为2,上底面的半径为1,则该球体的表面积为　　　　.
8π
【解析】 如图,梯形ABCD是该圆台的轴截面,过球心O作OM⊥BC,垂足为M,设球O的半径为r,圆台的下底面圆心为E,上底面圆心为F,连接EF.在截面ABCD中,CD=2ED=4,AB=2BF=2,EF=2OE=2OM=2r.可得BC=BM+CM=BF+CE=3.
又因为BC2=(2r)2+(CE-BF)2,所以r2=2,
所以该球体的表面积为4πr2=8π.
题型二　几何体的外接球
A
·反思总结·
求解多面体外接球问题的方法
解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面多边形外接圆的圆心,再过此圆心作垂直于此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置.
题型三　空间几何体的截面问题
·反思总结·
作截面应遵循的三个原则
(1)在同一平面上的两点可作直线.
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点.
(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
[跟踪训练] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是A1D1,C1D1,AA1的中点,那么过P,Q,R三点的正方体的截面图形是(　 　)
[A] 三角形 [B] 四边形
[C] 五边形 [D] 六边形
D
【解析】 如图,连接PQ,PR,分别取CC1,BC,BA的中点E,F,M,连接FM,QE,
EF,MR,则由正方体的性质可得FM∥PQ,EF∥PR,QE∥MR,所以点P,Q,E,
F,M,R共面,所以六边形PQEFMR即为过P,Q,R三点的正方体的截面图形.
故选D.
感谢观看8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【课程标准要求】　1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与表面积之间的关系,培养逻辑推理的核心素养.2.通过求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积: S上下底=2πr2; 侧面积: S侧=2πrl; 表面积: S=2πr(r+l)
圆锥 底面积: S底=πr2; 侧面积: S侧=πrl; 表面积: S=πr(r+l)
圆台 上底面面积:S上底=πr′2; 下底面面积:S下底=πr2; 侧面积: S侧=π(r′l+rl); 表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系
S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl.
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r,面积为S,高为h
圆锥 V圆锥=Sh= πr2h 圆锥底面圆的半径为r,面积为S,高为h
圆台 V圆台=h(+ +S)= πh(r′2+r′r+r2) 圆台上底面圆的半径为r′,面积为S′,下底面圆的半径为r,面积为S,高为h
知识拓展
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
当S′=S时,台体变为柱体,台体的体积公式也就是柱体的体积公式;当S′=0时,台体变为锥体,台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
知识点三　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S=4πR2(R为球的半径).
2.球的体积公式V=πR3.
知识拓展
球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式d=.
基础自测
1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
[A] 36π,144π [B] 36 π,36 π
[C] 144 π,36 π [D] 144 π,144 π
【答案】 B
2.底面积是π,侧面积是3π的圆锥的体积是(　　)
[A] 2π [B] π [C] [D]
【答案】 D
【解析】 设圆锥的母线长为l,高为h,半径为r,
则S底=πr2=π,且S侧=πrl=3π,
故r=1,l=3,
所以h===2,
所以圆锥的体积为×π×12×2=.故选D.
3.(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)
[A] 120° [B] 150° [C] 180° [D] 240°
【答案】 C
【解析】 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则S底+S侧=3S底,2S底=S侧,
即2πr2=πrl,得2r=l.
设侧面展开图的圆心角为θ,则=2πr,所以θ=180°.故选C.
4.已知圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为　　　　.
【答案】 3　
【解析】 设圆台的高为h,
由题意知,V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3.
题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
[例1] 已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.
(1)求圆台的母线长;
(2)求圆台的表面积.
【解】 (1)设圆台的母线长为l,
则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62,8πl=40π,l=5,所以该圆台的母线长为5.
(2)由(1)可得圆台的表面积S=π×(2+6)×5+π×22+π×62=40π+4π+36π=80π.
求旋转体侧面积及表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,所以处理好轴截面中边角关系是解题的关键.
(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法.
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程.
[变式训练] 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 设正方形边长为a,圆柱底面半径为r,易知圆柱高为a,2πr=a r=,表面积为S=2πr2+a2=2π×() 2+a2=(+1)a2,而侧面积为S′=a2,所以表面积与侧面积之比为=+1=.故选A.
题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积
[例2] 甲、乙两个圆锥的底面积相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲,S乙,体积分别为V甲,V乙,若=2,则等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设甲、乙两个圆锥的母线长分别为l1,l2.
由甲、乙两个圆锥的底面积相等,得出两个圆锥底面圆半径相等,设为r.
由侧面展开图的圆心角之和为2π,得+=2π,则+=1.①
因为=2,则==2,
所以l1=2l2.②
由①②解得l1=3r,l2=,
所以甲圆锥的高h1===2r,
乙圆锥的高h2===r,
所以===.故选B.
求解圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高,对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求的量转化到轴截面内求.
[变式训练] 若一个圆台的高为,母线长为2,侧面积为6π,则该圆台的体积为(　　)
[A] [B]
[C] 5π [D] 7π
【答案】 B
【解析】 设圆台的上底面半径为r′,下底面半径为r,母线长为l,则圆台的侧面积S=π(r′+r)l=6π,可得r′+r=3.又因为圆台的高h为,所以r-r′==1,故有r′=1,r=2,圆台的体积V圆台=πh(r′2+r′r+r2)=π××(1+2+4)=.故选B.
题型三　球的表面积和体积
[例3] 如图,一个装有水的圆柱形玻璃杯,测得其内部半径为3 cm.将一个玻璃球完全浸入水中,杯中水面上升了0.5 cm.求玻璃球的半径.
【解】 设玻璃球的半径为R cm,
则由题意有πR3=π×32×0.5,
解得R=1.5.
故玻璃球的半径为1.5 cm.
求球的体积与表面积的方法
要求球的体积或表面积,必须知道半径R或通过条件求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
[变式训练] 把一个铁制的底面半径为4,侧面积为π的实心圆柱熔化后铸成一个球,则这个铁球的半径为　　　　　.
【答案】 2　
【解析】 设球的半径为R,由题意知实心圆柱的母线长为=.
由实心圆柱的体积等于球的体积得π42×=πR3,
解得R=2.
培优拓展4　空间几何体的截面、球的切接问题
　　空间几何体的截面、球的切接问题是高考命题的热点之一,高考命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见,此部分是重点也是难点,属于中等难度.
1.正方体或长方体的外接球球心为体对角线的中点,直三棱柱的外接球球心为上、下底面三角形外接圆圆心连线的中点.
2.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为r1=,过在一个平面上的四个切点作截面如图.
3.圆柱、直棱柱
(1)内切球.
若球与圆柱各个面相切,则球的直径为圆柱的高(如图①).
若球与直三棱柱三个侧面相切,可由平行于底面的截面图,求出球的半径(如图②).
(2)外接球.
直棱柱外接球半径求法(如图所示):
①球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点;
②球心到底面的距离是侧棱长的一半.
R2=r2+()2.
4.正棱锥、圆锥的外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法.
(1)球心在棱锥的高所在的直线上.
(2)球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h减去球半径R的绝对值d=|h-R|.
(3)R2=r2+(h-R)2.
【题型演绎】
题型一　几何体的内切球
[典例1] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为,那么这个正三棱柱的体积是(　　)
[A] 12 [B] 2
[C] 6 [D] 48
【答案】 C
【解析】 设球的半径为R,由R3=,得R=1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,所以正三棱柱的高等于球的直径2,正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a,则a×sin×=1,所以a=2,所以这个正三棱柱的体积V=×(2)2×2=6.故选C.
几何体与球相切问题的解题策略
(1)体积分割法求内切球半径.
(2)作出合适的截面(过球心、切点等),在平面上求解.
(3)多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.
[跟踪训练] 一个球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切,且圆台下底面的半径为2,上底面的半径为1,则该球体的表面积为　　　　.
【答案】 8π　
【解析】
如图,梯形ABCD是该圆台的轴截面,过球心O作OM⊥BC,垂足为M,设球O的半径为r,圆台的下底面圆心为E,上底面圆心为F,连接EF.在截面ABCD中,CD=2ED=4,AB=2BF=2,EF=2OE=2OM=2r.可得BC=BM+CM=BF+CE=3.
又因为BC2=(2r)2+(CE-BF)2,所以r2=2,
所以该球体的表面积为4πr2=8π.
题型二　几何体的外接球
[典例2] 已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3 和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
[A] 100 π [B] 128 π [C] 144 π [D] 192 π
【答案】 A
【解析】 由题意,得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3=3,××4=4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1,O2,连接O1O2(图略),则O1O2=1,其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R,当球心O在线段O1O2上时,R2=32+O=42+(1-OO1)2,解得OO1=4(舍去);当球心O不在线段O1O2上时,R2=42+O=32+(1+OO2)2,解得OO2=3,所以R2=25,所以该球的表面积为4πR2=100π.故选A.
求解多面体外接球问题的方法
解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面多边形外接圆的圆心,再过此圆心作垂直于此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置.
[跟踪训练] 已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上,且SA=SB=SC=,△ABC是边长为的正三角形,则球O的表面积为　 .
【答案】 　
【解析】
如图,取BC的中点D,底面的中心为点H,连接AD,SH,则易知点A,H,D共线,BD=,AD=,AH=AD=1,外接球的球心O在SH上,连接AO.设外接球的半径为R,则SH==3.在Rt△AHO中,利用勾股定理可得R2=(3-R)2+12,解得R=,所以球O的表面积S=4πR2=.
题型三　空间几何体的截面问题
[典例3] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为侧棱BB1上一点,且B1M=B1B,平面A1DM将该正方体分成两部分,体积分别为V1,V2,且V1【答案】 　
【解析】
如图,延长线段A1M与AB的延长线交于点N,连接DN交BC于点K,连接MK,故平面A1DM延展后即为平面A1DKM,将该正方体分成的两部分,其中一
部分是三棱台BMK-AA1D.
由于MB∥A1A,BK∥AD,故====.不妨设正方体棱长为3,则V1==(+S△BKM+)·AB=×(×3×3+×1×1+)×3=,V2=-=33-=,即=.
作截面应遵循的三个原则
(1)在同一平面上的两点可作直线.
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点.
(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
[跟踪训练] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是A1D1,C1D1,AA1的中点,那么过P,Q,R三点的正方体的截面图形是(　　)
[A] 三角形 [B] 四边形
[C] 五边形 [D] 六边形
【答案】 D
【解析】
如图,连接PQ,PR,分别取CC1,BC,BA的中点E,F,M,连接FM,QE,EF,MR,则由正方体的性质可得FM∥PQ,EF∥PR,QE∥MR,所以点P,Q,E,F,M,R共面,所以六边形PQEFMR即为过P,Q,R三点的正方体的截面图形.
故选D.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知圆锥的底面半径为1,高为,则这个圆锥的侧面积为(　　)
[A] π [B] 2π [C] 2 [D]
【答案】 B
【解析】 由题意得圆锥的母线长为=2,所以侧面积为π×1×2=2π.故选B.
2.已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的9倍,则它的侧面积扩大为原来的(　　)
[A] 倍 [B] 3倍
[C] 3 倍 [D] 9倍
【答案】 B
【解析】 设圆柱的高为h,底面半径为r,
则其体积V=πr2h,侧面积为S=2πrh.
设体积扩大9倍后的底面半径为r′,
则9V=9πr2h=πr′2h,所以r′=3r,
所以其侧面积变为S′=2πr′h=6πrh,
所以S′=3S,即侧面积扩大为原来的3倍.故选B.
3.某圆台形花坛的上底面圆的半径是2 m,下底面圆的半径是4 m,高是3 m,则该花坛的侧面积是(　　)
[A] m2 [B] 6π m2
[C] 12π m2 [D] m2
【答案】 B
【解析】 由题意可得该花坛的母线长
l==,
则该花坛的侧面积S=π(r1+r2)l=π(2+4)×=6π(m2).故选B.
4.半径为4的实心球O1与半径为2的实心球O2体积之差的绝对值为(　　)
[A] [B] 76π
[C] 75π [D]
【答案】 A
【解析】 由题意可知实心球O1体积为π×43=,实心球O2体积为π×23=,所以实心球O1与实心球O2体积之差的绝对值为|-|=.故选A.
5.已知正方体的内切球半径为 ,则该正方体外接球的体积为(　　)
[A] 9π [B] 36π [C] 9π [D] 27π
【答案】 B
【解析】 因为正方体的内切球半径为,所以正方体的棱长为2.
设外接球的半径为R,则(2R)2=3×(2)2,所以R=3,故外接球的体积为πR3=36π.故选B.
6.已知正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为4,过A,C,D1三点的平面截该正方体的内切球,所得截面的面积为(　　)
[A] 2π [B] [C] 3π [D] 4π
【答案】 B
【解析】 如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,
直线AD1,AC,D1C与正方体的内切球分别切于点P,F,Q,
且P,F,Q分别是AD1,AC,D1C的中点.
设正方体内切球球心为O,连接OP,OQ,OF,PF,FQ,PQ,
则OP,OQ,OF互相垂直,且OP=OQ=OF=2,
所以FP=FQ=PQ=2.
则过A,C,D1三点的截面为球内过P,F,Q三点的截面圆,
截面圆的半径为R===,其面积为π×()2=.故选B.
7.(5分)某同学在学习立体几何时,用铁皮制作了一个高为6 cm,体积为8π cm3的圆锥模型(厚度忽略不计),则该圆锥模型的底面半径为　　　　cm,该圆锥模型的侧面积为　　　　cm2.
【答案】 2　4π
【解析】 设该圆锥模型的底面半径为r cm,所以其体积为×6πr2=8π,解得r=2(负值已舍去),
所以其母线长为==2(cm),
所以该圆锥模型的侧面积
S=π×2×2=4π(cm2).
8.(5分)已知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的侧面展开图扇环的圆心角为90°,则这个圆台的侧面积为　　　　.
【答案】 48π　
【解析】 因为圆台的上底面圆半径为2,下底面圆半径为4,它的侧面展开图扇环的圆心角为90°,
设圆台的母线长为l,扇环所在的小圆的半径为x,
由题意可得,
解得
所以圆台的侧面积为π(2+4)×8=48π.
9.(13分)如图,一个倒立的圆锥形水杯,底面半径为10 cm,高为15 cm.将一定量的水注入其中,水形成的圆锥高为h cm.
(1)求水的体积;
(2)若水的体积恰为圆锥形水杯体积的一半,求h的值(精确到0.1 cm,参考数据:≈1.587).
【解】 (1)设水形成的圆锥底面半径为r,则=,
r=h,
V=πr2h=π×h2×h=πh3.
(2)πh3=××π×102×15,
则h3=,
所以h=×≈11.9(cm).
10.(14分)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱筒组成,其中圆柱的高为4 m,半球的半径r为1 m.
(1)这种浮标的体积是多少立方米(π≈3.14,精确到1 m3)
(2)假设该浮标的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元,半球形部分每平方米建造费用为30元,求该浮标的建造费用(π≈3.14,精确到1元).
【解】 (1)由题意得,浮标可看成是由一个圆柱体和一个球体组成,
圆柱体底面半径为1 m,高为4 m,
故其体积为V1=πr2h=4π(m3),
球体体积V2= πr3=π(m3),
所以这种浮标的体积V=V1+V2=≈17(m3).
(2)由题意得,圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积,
S1=2πrh=8π(m2),
故建造费用为8 π×20=160 π(元),
球体部分表面积为S2=4πr2=4π(m2),
故建造费用为4π×30=120π(元),
所以该浮标的建造费用为
160π+120π=280π≈879(元).
11.(多选题)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则下列说法正确的是(　　)
[A] 沙漏中的细沙体积为cm3
[B] 沙漏的体积是128π cm3
[C] 细沙全部漏入下部后,此锥形沙堆的高度约为2.37 cm
[D] 该沙漏的一个沙时大约是1 985 s(π≈3.14)
【答案】 ACD
【解析】 对于A,根据圆锥的截面图可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,
所以细沙的底面半径r=×4=(cm),体积V=·πr2=··=(cm3),A选项正确;
对于B,沙漏的体积V=2××π×()2×h=2××π×42×8=π(cm3),B选项错误;
对于C,设细沙漏入下部后的高度为h1,根据细沙体积不变可知,=×π()2×h1,所以=h1,所以h1≈2.37 cm,C选项正确;
对于D,因为细沙的体积为 cm3,沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,
所以一个沙时为≈×50≈1 985(s),D选项正确.故选ACD.
12.(5分)在边长为4的正方形ABCD中,如图①所示,E,F分别为BC,CD的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起来,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,则三棱锥P-AEF外接球的表面积为　　　　.
【答案】 24π　
【解析】 由题可得,
PA=4,PE=PF=2,
AE=AF==2,
EF==2,
所以PA2+PE2=AE2,PA2+PF2=AF2,
PE2+PF2=EF2,
所以PA⊥PE,PA⊥PF,PE⊥PF,
所以三棱锥P-AEF外接球等同于以同顶点PA,PE,PF扩充为长方体的外接球,如图所示.
设外接球的直径为d,
则有d2=PA2+PE2+PF2=16+4+4=24,
所以d=2,则外接球的半径为R=d=,
所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为4πR2=24π.
13.(17分)如图,四面体AB1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点.
(1)若四面体AB1CD1各棱长均为 ,求该四面体的表面积和体积;
(2)若AD1=,AC=2,AB1=,求四面体AB1CD1外接球的表面积.
【解】 (1)若四面体AB1CD1各棱长均为,
则长方体ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,且四面体AB1CD1为正四面体,
所以=4××××sin 60°=4××××=2,
=-4=13-4×××1×1×1=.
(2)因为四面体AB1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点,
所以四面体AB1CD1外接球与长方体的外接球是同一个球.
设此四面体所在长方体的棱长分别为DA=a,DD1=b,DC=c,
则解得
设长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R,则(2R)2=a2+b2+c2=6,则R2=,所以外接球的表面积为4πR2=6π.8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【课程标准要求】　1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与表面积之间的关系,培养逻辑推理的核心素养.2.通过求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积: S上下底=2πr2; 侧面积: S侧=2πrl; 表面积: S=2πr(r+l)
圆锥 底面积: S底=πr2; 侧面积: S侧=πrl; 表面积: S=πr(r+l)
圆台 上底面面积:S上底=πr′2; 下底面面积:S下底=πr2; 侧面积: S侧=π(r′l+rl); 表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系
S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl.
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r,面积为S,高为h
圆锥 V圆锥=Sh= πr2h 圆锥底面圆的半径为r,面积为S,高为h
圆台 V圆台=h(+ +S)= πh(r′2+r′r+r2) 圆台上底面圆的半径为r′,面积为S′,下底面圆的半径为r,面积为S,高为h
知识拓展
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
当S′=S时,台体变为柱体,台体的体积公式也就是柱体的体积公式;当S′=0时,台体变为锥体,台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
知识点三　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S=4πR2(R为球的半径).
2.球的体积公式V=πR3.
知识拓展
球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式d=.
基础自测
1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
[A] 36π,144π [B] 36 π,36 π
[C] 144 π,36 π [D] 144 π,144 π
2.底面积是π,侧面积是3π的圆锥的体积是(　　)
[A] 2π [B] π [C] [D]
则S底=πr2=π,且S侧=πrl=3π,
故r=1,l=3,
所以h===2,
所以圆锥的体积为×π×12×2=.故选D.
3.(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)
[A] 120° [B] 150° [C] 180° [D] 240°
则S底+S侧=3S底,2S底=S侧,
即2πr2=πrl,得2r=l.
设侧面展开图的圆心角为θ,则=2πr,所以θ=180°.故选C.
4.已知圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为　　　　.
由题意知,V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3.
题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
[例1] 已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.
(1)求圆台的母线长;
(2)求圆台的表面积.
则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62,8πl=40π,l=5,所以该圆台的母线长为5.
(2)由(1)可得圆台的表面积S=π×(2+6)×5+π×22+π×62=40π+4π+36π=80π.
求旋转体侧面积及表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,所以处理好轴截面中边角关系是解题的关键.
(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法.
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程.
[变式训练] 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积
[例2] 甲、乙两个圆锥的底面积相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲,S乙,体积分别为V甲,V乙,若=2,则等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
由甲、乙两个圆锥的底面积相等,得出两个圆锥底面圆半径相等,设为r.
由侧面展开图的圆心角之和为2π,得+=2π,则+=1.①
因为=2,则==2,
所以l1=2l2.②
由①②解得l1=3r,l2=,
所以甲圆锥的高h1===2r,
乙圆锥的高h2===r,
所以===.故选B.
求解圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高,对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求的量转化到轴截面内求.
[变式训练] 若一个圆台的高为,母线长为2,侧面积为6π,则该圆台的体积为(　　)
[A] [B]
[C] 5π [D] 7π
题型三　球的表面积和体积
[例3] 如图,一个装有水的圆柱形玻璃杯,测得其内部半径为3 cm.将一个玻璃球完全浸入水中,杯中水面上升了0.5 cm.求玻璃球的半径.
则由题意有πR3=π×32×0.5,
解得R=1.5.
故玻璃球的半径为1.5 cm.
求球的体积与表面积的方法
要求球的体积或表面积,必须知道半径R或通过条件求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
[变式训练] 把一个铁制的底面半径为4,侧面积为π的实心圆柱熔化后铸成一个球,则这个铁球的半径为　　　　　.
由实心圆柱的体积等于球的体积得π42×=πR3,
解得R=2.
培优拓展4　空间几何体的截面、球的切接问题
　　空间几何体的截面、球的切接问题是高考命题的热点之一,高考命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见,此部分是重点也是难点,属于中等难度.
1.正方体或长方体的外接球球心为体对角线的中点,直三棱柱的外接球球心为上、下底面三角形外接圆圆心连线的中点.
2.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为r1=,过在一个平面上的四个切点作截面如图.
3.圆柱、直棱柱
(1)内切球.
若球与圆柱各个面相切,则球的直径为圆柱的高(如图①).
若球与直三棱柱三个侧面相切,可由平行于底面的截面图,求出球的半径(如图②).
(2)外接球.
直棱柱外接球半径求法(如图所示):
①球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点;
②球心到底面的距离是侧棱长的一半.
R2=r2+()2.
4.正棱锥、圆锥的外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法.
(1)球心在棱锥的高所在的直线上.
(2)球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h减去球半径R的绝对值d=|h-R|.
(3)R2=r2+(h-R)2.
【题型演绎】
题型一　几何体的内切球
[典例1] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为,那么这个正三棱柱的体积是(　　)
[A] 12 [B] 2
[C] 6 [D] 48
几何体与球相切问题的解题策略
(1)体积分割法求内切球半径.
(2)作出合适的截面(过球心、切点等),在平面上求解.
(3)多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.
[跟踪训练] 一个球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切,且圆台下底面的半径为2,上底面的半径为1,则该球体的表面积为　　　　.
如图,梯形ABCD是该圆台的轴截面,过球心O作OM⊥BC,垂足为M,设球O的半径为r,圆台的下底面圆心为E,上底面圆心为F,连接EF.在截面ABCD中,CD=2ED=4,AB=2BF=2,EF=2OE=2OM=2r.可得BC=BM+CM=BF+CE=3.
又因为BC2=(2r)2+(CE-BF)2,所以r2=2,
所以该球体的表面积为4πr2=8π.
题型二　几何体的外接球
[典例2] 已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3 和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
[A] 100 π [B] 128 π [C] 144 π [D] 192 π
求解多面体外接球问题的方法
解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面多边形外接圆的圆心,再过此圆心作垂直于此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置.
[跟踪训练] 已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上,且SA=SB=SC=,△ABC是边长为的正三角形,则球O的表面积为　 .
如图,取BC的中点D,底面的中心为点H,连接AD,SH,则易知点A,H,D共线,BD=,AD=,AH=AD=1,外接球的球心O在SH上,连接AO.设外接球的半径为R,则SH==3.在Rt△AHO中,利用勾股定理可得R2=(3-R)2+12,解得R=,所以球O的表面积S=4πR2=.
题型三　空间几何体的截面问题
[典例3] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为侧棱BB1上一点,且B1M=B1B,平面A1DM将该正方体分成两部分,体积分别为V1,V2,且V1如图,延长线段A1M与AB的延长线交于点N,连接DN交BC于点K,连接MK,故平面A1DM延展后即为平面A1DKM,将该正方体分成的两部分,其中一
部分是三棱台BMK-AA1D.
由于MB∥A1A,BK∥AD,故====.不妨设正方体棱长为3,则V1==(+S△BKM+)·AB=×(×3×3+×1×1+)×3=,V2=-=33-=,即=.
作截面应遵循的三个原则
(1)在同一平面上的两点可作直线.
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点.
(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
[跟踪训练] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是A1D1,C1D1,AA1的中点,那么过P,Q,R三点的正方体的截面图形是(　　)
[A] 三角形 [B] 四边形
[C] 五边形 [D] 六边形
如图,连接PQ,PR,分别取CC1,BC,BA的中点E,F,M,连接FM,QE,EF,MR,则由正方体的性质可得FM∥PQ,EF∥PR,QE∥MR,所以点P,Q,E,F,M,R共面,所以六边形PQEFMR即为过P,Q,R三点的正方体的截面图形.
故选D.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知圆锥的底面半径为1,高为,则这个圆锥的侧面积为(　　)
[A] π [B] 2π [C] 2 [D]
2.已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的9倍,则它的侧面积扩大为原来的(　　)
[A] 倍 [B] 3倍
[C] 3 倍 [D] 9倍
则其体积V=πr2h,侧面积为S=2πrh.
设体积扩大9倍后的底面半径为r′,
则9V=9πr2h=πr′2h,所以r′=3r,
所以其侧面积变为S′=2πr′h=6πrh,
所以S′=3S,即侧面积扩大为原来的3倍.故选B.
3.某圆台形花坛的上底面圆的半径是2 m,下底面圆的半径是4 m,高是3 m,则该花坛的侧面积是(　　)
[A] m2 [B] 6π m2
[C] 12π m2 [D] m2
l==,
则该花坛的侧面积S=π(r1+r2)l=π(2+4)×=6π(m2).故选B.
4.半径为4的实心球O1与半径为2的实心球O2体积之差的绝对值为(　　)
[A] [B] 76π
[C] 75π [D]
5.已知正方体的内切球半径为 ,则该正方体外接球的体积为(　　)
[A] 9π [B] 36π [C] 9π [D] 27π
设外接球的半径为R,则(2R)2=3×(2)2,所以R=3,故外接球的体积为πR3=36π.故选B.
6.已知正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为4,过A,C,D1三点的平面截该正方体的内切球,所得截面的面积为(　　)
[A] 2π [B] [C] 3π [D] 4π
直线AD1,AC,D1C与正方体的内切球分别切于点P,F,Q,
且P,F,Q分别是AD1,AC,D1C的中点.
设正方体内切球球心为O,连接OP,OQ,OF,PF,FQ,PQ,
则OP,OQ,OF互相垂直,且OP=OQ=OF=2,
所以FP=FQ=PQ=2.
则过A,C,D1三点的截面为球内过P,F,Q三点的截面圆,
截面圆的半径为R===,其面积为π×()2=.故选B.
7.(5分)某同学在学习立体几何时,用铁皮制作了一个高为6 cm,体积为8π cm3的圆锥模型(厚度忽略不计),则该圆锥模型的底面半径为　　　　cm,该圆锥模型的侧面积为　　　　cm2.
所以其母线长为==2(cm),
所以该圆锥模型的侧面积
S=π×2×2=4π(cm2).
8.(5分)已知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的侧面展开图扇环的圆心角为90°,则这个圆台的侧面积为　　　　.
设圆台的母线长为l,扇环所在的小圆的半径为x,
由题意可得,
解得
所以圆台的侧面积为π(2+4)×8=48π.
9.(13分)如图,一个倒立的圆锥形水杯,底面半径为10 cm,高为15 cm.将一定量的水注入其中,水形成的圆锥高为h cm.
(1)求水的体积;
(2)若水的体积恰为圆锥形水杯体积的一半,求h的值(精确到0.1 cm,参考数据:≈1.587).
r=h,
V=πr2h=π×h2×h=πh3.
(2)πh3=××π×102×15,
则h3=,
所以h=×≈11.9(cm).
10.(14分)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱筒组成,其中圆柱的高为4 m,半球的半径r为1 m.
(1)这种浮标的体积是多少立方米(π≈3.14,精确到1 m3)
(2)假设该浮标的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元,半球形部分每平方米建造费用为30元,求该浮标的建造费用(π≈3.14,精确到1元).
圆柱体底面半径为1 m,高为4 m,
故其体积为V1=πr2h=4π(m3),
球体体积V2= πr3=π(m3),
所以这种浮标的体积V=V1+V2=≈17(m3).
(2)由题意得,圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积,
S1=2πrh=8π(m2),
故建造费用为8 π×20=160 π(元),
球体部分表面积为S2=4πr2=4π(m2),
故建造费用为4π×30=120π(元),
所以该浮标的建造费用为
160π+120π=280π≈879(元).
11.(多选题)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则下列说法正确的是(　　)
[A] 沙漏中的细沙体积为cm3
[B] 沙漏的体积是128π cm3
[C] 细沙全部漏入下部后,此锥形沙堆的高度约为2.37 cm
[D] 该沙漏的一个沙时大约是1 985 s(π≈3.14)
所以细沙的底面半径r=×4=(cm),体积V=·πr2=··=(cm3),A选项正确;
对于B,沙漏的体积V=2××π×()2×h=2××π×42×8=π(cm3),B选项错误;
对于C,设细沙漏入下部后的高度为h1,根据细沙体积不变可知,=×π()2×h1,所以=h1,所以h1≈2.37 cm,C选项正确;
对于D,因为细沙的体积为 cm3,沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,
所以一个沙时为≈×50≈1 985(s),D选项正确.故选ACD.
12.(5分)在边长为4的正方形ABCD中,如图①所示,E,F分别为BC,CD的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起来,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,则三棱锥P-AEF外接球的表面积为　　　　.
PA=4,PE=PF=2,
AE=AF==2,
EF==2,
所以PA2+PE2=AE2,PA2+PF2=AF2,
PE2+PF2=EF2,
所以PA⊥PE,PA⊥PF,PE⊥PF,
所以三棱锥P-AEF外接球等同于以同顶点PA,PE,PF扩充为长方体的外接球,如图所示.
设外接球的直径为d,
则有d2=PA2+PE2+PF2=16+4+4=24,
所以d=2,则外接球的半径为R=d=,
所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为4πR2=24π.
13.(17分)如图,四面体AB1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点.
(1)若四面体AB1CD1各棱长均为 ,求该四面体的表面积和体积;
(2)若AD1=,AC=2,AB1=,求四面体AB1CD1外接球的表面积.
则长方体ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,且四面体AB1CD1为正四面体,
所以=4××××sin 60°=4××××=2,
=-4=13-4×××1×1×1=.
(2)因为四面体AB1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点,
所以四面体AB1CD1外接球与长方体的外接球是同一个球.
设此四面体所在长方体的棱长分别为DA=a,DD1=b,DC=c,
则解得
设长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R,则(2R)2=a2+b2+c2=6,则R2=,所以外接球的表面积为4πR2=6π.

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