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3　电势差与电场强度的关系
「定位·学习目标」
1.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系,形成物理观念。
2.理解等差等势面与电场线间的疏密关系,提高科学思维能力。
3.理解电场强度与电势、电势差的关系,培养从多角度看问题的思维习惯,培养科学态度与责任。
探究·必备知识
1.关系式:UAB= 。
2.物理意义:匀强电场中两点间的电势差等于 与这两点沿 的距离的乘积。
3.适用条件: 电场。
「探究新知」
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
Ed
电场强度
电场方向
匀强
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)匀强电场中,两点间距离一定时其电势差也是一定的。
(　 　)
(2)电场强度越大,则任意两点间的电势差也越大。(　 　)
(3)匀强电场中,垂直于电场方向的相距为d的两点间电势差一定为0。(　 　)
(4)匀强电场中,沿着电场线方向,任何相同距离上的电势降低必定相等。(　 　)
「新知检测」
×
×
√
√
知识点二　电场强度与电势差的关系
「探究新知」
1.内容:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点之间的
与两点 的距离之比。
2.公式:E= 。
3.物理意义:电场强度在数值上等于沿 方向单位距离上降低的 。
电势差
沿电场强度方向
电场
电势
4.方向
电场强度的方向是电势降低最快的方向。如图所示,在匀强电场中,沿AB、AC、AD三个方向,电势下降的值都相等,其中AB沿电场线方向距离最短,单位长度上电势下降最大,即电势下降 。因此,AB方向为 的方向。
最快
电场强度
5.单位: ,符号为V/m。1 V/m=1 N/C。
6.电场线与等势线间的疏密关系
两相邻等势线之间的电势差 时,电场强度越大的地方,两相邻等势线之间的距离 。
伏每米
相同
越小
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)由公式E= 可知,电场强度E与电势差U成正比。(　 　)
(2)电势逐渐降落的方向就是电场线的方向。(　 　)
(3)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等。(　 　)
(4)对非匀强电场,等差等势线越密的地方其电场强度一定越大。
(　 　)
「新知检测」
×
×
×
√
突破·关键能力
要点一　电场中电势差与电场强度的关系
「情境探究」
如图所示的匀强电场,电场强度大小为E,A、B是沿电场方向上的两点,其电势差为UAB,A、B之间相距为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)分别从力和位移的角度和通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
答案:(1)WAB=Fd=qEd;WAB=qUAB。
(2)由两次计算的功说明电势差与电场强度有何关系。
答案:(2)UAB=Ed。
(3)B、C在同一等势面上,若将电荷由A点沿直线AC移动到C,A、C间距离为d′,AC与AB夹角为θ,则电场强度与UAC有何关系
「要点归纳」
1.电场强度表达式的比较
2.电场强度与电势差关系的理解
(1)电场强度为零的两点间电势差一定为零,电势差为零的两点间电场强度不一定为零。
(2)匀强电场中与电场方向不垂直的同一直线上相距较远的两点间的电势差一定较大。
(3)在非匀强电场中,关系式E= 可用来定性分析问题。在等差等势面越密的地方电场强度就越大,如图甲所示。如图乙所示,a、b、c为某条电场线上的三个点,且距离ab=bc,由于电场线越密的地方电场强度越大,即ab段的平均电场强度小于bc段的平均电场强度,故Uab[例1] (公式UAB=Ed和E= 的理解)关于匀强电场中电势差与电场强度的关系,下列说法正确的是(　 　)
A.电势减小最快的方向,必定是电场强度的方向
B.匀强电场中,电场强度与电场中两点间距离的乘积一定等于其电势差
C.在相同距离的两点上,电势差大的其电场强度也必定大
D.匀强电场中,两点间电势差与其间距离之比一定等于电场强度大小
「典例研习」
√
解析:沿电场线方向电势降低,且沿电场线切线方向电势降低最快,因此电势减小最快的方向是电场强度的方向,故A正确;公式U=Ed适用于匀强电场,但d必须是沿电场方向的距离,故B错误;在电场中距离相同的两点,沿电场方向的距离不一定相等,即电势差大的两点间电场强度不一定大,故C错误;匀强电场中,两点间的电势差与这两点沿电场方向上的距离之比才等于电场强度大小,故D错误。
√
[例3] (公式UAB=Ed在匀强电场中的应用)如图所示,两平行金属板A、B间为一匀强电场,A、B相距10 cm,且UAB=2×103 V,C、D为电场中的两点(其中C点在金属板A上),且CD=5 cm,C、D连线和电场强度方向成60°角。
(1)求电子从D点移到C点静电力做的功。
答案:(1)8×10-17 J
(2)若A板接地,D点电势为多少
答案:(2)-500 V
规律方法
(1)电势差的三种求解方法。
③应用关系式UAB=Ed(匀强电场)来求解。
(2)在应用关系式UAB=Ed时可只把电势差大小、电场强度大小通过公式列式求解,而电势差的正负、电场强度的方向可根据题意作出判断。
要点二　匀强电场规律的应用
「情境探究」
答案:由题中给定三点的电势可知,UBA=14 V,UBC=7 V。由于是匀强电场,故AB连线的中点D与C点是等势点,而匀强电场中等势面为一平面,故DC连线为等势线,再过A、B点分别作平行于CD的直线即为所求的过A、B、C点的三条等势线,如图所示,过C作垂直于CD的直线即为过C点的电场线,且电场方向垂直于CD向左。
「要点归纳」
1.关于U=Ed的两个重要推论
在匀强电场中沿电场线方向有U∝d,可以得出以下两个推论。
2.等分规律:在匀强电场中把某段距离等分为n小段,则每小段的电势差等于原电势差的 。
[例4] (“等分法”计算匀强电场中的电势)如图所示,在平面直角坐标系中,有方向平行于坐标平面的匀强电场,坐标系内有A、B两点,其中A点坐标为(6 cm,0),B点坐标为(0, cm),坐标原点O处的电势为0,A点的电势为8 V,B点的电势为 4 V。求:
「典例研习」
(1)x轴上与B点电势相同的点的位置;
答案:(1)(3 cm,0)
解析:(1)设x轴上C点与B点电势相同,由于坐标原点O处的电势为0,A点的电势为8 V,根据匀强电场的等分规律有C处于OA的中点,即C的坐标为(3 cm,0)。
(2)匀强电场的电场强度的大小。
答案:(2)267 V/m
解析:(2)B、C两点的电势相等,则过B、C的直线为一等势线,所以匀强电场的方向垂直于BC,过O点做BC的垂线,其垂足为D点,如图所示,
规律方法
用等分法找等势点的技巧
(1)在匀强电场中,过电势最高点和电势最低点作直线,由其间电势差和直线外某一点的电势确定等分段,找到第三点的等势点。
(2)在匀强电场中,过两等势点的直线一定是等势线,而与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向,进而画出电场线。
(3)用等分法确定电势或电场强度只适用于匀强电场。
检测·学习效果
1
2
3
1.(多选)关于匀强电场中电势差与电场强度的关系,下列说法正确的是(　 　)
A.沿电场线方向电势一定降低
B.任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
C.在同一直线上,相等距离上电势降落必定相等
D.电势降落的方向,必定是电场强度的方向
√
4
√
1
2
3
解析:沿电场线方向电势一定降低,故A正确;任意两点间的电势差等于电场强度和两点间沿电场方向的距离的乘积,故B错误;在同一直线上,相等距离的两点沿电场方向的距离一定相等,由U=Ed可知,电势降落必定相等,故C正确;沿着电场线方向电势逐渐降低,但电势降落的方向不一定是电场强度的方向,电势降落最快的方向,才是电场强度的方向,故D错误。
4
2.(多选)如图,在匀强电场中有一虚线圆,ab和cd是圆的两条直径,其中ab与电场方向的夹角为60°,ab=0.2 m,cd与电场方向平行,a、b两点的电势差Uab=20 V。则(　 　)
A.电场强度的大小E=200 V/m
B.b点的电势比d点的低5 V
C.c、d两点间的电势差Ucd=20 V
D.电子在a点的电势能大于在c点的电势能
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
解析:根据UAB=Ed得a、b两点间Uab=Eabcos 60°,代入数据得E=
=200 V/m,选项A正确;由于沿电场线方向电势逐渐降低,分别作过b、d的等势面,可知b点比d点电势高,选项B错误;由UAB=Ed得Ucd=E·cd=40 V,选项C错误;因a点的电势低于c点电势,则电子在a点的电势能大于在c点的电势能,选项D正确。
3.a、b、c、d是匀强电场中的四个点,它们正好是一个菱形的四个顶点。电场线与菱形所在平面平行。已知a点的电势为12 V,b点的电势为 20 V,d点的电势为6 V,如图所示。由此可知c点的电势为(　 　)
A.8 V B.24 V
C.12 V D.14 V
1
2
3
√
4
1
2
3
4
1
2
4.如图所示,有两块平行金属板A、B相距d=8 cm,接在U=24 V的直流电源上。电源正极接地,C、D两点在两板之间且分别与A、B两板的距离均为 d1=2 cm。
4
3
1
2
3
(1)求A、B板间的电场强度E;
4
答案:(1)300 V/m,方向由A板垂直指向B板
解析:(1)根据匀强电场中电场强度与电势差的关系可得A、B两板间的电场强度为
方向由A板垂直指向B板。
1
2
3
4
答案:(2)-6 V
解析:(2)根据匀强电场中电场强度与电势差的关系可得UAC=Ed1,而d1=2 cm,
则UAC=300×0.02 V=6 V,
1
2
3
(3)将电荷量为1×10-5 C的负电荷由C点移到D点,求静电力做的功。
4
答案:(3)-1.2×10-4 J
解析:(3)由于C、D间沿电场方向的距离dCD=4 cm,则C、D间电势差为UCD=EdCD=300×0.04 V=12 V,
将电荷量为1×10-5 C的负电荷由C点移到D点,静电力做的功为
WCD=qUCD=(-1×10-5)×12 J=-1.2×10-4 J。
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定位·学习目标
1.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系,形成物理观念。
2.理解等差等势面与电场线间的疏密关系,提高科学思维能力。
3.理解电场强度与电势、电势差的关系,培养从多角度看问题的思维习惯,培养科学态度与责任。
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
探究新知
1.关系式:UAB=Ed。
2.物理意义:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
3.适用条件:匀强电场。
新知检测
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)匀强电场中,两点间距离一定时其电势差也是一定的。(　×　)
(2)电场强度越大,则任意两点间的电势差也越大。(　×　)
(3)匀强电场中,垂直于电场方向的相距为d的两点间电势差一定为0。(　√　)
(4)匀强电场中,沿着电场线方向,任何相同距离上的电势降低必定相等。(　√　)
知识点二　电场强度与电势差的关系
探究新知
1.内容:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。
2.公式:E=。
3.物理意义:电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
4.方向
电场强度的方向是电势降低最快的方向。如图所示,在匀强电场中,沿AB、AC、AD三个方向,电势下降的值都相等,其中AB沿电场线方向距离最短,单位长度上电势下降最大,即电势下降最快。因此,AB方向为电场强度的方向。
5.单位:伏每米,符号为V/m。1 V/m=1 N/C。
6.电场线与等势线间的疏密关系
两相邻等势线之间的电势差相同时,电场强度越大的地方,两相邻等势线之间的距离越小。
新知检测
[判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)由公式E=可知,电场强度E与电势差U成正比。(　×　)
(2)电势逐渐降落的方向就是电场线的方向。(　×　)
(3)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等。(　×　)
(4)对非匀强电场,等差等势线越密的地方其电场强度一定越大。(　√　)
要点一　电场中电势差与电场强度的关系
情境探究
如图所示的匀强电场,电场强度大小为E,A、B是沿电场方向上的两点,其电势差为UAB,A、B之间相距为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)分别从力和位移的角度和通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
(2)由两次计算的功说明电势差与电场强度有何关系。
(3)B、C在同一等势面上,若将电荷由A点沿直线AC移动到C,A、C间距离为d′,AC与AB夹角为θ,则电场强度与UAC有何关系
答案:(1)WAB=Fd=qEd;WAB=qUAB。
(2)UAB=Ed。
(3)E=。
要点归纳
1.电场强度表达式的比较
表达 式 E= E=k E=
物理 含义 电场强度大小的定义式 真空中点电荷电场强度大小的决定式 匀强电场中电场强度大小的计算式
来源 由比值法引入,E与F、q无关 由E=和库仑定律导出 由W=qEd和W=qU导出
适用 范围 一切电场 真空中静止点电荷形成的电场 匀强电场
说明 q为试探电荷的电荷量 Q为场源电荷的电荷量 d为沿电场方向的距离
2.电场强度与电势差关系的理解
(1)电场强度为零的两点间电势差一定为零,电势差为零的两点间电场强度不一定为零。
(2)匀强电场中与电场方向不垂直的同一直线上相距较远的两点间的电势差一定较大。
(3)在非匀强电场中,关系式E=可用来定性分析问题。在等差等势面越密的地方电场强度就越大,如图甲所示。如图乙所示,a、b、c为某条电场线上的三个点,且距离ab=bc,由于电场线越密的地方电场强度越大,即ab段的平均电场强度小于bc段的平均电场强度,故Uab典例研习
[例1] (公式UAB=Ed和E=的理解)关于匀强电场中电势差与电场强度的关系,下列说法正确的是(　A　)
A.电势减小最快的方向,必定是电场强度的方向
B.匀强电场中,电场强度与电场中两点间距离的乘积一定等于其电势差
C.在相同距离的两点上,电势差大的其电场强度也必定大
D.匀强电场中,两点间电势差与其间距离之比一定等于电场强度大小
解析:沿电场线方向电势降低,且沿电场线切线方向电势降低最快,因此电势减小最快的方向是电场强度的方向,故A正确;公式U=Ed适用于匀强电场,但d必须是沿电场方向的距离,故B错误;在电场中距离相同的两点,沿电场方向的距离不一定相等,即电势差大的两点间电场强度不一定大,故C错误;匀强电场中,两点间的电势差与这两点沿电场方向上的距离之比才等于电场强度大小,故D错误。
[例2] (U、E间关系式在非匀强电场中的应用)如图为某一电场的电场线和等势面分布,其中图中实线表示电场线,虚线表示过a、c两点的等势面,电势分别为a=30 V,c=10 V,那么a、c连线的中点b的电势b为(　C　)
A.b=20 V B.b>20 V
C.b<20 V D.无法确定
解析:由于电场线分布的疏密程度表示电场强度的大小,则ab之间的电场强度的平均值比bc之间大一些,根据关系式U=Ed定性分析可知 Uab>Ubc,由于Uab=a-b,Ubc=b-c,即有 a-b>b-c,解得b<20 V,选项C正确。
[例3] (公式UAB=Ed在匀强电场中的应用)如图所示,两平行金属板A、B间为一匀强电场,A、B相距10 cm,且UAB=2×103 V,C、D为电场中的两点(其中C点在金属板A上),且CD=5 cm,C、D连线和电场强度方向成60°角。
(1)求电子从D点移到C点静电力做的功。
(2)若A板接地,D点电势为多少
解析:(1)根据公式E=,A、B板间电场强度E= V/m=2×104 V/m,方向竖直向下,
电子从D到C,静电力做正功,
WDC=qELCDcos 60°=1.6×10-19×2×104×5×10-2× J=8×10-17 J。
(2)根据U=Ed,则A、D间电势差为
UAD=ELCDcos 60°=500 V,
由UAD=A-D,A=0得D=-500 V。
答案:(1)8×10-17 J　(2)-500 V
(1)电势差的三种求解方法。
①应用定义式UAB=A-B来求解。
②应用关系式UAB=来求解。
③应用关系式UAB=Ed(匀强电场)来求解。
(2)在应用关系式UAB=Ed时可只把电势差大小、电场强度大小通过公式列式求解,而电势差的正负、电场强度的方向可根据题意作出判断。
要点二　匀强电场规律的应用
情境探究
如图所示,A、B、C表示匀强电场中的三点,它们的电势分别为A=-5 V,B=9 V,C=2 V。试在图中作出过A、B、C点的三条等势线,并画出一条过C点的电场线。
答案:由题中给定三点的电势可知,UBA=14 V,UBC=7 V。由于是匀强电场,故AB连线的中点D与C点是等势点,而匀强电场中等势面为一平面,故DC连线为等势线,再过A、B点分别作平行于CD的直线即为所求的过A、B、C点的三条等势线,如图所示,过C作垂直于CD的直线即为过C点的电场线,且电场方向垂直于CD向左。
要点归纳
1.关于U=Ed的两个重要推论
在匀强电场中沿电场线方向有U∝d,可以得出以下两个推论。
推论1:匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势C=,如图甲所示。
推论2:匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或A-B=C-D),如图乙所示。
2.等分规律:在匀强电场中把某段距离等分为n小段,则每小段的电势差等于原电势差的。
典例研习
[例4] (“等分法”计算匀强电场中的电势)如图所示,在平面直角坐标系中,有方向平行于坐标平面的匀强电场,坐标系内有A、B两点,其中A点坐标为(6 cm,0),B点坐标为(0, cm),坐标原点O处的电势为0,A点的电势为8 V,B点的电势为 4 V。求:
(1)x轴上与B点电势相同的点的位置;
(2)匀强电场的电场强度的大小。
解析:(1)设x轴上C点与B点电势相同,由于坐标原点O处的电势为0,A点的电势为8 V,根据匀强电场的等分规律有C处于OA的中点,即C的坐标为(3 cm,0)。
(2)B、C两点的电势相等,则过B、C的直线为一等势线,所以匀强电场的方向垂直于BC,过O点做BC的垂线,其垂足为D点,如图所示,
根据几何关系有tan∠BCO==,
解得∠BCO=30°,
OD=OCsin∠BCO=1.5×10-2 m,
由关系式E=得
E== V/m≈267 V/m。
答案:(1)(3 cm,0)　(2)267 V/m
用等分法找等势点的技巧
(1)在匀强电场中,过电势最高点和电势最低点作直线,由其间电势差和直线外某一点的电势确定等分段,找到第三点的等势点。
(2)在匀强电场中,过两等势点的直线一定是等势线,而与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向,进而画出电场线。
(3)用等分法确定电势或电场强度只适用于匀强电场。
1.(多选)关于匀强电场中电势差与电场强度的关系,下列说法正确的是(　AC　)
A.沿电场线方向电势一定降低
B.任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
C.在同一直线上,相等距离上电势降落必定相等
D.电势降落的方向,必定是电场强度的方向
解析:沿电场线方向电势一定降低,故A正确;任意两点间的电势差等于电场强度和两点间沿电场方向的距离的乘积,故B错误;在同一直线上,相等距离的两点沿电场方向的距离一定相等,由U=Ed可知,电势降落必定相等,故C正确;沿着电场线方向电势逐渐降低,但电势降落的方向不一定是电场强度的方向,电势降落最快的方向,才是电场强度的方向,故D错误。
2.(多选)如图,在匀强电场中有一虚线圆,ab和cd是圆的两条直径,其中ab与电场方向的夹角为60°,ab=0.2 m,cd与电场方向平行,a、b两点的电势差Uab=20 V。则(　AD　)
A.电场强度的大小E=200 V/m
B.b点的电势比d点的低5 V
C.c、d两点间的电势差Ucd=20 V
D.电子在a点的电势能大于在c点的电势能
解析:根据UAB=Ed得a、b两点间Uab=Eabcos 60°,代入数据得E==200 V/m,选项A正确;由于沿电场线方向电势逐渐降低,分别作过b、d的等势面,可知b点比d点电势高,选项B错误;由UAB=Ed得Ucd=E·cd=40 V,选项C错误;因a点的电势低于c点电势,则电子在a点的电势能大于在c点的电势能,选项D正确。
3.a、b、c、d是匀强电场中的四个点,它们正好是一个菱形的四个顶点。电场线与菱形所在平面平行。已知a点的电势为12 V,b点的电势为 20 V,d点的电势为6 V,如图所示。由此可知c点的电势为(　D　)
A.8 V B.24 V C.12 V D.14 V
解析:由于ab∥dc且ab=dc,则有Uab=Udc,即 a-b=d-c,代入数据解得c=14 V,选项D正确。
4.如图所示,有两块平行金属板A、B相距d=8 cm,接在U=24 V的直流电源上。电源正极接地,C、D两点在两板之间且分别与A、B两板的距离均为 d1=2 cm。
(1)求A、B板间的电场强度E;
(2)求C点的电势C;
(3)将电荷量为1×10-5 C的负电荷由C点移到D点,求静电力做的功。
解析:(1)根据匀强电场中电场强度与电势差的关系可得A、B两板间的电场强度为
E== V/m=300 V/m,方向由A板垂直指向B板。
(2)根据匀强电场中电场强度与电势差的关系可得UAC=Ed1,而d1=2 cm,
则UAC=300×0.02 V=6 V,
以地面为零电势点,则A=0,
根据UAC=A-C,
得C=-UAC=-6 V。
(3)由于C、D间沿电场方向的距离dCD=4 cm,则C、D间电势差为
UCD=EdCD=300×0.04 V=12 V,
将电荷量为1×10-5 C的负电荷由C点移到D点,静电力做的功为
WCD=qUCD=(-1×10-5)×12 J=-1.2×10-4 J。
答案:(1)300 V/m,方向由A板垂直指向B板
(2)-6 V　(3)-1.2×10-4 J
课时作业
基础巩固练
考点一　公式U=Ed和E=的理解及应用
1.关于电场强度,下列说法正确的是(　B　)
A.根据E=可知,E与F成正比,与q成反比
B.公式E=的含义为匀强电场中E的大小在数值上等于两点间的电势差与两点沿电场方向的距离之比
C.根据公式E=可得r→0时,E→∞
D.若某一条电场线上的A点电场强度为E,与A点相距为d的B点之间的电势差UAB一定等于Ed
解析:定义式E=是比值定义法,电场中某点的电场强度与试探电荷的电荷量无关,与试探电荷所受静电力F无关,故A错误;公式E=的含义为匀强电场的电场强度E的大小在数值上等于两点间的电势差与两点沿电场方向的距离之比,故B正确;公式E=适用于真空中静止的点电荷产生的电场强度,r→0时,电荷不能看成点电荷,电场强度不趋近于无穷大,故C错误;一条电场线无法判断电场是否为匀强电场,则UAB不一定等于Ed,D错误。
2.电鳗是放电能力很强的淡水鱼类,因此有水中“高压线”之称。一电鳗头尾相距3 m,某次短暂放电的电压为600 V,电鳗的头部和尾端为放电的两极,若将其体内看作匀强电场,则放电时的电场强度约为(　B　)
A.2 000 V/m B.200 V/m
C.20 V/m D.2 V/m
解析:由匀强电场中电场强度与电势差的关系可知,电鳗放电时体内的电场强度约为E== V/m=200 V/m,选项A、C、D错误,B正确。
3.如图,A、B、C为匀强电场中三个点,其连线组成三角形ABC,其中AC⊥BC,∠ABC=60°,BC=20 cm,电场线与三角形所在平面平行。把一个电荷量 q=1×10-5 C的正电荷从A移到B的过程中,静电力不做功;从B移到C,静电力做功为 ×10-3 J,则该匀强电场的电场强度大小和方向是(　C　)
A.866 V/m,垂直AC向上
B.866 V/m,垂直AC向下
C.1 000 V/m,垂直AB斜向上
D.1 000 V/m,垂直AB斜向下
解析:由于q=1×10-5 C的正电荷从A移到B的过程中,静电力做功为零,则A与B电势相等,A、B连线是一条等势线。而B、C间电势差为UBC== V=100 V,且B点的电势高。该匀强电场的电场强度大小E== V/m=1 000 V/m,方向垂直于AB斜向上,故A、B、D错误,C正确。
4.为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B,必须对该电荷施加一个恒力F,如图所示,若AB=0.4 m,α=37°,
q=-5×10-7 C,F=1.5×10-4 N,A点的电势A=200 V,(不计负电荷受到的重力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:
(1)匀强电场的电场强度E的大小和方向;
(2)B点的电势B。
解析:(1)根据题意,点电荷匀速地从A运动到B,静电力与外力F二力平衡,又根据负电荷所受的静电力方向与电场强度方向相反,则得电场强度的方向斜向左上方,且与AB夹角为37°。
其静电力F′=1.5×10-4 N,
由F=qE得电场强度为E== N/C=300 N/C。
(2)根据等势线与电场线的关系,通过A、B两点的等势线如图所示。
根据UAB=Ed,UAB=A-B得A-B=E·AB·cos 37°,
可得B点的电势为B=A-E·AB·cos 37°=200 V-300×0.4×0.8 V=
104 V。
答案:(1)300 N/C　方向斜向左上方且与AB夹角为37°　(2)104 V
考点二　利用公式U=Ed、E=对非匀强电场问题的定性分析
5.(多选)如图所示,一电场的电场线分布关于y轴对称,O、M、N是y轴上的三个点,且OM=MN,P点在y轴的右侧,MP⊥ON,则下列结论正确的是(　BD　)
A.M点的电势比P点的电势低
B.在O点静止释放一带正电粒子,该粒子将沿y轴做直线运动
C.M、N两点间的电势差等于O、M两点间的电势差
D.若分别过O、M点作两条等势线,两等势线在O、M相距最近
解析:沿着电场线方向,电势逐渐降低,所以M点的电势比P点的电势高,故A错误;在O点静止释放一带正电粒子,粒子所受静电力沿y轴正方向,该粒子将沿y轴做直线运动,故B正确;电场线越密集的地方电场强度越大,而OM=MN,根据U=Ed可知M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差,故C错误;过O、M点分别作的等势线在O到M的直线附近区域电场线最密集,电场强度最大,由U=Ed可知其距离最小,故D正确。
6.如图所示为某电场等势面分布图,现用外力将一带负电的小物块由电场中的A点沿直线匀速移动到B点。下列说法正确的是(　D　)
A.该电场可能是由孤立的点电荷产生
B.A、B两点的电场强度大小满足EAC.A点附近比B点附近电势变化慢
D.若改将带正电的小物块由A点沿直线移动到B点,静电力先做正功后做负功
解析:由孤立的点电荷产生的等势面,是以点电荷为圆心的同心圆,故A错误;由于电场中等势面为等差等势面,而等差等势面越密,相邻等势面沿电场方向距离越小,由E=可知,电场强度越大,则有EA>EB,故B错误;A点附近电场等势面密,电势变化快,故C错误;由A点沿直线到B点,电势先减小后增大,将带正电的小物块从A点移到B点时,其电势能先减小后增大,则静电力先做正功后做负功,故D正确。
7.(2022·福建卷,3)平时我们所处的地球表面,实际上存在场强大小为100 V/m的电场,可将其视为匀强电场,在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点,其中a点位于金属杆正上方,b、c等高。则下列说法正确的是(　B　)
A.b、c两点的电势差Ubc=0
B.a点场强大小大于100 V/m
C.a点场强方向水平向右
D.a点的电势低于c点
解析:题图中的等势面为等差等势面,则b、c两点的电势差为
Ubc=b-c=200 V-300 V=-100 V,故A错误;由于a点与相邻两等势面的距离小于 1 m,而电势差等于100 V,根据E=可知a点场强大小大于100 V/m,故B正确;根据场强的方向垂直于等势面且由电势高的面指向电势低的面,可知a点的场强方向沿竖直方向,不是水平方向,故C错误;由题图可知,a、c点在同一等势面上,电势均为300 V,故D
错误。
考点三　匀强电场规律的应用
8.(多选)如图所示,A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点,各点的电势分别为A=5 V,B=2 V,C=3 V,H、F三等分AB,G为AC的中点,在下列各示意图中,能正确表示该电场强度方向的是(　BC　)
A B
C D
解析:匀强电场中将任一线段等分,则电势差等分。把AB等分为三段,AB间电势差为3 V,则每等分电势差为1 V,H点电势为4 V,F点电势为3 V,将F、C相连,则FC为等势线,电场线垂直于FC,从高电势指向低电势,C正确;AC上,G为中点,AC被等分为两份,A、C间电势差为2 V,则G点电势为4 V,GH为等势线,电场线垂直于GH,从高电势指向低电势,B正确。
9.如图所示,边长为l=0.2 m的正六边形abcdef处在电场强度为E的匀强电场中,电场方向平行于正六边形所在平面,且a、c、d三点的电势分别为a=3 V、c=6 V、d=9 V。则下列表述正确的是(　B　)
A.e=c
B.E=10 V/m
C.Uef=Ubc
D.将质子由a点移到d点静电力做功为6 eV
解析:a、d两点的电势分别为3 V和9 V,则a、d连线的中点O(即正六边形的中心)的电势为6 V,则c点的电势与O点的电势相等,所以c、f两点在等势线上,因此c点与e点的电势不相等,故A错误;由对称性可知Uef=-Ubc,故C错误;根据匀强电场的电场强度和电势差的关系,结合c、d两点,由几何关系可知cd沿电场方向的距离d=lsin 60°=
0.2× m=0.1 m,则 E== V/m=10 V/m,故B正确;由于Uad=-6 V,将质子由a点移到d点静电力做功为-6 eV,故D错误。
能力提升练
10.(多选)如图所示,a、b、c、d是某匀强电场中的四个点,它们正好是一个矩形的四个顶点,ab=cd=L,ad=bc=2L,电场线与矩形所在平面平行。已知a点电势为20 V,b点电势为24 V,d点电势为12 V。一个质子从b点以v0的速度射入此电场,入射方向与bc成45°,一段时间后经过c点(不计质子的重力),下列判断正确的是(　BC　)
A.c点电势高于a点电势
B.电场强度的大小为 V/m
C.质子从b运动到c,电势能减少8 eV
D.质子从b运动到c,电势能增加8 eV
解析:在匀强电场中,由于ab与dc平行且相等,则有Uab=Udc,即a-b=
d-c,解得c点电势为c=b+d-a=24 V+12 V-20 V=16 V,可知c点电势低于a点电势,故A错误;由匀强电场中电势的等分规律可知,ad中点e的电势e=16 V,即e、c连线为一等势线,根据几何关系,d点到e、c连线的距离为Lsin 45°,E== V/m,故B正确;质子从b运动到c,静电力做功为Wbc=eUbc=8 eV,可知质子的电势能减少8 eV,故C正确,D错误。
11.长为L的绝缘轻杆的两端固定带有等量异种电荷的小球(不计重力),电荷量如图所示。开始时,两小球分别静止在A、B位置,A、B连线与水平方向的夹角为60°。现外加一水平匀强电场,电场强度为E,在静电力作用下,小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。求:
(1)A点的电势A;
(2)上述过程中两小球的总电势能的变化量ΔEp。
解析:(1)O、A两点的电势差为UOA=EdOA=Ecos 60°==O-A,
而O=0,
可得A点的电势为A=-。
(2)对A位置的小球,由W=Fl得静电力做功为
W1=E·(1-cos 60°)q=,
同理,对B位置的小球,静电力做功为W2=,
即静电力做的总功W=W1+W2=,
则两小球的总电势能的变化量为ΔEp=-W=-。
答案:(1)-　(2)-
12.如图,在处于真空环境下的匀强电场中有一半径为R=0.5 m的圆(匀强电场与圆共面),圆心为O,圆弧上有A、B、C三点,AB是圆的水平直径,BC间的距离为R。将一电荷量q=4×10-8 C的正电荷从电场中的A点沿直径移到B点,静电力做了1.6×10-7 J的功,再从B点沿圆弧移到C点,克服静电力做了8×10-8 J的功。若规定B点的电势为零,重力不计,求:
(1)A点和C点的电势;
(2)该匀强电场的电场强度的大小及方向。
解析:(1)电荷从A点移到B点,根据静电力做功与电势差的关系,有WAB=q(A-B),
电荷从B点移到C点,有WBC=q(B-C),
而B=0,代入数据解得A=4 V,C=2 V。
(2)由于O点为直径AB的中点,其电势O==2 V,
所以C、O两点电势相等,则C、O连线为该匀强电场中的等势线,过B点作CO的垂线相交于D点,则电场强度的方向与AB成30°角斜向右上方,如图所示。
由几何关系得LDB=Rsin 60°,
电场强度大小为E=,
代入数据解得E= V/m。
答案:(1)4 V　2 V
(2) V/m　方向与AB成30°角斜向右上方

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