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《等腰三角形的性质》
大家平时有关注过家里用来挂衣服的挂衣架吗？
共同点
每个挂衣架中间围起来的图形都是个三角形。
我发现每种挂衣架两侧斜边的长度都分别相等。
你发现了吗？
是的，每种挂衣架中间围起来的图形都是三角形且这个三角形中的两边相等。
具有这一特性的三角形就是等腰三角形
等腰三角形具有哪些性质呢？
如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC。
得到的这个三角形有什么特点？
这个三角形是等腰三角形，即两腰相等，AC=AB
这是为什么？
因为AB和AC两条边是剪刀剪过的，由于是将长方形纸片沿虚线进行的对折，所以上下两半部分是一模一样的，剪出来的边也是相等的。
在△ABC中，能否找出一些相等（重合）的线段或角？
重合的线段有：AB=AC，BD=CD；重合的角有∠B=∠C,∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC
A
B
C
等腰三角形具有一定的性质。
前面我们在学习什么是等腰三角形时，只学习了两腰相等的三角形就是等腰三角形这一个定义，可是在上述剪纸活动中，却发现等腰三角形中还有其他相等的量，由此发现，说明什么问题？
等腰三角形除两腰相等外它还具有什么性质呢？
等腰三角形顶角的平分线和底边上的高互相重合。
等腰三角形的两个底角相等。
不对，我觉得是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一，互相重合。
猜想：等腰三角形的两个底角相等。
证明方法？
三角形全等。
要证三角形全等，就要构造出两个三角形，故想到将△ABC一分为二。
方法一：作底边上的高
证明：∵AD是底边BC的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
∵AB=AC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（HL）
∴∠B=∠C
A
B
C
D
除作底边的高外，还能想到做什么辅助线证三角形全等？
方法二：作底边上的中线
证明：∵作底边的中线AD
∴BD=CD
在△BAD 和△CAD中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SSS）
A
B
C
D
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
通过作底边中线的方式证明三角形全等是用的“三边分别相等的两个三角形是全等三角形”这一判定定理，由此也能证明∠B和∠C相等。
方法三：作顶角的平分线
证明：∵AD是顶角的平分线
∴∠B AD=∠CAD
在△BAD和△CAD中
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴∠B=∠C
A
B
C
D
性质一：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
在等腰△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C
A
B
C
如图，已知在三角形ABC中，AB=AC。
求证：三角形ABC顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
证明：△ADB≌△ADC
∠BAD=∠CAD，
∠ADB=∠ADC=90°
BD=CD
证明：∵等腰三角形的底角相等
∴∠B=∠C
又∵AB=AC,AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴①BD=CD，即AD为等腰三角形底边上的中线
②∠ADB=∠ADC
又∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD为等腰三角形的底边
上的高
③∠BAD=∠CAD，即AD为等腰三角形的顶角的角
平分线
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC
的角平分线、底边BC上的高线
性质二：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
在等腰△ABC中，
∵∠1=∠2（AD为顶角的角平分线）
∴BD=CD，AD⊥BC
∵BD=CD（AD为底边上的中线）
∴∠1=∠2，AD⊥BC
∵AD⊥BC（AD为底边上的高）
∴BD=CD，∠1=∠2
知道其中一条线就可以得到另外两条线（简称“知一得二”）
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
分析：
AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，
所以∠ABC=∠C；又已知BD=BC=AD，
则∠C=∠BDC，∠A=∠ABD。
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
解：∵AB=AC，BD=BC=AD
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有
x+2x+2x=180°
x=36°
∴2x=72°
即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
A
B
C
D
练习
如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，DE⊥CB于E，∠B=55°，求∠CDE的度数。
解:∵∠B=55°，DE⊥BC
∴∠BDE=25°
∵AC=BC，CD为AB边上的中线
∴CD⊥AB(三线合一)
∴∠CDE=90°-∠BDE
=90°-25°
=55 °
小结
通过本节课的学习，大家都有什么收获？等腰三角形都具有哪些性质？
等腰三角形的两腰相等、两底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的“等边对等角”这一性质的前提条件是必须在同一个三角形里！
课程结束

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