资源简介

课时6　数列的通项公式
[备考指南]　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现出化归思想在数列中的应用．
基础考点1　由an与前n项和(积)的关系求通项公式
【母题1】　[人教B版选择性必修第三册P44习题5-3CT2节选]在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，
由Sn＋1＝4an＋2，①
当n2时，有Sn＝4an－1＋2，②
①－②得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)证明：由(1)知，bn＝3·2n-1，∵cn＝，∴cn＋1－cn＝＝＝＝＝，
c1＝＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(3)由(2)可知cn＝＝＋(n－1)×＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n-2．
链接核心知识：(1)由Sn与an的递推关系求通项公式，利用Sn－Sn－1＝an(n2)转化为an的递推关系来求an；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
(2)已知数列前n项积Tn与an之间的关系，若依照(1)的方法求an，则步骤如下：①先利用a1＝T1求出a1；②再利用an＝(n2)求出当n2时an的表达式；③对n＝1时的结果进行检验．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．
(1)求证：数列}是等差数列；
(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解]　(1)证明：当n＝1时，a1＝，所以＝＝2；当n2时，Sn＝，所以＝，所以＝2(常数)，故数列}是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2＋(n－1)×2＝2n，得Tn＝2n．当n2时，bn＝＝＝．
当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式，
故bn＝
反思领悟：在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an．但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n2)，求出an(n2)．
【教用·备选题】
(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以当n2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，
即bn－bn－1＝(n2)．
又＝＝2，
所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，
所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－．
因为a1＝不满足上式，
故an＝
基础考点2　累加、累乘法求通项公式
【母题2】　[人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12]如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{an}，写出数列{an}的一个递推公式 ；根据上述的递推公式，写出数列{an}的一个通项公式 ．
an＝an－1＋n(n2)(答案不唯一)　an＝(n∈N*)　[由题意可知a2－a1＝2，a3－a2＝3，于是有a4－a3＝4，…，an－an－1＝n(n2，n∈N*)，显然可得an＝an－1＋n(n2)．当n2，n∈N*时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，显然a1＝1也适合上式．]
链接核心知识：(1) 已知an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an．
(2) 已知＝f(n)，可用“累乘法”求an．
1．(2025·湖北十堰模拟)定义：在数列{an}中，＝d(n∈N*)，其中d为常数，则称数列{an}为“等比差”数列．已知“等比差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝(　　)
A．1 763　　　　　　　 B．1 935
C．2 125 D．2 303
B　[∵数列{an}是“等比差”数列，
∴＝d(n∈N*)．
∵a1＝a2＝1，a3＝3，∴d＝＝2，
∴＝2，＝2，…，＝2，由累加法得＝2n，即＝2n＋1，即＝2n－3(n2，n∈N*)，
∴＝2n－3，＝2n－5，…，＝1，
由累乘法得＝(2n－3)(2n－5)…1，
∴an＝1×3×5×…×(2n－3)，
∴＝＝1 935．
故选B．]
2．(2025·江西南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(2n＋1)an＋1，则{an}的通项公式为an＝ ．
2n－1　[令n＝1，得a1＝1．因为4Sn＝(2n＋1)an＋1，所以当n2时，4Sn－1＝(2n－1)an－1＋1，两式相减得4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1，即(2n－3)an＝(2n－1)an－1，所以＝，所以··…·＝×…×，即＝2n－1，所以an＝2n－1(n2，n∈N*)．
又a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1．]
易错提醒：n＝1不一定符合an＝f(n)(n2，n∈N*)，所以需要检验．
【教用·备选题】
1．(2025·重庆市渝中区模拟)数列{an}对任意的n∈N*有an＋1＝an＋成立，若a12＝，则a2＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－an＝＝1－＝1－2，
所以a12－a11＝1－2，a11－a10＝1－2，a10－a9＝1－2，…，a3－a2＝1－2，
累加可得a12－a2＝10－2＝10－2＝10－＝，
所以a2＝a12－＝＝＝3．故选C．]
2．(2025·江苏南京模拟节选)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足＝，a1＝1．求数列{an}的通项公式．
[解]　由题意，可知S1＝a1＝1，
则S1＝1，＝＝＝＝，…，＝＝，
各项相乘，可得Sn＝1·····…·
·＝，
∵当n＝1时，S1＝1也满足上式，
∴Sn＝，n∈N*，
∴当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝n，
∵当n＝1时，a1＝1也满足上式，
∴an＝n，n∈N*．
基础考点3　构造法求通项公式
【母题3】　[苏教版选择性必修第一册P147T18]设数列{an}满足递推关系：an＋1＝2an＋2n+1(n∈N*)且a1＝2．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列；
(2)试求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)由an＋1＝2an＋2n+1两边同除以2n+1得
＝＋1，
即bn＋1－bn＝1．
∵a1＝2，∴b1＝1．
故{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n，
即＝n，∴an＝n·2n(n∈N*)．
【母题4】　[人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T11节选]已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝．
求证：数列为等比数列．
[证明]　由题意，数列{an}满足an＋1＝，可得＝＝·，可得－1＝·－1＝，即＝，又由a1＝，所以－1＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
链接核心知识：(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0，1；q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0，1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
(3)形如 an＝(n∈N*且n2)的数列，取倒数构造等差(或等比)数列求通项．
1．(2025·江西景德镇模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的是(　　)
A．a10＝
B．an＝2－n
C．{an}有最大值
D．{an}不是单调数列
C　[由a1＝1，an＋1＝，
可得＝，an＋1＋1＝，
即＝，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
即＝n，
即an＝－1，可得a10＝－，故A，B错误；
由{an}是递减数列，可得数列{an}有最大值，为a1＝1，故C正确，D错误．
故选C．]
2．(2025·长沙市开福区模拟)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝5an＋2×5n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 ．
an＝2(n＋1)·5n-1　[由在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝5an＋2×5n，n∈N*，
等式两边同时除以5n+1，可得＝，
设bn＝，则bn＋1＝bn＋，
因为a1＝4，所以b1＝，
所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
由等差数列的通项公式可得bn＝(n－1)＝，an＝5nbn＝2(n＋1)·5n-1．]
3．已知数列an＝(n＝2，3，…)，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝ ．
　[由已知得＝＋2×3n-1，则＝，即＝(n2)，又＝．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)·＝，即an＝．]
【教用·备选题】
已知数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝an＋(n∈N*)，则数列的前10项的和为 ．
1 023　[数列{an}的首项a1＝2，
且an＋1＝an＋(n∈N*)，
则an＋1－1＝(an－1)，整理得＝(常数)，
所以数列{an－1}是以a1－1＝2－1＝1为首项，为公比的等比数列，所以an－1＝，
故＝2n-1，
所以数列的前n项和Sn＝20＋21＋22＋…＋2n-1＝2n－1，
所以S10＝210－1＝1 024－1＝1 023．]
(2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
[解]　(1)证明：因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n①，
当n2时，2Sn－1＋＝2an－1＋②，
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－，
即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1，
即2an－2an－1＝2，所以an－an－1＝1，n2且n∈N*，
所以是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以 ＝ a4 ·a9 ，
即＝·，解得a1＝－12，
所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝－n＝－，
所以当n＝12或n＝13时，＝－78．
课后限时练(六)　数列的通项公式
1．[数学文化][人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12改编]南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第16项为(　　)
A．196　　　B．197　　　C．198　　　D．227
D　[若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，
设对应的数列为{an}，
可知a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－an－1＝2n－3，
累加即可得到an－a1＝1＋3＋5＋…＋2n－3＝(n－1)·(1＋2n－3)＝n2－2n＋1，
则an＝n2－2n＋3，则a16＝162－2×16＋3＝227．
故选D．]
2．(2023·天津卷)已知数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝2，an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，则a4＝(　　)
A．16 B．32
C．54 D．162
C　[由an＋1＝2Sn＋2可得当n2(n∈N*)时，an＝2Sn－1＋2，
两式相减，可得an＋1－an＝2an，
即an＋1＝3an，
当n＝1时，由已知，得a2＝6，符合an＋1＝3an，
所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
3．(2025·福建厦门模拟)已知数列{an}满足a1＝1，＝，则{an}的前6项和为(　　)
A． B．
C． D．
C　[因为数列{an}满足＝，
所以当n2时，an＝···…···a1
＝···…···1＝，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，
所以an＝＝2，
则{an}的前6项和为2＝2＝．
故选C．]
4．(多选)(2025·甘肃兰州模拟)在数列{an}中，an＝an＋1－an＋2，a1＝2，a2＝8，Sn是数列{log2an}的前n项和，则(　　)
A．数列{an＋1－2an}是等比数列
B．数列是等差数列
C．a1＋＋…＋＝2 044
D．S5＜22
ABD　[在数列{an}中，an＝an＋1－an＋2，a1＝2，a2＝8，
Sn是数列{log2an}的前n项和．
由an＝an＋1－，得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
则数列{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝4，公比为2的等比数列，A正确．
又an＋1－2an＝4·2n-1＝2n+1，即aa＋1＝2an＋2n+1，则＝＋1，
所以数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，B正确．
＝1＋(n－1)×1＝n，即＝2n，
所以a1＋＋…＋＝2＋4＋8＋…＋210＝＝2 046，C错误．
由log2an＝log2(n·2n)＝n＋log2n，
可得S5＝1＋2＋3＋4＋5＋log2(1×2×3×4×5)＝15＋log2120＜15＋7＝22，D正确．
故选ABD．]
5．(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是(　　)
A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211
B．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝2n-1－3
C．若a1＝1，an＋1＝，则an＝
D．若a1＝2，2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n
ACD　[A项，∵an＋1－an＝n＋1，
∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确；
B项，∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋3＝4·2n-1＝2n+1，
故an＝2n+1－3，故B错误；
C项，∵an＋1＝，a1＝1，则an≠0，
∴＝＝＋3，∴＝3，
∴数列是以＝1为首项，3为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴an＝，故C正确；
D项，∵2(n＋1)an－nan＋1＝0，∴＝，
∴数列是以＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴＝2·2n-1＝2n，∴an＝n·2n，故D正确．]
6．某牧场今年年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1 200，则c10大约为(　　)
(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)
A．1 429 B．1 472
C．1 519 D．1 571
B　[由题可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，设cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1 000．
即cn－1 000＝1.1(cn－1－1 000)，
故数列{cn－1 000}是首项为c1－1 000＝200，公比为1.1的等比数列．
所以cn－1 000＝200×1.1n-1，则cn＝200×1.1n-1＋1 000，
所以c10＝200×1.19＋1 000≈200×2.358＋1 000≈1 472．故选B．]
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an>0，Sn＝，数列{bn}的前n项积Tn＝，则数列{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 ．
an＝2n　bn＝22n-1　[因为an>0，当n＝1时，a1＝，所以a1＝2．当n2时，an＝Sn－Sn－1＝，化简得＝2(an＋an－1)，又an>0，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2＋(n－1)×2＝2n．当n＝1时，b1＝T1＝2；当n2时，bn＝＝＝22n-1，当n＝1时也满足上式，所以bn＝22n-1．]
8．在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式是an＝ ．
3n－2(n－1)　[因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，其中x，y∈R，
整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，
所以解得
所以an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，
且a1＋2×1－2＝a1＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，所以an＝3n－2(n－1)．]
1 / 3课时6　数列的通项公式
[备考指南]　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现出化归思想在数列中的应用．
基础考点1　由an与前n项和(积)的关系求通项公式
【母题1】　[人教B版选择性必修第三册P44习题5-3CT2节选]在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：(1)由Sn与an的递推关系求通项公式，利用Sn－Sn－1＝an(n2)转化为an的递推关系来求an；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
(2)已知数列前n项积Tn与an之间的关系，若依照(1)的方法求an，则步骤如下：①先利用a1＝T1求出a1；②再利用an＝(n2)求出当n2时an的表达式；③对n＝1时的结果进行检验．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．
(1)求证：数列}是等差数列；
(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an．但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n2)，求出an(n2)．
基础考点2　累加、累乘法求通项公式
【母题2】　[人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12]如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{an}，写出数列{an}的一个递推公式________；根据上述的递推公式，写出数列{an}的一个通项公式________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：(1) 已知an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an．
(2)已知＝f(n)，可用“累乘法”求an．
1．(2025·湖北十堰模拟)定义：在数列{an}中，＝d(n∈N*)，其中d为常数，则称数列{an}为“等比差”数列．已知“等比差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝(　　)
A．1 763　　　　　　　 B．1 935
C．2 125 D．2 303
2．(2025·江西南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(2n＋1)an＋1，则{an}的通项公式为an＝________．
易错提醒：n＝1不一定符合an＝f(n)(n2，n∈N*)，所以需要检验．
基础考点3　构造法求通项公式
【母题3】　[苏教版选择性必修第一册P147T18]设数列{an}满足递推关系：an＋1＝2an＋2n+1(n∈N*)且a1＝2．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列；
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)试求数列{an}的通项公式．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题4】　[人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T11节选]已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝．
求证：数列为等比数列．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0，1；q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0，1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
(3)形如 an＝(n∈N*且n2)的数列，取倒数构造等差(或等比)数列求通项．
1．(2025·江西景德镇模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的是(　　)
A．a10＝
B．an＝2－n
C．{an}有最大值
D．{an}不是单调数列
2．(2025·长沙市开福区模拟)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝5an＋2×5n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
3．已知数列an＝(n＝2，3，…)，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝________．
(2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：是等差数列；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1 / 3课后限时练(六)
1．D　[若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，
设对应的数列为{an}，
可知a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－an-1＝2n－3，
累加即可得到an－a1＝1＋3＋5＋…＋2n－3＝(n－1)·(1＋2n－3)＝n2－2n＋1，
则an＝n2－2n＋3，则a16＝162－2×16＋3＝227．
故选D．]
2．C　[由an+1＝2Sn＋2可得当n2(n∈N*)时，an＝2Sn-1＋2，
两式相减，可得an+1－an＝2an，
即an+1＝3an，
当n＝1时，由已知，得a2＝6，符合an+1＝3an，
所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
3．C　[因为数列{an}满足，
所以当n2时，an＝·a1
＝·1＝，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，
所以an＝＝2，
则{an}的前6项和为2＝2．
故选C．]
4．ABD　[在数列{an}中，an＝an+1－an+2，a1＝2，a2＝8，
Sn是数列{log2an}的前n项和．
由an＝an+1－an+2，得an+2－2an+1＝2(an+1－2an)，
则数列{an+1－2an}是首项为a2－2a1＝4，公比为2的等比数列，A正确．
又an+1－2an＝4·2n-1＝2n+1，即aa+1＝2an＋2n+1，则＋1，
所以数列＝1，公差为1的等差数列，B正确．
＝1＋(n－1)×1＝n，即＝2n，
所以a1＋＋…＋＝2＋4＋8＋…＋210＝＝2 046，C错误．
由log2an＝log2(n·2n)＝n＋log2n，
可得S5＝1＋2＋3＋4＋5＋log2(1×2×3×4×5)＝15＋log2120<15＋7＝22，D正确．
故选ABD．]
5．ACD　[A项，∵an+1－an＝n＋1，
∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确；
B项，∵an+1＝2an＋3，∴an+1＋3＝2(an＋3)，
∴数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋3＝4·2n-1＝2n+1，
故an＝2n+1－3，故B错误；
C项，∵an+1＝，a1＝1，则an≠0，
∴＋3，∴＝3，
∴数列＝1为首项，3为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴an＝，故C正确；
D项，∵2(n＋1)an－nan+1＝0，∴，
∴数列＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴＝2·2n-1＝2n，∴an＝n·2n，故D正确．]
6．B　[由题可知cn＝(1＋10%)cn-1－100＝1.1cn-1－100，设cn＋k＝1.1(cn-1＋k)，解得k＝－1 000．
即cn－1 000＝1.1(cn-1－1 000)，
故数列{cn－1 000}是首项为c1－1 000＝200，公比为1.1的等比数列．
所以cn－1 000＝200×1.1n-1，则cn＝200×1.1n-1＋1 000，
所以c10＝200×1.19＋1 000≈200×2.358＋1 000≈1 472．故选B．]
7．an＝2n　bn＝22n-1　[因为an>0，当n＝1时，a1＝，所以a1＝2．当n2时，an＝Sn－Sn-1＝＝2(an＋an-1)，又an>0，所以an－an-1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2＋(n－1)×2＝2n．当n＝1时，b1＝T1＝2；当n2时，bn＝＝22n-1，当n＝1时也满足上式，所以bn＝22n-1．]
8．3n－2(n－1)　[因为an+1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an+1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，其中x，y∈R，
整理可得an+1＝3an＋2xn＋2y－x，
所以
所以an+1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，
且a1＋2×1－2＝a1＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，所以an＝3n－2(n－1)．]
3 / 3课后限时练(六)　数列的通项公式
1．[数学文化][人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12改编]南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第16项为(　　)
A．196　　　B．197　　　C．198　　　D．227
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2023·天津卷)已知数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝2，an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，则a4＝(　　)
A．16 B．32
C．54 D．162
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·福建厦门模拟)已知数列{an}满足a1＝1，＝，则{an}的前6项和为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(多选)(2025·甘肃兰州模拟)在数列{an}中，an＝an＋1－an＋2，a1＝2，a2＝8，Sn是数列{log2an}的前n项和，则(　　)
A．数列{an＋1－2an}是等比数列
B．数列是等差数列
C．a1＋＋…＋＝2 044
D．S5＜22
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是(　　)
A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211
B．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝2n-1－3
C．若a1＝1，an＋1＝，则an＝
D．若a1＝2，2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．某牧场今年年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1 200，则c10大约为(　　)
(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)
A．1 429 B．1 472
C．1 519 D．1 571
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an>0，Sn＝，数列{bn}的前n项积Tn＝，则数列{an}的通项公式为________，{bn}的通项公式为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式是an＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1 / 2(共59张PPT)
专题三　数列
课时6　数列的通项公式
[备考指南]　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现出化归思想在数列中的应用．
基础考点1　由an与前n项和(积)的关系求通项公式
【母题1】　[人教B版选择性必修第三册P44习题5-3CT2节选]在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，
由Sn＋1＝4an＋2，①
当n2时，有Sn＝4an－1＋2，②
①－②得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)证明：由(1)知，bn＝3·2n-1，∵cn＝，∴cn＋1－cn＝＝＝＝＝，
c1＝＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(3)由(2)可知cn＝＝＋(n－1)×＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n-2．
链接核心知识：(1)由Sn与an的递推关系求通项公式，利用Sn－Sn－1＝an(n2)转化为an的递推关系来求an；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
(2)已知数列前n项积Tn与an之间的关系，若依照(1)的方法求an，则步骤如下：①先利用a1＝T1求出a1；②再利用an＝(n2)求出当n2时an的表达式；③对n＝1时的结果进行检验．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．
(1)求证：数列}是等差数列；
(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解]　(1)证明：当n＝1时，a1＝，所以＝＝2；当n2时，
Sn＝，所以＝，所以＝2(常数)，故数列}是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2＋(n－1)×2＝2n，得Tn＝2n．当n2时，bn＝＝＝．
当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式，
故bn＝
反思领悟：在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f (an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f (Sn)为等差(等比)数列，就消去an．但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n2)，求出an(n2)．
【教用·备选题】
(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以当n2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，
即bn－bn－1＝(n2)．
又＝＝2，
所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，
所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－．
因为a1＝不满足上式，
故an＝
基础考点2　累加、累乘法求通项公式
【母题2】　[人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12]如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{an}，写出数列{an}的一个递推公式___________________________；
根据上述的递推公式，写出数列{an}的一个通项公式_________________．
an＝an－1＋n(n2)(答案不唯一)
an＝ (n∈N*)
an＝an－1＋n(n2)(答案不唯一)　an＝(n∈N*)　[由题意可知a2－a1＝2，a3－a2＝3，于是有a4－a3＝4，…，an－an－1＝n(n2，n∈N*)，显然可得an＝an－1＋n(n2)．当n2，n∈N*时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，显然a1＝1也适合上式．]
链接核心知识：(1) 已知an－an－1＝f (n)，可用“累加法”求an．
(2) 已知＝f (n)，可用“累乘法”求an．
√
1．(2025·湖北十堰模拟)定义：在数列{an}中，＝d(n∈N*)，其中d为常数，则称数列{an}为“等比差”数列．已知“等比差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝(　　)
A．1 763　　　　　　　 B．1 935
C．2 125 D．2 303
B　[∵数列{an}是“等比差”数列，
∴＝d(n∈N*)．
∵a1＝a2＝1，a3＝3，∴d＝＝2，
∴＝2，＝2，…，＝2，由累加法得＝2n，即＝2n＋1，即＝2n－3(n2，n∈N*)，
∴＝2n－3，＝2n－5，…，＝1，
由累乘法得＝(2n－3)(2n－5)…1，
∴an＝1×3×5×…×(2n－3)，
∴＝＝1 935．
故选B．]
2．(2025·江西南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(2n＋1)an＋1，则{an}的通项公式为an＝________________．
2n－1
2n－1　[令n＝1，得a1＝1．因为4Sn＝(2n＋1)an＋1，所以当n2时，4Sn－1＝(2n－1)an－1＋1，两式相减得4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1，即(2n－3)an＝(2n－1)an－1，所以＝，所以··…·＝×…×，即＝2n－1，所以an＝2n－1(n2，n∈N*)．
又a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1．]
易错提醒：n＝1不一定符合an＝f(n)(n2，n∈N*)，所以需要检验．
【教用·备选题】
1．(2025·重庆市渝中区模拟)数列{an}对任意的n∈N*有an＋1＝an＋成立，若a12＝，则a2＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
√
C　[因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－an＝＝1－＝1－2，
所以a12－a11＝1－2，a11－a10＝1－2，a10－a9＝1－2，，a3－a2＝1－2，
累加可得a12－a2＝10－2＝10－2＝10－＝，
所以a2＝a12－＝＝＝3．故选C．]
2．(2025·江苏南京模拟节选)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足＝，a1＝1．求数列{an}的通项公式．
[解]　由题意，可知S1＝a1＝1，
则S1＝1，＝＝＝＝，…，＝＝，
各项相乘，可得Sn＝1·····…··＝，
∵当n＝1时，S1＝1也满足上式，
∴Sn＝，n∈N*，
∴当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝n，
∵当n＝1时，a1＝1也满足上式，
∴an＝n，n∈N*．
基础考点3　构造法求通项公式
【母题3】　[苏教版选择性必修第一册P147T18]设数列{an}满足递推关系：an＋1＝2an＋2n+1(n∈N*)且a1＝2．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列；
(2)试求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)由an＋1＝2an＋2n+1两边同除以2n+1得
＝＋1，
即bn＋1－bn＝1．
∵a1＝2，∴b1＝1．
故{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n，
即＝n，∴an＝n·2n(n∈N*)．
【母题4】　[人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T11节选]已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝．
求证：数列为等比数列．
[证明]　由题意，数列{an}满足an＋1＝，可得＝＝
·，可得－1＝·－1＝，即＝，
又由a1＝，所以－1＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
链接核心知识：(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0，1；q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f (n)(p≠0，1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
(3)形如an＝(n∈N*且n2)的数列，取倒数构造等差(或等比)数列求通项．
√
1．(2025·江西景德镇模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的是(　　)
A．a10＝
B．an＝2－n
C．{an}有最大值
D．{an}不是单调数列
C　[由a1＝1，an＋1＝，
可得＝，an＋1＋1＝，
即＝，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
即＝n，
即an＝－1，可得a10＝－，故A，B错误；
由{an}是递减数列，可得数列{an}有最大值，为a1＝1，故C正确，D错误．
故选C．]
2．(2025·长沙市开福区模拟)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝5an＋2×5n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________________．
an＝2(n＋1)·5n-1
an＝2(n＋1)·5n-1　[由在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝5an＋2×5n，n∈N*，
等式两边同时除以5n+1，可得＝，
设bn＝，则bn＋1＝bn＋，
因为a1＝4，所以b1＝，
所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
由等差数列的通项公式可得bn＝(n－1)＝，an＝5nbn＝2(n＋1)·5n-1．]
3．已知数列an＝(n＝2，3，…)，a1＝1，则数列{an}
的通项公式an＝________________．
　[由已知得＝＋2×3n-1，则＝，即＝(n2)，又＝．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)·＝，即an＝．]
【教用·备选题】
已知数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝an＋(n∈N*)，则数列的前10项的和为________________．
1 023
1 023　[数列{an}的首项a1＝2，
且an＋1＝an＋(n∈N*)，
则an＋1－1＝(an－1)，整理得＝(常数)，
所以数列{an－1}是以a1－1＝2－1＝1为首项，为公比的等比数列，所以an－1＝，
故＝2n-1，
所以数列的前n项和Sn＝20＋21＋22＋…＋2n-1＝2n－1，
所以S10＝210－1＝1 024－1＝1 023．]
当堂进阶　真题试做　感悟高考
(2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
[解]　(1)证明：因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n①，
当n2时，2Sn－1＋＝2an－1＋②，
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－，
即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1，
即2an－2an－1＝2，所以an－an－1＝1，n2且n∈N*，
所以是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以 ＝ a4 ·a9 ，
即＝·，解得a1＝－12，
所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝－n＝－，
所以当n＝12或n＝13时，＝－78．
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
8
课后限时练(六)　数列的通项公式
1．[数学文化][人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12改编]南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第16项为(　　)
A．196　　　B．197　　　C．198　　　D．227
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
D　[若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，
设对应的数列为{an}，
可知a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－an－1＝2n－3，
累加即可得到an－a1＝1＋3＋5＋…＋2n－3＝(n－1)·(1＋2n－3)＝n2－2n＋1，
则an＝n2－2n＋3，则a16＝162－2×16＋3＝227．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
2．(2023·天津卷)已知数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝2，an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，则a4＝(　　)
A．16 B．32
C．54 D．162
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
C　[由an＋1＝2Sn＋2可得当n2(n∈N*)时，an＝2Sn－1＋2，
两式相减，可得an＋1－an＝2an，
即an＋1＝3an，
当n＝1时，由已知，得a2＝6，符合an＋1＝3an，
所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
3．(2025·福建厦门模拟)已知数列{an}满足a1＝1，＝，则{an}的前6项和为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
C　[因为数列{an}满足＝，
所以当n2时，an＝···…···a1
＝···…···1＝，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，
所以an＝＝2，
则{an}的前6项和为2＝2＝．
故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
4．(多选)(2025·甘肃兰州模拟)在数列{an}中，an＝an＋1－an＋2，a1＝2，a2＝8，Sn是数列{log2an}的前n项和，则(　　)
A．数列{an＋1－2an}是等比数列
B．数列是等差数列
C．a1＋＋…＋＝2 044
D．S5＜22
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
ABD　[在数列{an}中，an＝an＋1－an＋2，a1＝2，a2＝8，
Sn是数列{log2an}的前n项和．
由an＝an＋1－，得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
则数列{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝4，公比为2的等比数列，A正确．
又an＋1－2an＝4·2n-1＝2n+1，即aa＋1＝2an＋2n+1，则＝＋1，
所以数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，B正确．
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
＝1＋(n－1)×1＝n，即＝2n，
所以a1＋＋…＋＝2＋4＋8＋…＋210＝＝2 046，C错误．
由log2an＝log2(n·2n)＝n＋log2n，
可得S5＝1＋2＋3＋4＋5＋log2(1×2×3×4×5)＝15＋log2120＜15＋7＝22，D正确．
故选ABD．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
5．(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是(　　)
A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211
B．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝2n-1－3
C．若a1＝1，an＋1＝，则an＝
D．若a1＝2，2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
ACD　[A项，∵an＋1－an＝n＋1，
∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确；
B项，∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋3＝4·2n-1＝2n+1，
故an＝2n+1－3，故B错误；
C项，∵an＋1＝，a1＝1，则an≠0，
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
∴＝＝＋3，∴＝3，
∴数列是以＝1为首项，3为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴an＝，故C正确；
D项，∵2(n＋1)an－nan＋1＝0，∴＝，
∴数列是以＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴＝2·2n-1＝2n，∴an＝n·2n，故D正确．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
6．某牧场今年年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1 200，则c10大约为(　　)
(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)
A．1 429 B．1 472
C．1 519 D．1 571
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
B　[由题可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，设cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1 000．
即cn－1 000＝1.1(cn－1－1 000)，
故数列{cn－1 000}是首项为c1－1 000＝200，公比为1.1的等比数列．
所以cn－1 000＝200×1.1n-1，则cn＝200×1.1n-1＋1 000，
所以c10＝200×1.19＋1 000≈200×2.358＋1 000≈1 472．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an>0，Sn＝，数列{bn}的前n项积Tn＝，则数列{an}的通项公式为________________，{bn}的通项公式为________________．
an＝2n
bn＝22n-1
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
an＝2n　bn＝22n-1　[因为an>0，当n＝1时，a1＝，所以a1＝2．当n2时，an＝Sn－Sn－1＝，化简得＝2(an＋an－1)，又an>0，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2＋(n－1)×2＝2n．当n＝1时，b1＝T1＝2；当n2时，bn＝＝＝22n-1，当n＝1时也满足上式，所以bn＝22n-1．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
8．在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式是an＝________________．
3n－2(n－1)
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
3n－2(n－1)　[因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，其中x，y∈R，
整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，
所以解得
所以an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，
且a1＋2×1－2＝a1＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，所以an＝3n－2(n－1)．]
谢 谢！

展开更多......

收起↑