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知识点二 方位角
人教版七年级数学知识点总结
第一章 有理数
1.1正数和负数
(
知识点一
正数和负数的概念
)
像3,1.8%,3.5 这样大于0的数叫做正数。像-3,-2.7%， -4.5,-1.2 这样在正
数前加上符号“-”（负）的数叫做负数。 有时，为了明确表达意义,在正
数前面也加上“+”(正）号。例如，+3，+2, +0.5，…就是 3,2,0.5，…
(
知识点二 0的意义
)
0即不是正数，也不是负数。
温馨提示：（1）一个数前面的“+”“-”叫做它的符号，其中，正数前
的“+”号有时可以省略，省略了“+”号后仍表示正数， 而“-”号是
绝对不能省略的。
(2）正数和0称为非负数，负数和0称为非正数。
(
知识点三
具有相反意义的量
)
在实际生活习惯中，常把零上的温度、上升的高度、收人的钱、买
人物品等规定为正的，而把与它们意义相反的量规定为负的， 用负数表
示，而且引入负数之后，“0”不再仅仅表示没有了,而是正、负数的分
界“基准”，它既不是正数，也不是负数，有初始位置的意义.
温馨提示：对于相反意义的量可以从以下几方面去理解：
(1）相反意义的量既要意义相反，又要有数量；
(2）相反意义的量是成对出现的，单独一个量不是相反意义的量；
(3）互为相反意义的两个量在数量上可以不同；
(4）具有相反意义的量必是同类量，在表示相反意义的量时要写明单位.
(
1.2
有理数
)
1.2.1有理数
(
知识点一 有理数及相关概念
)
整数包括正整数、零、负整数。分数包括正分数、负分数。
整数和分数统称为有理数。
(
知识点二 有理数的分类
)
引入负数后，数扩充到了有理数，有理数可以用以下两种方法来分类：
(1)按有理数的定义进行分类： (2）按有理数的性质符号进行分类：
/正整数 正整数
(
整数
0
正有理数
正分数
) (
分数
正分数
负有理数
负整数
) (
负分数
负分
数
)有理数 负整数 有理数 0
(
1.2.2数轴
)
(
知识点一 数轴的概念及画法
)
1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴包含三层含义： ①数轴是一条可以向两端无限延伸的直线;
②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度;
③注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度大小
的确定，都是根据实际需要规定的.
2. 画数轴的步骤
一画：画一条直线(通常画成水平直线)；
(
为负方向；
)三定：确定正方向(一般规定从原点向右为正方向),画上箭头,从原点向左
四标数：选取适当的长度作为单位长度,直线上从原点向右，每隔一个单
位长度取一点，依次标上 1,2,3,…从原点向左,每隔一个单位长度取一点，
依次标上-1,-2,-3,…，如图所示
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(
知识点二 数轴上的点与有理数的对应关系
)
一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右侧，与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左侧，与原点的距离也是a个单位长度.
提示:数轴的引入使数与直线上的点联系起来，是数与形的初步结合 .
1.2.3相反数
(
知识点一 相反数的定义
)
1. 相反数的定义：像2和-2, 5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为 相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。 如2 是-2的相反数，-2也是2的相反数。 一般地,a和-a 互为相反数.特别地，0 的相反数是0，这里， a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
温馨提示：相反数的概念不要与倒数的概念相混淆。
2.相反数的意义：相反数在数轴上分别位于原点的左右,到原点的距离相 等．
温馨提示：（1)数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等。
(2）数轴上与原点的距离是a(a是一个正数）的点有两个，分别在原点左
二取：在这一条直线上任取一点作为原点，并用这个点表示数 0；
(
(3)数轴上表示数0的点到原点的距离为0.
)
(
知识点二 相反数的性质
)
1. 相反数的性质：任何一个数都有相反数， 而且只有一个.正数的相反数
是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是 0。
(
0是唯一一个相反数等于本身的数。如果a=-a,那么a一定是0.
)
2. 相反数的特征：
(1)若a 与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）；
(2)若a+b=0（或a=-b）则a 与b互为相反数.
3. 求一个数的相反数的方法：
(1)求一个具体数的相反数时，只要改变这个数前面的符号，,即可得到这个数的相反数.
(2)求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这个字母或这个式子的 整体前面加上“-”号，如a的相反数为-a, a-b的相反数为-（a-b）,这里的 括号是必须要加的。
(
知识点三
多重符号的化简
)
1. 相反数的表示方法：
数a 的相反数是-a，这里的数a 是任意有理数即a可以是正数、负数或 0.
当a＞0时，-a<0（正数的相反数是负数）；
当a＜0时，-a>0（负数的相反数是正数）；
当a =0时，-a =0（0的相反数是0） .
以上说明，-a不一定就是负数.
2.多重符号的化简方法： 一个正数前面有偶数个“-”号，可以把“-”号
都去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简符号后只剩一个“-”号;
右，表示-a和a.
(
1.2.4绝对值
)
(
第一课时
绝对值
)
(
知识点一
绝对值的定义
)
绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝
对值． 数a的绝对值记作“｜a｜”,读作“a 的绝对值”。从几何意义上
看，数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数.
(
知识点二
绝对值的性质及应用
)
1绝对值的判断法则：
(1)一个正数的绝对值是它本身;
(2)一个负数的绝对值是它的相反数;
(3)0的绝对值是 0。 0是绝对值最小的数.
(
即对于任何有理数a，都有
)
2.绝对值大小的实际应用
(1）绝对值非负性的应用：若几个非负数的和为零，则这几个数同时为
零.即若｜a｜+｜b｜+｜c｜+…=0,则有｜a｜=0,｜b｜=0,｜c｜=0,…，所
以a=0.b=0,c=0,…
(2）在数轴上，一个数的绝对值越小,那么表示这个数的点到原点的距离
越近;在实际问题中， 一个数的绝对值的大小，常表示某个指标偏差的大
小，即是否接近于标准数量或标准质量等.
0前面不论有多少个“+”“-”号,化简后仍是0.
(
知识点一
用数轴比较有理数的大小
)
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即 左边的数小于右边的数.
(
知识点二 用法则比较有理数的大小
)
1.正数大于 0。0大于负数，正数大于负数。
2.两个负数,绝对值大的反而小。
3. 两数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
(1)两数同号（同为正数：绝对值大的数大，
（同为负数：绝对值大的反而小；
(2)两数异号：正数大于负数；
(3)一个数为0（正数与0:正数大于0，
（负数与0:负数小于0。
1.3 有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
(
第一课时
有理数的加法法则
)
(
知识点一、二
有理数的加法法则及应用
)
1.同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号,并用较大
的绝对值减去较小的绝对值.
3.互为相反数的两个数相加得 0.
4.一个数同0相加，仍得这个数.
温馨提示： （1）有理数的加法运算除了需要确定待号外，实际上都是小
学学过的加减运算，有理数的加法运算要遵循“一看、二定、三计算”
(
第二课时
有理数大小的比较
)
以及和的符号;第三步计算和的绝对值。
(2）互为相反数的两个数相加得0.用字母可表示为：若a.b互为相反数，则a+b=0。
(
第二课时有理数加法的运算律及运用
)
(
知识点一、二 有理数加法的运算律及运用
)
1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
用字母表示为 a+b=b+a.
运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交 换，千万不要把符号漏掉.
2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相 加，和不变． 用字母表示为(a+b)+c=a(b+c)
常见的结合方法有：
(
(2)符号相同的数先相加“同号结合法”；
)(1)互为相反数的两个数先相加 “相反数结合法”；
(3)分母相同的数先相加“同分母结合法”；
(4)几个数相加得到整数，先相加 “凑整法”；
(5）整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”
1.3.2有理数的减法
(
第一课时
有理数的减法法则
)
(
知识点一、二 有理数的减法法则及应用
)
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用宇母表
示为 a-b=a+(-b)
温馨提示：(1)进行减法运算时，首先弄清减数的性质符号是+号还是-号
的步骤，即第一步先看加数是同号,还是异号;第二步再确定所用法则
(2)将有理数減法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符 号，由“-”号变成“+”号;另一个是減数的性质符号，例如：3-（+5)转化成加法后写成 3+(-5）.
(3）有理数的減法中被减数与减数不能互换，减法没有交换律和结合 律，只有转化为加法以后，才能运用加法的运算律进行计算。
(
第二课时有理数的加减混合运算
)
(
知识点一
加减混合运算统一成加法运算
)
1.减法可以转化成加法，所以加减混合运算可以统一成加法运算，用式 子表示为 a-b+c-d=a+（-b)+c+（-d);
2.在和式中，加号和括号可以省略，如-9+(-12)+(-3)+6=可以写 成-9-12-3+6,读作“负9、负12、负3、正6的和”，也可以读作“负9减12 减3 加6"
(
知识点二 有理数的加减混合运算
)
1. 有理数加减混合运算的基本步骤：
(1）把混合运算中的减法转变为加法；
(2）根据需要写成省略加号和括号的代数和的形式；
(3）恰当运用加法法则,加法交换律和结合律简化计算
2. 在具体的运算过程中，有以下两种常用的方法：
(1)按照运算顺序，从左到右逐一加以计算
(2)把加减混合运算统一成加法，写成和式的形式后，再运用运算律进行
计算。
(
1.4
有理数的乘除法
)
1.4.1 有理数的乘法
(
第一课时有理数的乘法法则
)
1.两数相乘，同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
2. 任何数同0相乘，都得0.
温馨提示：（1)法则中的“同号得正，算号得负”是指两数相乘． 有理 数乘法的运算步骤为：①确定符号;②确定绝对值，计算结果.
(2）如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负,反之亦然。
(3）如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一 负，反之亦然。
(
知识点二
倒数
)
1. 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。 例如：当a=0时,a与a互为倒数;当m=0，n=0时，m 与 n为倒数。
2. 倒数与相反数的异同
(1）相同点：倒数与相反数都是成对出现的。
(2）不同点：①互为倒数的两个数乘积为 1;互为相反数的两个数和为 0.
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数;正数的相反数是 负数，负数的相反数是正数,0的相反数是 0.
(
第二课时有理数乘法的运算律及应用
)
(
知识点一
多个有理数相乘
)
1. 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数;负因数的个
数是奇数时，积是负数.
2.几个数相乘，如果其中有因数为 0,那么积等于0.
知识点二 有理数乘法的运算律
1.乘法交换律： 一般地，有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相
知识点一 有理数的乘法法则
(
2.
乘法结合律：
一般地，有理数乘法中，,三个数
相乘，先把前两个数相
) (
换律和乘法结合律， 两个或 几个数先相乘，能简化运算过程
)
乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字母表示为(ab)c=a(bc） .
3. 分配律： 一般地，有理数乘法中， 一个数同两个数的和相乘，等于把
这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示为a(b+c)=ab+ac .
4. 乘法结合律可以推广到三个以上的数相乘，如(ab)cd=a(bc)d=ab(cd).
温馨提示： 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般：不单独用，交换的
目 的是为了更好地结合． 当多个不为0的有理数相乘时,适当运用乘法交
使某 某 ．
(
第一课时有理数的除法法则
) (
0
)1.4.2有理数的除法
知识点一 有理数的除法
有理数的除法法则1:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数，
即a b=a b(b=0).
有理数的除法法则2： 两数相除，同号得正，异号得负,并把绝对值相除.
除以任何一个不等于0的数,都得 0.
知识点二 有理数的乘除混合运算
有理数的运算中既有乘法运算又有除法运算，称为有理数的乘除混合运
算。有理数的乘除混合运算可先将除法运算转化为乘法运算,再运用乘法
法则和运算律进行计算.
温馨提示： （1）如果一个不带分数的整数部分和真分数部分都能与某分
数相乘时约分,则将这个带分数写成整数部分与真分数部分的和，再利用
分配律，这样：运算简便。
(2)两个以上有理数的乘除混合运算,可按从左到右的顺序依次计算;也可先
等． 用字母表示为 ab=ba.
(3)进行乘除混合运算时,将除法转化成乘法，算式化成连乘积的形式． 先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数， 带分数化成假分 数，再进行计算。
(4)不要将性质符号和运算符号相混淆。
(
第二课时
有理数的加减乘除混合运算
)
(
知识点一 有理数的加减乘除混合运算
)
1.有理数加减乘除混合运算的顺序：先乘除,后加减,有括号的先计算括号 里面的.
2. 同级运算中,按照从左至右的顺序计算.
温馨提示：有理数加滅乘除混合运算中，首先要把乘除运算统一为乘法 运算,加减运算统一为加法运算,然后按照有理数乘法与加法的法则及运算律进行运算.
(
知识点二 用计算器进行有理数的混合运算
)
不同品牌的计算器操作方法可能有所不同,具体操作方法应参见计算器的
使用说明。另外，还要注意以下几点：
(1)计算器要平稳放置，以免按键时发生晃动和滑动.
(2)计算开始时，要先按开启键ON;停止使用时，要注意按关闭键OFF.
(3)每次运算时，要按一下清零键 AC.
(4)注意负数的输入方式.
將除法转化成乘法，再进行计算.
人教版七年级数学知识点总结
第二章 整式的加减
(
2.1 整式
)
(
第一课时
用字母表示数
)
(
知识点一
含字母式子的书写及意义
)
用字母表示数的书写规定
（1）数与字母相乘或字母与字母相乘时，×可以省略不写或用 代替；
（2）数与字母相乘时 ，数要写在字母前面，如4×a应写作4a;
（3）数字因数是 1 或一1时，“1”常省略不写，
如1×mn 写成mn， -1×mn 写成-mn;
（4）带分数与字母相乘时应把带分数化为假分数， 如1 ×a应写成 a;
(
>
)（5）含有字母的除式应写成分数的形式， 如b÷a写成 a
（6）式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起.
来，如(3+a）米,[4+2（m-1)]千克等.
(
知识点二
用含字母的式子表示数量关系
)
用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为学习和研究带来了
极大的方便． 从具体的数字抽象到用字母表示数，在认识上是一个重大
飞跃.
拓展： 同一问题中不同的数量要用不同的宇母表示;不同的问题中不同的
数量可以用相同的字母表示； 一个字母表示的数往往不止一个，具有任
意性，但要受实际问题的限制.
(
知识点一、二、三 单项式及其系数和次数
)
1.单项式： 由数或字母的乘积组成的式子叫做单项式。 如2 ab，m2 ，-x2 y.特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2. 单项式的系数是指单项式中的数字因数. 单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和.
说明： （1）圆周率π是常数。
（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省路不写，如： a , -m ;次数为“1”时通常也省略不写，如x.
温馨提示：
（1）单项式不含加减运算，只含字母与字母或数与字母的乘积(包括乘方)运算.
（2）含有分母，且分母中含有字母的式子不是单项式。
（3）单项式的书写格式与用字母表示数的书写格式相同
（4）单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关,而单项式的次数只与 字母的指数有关，且是单项式中所有字母的指数的和。
(
第三课时
多项式
)
(
知识点一 多项式及其
项和次数
)
1. 多项式： 几个单项式的和叫做多项式． 如x +2xy+y , a -b .
2. 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其 中不含字母的项叫做常数
项. 多项式里,次数最高项的次数，叫做这个 多项式的次数.
说明： (1）多项式的每一项包括它前面的符号.
（2）像3n -2n +n+1,其中3n 叫四次项，类似地, -2n 叫二次项, n叫一次
项, 1叫常数项。
(
第二课时
单项式
)
温馨提示： （1）求多项式的次数的一般方法： 比较多项式中各项次数的
大小，并求出次数最高的项的次数,则这个次数即为多项式的次数.
(2）多项式中项的命名：多项式中某一项的次数是几,这一项就叫做几次 项,不含字母的项叫做常数项.
(
知识点二
整式
)(3）多项式有几项,就可叫做几项式;多项式的次数是几，就可叫做几次多项式;若二者兼备也可叫做几次几项式.
整式：单项式与多项式统称整式。他们关系可以表示为：
整式 单项式
多项式
(
温馨提示：
)
（1）任意一个整式或者是单项式，或者是多项式，二者必居其一 （2）一个式子如果不是整式，那么这个式子一定不是单项式或多项式。
（3）一个整式的值取决于两个因素：
①字母的值，当字母取不同的值时，得到的整式的值一般也不同；
②多项式中的运算关系，当字母取同一个值时，对于不同的整式，得到的值一般
也不同。
(
2.2
整式的加减
)
第一课时 合并同类项
(
知识点一 同类项
)
同类项必须满足两个条件： (
“所含字母相同”“相同字母的指数也
)
相同”，二者缺一不可。
温馨提示：
（1） 同类项不一定是两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项.
（2）识别同类项时要注意“两个相同”“两个无关”，
“两个相同” 是指：① 所含字母相同;②相 同字母的指数也相同.
“两个无关” 是指：①与单项式的系数无关;②与单项式中字母的排列顺序无关.
如2a bc与-3a cb是同类项。
(
知识点二
合并同类项及化简求值
)
1. 合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类
项。
2.法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，
且字母连同它的指数不变.
3. 步骤：
(1)合并同类项的依据是逆用分配律，
(2)合并同类项的法则可简记为“一相加，两不变”,其中“一相加”是指
各同类项的系数相加;“两不变”是指字母不变且字母的指数也不变.
(3)在多项式中合并同类项的一般步骤为：
①根据同类项的定义找出同类项;
②利用加法交换律和结合律移动某些项的位置;
③根据“一相加，两不变”的原则合并同类项;
④如果合并同类项的结果仍是多项式,那么把多项式按照某个字母的指数从大到小
(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列.
(4) 当同类项的系数互为相反数时，合并同类项的结果为0.
(
温馨提示：
)
（1）把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把
这个多项 式按这个字母的降幂排列.
（2）把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列。
①含有两个或两个以上字母的多项式，按某一个字母降幂或升幂重新排列时,可以 将其他字母视为“常数”.
②重新排列多项式,各项都要带着对应的符号移动位置
(
第二课时
去括号
)
(
知识点一、二
去括号法则及化简
)
去括号法则：
1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同.
2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
温馨提示：
（1）去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计
算,切勿漏乘.
（2）当出现多层括号时，一般是由里向外逐层去括号,如遇特殊情况,为了简便运
算,也可由外向内逐层去括号.
(
第三课时
整式的加减
)
(
知识点
)一 整式的加减及应用
运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号,然后再合
并同类项。
温馨提示：
（1） 整式加减的一般步骤：①如果有括号,先去括号;②如果有同类项，要合并同
类项;③如果运算结果是多项式，把这个多项式按某一字母指数的降(升）幂排列.
(
（2）
整式的加减运算结果要求最简，
即最后结果中
：①
不能再有同类项;②含字母
)
项的系数不能出现带分数，是带分数的要化成假分数;③ 一般按照某一字母的升幂
或降幂排列;④ 一般情况下结果不含括号。
（3）整式加减的一般步骤并不绝对，在具体运算中,也可以先将同类项合并,再去
括号,但要按运算顺序进行.
（4）整式加减的基础是合并同类项法则和去括号法则;整式加减的实质是去括号与
(
合并同类项;整式加减的
目的是化简整式。
)
人教版七年级数学知识点总结
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
(
3.1.1 一元一次方程
)
(
知识点一
方程的概念
)
含有未知数的等式叫做方程。
方程必须具备两个条件：(1)等式;(2)含有未知数.二者缺一不可.
温馨提示：判断方程的两个要素：等式、未知数，两者缺一不可
(
知识点二
一元一次方程的概念
)
如果一个方程只含有一个未知数(元），且未知数的次数都是 1,等号
两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
任何一个一元一次方程变形后都可转化为 ax+b=0（其中a>0,a,b为常
数）的形式，我们就把ax+b=0（其中a>0, a,b为常数）叫做一元一次方程
的标准形式,其中ax 叫做一次项，a叫做一次项系数，b叫做常数项.
(
温馨提示：
)
要判断一不方程是不是一元一次方程关键看三个方面：
(1）只含有一个未知数；
(2）未知数的次数都是1；
(3）分母中不含未知数。如果方程不是最简形式,先变形，化成最简形式后再判断.
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的末知数的值，这个值 就是方程的解。
通过解方程，我们可以得到方程的解，但所得的方程的解是否适合原方程，这就需要进行检验。
检验方法是：把所得的未知数的值代人原方程，看原方程的左右两边的值是否相等，如果相等，那么该值是方程的解，否则不是方程的解.
(
知识点四
列简单的一元一次方程
)
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学解决实际问题的一种方法。
(
3.1.2 等式的性质
)
知识点一 等式的性质
等式除了具有对称性（即“若A=B,则 B=A”)和传递性(即“若
A=B,B =C,则 A=C”)外，还有两个重要的性质：
性质1: 等式两边加(或减）同一个数(或式子），结果仍相等.
用字母表示：如果a=b,那么a+c=b+c;
性质2 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用字母表示： 如果a=b,那么ac=bc;
(
如果a=b(c=0）,那么c
)Q / c >
(
知识点二
利用等式的性质解方程
)
(
1.
一
元
一
)利用等式的性质解 次方程实质上就是利用等式的性质，将
知识点三 方程的解
2.利用等式的性质解方程的步骤：
(1)方程两边同时加(或减)同一个数或式子；
(2)方程两边同时乘(或除以)同一个数(除数不为 0).
3.2 解一元一次方程(一) 合并同类项与移项
(
第一课时
用合并同类项的方法解一元一次方程
)
(
知识点一
用合并同类项解一元一次方程
)
合并同类项：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项和常数项分
别合并成一项的过程，叫做合并同类项。
(
合并同类项解方程的方法与步骤：
)
(1)合并同类项，在方程中含有未知数的项可以是两个、三个或多
个，合并就是把含未知数的系数相加减,未知数不变,这种方法是逆用乘法
分配律来运算的；
(2)系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.
(
温馨提示：
)
（1）解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样,它们的依据都是乘法
分配律，实质都是系数的合并，目的是运用合并同类项，使方程变得更简单,为运
用等式性质2求出方程的解创造条件。
(
-
)（2）系数为1或 1的项，合并时不能漏掉。
知识点二 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题
关键是根据题意找到等量关系，基本题型是利用“总量=各部分量 的和” 列方程.
(
温馨提示：
)
方程逐步变形为x=a(a是常数）的形式。
(1)解决这类问题一般是先设其中一部分量为x，再用x表示出其他各部分量,然后根 据等量关系列出方程．常见的题型有数字问题、比例问题、长方形周长问题等。
(2)设未知数列方程时，要注意单位的统一。
(3)对于实际问题中的方程的解，必须检验是否符合实际意义。
(
第二课时
用移项的方法解一元一次方程
)
(
知识点一
用移项解一元一次方程
)
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
(
温馨提示：
)
（1） 一元一次方程移项的具体做法：把含有未知数的项都移到等号的一
边,常数项都移到等号的另一边.
（2）在解方程时要特别注意：只有将某项从等号的一边移到另一边才叫
移项，这时要变号，但有时某些项并没有从等号的一边移到另一边,而是
在等号的同边移动了位置，即交换了加数的位置，此时各项的符号不变.
(
知识点二
根据“表示同 个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
)
表示同一个量的两个不同式子相等.
(
温馨提示:
)
在实际问题中，同一不量可以用不同的形式表示,因而可以用两个不同的式子来表
示同一个量（至多有一个未知数x），由这两个式子相等可列出方程。
3.3 解一元一次方程(二) 去括号与去分母
(
第一课时
利用去括号解一元一次方程
)
(
知识点一
去括号解一元一次方程
)
(
号的法则与有理数运算中的去括号法则相同,依据是乘法分配律.
) (
特点，灵活运用。
)
温馨提示：
（1）去括号时，如果括号前面有系数，按分配律先把系数与括号内的各项相乘,再
去括号。
（2）去括号时，若既有小括号,又有中括号和大括号,一般先去小括号，再去中括
号,最后去大括号；有时也可以先去大括号,再去中括号,最后去小括号.根据题目的
(
知识点二
去括号解方程的应用
)
等量关系 (
数量关系
)
(
相遇
) 甲走的路程+乙走的路程=两地距离 路程
问题
同地不同时出发: 速度
(
追及
) 前者走的路程=追者走的路程
问题 同时不同地出发： 时间
前者走的路程+两地距离=追者走的路程
(
航行
) 根据题意，找出总路程相等或总时间 顺水速度=静水速度+水流速度
问题 相等来列式 逆水速度=静水速度-水流速度
(
第二课时 利用去分母解一元一次方程
)
(
知识点一
去分母解一元一次方程
)
1、有些方程中含有分数系数,这就需要进行去分母运算，如果不去 分母，分数运算很容易出错。去分母的理论依据是等式的性质2，即在方
当方程中含有带括号的式子时，为解方程我们需要把括号去掉,去括
2. 解一元一次方程的步骤
步骤：去分母
具体做法：方程两边同乘各分母的最小公倍数
根据：等式的性质2
注意事项：不要漏乘不含分母的项分数线有括号的作用，当分子是
多项式时，去分母后要加上括号。
步骤：去括号
具体做法：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
根据：分配律，去括号法则
注意事项：分配率要满足分配到每一项
步骤：移项
具体做法：把含有未知数的相移到=的一边，常数项移到=的另一边
根据：等式的性质1
注意事项：移项变号
步骤：合并同类项
具体做法：把方程中含有未知数的项合并，化成“ax=b(a=0)”的形式
根据：合并同类项法则
注意事项：注意符号
步骤：系数化为1
具体做法： 方程两边同除以未知数的系数a，化成“x= a ”的形式
根据：等式的性质2
注意事项：分子、分母不能颠倒
程两边同乘各分母的最小公倍数，使方程中的系数化为整数.
(
第一课时
利用一元一次方程解配套问题和工程问题
)
(
知识点一
利用一元一次方程解配套问题
)
列方程解应用题的一般步骤
（1） 审：审题，找出题中的已知量和未知量,并明确各数量之间的关系
(
（3）找：找出题目中所有的数最关系，并用式子表示出来；
（4）
根据等量关系列出方程：
（5）
解所列的方程；
（6）
检验并写出答案，
温馨提示：
(1)有单位时，设未知数必领要有单位
(2)设未知数时可直接设（求什么设什么),也可以问接设，还可以设辅
助未知数。
(3)列方程解实际问题时，求出解后要注意验证所求的解是否符合实际问题，若符
合,则说明这就是所要求的解，若不符合，则说明这个问
题无解。
配套问题的特点是“几个A
配几个B”或“某个部件由几个A
和
几个B
组成”
等，题目中的配套关系是列方程时的一个等量关系，审题时，
要注意对题目中
“恰好”“最多”等关键词的理解。
)（2）设：设未知数，
(
列：
)
(
解：
)
(
答：
)
(
知识点二 利用一元一次方程解工程问题
)
1.工程问题的基本量： 工作量、工作效率、工作时间
2. 工程问题的基本数量关系： 工作总量=工作效率×工作时间.
(
3.
合作的效率=各单独做的效率的和
)
当工作总量未给出具体数量时，常设工作总量为“1”。分析时可采
用列表或画图来帮助理解题意.
(
3.4
实际问题与一元一次方程
)
(
知识点 利用一元一次方程解销售问题
)
列方程解决销售问题
在现实生活中,购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、原价(标价）、 售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上， 还必须熟悉销售问 题中的相关公式与等量关系.
1、相关公式： 利润率=利润÷进价×100% 商品售价=商品标价×商品销售折扣 商品售价=商品进价×(1＋商品利润率）.
2、相等关系: 利润=售价—进价; 商品进价×(1+商品利润率)=商品标价×商品销售折扣.
温馨提示：
(1)利润是指商品售价与商品成本(进价)的差,若用a表示售价，b表示成本, p表示利润，则三者之问的关系为 p=a-b ，实际生活中，我们常常要计算总利润，即售出某种商品一共获得的利润。这时,还要在上面利润的基础上乘以这种商品的售出数量.若用w表示总利润， m表示所售出的数量， 则：总利润可表示为w=m× P=m（a-b）.
(
第三课时
利用一元一次方程解积分问题和计费问题
)
(
知识点一
利用一元一次方程解积分问题
)
比赛中的积分问题
1. 这类问题中积分多少与胜负的场数有关,同时也与比赛积分规定有
关,需要先弄清规定胜一场积几分,平一场积几分,输一场积几分．
2.这类问题中的基本等量关系为：
第二课时 利用一元一次方程解销售问题
比赛总场数=胜场数十负场数十平场数；
(
比赛总积分=胜场积分十负场积分十平场积分.
)
温馨提示：所谓比赛积分问题是指一种题目类型，其问题情境不一定是比赛。
(
知识点二
利用一元一次方程解计费问题
)
计费问题是我们日常生活中经常遇到的， 它是在不同的阶段用不同的标准进行计算的一类题目。
人教版七年级数学知识点总结
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
(
4.1.1
) (
立体图形与平面图形
)
(
第一课时 认识立体图形与平面图形
)
(
知识点一
立体图形的认识
)
立体图形：有些几何图形（如长方体正方体、圆柱、圆锥、球等）
的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
几种常见的立体图形，如下图。
(
温馨提示：
)
（1）圆柱和棱柱的区别：
圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边
形;圆柱的侧面是曲面,棱柱的侧面是
四边形.
（2)圆锥和棱锥的区别：
圆锥的底面是圆，侧面是曲面;棱锥
的底面是多边形，侧面是三角形.
（3)球与圆的区别：
球是立体图形，而圆是平面图形
这是易混点。
(
知识点二
平面图形的认识
)
平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆、等）的 各部分都在同一平面内，他们是平面图形。
几种常见的平面图形如下表：
(
第二课时
从不同的方位看立体图形和立体图形的展开图
)
(
知识点一
从不同方向看立体图形
)
对于立体图形中的一些问题，常把它们转化为平面图形来研究和处 理,从不同方向看,将会得到它们的平面图形.通常我们是从正面、左面、 上面三个方向看，从而得到相应的平面图形.
几种常见立体图形分别从正面、左面和上面看到的平面图形如下表：
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
温馨提示：
（1）不是所有的立体图形都能展开成平面图形，如球。
（2）同一个立体图形,按不同的方法展开,可得到不同的展开图，如正方体能得到 11种不同的展开图.
4.1.2 点、线、面、体
(
知识点一
图形构成的元素与图形的形成方法
)
(
几何图形都是由点、线、面、体组成的。
)
1. 体：几何体简称体.。体由面围成，也可以看成由平面图形平移而 成或看成由平面图形绕某一条直线旋转而成．我们学过的长方体、正方 体、圆柱、圆锥 、球等都是几何体。
(
面组成，圆柱(锥)的侧面是曲面。
) 2. 面： 包围着体的是面.。面有平面和曲面之分。如长方体由 6个平
3. 线：面与面相交的地方形成线。 点动成线，线分为直线和曲线两
种，如长方体的 6个面相交成的12条棱(线）是直的，圆柱的侧面与底面
相交得到的圆是曲线。
4. 点： 在几何体中，线与线相交的地方是点。点是组成图形最基本
的元素，一切图形都是由点组成的。如天上的星星、中国地图上的城市
等都给我们以点的形象。
点、线、面、体经过运动变化,就组合成各种各样的几何图形，形成
丰富多彩的图形世界。面与面相交的地方形成线，线与线相交的地方形
成点，点是构成图形的基本元素。点动成线，线动成面，面动成体。
知识点二 立体图形的展开图
(
第一课时
直线、射线、线段
)
(
知识点
直线
、射线、线段及其基本性质
)
(
1.
直线
)
（1）直线的概念： 直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不
作定义的原始概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”“一张纸的折
痕”等实际事物进行形象描述。
(2）直线的表示方法：用笔沿着直尺的边可以画出一条直线，如图
甲所示.
(
3
)甲 乙
直线可以用表示这条直线上两个点的大写字母表示,也可以用一个小
写字母表示 ． 如图乙所示的直线可记作直线 AB 或直线 。
（3）直线的基本性质:经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也
可以简单说成“两点确定一条直线”.
(
（4）点与直线的位置关系：
)
①点在直线上，如图甲所示,可以说成点 A在直线m 上或直线m 经过点A.
m B
(
甲
) 乙 n
②点在直线外，如图乙所示，可以说成点 B不在直线n上或直线n 不经过点 B.
（5）两条直线相交：如果两条不同的直线有一个公共点叫做两条直 线相交，这个公共点叫做两条直线的交点。如图所示，可以说直线a与直
(
4.2
直线、射线、线段
)
(
两个端点，有长度。
如图所示。
)线b相交于点O。 a
O
(
2.
线段
)
（1）线段的概念： 直线上两点和它们之间的部分叫做线段，线段有
(
A
B
)
（2）线段的表示方法：线段可用表示它的两个端点的大写字母表
示，如图甲所示，记作线段AB或线段BA。线段也可用一个小写字母表
示，如图乙所示计算线段 。
\ 3 l
甲 乙
（3）线段的画法：可用刻度尺先量出线段的长度， 再画一条等于这
条线段长度的线段;也可以用直尺和圆规画一条线段等于已知线段．
(
（4）线段的特点：
有两个端点，不能向任何方延伸.
)
(
3.射线
)
（1）射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
如图所示是一条射线，点O是这条射线的端点。 O ·
（2）射线的表示方法：射线可用表示它的端点和射线上的另一个点
的大写字母表示，这时，表示端点的字母写在前面;射线也可用一个小写
字母表示 ．如图所示,可记作射线 OA 或射线 。
l
（3）射线的特点：只有一个端点,向一方无限延伸，无法度量.
(
第二课时
线段长短的比较与计算
)
(
知识点一
线段长短的比较及尺规作图
)
（1）画一条线段等于已知线段的方法有两种：
①如图1所示，圆规在射线 AC 上截取 AB=a。
这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作
图。②用测量长度的方法，再画一条等于这个
长度的线段。
（2）线段的和、差、倍、分的画法 ．如图2 所示，已知线段a,b设(a＞b)
a
(
A
3
C
l
)
图2 图3
①线段和的意义及画法：如图3 所示，在直线l上顺次画线段AB=a，
BC=b,则线段 AC 就是线段 AB和 BC 的和，记作 AC=AB+BC=a+b.
②线段差的意义及画法：如图4 所示，在直线l上画线段 AB=a，在线段 AB 上画线段 BD=b,则线段AD 就是线段AB 与BD的差,记作 AD=AB-BD=a -b.
D 图4. (
l
3
) 3 C D 图5
③线段倍、分的意义：如图5 示，射线 AE 上有B,C,D三点，它们的长度
关系是 AB=BC=CD,则有AC=2BC, AD = 3AB, AB=2 AC, AB= AD, AC= 3AD.
(
2.
线段的比较：
) (
④线段的和、差、倍、分也可以通过测量和计算
来画出.
)
线段的长短比较方法：
(1)叠合法（图形的比较），把要比较的两条线段的一个端点重合,然后把
(
1.线段的画法：
)
(
的中点，
AM
=
)两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两
条线段的长短关系．
(2)度量法（数量的比较），用刻度尺测量出线段的长度(单位相同），再
根据长度的大小判断线段的长短关系。假设有线段 AB, CD，通过测量
AB=1.5cm,CD=2cm,可判定 ABAB.
知识点二 线段的中点及等分
1.线段的中点的概念:把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段
的中点.
如图，点M 是线段 AB BM= AB. 即AB=2AM=2BM.
M
A 1 i 1 B
2. 等分线段
（1）把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点。
（2）把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点。
(
知识点三
线段的性质
)
线段的基本性质： 两点之间线段最短。
如图所示，在连接 A,B两点的线中,线段 AB 的长度是最短的.
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(
3
)
(
4.3
角
)
(
4.3.1
角
)
(
知识点一角的概念
)
1.对于角的描述有以下两种方式
(1)静态观点的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这
个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两边， 如图1所示。
A
终边
(
3
) · r 始边
图1 图2
(2)动态观点的定义：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫
做角．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边。
温馨提示：
（1）角的两边是射线，而不是线段。
（2）无论是静还是动，由两个定义都可知角由一个顶点和两条边构成。
(
2. 角的表示方法
)
（1）用阿拉伯数字表示，如图1中的∠1,∠2，∠3,∠4.
（2）用一个大写英文字母表示，如图2中的∠A,∠B,∠C(当角的顶点
处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角） .
3 C
(
/
) 3 \ C 3
图1 图2 图3 图4
（3）用小写希腊字母表示，如图3中的∠α,∠β,∠γ。
（4）用三个大写英文字母表示，如图4中的∠AOB，∠ AOC，∠BOC。
(
知识点二
角的度量
)
1.角度质的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制。
2.角的度量单位是度、分、秒。把1周角等分成360份，每一份就是1
度的角，记作1°；把1°的角等分成60份，每一份就是一分的角，记作
1,；把1,的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记作1″。
(
4.3.2
角的比较与运算
)
1. 度量法：先用量角器量出角的度数，再比较大小。
2. 叠合法：把两个角的顶点和一边重合，两个角的另一边落在重合 边的同侧，根据另一边的位置关系来比较.
(
知识点二
角的平分线
)
1.定义：一般地，从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角 的射线叫做这个角的平分线。
(
C
) (
2.性质：
如图所示,
OB
是∠
AOC
的平分线，
)那么 ∠AOB=∠BOC AOC
3. 类似地，也有角的n等分线，如三等分线， 即把这个角平均分成三份的两条射线。
(
知识点三
角的运算
)
(
减 要将度与度、分与分、秒与秒分别相加 减，分秒相加时逢
60
要进
)角的运算的实质是角的和、 差、倍、分关系的转化，这里的加与
, 位，相减时要借 1作 60. 、
(
4.3.3 余角和补角
)
知识点一 余角、补角的概念与性质
1.余角：一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），那么这两个
角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 如果∠1+∠2=90°,我
们就说∠1 是∠2的余角，同时∠2也是∠1的余角，这就是互余的含义。
2.补角：如果两个角的和等于 180°（平角），那么这两个角互为补
角，即其中一个角是另一个角的补角。如果∠a+∠b=180°,我们就说
∠a是∠b的补角，同时∠b也是∠a的补角，这就是互补的含义。
3. 余角、补角的性质：同(等）角的余(补)角相等.
知识点一 角的比较
方位角就是用角度和方向表示方向的角，如图所示,在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东” 东北方向表示以正北为角的始边，向东转45°时的射线的方向,又叫北偏东 45°;东南方向为南偏东 45°,西南方 向为南偏西 45°,西北方向为北偏西 45°。
方位角 习惯上把南或北写在前,把东或西写在后， 用两个方向表示 （如北偏东60°).
一般地，方位角是以第一个方向
为角的始边向第二个方向转动所
形成的角。

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