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第十章
静电场中的能量
1　电势能和电势
「定位·学习目标」
1.能了解电势能、电势的内涵,能用电势能、电势解释相关的静电现象,具有相关的物质观念和能量观念。
2.通过用比值定义电势的概念,了解类比推理的方法,提高科学思维能力。
3.通过认识静电力做功的特点,知道静电力做功与重力做功的类似性,理解静电力做功与电势能变化的关系,体会科学思维的方法。
探究·必备知识
1.静电力做功
(1)在匀强电场中,试探电荷沿不同路径从电场中一点移到另一点,静电力做的功W=qElcos θ,其中l为电荷的位移,θ为 与位移之间的夹角,lcos θ为电场中两点间沿电场方向的位移,说明不同路径中静电力做功相同。
「探究新知」
知识点一　静电力做功的特点
静电力
(2)在匀强电场中,若试探电荷q沿任意曲线从一点移动到另一点,若把曲线分成 ,设想每一小段中q都从起点先沿电场方向运动,再沿垂直电场方向运动,可以求得沿电场方向移动的总位移与始、末位置间沿电场方向的位移相等,即静电力做的功都是
的。
2.静电力做功的特点
在匀强电场中移动电荷时,静电力所做的功与电荷的 和
有关,与电荷 无关。同理,可以证明对非匀强电场该特点也适用。
无数小段
一样
起始位置
终止位置
经过的路径
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)在静电场中沿电场线方向移动负电荷时,静电力做正功。
(　 　)
(2)在静电场中电荷运动了一段路程,静电力一定做功。(　 　)
(3)若把一个正电荷由电场中的A点移动到B点,静电力做了正功,则把负电荷从A点移动到B点时,静电力一定做负功。(　 　)
(4)在电场中某两点间无论沿怎样的路径移动某电荷,静电力做功一定相等。(　 　)
「新知检测」
×
×
√
√
知识点二　电势能
「探究新知」
1.概念
电荷在 中具有的势能,称为电势能,用Ep表示。
2.与静电力做功的关系
静电力做的功等于电势能的减少量,即WAB= 。则静电力做正功,电势能 ;静电力做负功,电势能 。
电场
EpA-EpB
减少
增加
3.电势能的确定
(1)静电力做的功只能决定电势能的 量,而不能决定电荷在电场中某点电势能的 。只有先把电场中某点的 规定为0,才能确定电荷在电场中其他点的电势能。
(2)方法:电荷在某点的电势能,等于把它从这点移动到 位置时静电力所做的功。
(3)零势能位置的选取:通常把电荷在离场源电荷 或电荷在 的电势能规定为0。
变化
数值
电势能
零势能
无限远处
大地表面
(1)在电场中确定的两点间移动电荷量大小相等的正、负电荷时,静电力做功与电势能变化有何差异
提示:在电场中确定的两点间移动电荷量大小相等的正、负电荷时,静电力做的功绝对值相等,正、负不同,电势能的变化量绝对值相等,增减情况相反。
(2)电势能与重力势能类似,也有正负,其正负有何意义
提示:当电势能为正值时,表明电荷在该处电势能大于零势能位置的电势能;当电势能为负值时,表明电荷在该处电势能比零势能位置的电势能小。
「新知检测」
知识点三　电势
「探究新知」
1.定义:电荷在电场中某一点的 与它的 之比。
电势能
电荷量
3.单位:在国际单位制中,电势的单位是 ,符号是 ,1 =
1 J/C。
伏特
V
V
4.特点
(1)相对性:应该先规定电场中某处的电势为 ,然后才能确定电场中其他各点的电势。
(2)标矢性:电势是标量,只有大小,没有方向,但有 。
5.与电场线的关系:沿着电场线方向电势 。
0
正负
逐渐降低
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)电势既有正值,也有负值,是矢量。(　 　)
(2)电场中某点的电势大小与试探电荷在该点的电势能大小有关。
(　 　)
(3)沿着电场线方向电势降低。(　 　)
(4)电荷处在电势越高的位置电势能一定越大。(　 　)
「新知检测」
×
×
√
×
突破·关键能力
要点一　静电力做功的特点
「情境探究」
如图所示,试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中,沿直线从A点移动到B点。
(1)静电力做的功为多少
答案:(1)试探电荷所受静电力F=qE,静电力与位移夹角为θ,则静电力做的功W=F·|AB|cos θ=qE·|AM|。
(2)若q沿折线AMB从A点移动到B点,静电力做的功为多少
答案:(2)试探电荷沿线段AM移动,静电力做的功W1=qE·|AM|,在线段MB上静电力做的功W2=0,总功W=W1+W2=qE·|AM|。
(3)若q沿任意曲线从A点移动到B点,静电力做的功为多少
答案:(3)把曲线分为无数小段,可以证明静电力做的功W=qE·|AM|。
(4)由此可得出什么结论
答案:(4)电荷在匀强电场中沿不同路径由A点运动到B点,静电力做功相同。说明静电力做功的多少与路径无关,而与电荷在电场中的始、末位置有关。
「要点归纳」
1.匀强电场中静电力做功的计算
利用公式W=qElcos θ计算大小,其中l为两点间的距离,θ为静电力与位移间的夹角。
2.静电力做功正负的判断
由力和位移夹角判断 对匀强电场的整个运动过程中,静电力和位移方向的夹角为锐角时静电力做正功,夹角为钝角时静电力做负功
由力和瞬时速度方向的夹角判断 对电荷的瞬时运动或微小运动过程,静电力和瞬时速度方向的夹角为锐角时静电力做正功,钝角时做负功,垂直时不做功
根据动能的变化情况判断 若物体只受静电力作用,可根据动能定理,若物体的动能增加,则静电力做正功;若物体的动能减少,则静电力做负功
[例1] (静电力做功的特点)如图所示,电场强度为E的匀强电场中,带电荷量为-q的电荷分别沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动,已知AB长为d。关于静电力做功及大小关系,下列说法正确的是(　 　)
A.沿三个路径运动时,静电力做功一样多
B.沿直线AB运动时,静电力做功最少
C.沿折线ACB运动时,静电力做功最多
D.沿直线AB运动时,静电力做功最多
「典例研习」
√
解析:静电力做功与电荷经过的路径无关,电荷沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动,其初、末位置相同,沿静电力方向运动的位移都相等,因此静电力做功一样多。选项A正确。
[例2] (静电力做功的计算)如图所示的匀强电场中,有a、b、c三点,ab=5 cm,bc=12 cm,其中ab沿电场方向,bc和电场线方向成60°角,一个电荷量为q=4×10-8 C的正电荷从a移到b静电力做功为W1=1.2×10-7 J。求:
(1)此匀强电场的电场强度的大小;
答案:(1)60 N/C
解析:(1)由于电荷沿电场线方向从a移到b,静电力做正功,根据力做功的表达式,有W1=Flab,而F=qE,
(2)该电荷从b移到c静电力所做的功。
答案:(2)1.44×10-7 J
解析:(2)电荷从b移到c,静电力做功
W2=qElbccos 60°=4×10-8×60×0.12×0.5 J=1.44×10-7 J。
要点二　对电势能的理解与大小的判断
「情境探究」
(1)我们知道重力做功、静电力做功都具有“与起始位置和终止位置有关,与经过的路径无关”的特点,而重力做的功与重力势能的变化量互为相反数,即重力做正功,重力势能减少,重力做负功,重力势能增加。依此类推,你认为静电力做的功与电势能有怎样的关系
答案:(1)静电力做的功应该与电势能的变化量互为相反数,即静电力做多少正功,电势能就减少多少;静电力做多少负功,电势能就增加多少。
(2)当正电荷顺着电场线运动时,静电力做什么功 动能是增加还是减少 电势能是增加还是减少 当负电荷顺着电场线运动时,情况又怎样
答案:(2)当正电荷顺着电场线运动时,静电力做正功,动能增加,电势能减少;当负电荷顺着电场线运动时,静电力做负功,动能减少,电势能增加。
(3)如图所示,将某电荷在一电场中由A点移到B点。若选不同的点作零势能位置,电荷在A点(或B点)电势能的大小相同吗 电荷从A到B的过程中电势能的变化量相同吗
答案:(3)由于电势能具有相对性,选择不同的点作零势能位置,电荷在同一点(A点或B点)的电势能大小不相同,但电荷由A到B,静电力做功相同,电势能的变化量相同。
「要点归纳」
1.电势能的特性
系统性 电势能是由电场和电荷共同决定的,是属于电荷和电场所共有,只是简略说成电荷的电势能
相对性 电势能是相对的,其大小与选定的零势能位置有关。确定电荷的电势能,首先应确定零势能位置
标矢性 电势能是标量,有正负但没有方向。正值表示大于零势能位置的电势能,负值表示小于零势能位置的电势能
2.静电力做功与电势能变化的关系
无论在匀强电场还是非匀强电场,电荷沿直线运动还是曲线运动,只要静电力做正功,电势能一定减少;静电力做负功,电势能一定增加,其关系式为WAB=EpA-EpB。
3.判断电势能变化的方法
(1)做功判定法:无论是哪种电荷,只要确定了静电力做功情况就可以确定电势能的变化情况。
(2)电场线法:正电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定减少,逆着电场线的方向移动,电势能一定增加;负电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定增加,逆着电场线的方向移动,电势能一定减少。
(3)电性判定法:同种电荷相距越近,电势能越大,相距越远,电势能越小;异种电荷相距越近,电势能越小,相距越远,电势能越大。
[例3] (静电力做功与电势能变化的关系和电势能大小)将带电荷量为6×10-6 C的负电荷从电场中的A点移到B点,克服静电力做了3×10-5 J的功,再从B移到C,静电力做了1.2×10-5 J的功。
(1)该电荷从A移到B,再从B移到C的过程中,电势能共改变了多少
「典例研习」
答案:(1)增加了1.8×10-5 J
解析:(1)由题意可知,WAB=-3×10-5 J,
WBC=1.2×10-5 J,
所以电荷从A点到C点的全过程中静电力做功
WAC=WAB+WBC=-1.8×10-5 J,
故此过程电荷的电势能增加了1.8×10-5 J。
(2)如果规定A点的电势能为零,则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少
解析:(2)根据WAB=EpA-EpB,由于EpA=0,
则EpB=-WAB=3×10-5 J,
根据WAC=EpA-EpC,由于EpA=0,
则EpC=-WAC=1.8×10-5 J。
答案:(2)3×10-5 J 1.8×10-5 J
规律方法
有关电势能的三点提醒
(1)电势能的变化是通过静电力做功确定的,由关系式WAB=EpA-EpB可以互相确定彼此。
(2)静电力做功和重力做功尽管有相似特点,但地球产生的重力场只会对物体产生引力,而电场对其中的电荷既可产生引力,也可产生斥力,所以计算静电力做的功时要注意电荷的电性、移动的方向、电场强度的方向等。
(3)规定某点的电势能为零后,判断电荷在另外一点的电势能时,电荷从电场中某点移到参考点(零势能位置)静电力做的功,等于该点的电势能;反之,电荷从参考点移到某点,静电力做的功等于该点电势能的相反数。
要点三　对电势的理解与高低的判断
「情境探究」
如图所示的匀强电场,电场强度为E,取O点为零势能位置,A点距O点为l,A、O连线与电场线的夹角为θ。电荷量为q和-2q的试探电荷在A点的电势能分别为多少 电势能与电荷量的比值各是多少 比值的大小与试探电荷有关吗
答案:由WAO=EpA-EpO,WAO=qElcos θ可知,电荷量为q和-2q的试探电荷在A点的电势能分别为qElcos θ、-2qElcos θ;电势能与电荷量的比值相同,都为Elcos θ,说明比值大小与试探电荷无关。
「要点归纳」
1.电势的三个性质
性质 理解
相对性 电势是相对的,电场中某点的电势高低与零电势点的选取有关。通常取离场源电荷无限远处或地球表面的电势为0
固有性 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的,与在该点是否放有试探电荷及所放电荷的电荷量和电势能均无关
标矢性 电势是只有大小、没有方向但有正负的物理量。正值表示该点的电势高于零电势;负值表示该点的电势低于零电势。电场中的同一点会因零电势点的不同而可正、可负
2.电势高低的判断方法
电场线法 沿电场线方向,电势逐渐降低
场源电荷 判断法 离场源正电荷越近的点,电势越高;离场源负电荷越近的点,电势越低
公式法 由 通过计算确定,Ep、q均带各自的正负号,负值一定低于正值和参考点
电势能 判断法 对于正电荷,电势能越大处的电势越高;对于负电荷,电势能越小处的电势越高
[例4] (电势的计算)如图所示为某电场的电场线,现将一电荷量q=-3.0×10-9 C的负电荷从A点移到B点、从B点移到C点、从C点移到D点,静电力做功分别为WAB=3.0×10-8 J、WBC=1.5×10-8 J、WCD=9.0×10-9 J。若取C点电势为零,试求A、B、D三点电势。
「典例研习」
答案:-15 V　-5 V　3 V
解析:电荷从A点移到C点,静电力做功
WAC=3.0×10-8 J+1.5×10-8 J=4.5×10-8 J,
由WAC=EpA-EpC,EpC=0得
EpA=WAC,
规律方法
对电势的理解和计算的三点注意
(1)应用公式 计算电势时,要注意“+”“-”号的代入。
(2)电势由电场本身决定,与试探电荷q无关,两者大小没有任何联系。而电势能由电势 和电荷q共同决定,满足Ep=q 的关系。
(3)沿电场线方向电势一定降低。
检测·学习效果
1
2
3
1.(多选)如图所示,在同一电场中,将某一电荷沿不同轨迹从A点移至B点,下列说法正确的是(　 　)
A.电荷从电场中的A点分别沿路径1、2、3运动到B点,静电力做功相同
B.电荷在A点的电势能一定比在B点的电势能大
C.若电荷为正电荷,静电力对电荷做正功
D.无论电荷是正电荷还是负电荷,静电力所做的功等于其电势能的增加量
√
√
4
1
2
3
4
解析:静电力做功与电荷运动路径无关,只与始、末位置有关,电荷从电场中的A点运动到B点,虽然路径不同,但始、末位置相同,即静电力做功相同,故A正确;由于不知电荷的电性,在从A移到B时,静电力做功情况不明,即无法判断电荷在B点的电势能与在A点的电势能的关系,故B错误;正电荷从A运动到B,无论沿哪条路径,可以确定静电力做正功,故C正确;无论电荷是正电荷还是负电荷,静电力做的功等于电势能的减少量,故D错误。
2.在电场中,把点电荷从A点移动到B点,克服静电力做功6×10-8 J,下列说法正确的是(　 　)
A.该电荷在B点具有的电势能为6×10-8 J
B.该电荷在B点具有的电势能为-6×10-8 J
C.该电荷的电势能增加了6×10-8 J
D.该电荷的电势能减少了6×10-8 J
√
1
2
3
4
解析:把点电荷从A点移动到B点,克服静电力做功6×10-8 J,根据静电力做功与电势能的关系可知,该电荷的电势能增加了6×10-8 J,但由于没有确定零势能位置,不能确定该电荷在B点具有的电势能。选项C正确。
1
2
3
4
1
2
3
4
√
1
2
3
4
4.如图,把q=2×10-6 C的试探电荷从A点移到B点,静电力做功 5×10-5 J,从B点移到无穷远处,静电力做功8×10-5 J。以无穷远处的电势能为零。求:
1
2
4
3
(1)试探电荷在A、B两点的电势能;
1
2
4
解析:(1)由于把试探电荷从B点移到无穷远处,静电力做功8×10-5 J,则WB∞=EpB-Ep∞,而Ep∞=0,即EpB=WB∞,
所以试探电荷在B点的电势能EpB=8×10-5 J,
同理,试探电荷从A点移到B点,静电力做功5×10-5 J,则WAB=EpA-EpB,
解得EpA=1.3×10-4 J。
答案:(1)1.3×10-4 J　8×10-5 J
3
(2)A、B两点的电势。
1
2
4
答案:(2)65 V　40 V
3
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定位·学习目标
1.能了解电势能、电势的内涵,能用电势能、电势解释相关的静电现象,具有相关的物质观念和能量观念。
2.通过用比值定义电势的概念,了解类比推理的方法,提高科学思维能力。
3.通过认识静电力做功的特点,知道静电力做功与重力做功的类似性,理解静电力做功与电势能变化的关系,体会科学思维的方法。
知识点一　静电力做功的特点
探究新知
1.静电力做功
(1)在匀强电场中,试探电荷沿不同路径从电场中一点移到另一点,静电力做的功W=qElcos θ,其中l为电荷的位移,θ为静电力与位移之间的夹角,lcos θ为电场中两点间沿电场方向的位移,说明不同路径中静电力做功相同。
(2)在匀强电场中,若试探电荷q沿任意曲线从一点移动到另一点,若把曲线分成无数小段,设想每一小段中q都从起点先沿电场方向运动,再沿垂直电场方向运动,可以求得沿电场方向移动的总位移与始、末位置间沿电场方向的位移相等,即静电力做的功都是一样的。
2.静电力做功的特点
在匀强电场中移动电荷时,静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关,与电荷经过的路径无关。同理,可以证明对非匀强电场该特点也适用。
新知检测
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)在静电场中沿电场线方向移动负电荷时,静电力做正功。(　×　)
(2)在静电场中电荷运动了一段路程,静电力一定做功。(　×　)
(3)若把一个正电荷由电场中的A点移动到B点,静电力做了正功,则把负电荷从A点移动到B点时,静电力一定做负功。(　√　)
(4)在电场中某两点间无论沿怎样的路径移动某电荷,静电力做功一定相等。(　√　)
知识点二　电势能
探究新知
1.概念
电荷在电场中具有的势能,称为电势能,用Ep表示。
2.与静电力做功的关系
静电力做的功等于电势能的减少量,即WAB=EpA-EpB。则静电力做正功,电势能减少;静电力做负功,电势能增加。
3.电势能的确定
(1)静电力做的功只能决定电势能的变化量,而不能决定电荷在电场中某点电势能的数值。只有先把电场中某点的电势能规定为0,才能确定电荷在电场中其他点的电势能。
(2)方法:电荷在某点的电势能,等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功。
(3)零势能位置的选取:通常把电荷在离场源电荷无限远处或电荷在大地表面的电势能规定为0。
新知检测
(1)在电场中确定的两点间移动电荷量大小相等的正、负电荷时,静电力做功与电势能变化有何差异
提示:在电场中确定的两点间移动电荷量大小相等的正、负电荷时,静电力做的功绝对值相等,正、负不同,电势能的变化量绝对值相等,增减情况相反。
(2)电势能与重力势能类似,也有正负,其正负有何意义
提示:当电势能为正值时,表明电荷在该处电势能大于零势能位置的电势能;当电势能为负值时,表明电荷在该处电势能比零势能位置的电势能小。
知识点三　电势
探究新知
1.定义:电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
2.定义式:=。
3.单位:在国际单位制中,电势的单位是伏特,符号是V,1 V=1 J/C。
4.特点
(1)相对性:应该先规定电场中某处的电势为0,然后才能确定电场中其他各点的电势。
(2)标矢性:电势是标量,只有大小,没有方向,但有正负。
5.与电场线的关系:沿着电场线方向电势逐渐降低。
新知检测
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)电势既有正值,也有负值,是矢量。(　×　)
(2)电场中某点的电势大小与试探电荷在该点的电势能大小有关。(　×　)
(3)沿着电场线方向电势降低。(　√　)
(4)电荷处在电势越高的位置电势能一定越大。(　×　)
要点一　静电力做功的特点
情境探究
如图所示,试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中,沿直线从A点移动到B点。
(1)静电力做的功为多少
(2)若q沿折线AMB从A点移动到B点,静电力做的功为多少
(3)若q沿任意曲线从A点移动到B点,静电力做的功为多少
(4)由此可得出什么结论
答案:(1)试探电荷所受静电力F=qE,静电力与位移夹角为θ,则静电力做的功W=F·|AB|cos θ=qE·|AM|。
(2)试探电荷沿线段AM移动,静电力做的功W1=qE·|AM|,在线段MB上静电力做的功W2=0,总功W=W1+W2=qE·|AM|。
(3)把曲线分为无数小段,可以证明静电力做的功W=qE·|AM|。
(4)电荷在匀强电场中沿不同路径由A点运动到B点,静电力做功相同。说明静电力做功的多少与路径无关,而与电荷在电场中的始、末位置有关。
要点归纳
1.匀强电场中静电力做功的计算
利用公式W=qElcos θ计算大小,其中l为两点间的距离,θ为静电力与位移间的夹角。
2.静电力做功正负的判断
由力和位移夹角判断 对匀强电场的整个运动过程中,静电力和位移方向的夹角为锐角时静电力做正功,夹角为钝角时静电力做负功
由力和瞬时速度方向的夹角判断 对电荷的瞬时运动或微小运动过程,静电力和瞬时速度方向的夹角为锐角时静电力做正功,钝角时做负功,垂直时不做功
根据动能的变化情况判断 若物体只受静电力作用,可根据动能定理,若物体的动能增加,则静电力做正功;若物体的动能减少,则静电力做负功
典例研习
[例1] (静电力做功的特点)如图所示,电场强度为E的匀强电场中,带电荷量为-q的电荷分别沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动,已知AB长为d。关于静电力做功及大小关系,下列说法正确的是(　A　)
A.沿三个路径运动时,静电力做功一样多
B.沿直线AB运动时,静电力做功最少
C.沿折线ACB运动时,静电力做功最多
D.沿直线AB运动时,静电力做功最多
解析:静电力做功与电荷经过的路径无关,电荷沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动,其初、末位置相同,沿静电力方向运动的位移都相等,因此静电力做功一样多。选项A正确。
[例2] (静电力做功的计算)如图所示的匀强电场中,有a、b、c三点,ab=5 cm,bc=12 cm,其中ab沿电场方向,bc和电场线方向成60°角,一个电荷量为q=4×10-8 C的正电荷从a移到b静电力做功为W1=1.2×10-7 J。求:
(1)此匀强电场的电场强度的大小;
(2)该电荷从b移到c静电力所做的功。
解析:(1)由于电荷沿电场线方向从a移到b,静电力做正功,根据力做功的表达式,有
W1=Flab,而F=qE,
则匀强电场的电场强度大小为
E== N/C=60 N/C。
(2)电荷从b移到c,静电力做功
W2=qElbccos 60°=4×10-8×60×0.12×0.5 J=1.44×10-7 J。
答案:(1)60 N/C　(2)1.44×10-7 J
要点二　对电势能的理解与大小的判断
情境探究
(1)我们知道重力做功、静电力做功都具有“与起始位置和终止位置有关,与经过的路径无关”的特点,而重力做的功与重力势能的变化量互为相反数,即重力做正功,重力势能减少,重力做负功,重力势能增加。依此类推,你认为静电力做的功与电势能有怎样的关系
(2)当正电荷顺着电场线运动时,静电力做什么功 动能是增加还是减少 电势能是增加还是减少 当负电荷顺着电场线运动时,情况又怎样
(3)如图所示,将某电荷在一电场中由A点移到B点。若选不同的点作零势能位置,电荷在A点(或B点)电势能的大小相同吗 电荷从A到B的过程中电势能的变化量相同吗
答案:(1)静电力做的功应该与电势能的变化量互为相反数,即静电力做多少正功,电势能就减少多少;静电力做多少负功,电势能就增加多少。
(2)当正电荷顺着电场线运动时,静电力做正功,动能增加,电势能减少;当负电荷顺着电场线运动时,静电力做负功,动能减少,电势能增加。
(3)由于电势能具有相对性,选择不同的点作零势能位置,电荷在同一点(A点或B点)的电势能大小不相同,但电荷由A到B,静电力做功相同,电势能的变化量相同。
要点归纳
1.电势能的特性
系统性 电势能是由电场和电荷共同决定的,是属于电荷和电场所共有,只是简略说成电荷的电势能
相对性 电势能是相对的,其大小与选定的零势能位置有关。确定电荷的电势能,首先应确定零势能位置
标矢性 电势能是标量,有正负但没有方向。正值表示大于零势能位置的电势能,负值表示小于零势能位置的电势能
2.静电力做功与电势能变化的关系
无论在匀强电场还是非匀强电场,电荷沿直线运动还是曲线运动,只要静电力做正功,电势能一定减少;静电力做负功,电势能一定增加,其关系式为WAB=EpA-EpB。
3.判断电势能变化的方法
(1)做功判定法:无论是哪种电荷,只要确定了静电力做功情况就可以确定电势能的变化情况。
(2)电场线法:正电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定减少,逆着电场线的方向移动,电势能一定增加;负电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定增加,逆着电场线的方向移动,电势能一定减少。
(3)电性判定法:同种电荷相距越近,电势能越大,相距越远,电势能越小;异种电荷相距越近,电势能越小,相距越远,电势能越大。
典例研习
[例3] (静电力做功与电势能变化的关系和电势能大小)将带电荷量为6×10-6 C的负电荷从电场中的A点移到B点,克服静电力做了3×10-5 J的功,再从B移到C,静电力做了1.2×10-5 J的功。
(1)该电荷从A移到B,再从B移到C的过程中,电势能共改变了多少
(2)如果规定A点的电势能为零,则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少
解析:(1)由题意可知,WAB=-3×10-5 J,
WBC=1.2×10-5 J,
所以电荷从A点到C点的全过程中静电力做功
WAC=WAB+WBC=-1.8×10-5 J,
故此过程电荷的电势能增加了1.8×10-5 J。
(2)根据WAB=EpA-EpB,由于EpA=0,
则EpB=-WAB=3×10-5 J,
根据WAC=EpA-EpC,由于EpA=0,
则EpC=-WAC=1.8×10-5 J。
答案:(1)增加了1.8×10-5 J　(2)3×10-5 J 1.8×10-5 J
有关电势能的三点提醒
(1)电势能的变化是通过静电力做功确定的,由关系式WAB=EpA-EpB可以互相确定彼此。
(2)静电力做功和重力做功尽管有相似特点,但地球产生的重力场只会对物体产生引力,而电场对其中的电荷既可产生引力,也可产生斥力,所以计算静电力做的功时要注意电荷的电性、移动的方向、电场强度的方向等。
(3)规定某点的电势能为零后,判断电荷在另外一点的电势能时,电荷从电场中某点移到参考点(零势能位置)静电力做的功,等于该点的电势能;反之,电荷从参考点移到某点,静电力做的功等于该点电势能的相反数。
要点三　对电势的理解与高低的判断
情境探究
如图所示的匀强电场,电场强度为E,取O点为零势能位置,A点距O点为l,A、O连线与电场线的夹角为θ。电荷量为q和-2q的试探电荷在A点的电势能分别为多少 电势能与电荷量的比值各是多少 比值的大小与试探电荷有关吗
答案:由WAO=EpA-EpO,WAO=qElcos θ可知,电荷量为q和-2q的试探电荷在A点的电势能分别为qElcos θ、-2qElcos θ;电势能与电荷量的比值相同,都为Elcos θ,说明比值大小与试探电荷无关。
要点归纳
1.电势的三个性质
性质 理解
相对性 电势是相对的,电场中某点的电势高低与零电势点的选取有关。通常取离场源电荷无限远处或地球表面的电势为0
固有性 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的,与在该点是否放有试探电荷及所放电荷的电荷量和电势能均无关
续　表
性质 理解
标矢性 电势是只有大小、没有方向但有正负的物理量。正值表示该点的电势高于零电势;负值表示该点的电势低于零电势。电场中的同一点会因零电势点的不同而可正、可负
2.电势高低的判断方法
电场线法 沿电场线方向,电势逐渐降低
场源电荷 判断法 离场源正电荷越近的点,电势越高;离场源负电荷越近的点,电势越低
公式法 由=通过计算确定,Ep、q均带各自的正负号,负值一定低于正值和参考点
电势能 判断法 对于正电荷,电势能越大处的电势越高;对于负电荷,电势能越小处的电势越高
典例研习
[例4] (电势的计算)如图所示为某电场的电场线,现将一电荷量q=-3.0×10-9 C的负电荷从A点移到B点、从B点移到C点、从C点移到D点,静电力做功分别为WAB=3.0×10-8 J、WBC=1.5×10-8 J、WCD=9.0×10-9 J。若取C点电势为零,试求A、B、D三点电势。
解析:电荷从A点移到C点,静电力做功
WAC=3.0×10-8 J+1.5×10-8 J=4.5×10-8 J,
由WAC=EpA-EpC,EpC=0得
EpA=WAC,
则A点的电势
A=== V=-15 V,
同理,B点的电势
B=== V=-5 V,
而WCD=EpC-EpD=-EpD,则
D点的电势
D=== V=3 V。
答案:-15 V　-5 V　3 V
对电势的理解和计算的三点注意
(1)应用公式=计算电势时,要注意“+”“-”号的代入。
(2)电势由电场本身决定,与试探电荷q无关,两者大小没有任何联系。而电势能由电势和电荷q共同决定,满足Ep=q的关系。
(3)沿电场线方向电势一定降低。
1.(多选)如图所示,在同一电场中,将某一电荷沿不同轨迹从A点移至B点,下列说法正确的是(　AC　)
A.电荷从电场中的A点分别沿路径1、2、3运动到B点,静电力做功相同
B.电荷在A点的电势能一定比在B点的电势能大
C.若电荷为正电荷,静电力对电荷做正功
D.无论电荷是正电荷还是负电荷,静电力所做的功等于其电势能的增加量
解析:静电力做功与电荷运动路径无关,只与始、末位置有关,电荷从电场中的A点运动到B点,虽然路径不同,但始、末位置相同,即静电力做功相同,故A正确;由于不知电荷的电性,在从A移到B时,静电力做功情况不明,即无法判断电荷在B点的电势能与在A点的电势能的关系,故B错误;正电荷从A运动到B,无论沿哪条路径,可以确定静电力做正功,故C正确;无论电荷是正电荷还是负电荷,静电力做的功等于电势能的减少量,故D错误。
2.在电场中,把点电荷从A点移动到B点,克服静电力做功6×10-8 J,下列说法正确的是(　C　)
A.该电荷在B点具有的电势能为6×10-8 J
B.该电荷在B点具有的电势能为-6×10-8 J
C.该电荷的电势能增加了6×10-8 J
D.该电荷的电势能减少了6×10-8 J
解析:把点电荷从A点移动到B点,克服静电力做功6×10-8 J,根据静电力做功与电势能的关系可知,该电荷的电势能增加了6×10-8 J,但由于没有确定零势能位置,不能确定该电荷在B点具有的电势能。选项C正确。
3.将点电荷q(q>0)从零电势处移入电场中的M点,静电力做功为3.0×10-9 J,若将点电荷-q(q>0)从电场中的N点移到零电势处,静电力做功为5.0×10-9 J,则M、N两点的电势M、N关系正确的是(　C　)
A.N<00>M
C.NM>0
解析:将点电荷q(q>0)从零电势处移入电场中的M点,静电力做正功,则带正电的点电荷在M点的电势能为-3.0×10-9 J,同理可得,带负电的点电荷在N点的电势能为5.0×10-9 J,则M、N两点的电势分别为M== V,N== V= V,可得N4.如图,把q=2×10-6 C的试探电荷从A点移到B点,静电力做功 5×10-5 J,从B点移到无穷远处,静电力做功8×10-5 J。以无穷远处的电势能为零。求:
(1)试探电荷在A、B两点的电势能;
(2)A、B两点的电势。
解析:(1)由于把试探电荷从B点移到无穷远处,静电力做功8×10-5 J,则
WB∞=EpB-Ep∞,而Ep∞=0,即EpB=WB∞,
所以试探电荷在B点的电势能
EpB=8×10-5 J,
同理,试探电荷从A点移到B点,静电力做功5×10-5 J,则
WAB=EpA-EpB,
解得EpA=1.3×10-4 J。
(2)根据=,
可知A==65 V,B==40 V。
答案:(1)1.3×10-4 J　8×10-5 J
(2)65 V　40 V
课时作业
基础巩固练
考点一　静电力做功与电势能的改变
1.(多选)如图所示,△ABC的边AC与匀强电场的电场方向平行。将电荷q从A点移到B点,静电力做功为W1,从A点移到C点、从C点移到B点,静电力做功分别为W2、W3,则(　BC　)
A.W1W2
C.W1=W2+W3 D.W1解析:设匀强电场的电场强度为E,将电荷q从A点移到B点,静电力做功为W1=qE|AB|cos θ,将电荷q从A点移到C点,静电力做功为W2=qE|AC|,将电荷q从C点移到B点,静电力做功为W3=qE|BC|cos α,由于|AB|cos θ>|AC|,则W1>W2,而W2+W3=qE|AC|+qE|BC|cos α=
qE|AB|cos θ,即W1=W2+W3,选项B、C正确。
2.(多选)如图,在M、N处固定两个等量同种点电荷,两点电荷均带正电。O点是MN连线的中点,直线PQ是MN的中垂线,且P、Q距离O点均为无穷远。现有一带正电的试探电荷q自O点以大小为v0的初速度沿中垂线一直向Q点运动。若试探电荷q只受到M、N处两点电荷的静电力作用,则以下判断可能正确的是(　BD　)
A.静电力对试探电荷不做功
B.q在O点处的加速度为零
C.静电力对试探电荷做功的功率逐渐增大
D.q的电势能将逐渐减小
解析:根据两等量正点电荷周围电场的特点可知,在直线PQ上,O点电场强度为0,从O点到Q点电场强度先增大后减小,无穷远处为0,且方向始终指向Q,故试探电荷所受的静电力做正功,试探电荷的电势能逐渐减小,试探电荷在O点时所受静电力为0,所以加速度为0,故A错误,B、D正确;从O到Q过程中,静电力对试探电荷做正功,速度增大,但静电力先增大后减小,最终变为0,根据公式P=Fv可知,静电力做功的功率应先增大后减小,最终变为0,故C错误。
3.(多选)一带正电的粒子在电场中做直线运动的vt图像如图所示,
t1、t2时刻分别经过M、N两点,已知运动过程中粒子仅受静电力作用,则下列判断正确的是(　BC　)
A.该电场为非匀强电场
B.粒子从M到N的过程中动能与电势能之和保持不变
C.粒子从M点运动到N点的过程中,电势能逐渐增大
D.粒子在M点受到的静电力大于在N点受到的静电力
解析:由于vt图像的斜率表示加速度,图像的斜率不变,则粒子的加速度恒定,根据牛顿第二定律可知,粒子所受静电力不变,则该电场为匀强电场,粒子在M点受到的静电力等于在N点受到的静电力,故A、D错误;粒子从M点运动到N点的过程中,速度逐渐减小,即粒子的动能逐渐减小,故粒子所受静电力做负功,粒子的电势能增大,由力做功与能的转化关系可知,粒子从M到N的过程中,静电力做负功的结果使动能减少、电势能增加,无其他能量的转化,故粒子动能和电势能之和保持不变,故B、C正确。
4.如图甲所示,在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称,它们在x轴上的Ex图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q,它将沿x轴正方向运动,不计重力。则(　D　)
A.A、B带等量正电荷
B.点电荷q在x1处电势能最大
C.点电荷q在x3处动能最大
D.点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2
解析:由Ex图像可知,在x轴上的P点对应x2点,在P点的左侧电场强度为正值,沿x轴正方向,右侧为负值,可知A、B带等量负电荷,选项A错误;正点电荷q从O点到P点,静电力做正功,电势能减小,从P点沿x轴正方向运动时,静电力做负功,电势能增加,因此点电荷q在x1处电势能不是最大;由动能定理可知点电荷q在x2处动能最大,选项B、C错误;由于A、B点电荷形成的电场沿x轴相对于P点对称,根据动能定理,电荷从O点由静止释放到最远处,静电力做功为0,即点电荷q沿x轴正方向最远能到达O点关于P点的对称点O′点位置,故点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2,选项D正确。
5.如图所示,水平方向有一匀强电场,电场强度E=2.0×104 N/C,沿电场线方向有A、B两点,A、B两点间的距离s=0.10 m。将质量 m=
2×10-9 kg、电荷量q=+2.0×10-8 C的电荷从A点移至B点。
(1)求电荷所受静电力F的大小和方向;
(2)求电荷从A点移至B点的过程中,静电力所做的功W;
(3)电荷的电势能改变了多少
解析:(1)电荷所受静电力F的大小为
F=Eq=2.0×104×2.0×10-8 N=4.0×10-4 N,
方向水平向右。
(2)电荷从A点移至B点的过程中,静电力所做的功为
W=Fs=4.0×10-4×0.10 J=4.0×10-5J。
(3)静电力做正功,根据静电力做功与电势能变化的关系,可知电势能减少了4.0×10-5 J。
答案:(1)4.0×10-4 N　方向水平向右
(2)4.0×10-5 J
(3)电势能减少了4.0×10-5 J
考点二　电势的理解和计算
6.关于电势的理解,下列说法正确的是(　A　)
A.电荷在电势高的位置,电势能不一定大
B.电势的绝对值越大的点电势越高
C.静电力只要对电荷做正功,则电荷一定是由高电势点移向低电势点
D.正电荷仅受静电力的运动中,电荷一定从高电势点移到低电势点
解析:对电荷量相同而电性不同的电荷,处在电势高的位置电势能大小不能确定,例如负电荷在电势高的地方反而电势能更小,故A正确;电势有正、负,但绝对值只有大小,若电势绝对值大,而电势是负值,则绝对值越大电势越低,故B错误;根据静电力做功和电荷电势能的变化关系,可知静电力对电荷做正功,该电荷在电场中的电势能一定减少,但由于电性不确定,根据=可知,电荷不一定从高电势点移向低电势点,故C错误;正电荷若仅受静电力而在电场中运动,由于初始运动情况不明,电荷不一定从高电势点移到低电势点,故D错误。
7.在x轴上关于坐标原点对称的a、b两点处固定两个电荷量相等的点电荷,如图所示的Ex图像描绘了x轴上部分区域的电场强度(以x轴正方向为电场强度的正方向)。对于该电场中x轴上关于原点对称的c、d两点,下列结论正确的是(　A　)
A.两点电场强度相同,c点电势更高
B.两点电场强度相同,d点电势更高
C.两点电场强度不同,两点电势相等,均比O点电势高
D.两点电场强度不同,两点电势相等,均比O点电势低
解析:题图中a点左侧、b点右侧的电场强度方向都沿x轴负方向,则a点处为正点电荷,b点处为负点电荷,由对称性可知两点电荷的电荷量相等,可知该区域电场是由等量异种点电荷形成的,根据其特点知c、d两点的电场强度相同,c点电势更高。选项A正确。
8.如图所示的直线为电场中的一条电场线(方向未知),A、B、C为直线上的三点,且有AB=BC。一电子仅在静电力作用下由A点经B点运动到C点,克服静电力做功为 9.6×10-19 J。已知电子的电荷量为e=-1.6×10-19 C,电子在C点的电势能为1.6×10-18 J,则下列说法正确的是(　D　)
A.电场线的方向由C指向A
B.电子在A点的电势能为2.56×10-18 J
C.B点电势为-7 V
D.零电势点处在A点的左侧
解析:一电子仅在静电力作用下由A点运动到C点,克服静电力做功为9.6×10-19 J。电子所受静电力方向向左,因此电场线的方向由A指向C,故A错误;电子由A点运动到C点,克服静电力做功为 9.6×10-19 J,电势能增加9.6×10-19 J,而在C点的电势能为1.6×10-18 J,则在A点的电势能为6.4×10-19 J,故B错误;由于电场中只画出一条电场线,并不知道电场是否为匀强电场,电子在B点时电势能大小无法确定,所以B点的电势无法确定,故C错误;根据公式=,可知A=-4 V,
C=-10 V,则零电势点处在A点的左侧,故D正确。
9.如图所示,匀强电场中有一个等腰直角三角形,直角边AB=10 cm,已知电场方向与BC边平行,一个电荷量q=-6×10-6 C的电荷在电场中的A点电势能为2.4×10-5 J,在C点电势能为-2.4×10-5 J。
(1)该电荷从A点移到C点静电力做功为多少
(2)电场强度为多大,方向如何
(3)B点的电势为多少
解析:(1)该电荷从A点移到C点静电力做功
WAC=EpA-EpC=2.4×10-5 J-(-2.4×10-5 J)=4.8×10-5 J。
(2)电场方向与BC平行,由电荷从A到C的做功情况可知其方向由C指向B,而沿电场方向的距离d=0.1 m,则WAC=E|q|d,
代入数据解得E=80 N/C。
(3)若电荷由A移到B,静电力不做功,即WAB=0,
则有EpB=EpA=2.4×10-5 J,
由公式=得B== V=-4 V。
答案:(1)4.8×10-5 J　(2)80 N/C,方向由C指向B　(3)-4 V
能力提升练
10.(2023·湖北卷,3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点,其电势分别为M、N,电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是(　C　)
A.若M>N,则M点到电荷Q的距离比N点的远
B.若EMC.若把带负电的试探电荷从M点移到N点,电场力做正功,则MD.若把带正电的试探电荷从M点移到N点,电场力做负功,则EM>EN
解析:由于正点电荷的电场线向外辐射,而沿着电场线方向电势降低,若M>N,则M点到电荷Q的距离比N点的近,A错误;电场线的疏密程度表示电场强度的大小,若EM11.在一些电子显示设备中,让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场,可以使发散的电子束聚集。如图所示,带箭头的实线表示电场线,虚线表示电子的运动轨迹,M、N是这条轨迹上的两点。下列说法正确的是(　D　)
A.M点的电势高于N点
B.电子在M点的加速度大于在N点的加速度
C.电子在M点的动能大于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在N点的电势能
解析:沿电场线方向电势逐渐降低,可知M点的电势低于N点,选项A错误;因N点电场线比M点密集,可知N点电场强度较大,电子在N点所受静电力较大,则电子在M点的加速度小于在N点的加速度,选项B错误;由曲线运动中受力与轨迹的关系可知,电子从M到N点,静电力做正功,动能增加,则电子在M点的动能小于在N点的动能,而电势能减小,则电子在M点的电势能大于在N点的电势能,选项C错误,D
正确。
12.如图所示,曲线为一带负电的粒子在某点电荷产生的电场中的部分运动轨迹,P点为轨迹的最低点,以P点为坐标原点建立直角坐标系,粒子的运动轨迹关于y轴对称,Q点是第Ⅰ象限内轨迹上的一点。粒子只受静电力的作用。下列说法正确的是(　D　)
A.点电荷一定带负电
B.点电荷一定在y轴负半轴上的某处
C.Q点的电势一定比P点的电势高
D.粒子在P、Q两点的动能与电势能之和一定相等
解析:做曲线运动的粒子,受力的方向总是指向运动轨迹凹侧,根据同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引,利用轨迹的对称性可知,若点电荷带负电,一定在y轴的负半轴某处;若点电荷带正电,一定在y轴的正半轴某处,选项A、B错误;沿着电场线方向电势逐渐降低,若点电荷带负电,可知Q点比P点的电势高;若点电荷带正电,由于无法判断Q点和P点到正点电荷的距离大小,因此无法判断Q点与P点电势的高低,选项C错误;由于在整个运动过程中,只有静电力做功,只有动能和电势能之间的转化,因此粒子在P点和Q点的动能与电势能之和保持不变,选项D正确。
13.如图所示,光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC,水平面AB与圆弧BC相切于B点,O为圆心,OB竖直,OC水平,空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放,小球沿水平面向右运动,A、B间距离为2R,匀强电场的电场强度E=,重力加速度大小为g,不计空气阻力。求:
(1)小球从A点开始到达B点的过程中静电力做的功;
(2)小球从A点开始到达C点的过程中,小球的电势能变化了多少;
(3)小球经过C点时对轨道的压力大小。
解析:(1)小球从A点开始到达B点的过程中静电力做的功为
WAB=qEx=q··2R=2mgR。
(2)小球从A点运动到C点的过程中,
静电力做功为WAC=WAB+WBC=qE·3R=3mgR,
根据功能关系可知小球的电势能减少了3mgR。
(3)小球到达C点的过程中,根据动能定理有WAC-mgR=m,
小球经过C点时做圆周运动,有FN-qE=,
解得FN=5mg,
由牛顿第三定律可知,小球对轨道的压力大小为5mg。
答案:(1)2mgR　(2)电势能减少了3mgR (3)5mg

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