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课时10　与球有关的“切”“接”问题
[备考指南]　空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置．
能力考点1　内切球问题
【典例1】　(1)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为(　　)
A．(8－4)π B．12π
C．(8＋4)π D．8π
(2)(2025·包头二模)已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r1＜r2)，r2－r1＝3．半径为r的球O与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台O1O2的侧面积为25π，则球O的表面积为(　　)
A．4π B．9π
C．16π D．36π
(3)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
(1)A　(2)C　(3)2.5　[(1)设内切球的半径为r，AC的中点为O，则OP⊥平面ABCD，
因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，所以OA＝OC＝，
因为PC＝2，由勾股定理得PO＝，
故四棱锥P-ABCD的体积为×22×＝，
四棱锥P-ABCD的表面积为4××22×＋22＝4＋4，
则由等体积法可得(4＋4)r＝，
解得r＝，
所以内切球的表面积S＝4πr2＝(8－4)π．
(2)如图，设内切球的半径为r，
　
设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，
则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处，
设球O与母线切于M点，所以OM⊥AB，所以OM＝OO1＝OO2＝r，
所以△AOO1与△AOM全等，所以AM＝r1，同理BM＝r2，
圆台的母线长l＝r1＋r2，而π(r1＋r2)l＝25π，因此(r1＋r2)2＝25，
所以AB＝r1＋r2＝5，
过A作AG⊥O2B，垂足为G，
则|O1O2|2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝16，
所以4r2＝16，
所以球O的表面积为4πr2＝16π．
故选C．
(3)设铁球的半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm．
当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0，
即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)或r2＝2.5．
因为2.5＞＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm．
]
反思领悟：求解空间几何体的内切球问题的关键，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
1．(2025·湖南永州二模)正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
D　[根据题意可得上、下底面内切圆的半径分别为×6＝×18＝3，
∴该正三棱台的斜高为＋3＝4，
∴该正三棱台的高为＝6．
故选D．]
2．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
A　[由AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，得AB⊥CD．
又BC⊥CD，且AB，BC 平面ABC，AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，
所以CD⊥AC．
由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，
所以三棱锥A-BCD的表面积
S＝2××3×4＋2××4×5＝32，
三棱锥A-BCD的体积V＝×3×4×4＝8．
设三棱锥内切球球心为O，半径为r，
由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝Sr，得r＝＝，
所以该三棱锥内切球的体积V球＝πr3＝π×＝．故选A．]
【教用·备选题】
(2025·昆明市五华区校级模拟)已知圆台O1O2存在内切球O(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球)，若圆台O1O2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5∶8，设球O的体积与圆台O1O2分别为V1，V2，则＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[设圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r2＞r1＞0)，
母线长为l，高为h，内切球O的半径为R，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则l＝r1＋r2，h＝2R，
由＝，整理得＝0，而r2＞r1，解得r2＝3r1，l＝4r1，
因此圆台的高h＝＝2r1，R＝r1，
则圆台O1O2的体积V1＝＋r1·3r1＋(3r1)2]·2r1＝，
内切球O的体积V2＝π(r1)3＝，所以＝．
故选C．]
能力考点2　外接球问题
【典例2】　(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上．若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该外接球的表面积等于(　　)
A．8π B．9π
C．10π D．11π
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
(3)[人教B版必修第四册P129复习题B组T14改编]已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积是 ．
(1)A　(2)A　(3)4π　[(1)由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得
BC＝
＝＝，
所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，
所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点．
设△ABC的外接圆半径为r，
则r＝＝1．
又S△ABC＝BC·AC＝×1＝，
所以＝S△ABC·AA1＝，所以AA1＝2．
因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，设外接球的半径为R，
则R2＝r2＋＝12＋12＝2，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π．故选A．
(2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O在线段O1O2的延长线上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．
(3)因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面体S-ABC的外接球半径等于以AB，BC，SA三边长为长，宽，高的长方体的外接球的半径．
因为SA＝AB＝1，BC＝，
所以2R＝＝2．
所以球O的表面积S＝4πR2＝4π．]
反思领悟：求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
1．若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　)
A．4π B．12π
C．8π D．32π
A　[设正四面体的棱长为a．由题意可知4×a2＝8，解得a＝2，所以正四面体的棱长为2．如图，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为2．因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径R＝，则外接球的体积V＝πR3＝4π．故选A．
]
2．(2025·鹤壁二模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为(　　)
A．5π B．8π
C．6π D．9π
A　[如图，设BC的中点为E，连接AE，DE，
设△ABC的外心为O2，△BCD的外心为O1，O是四面体外接球球心，
则根据题意可知AE⊥BC，DE⊥BC，AE＝DE＝＝，
且O1，O2分别在DE，AE靠近E的三等分点处，四边形OO1EO2是正方形，
又EO1＝EO2＝DE＝，O1D＝DE＝1，
设四面体外接球的半径为R，则R＝＝．
所以外接球的表面积为4πR2＝4π×＝5π．
故选A．]
3．已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　)
A． B．
C． D．
A　[设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，
则R2＝h2＋r2，S＝πR2，
S1＝2πrh，
V＝·πR3＝πR3，
V1＝πr2h，
所以＝＝＝2＝1，
当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝r，
所以＝＝＝．]
【教用·备选题】
(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
C　[因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3，
设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，
则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(h－3)2，
所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，
所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h
＝＝，
所以V′＝＝l3，
当3l＜2 时，V′＞0，当2 ＜l3 时，V′＜0，
所以当l＝2 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，
又l＝3时，V＝，l＝3 时，V＝，
所以正四棱锥的体积V的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是．
故选C．]
1．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A． B．
C． D．
C　[设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，四棱锥的高为h．
设四边形ABCD对角线夹角为α，
设S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α·AC·BD·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)．
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，
又r2＋h2＝1，
则VO -ABCD＝·2r2·h＝＝，
当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立，故选C．]
2．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．
[2，2]　[由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包括棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝×4，所以r＝2；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2．所以球O的半径的取值范围是[2，2]．]
课后限时练(十)　与球有关的“切”“接”问题
1．[人教A版必修第二册P120习题8.3T5改编]已知正方体的棱长为a，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则a的值为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
A　[因为正方体的棱长为a，所以其外接球与内切球的半径分别为a，，
所以外接球体积与内切球表面积的比值为＝，
解得a＝．
故选A．]
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　)
A．16π B．
C．36π D．
B　[由题意，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
所以AC＝10，
可得△ABC的内切圆的半径为＝2．
又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC-A1B1C1内部的球的半径最大为2，所以此时V的最大值为×π×23＝．故选B．]
3．(2025·海南模拟)已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为(　　)
A．(＋1)π B．(＋1)π
C．3π D．4π
D　[因为圆锥的底面半径r＝1，设母线长为l，则圆锥的高为h＝，
圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，
即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为，
因此该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆半径为，
所以(2＋2l)＝×2，解得l＝3，
所以圆锥的表面积为πrl＋πr2＝4π．
故选D．]
4．(2025·贵州三模)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，则该正四棱台的外接球的表面积为(　　)
A．40π B．40π
C．π D．
A　[因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，
所以上下底面中心到相应正方形顶点的距离分别为，2，
所以高为＝，
设该正四棱台的外接球的半径为R，球心到下底面的距离为t，
则t2＋(2)2＝R2＝()2＋(＋t)2，解得t＝，
所以R2＝2＋8＝10，
所以该正四棱台的外接球的表面积为4πR2＝40π．
故选A．]
5．(多选)(2025·河南郑州期中)已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则(　　)
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
ACD　[设梯形ABCD为圆台的轴截面，如图，设圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，
故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，
由题意可知，∠OAD＋∠ODA＝，
即∠DOA＝，所以△AOE∽△ODE，
故＝，即OE2＝DE·AE，
即R2＝r1r2＝3，解得R＝，
母线长为r1＋r2＝4，A正确；
圆台的高为2R＝2，B错误；
圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确；
球O的表面积为4×π×()2＝12π，D正确．
故选ACD．]
6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝6，S△ABC＝，若三棱锥的内切球的半径为，则此三棱锥的侧面积为 ．
3　[设三棱锥内切球球心为O，以O为顶点将三棱锥P-ABC分为四个小三棱锥，则三棱锥P-ABC的体积V＝×S△PAC＋×S△PAB＋×S△PBC＋×S△ABC＝×S总．因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积V＝×S△ABC×PA＝2，则S总＝4，
所以S侧＝S总－S△ABC＝4＝3．]
7．(2025·湖南永州三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，tan ∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 ．
　[设BC＝3a，因为AB⊥BC，tan ∠BAC＝，
所以AB＝4a，AC＝5a．
设△ABC的内切圆的半径为r，则(AB＋BC＋AC)r＝AB·BC，
即(4a＋3a＋5a)r＝×4a×3a，解得r＝a．
因为三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，
所以AA1＝2a，因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直径就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的对角线，其长为＝＝a，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球的表面积为4πa2，三棱柱的外接球的表面积为29πa2，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球与外接球的表面积之比为．
]
1 / 2课后限时练(十)　与球有关的“切”“接”问题
1．[人教A版必修第二册P120习题8.3T5改编]已知正方体的棱长为a，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则a的值为(　　)
A． B．2
C． D．3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　)
A．16π B．
C．36π D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·海南模拟)已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为(　　)
A．(＋1)π B．(＋1)π
C．3π D．4π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(2025·贵州三模)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，则该正四棱台的外接球的表面积为(　　)
A．40π B．40π
C．π D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(多选)(2025·河南郑州期中)已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则(　　)
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝6，S△ABC＝，若三棱锥的内切球的半径为，则此三棱锥的侧面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．(2025·湖南永州三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，tan ∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1 / 2课后限时练(十)
1．A　[因为正方体的棱长为a，所以其外接球与内切球的半径分别为a，，
所以外接球体积与内切球表面积的比值为，
解得a＝．故选A．]
2．B　[由题意，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
所以AC＝10，
可得△ABC的内切圆的半径为＝2．
又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC-A1B1C1内部的球的半径最大为2，所以此时V的最大值为×π×23＝．故选B．]
3．D　[因为圆锥的底面半径r＝1，设母线长为l，则圆锥的高为h＝，
圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，
即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为，
因此该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆半径为，
所以×(2＋2l)＝×2，解得l＝3，
所以圆锥的表面积为πrl＋πr2＝4π．
故选D．]
4．A　[因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，
所以上下底面中心到相应正方形顶点的距离分别为，2，
所以高为，
设该正四棱台的外接球的半径为R，球心到下底面的距离为t，
则t2＋(2)2＝R2＝()2＋(＋t)2，解得t＝，
所以R2＝2＋8＝10，
所以该正四棱台的外接球的表面积为4πR2＝40π．
故选A．]
5．ACD　[设梯形ABCD为圆台的轴截面，如图，设圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，
故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，
由题意可知，∠OAD＋∠ODA＝，
即∠DOA＝，所以△AOE∽△ODE，
故，即OE2＝DE·AE，
即R2＝r1r2＝3，解得R＝，
母线长为r1＋r2＝4，A正确；
圆台的高为2R＝2，B错误；
圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确；
球O的表面积为4×π×()2＝12π，D正确．
故选ACD．]
6．3　[设三棱锥内切球球心为O，以O为顶点将三棱锥P-ABC分为四个小三棱锥，则三棱锥P-ABC的体积V＝××S△PAC＋××S△PAB＋××S△PBC＋××S△ABC＝××S总．因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积V＝×S△ABC×PA＝2，则S总＝4，
所以S侧＝S总－S△ABC＝4＝3．]
7．　[设BC＝3a，因为AB⊥BC，tan∠BAC＝，
所以AB＝4a，AC＝5a．
设△ABC的内切圆的半径为r，则(AB＋BC＋AC)r＝AB·BC，
即(4a＋3a＋5a)r＝×4a×3a，解得r＝a．
因为三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，
所以AA1＝2a，因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直径就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的对角线，其长为
＝
a，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球的表面积为4πa2，三棱柱的外接球的表面积为29πa2，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球与外接球的表面积之比为．]
1 / 3课时10　与球有关的“切”“接”问题
[备考指南]　空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置．
能力考点1　内切球问题
【典例1】　(1)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为(　　)
A．(8－4)π B．12π
C．(8＋4)π D．8π
(2)(2025·包头二模)已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r1＜r2)，r2－r1＝3．半径为r的球O与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台O1O2的侧面积为25π，则球O的表面积为(　　)
A．4π B．9π
C．16π D．36π
(3)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：求解空间几何体的内切球问题的关键，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
1．(2025·湖南永州二模)正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
能力考点2　外接球问题
【典例2】　(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上．若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该外接球的表面积等于(　　)
A．8π B．9π
C．10π D．11π
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
(3)[人教B版必修第四册P129复习题B组T14改编]已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
1．若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　)
A．4π B．12π
C．8π D．32π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2025·鹤壁二模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为(　　)
A．5π B．8π
C．6π D．9π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A． B．
C． D．
2．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
1 / 3(共57张PPT)
专题四　立体几何
课时10　与球有关的“切”“接”问题
[备考指南]　空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置．
能力考点1　内切球问题
【典例1】　(1)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为(　　)
A．(8－4)π B．12π
C．(8＋4)π D．8π
√
(2)(2025·包头二模)已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r1＜r2)，r2－r1＝3．半径为r的球O与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台O1O2的侧面积为25π，则球O的表面积为(　　)
A．4π B．9π
C．16π D．36π
(3)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________________cm．
√
2.5
(1)A　(2)C　(3)2.5　[(1)设内切球的半径为r，AC的中点为O，则OP⊥平面ABCD，
因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，所以OA＝OC＝，
因为PC＝2，由勾股定理得PO＝，
故四棱锥P-ABCD的体积为×22×＝，
四棱锥P-ABCD的表面积为4××22×＋22＝4＋4，
则由等体积法可得(4＋4)r＝，
解得r＝，
所以内切球的表面积S＝4πr2＝(8－4)π．
(2)如图，设内切球的半径为r，
设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，
则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处，
设球O与母线切于M点，所以OM⊥AB，所以OM＝OO1＝OO2＝r，
所以△AOO1与△AOM全等，所以AM＝r1，同理BM＝r2，
圆台的母线长l＝r1＋r2，而π(r1＋r2)l＝25π，因此(r1＋r2)2＝25，
所以AB＝r1＋r2＝5，
过A作AG⊥O2B，垂足为G，
则|O1O2|2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝16，
所以4r2＝16，
所以球O的表面积为4πr2＝16π．
故选C．
(3)设铁球的半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm．
当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0，
即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)或r2＝2.5．
因为2.5＞＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm．
]
反思领悟：求解空间几何体的内切球问题的关键，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
√
1．(2025·湖南永州二模)正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
D　[根据题意可得上、下底面内切圆的半径分别为×6＝×18＝3，
∴该正三棱台的斜高为＋3＝4，
∴该正三棱台的高为＝6．
故选D．]
√
2．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
A　[由AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，得AB⊥CD．
又BC⊥CD，且AB，BC 平面ABC，AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，
所以CD⊥AC．
由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，
所以三棱锥A-BCD的表面积
S＝2××3×4＋2××4×5＝32，
三棱锥A-BCD的体积V＝×3×4×4＝8．
设三棱锥内切球球心为O，半径为r，
由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝Sr，得r＝＝，
所以该三棱锥内切球的体积V球＝πr3＝π×＝．故选A．]
【教用·备选题】
(2025·昆明市五华区校级模拟)已知圆台O1O2存在内切球O(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球)，若圆台O1O2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5∶8，设球O的体积与圆台O1O2分别为V1，V2，则＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[设圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r2＞r1＞0)，
母线长为l，高为h，内切球O的半径为R，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则l＝r1＋r2，h＝2R，
由＝，整理得＝0，而r2＞r1，解得r2＝3r1，l＝4r1，
因此圆台的高h＝＝2r1，R＝r1，
则圆台O1O2的体积V1＝＋r1·3r1＋(3r1)2]·2r1＝，
内切球O的体积V2＝π(r1)3＝，所以＝．
故选C．]
能力考点2　外接球问题
【典例2】　(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上．若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该外接球的表面积等于(　　)
A．8π B．9π
C．10π D．11π
√
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
(3)[人教B版必修第四册P129复习题B组T14改编]已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积是________________．
√
4π
(1)A　(2)A　(3)4π　[(1)由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得
BC＝
＝＝，
所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，
所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点．
设△ABC的外接圆半径为r，
则r＝＝1．
又S△ABC＝BC·AC＝×1＝，
所以＝S△ABC·AA1＝，所以AA1＝2．
因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，设外接球的半径为R，
则R2＝r2＋＝12＋12＝2，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π．故选A．
(2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O在线段O1O2的延长线上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．
(3)因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面体S-ABC的外接球半径等于以AB，BC，SA三边长为长，宽，高的长方体的外接球的半径．
因为SA＝AB＝1，BC＝，
所以2R＝＝2．
所以球O的表面积S＝4πR2＝4π．]
反思领悟：求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
√
1．若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　)
A．4π B．12π
C．8π D．32π
A　[设正四面体的棱长为a．由题意可知4×a2＝8，解得a＝2，所以正四面体的棱长为2．如图，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为2．因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径R＝，则外接球的体积V＝πR3＝4π．故选A．
]
√
2．(2025·鹤壁二模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为(　　)
A．5π B．8π
C．6π D．9π
A　[如图，设BC的中点为E，连接AE，DE，
设△ABC的外心为O2，△BCD的外心为O1，O是四面体外接球球心，
则根据题意可知AE⊥BC，DE⊥BC，AE＝DE＝＝，
且O1，O2分别在DE，AE靠近E的三等分点处，四边形OO1EO2是正方形，
又EO1＝EO2＝DE＝，O1D＝DE＝1，
设四面体外接球的半径为R，则R＝＝．
所以外接球的表面积为4πR2＝4π×＝5π．
故选A．]
3．已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，
则R2＝h2＋r2，S＝πR2，
S1＝2πrh，
V＝·πR3＝πR3，
V1＝πr2h，
所以＝＝＝2＝1，
当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝r，
所以＝＝＝．]
【教用·备选题】
(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
√
C　[因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3，
设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，
则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(h－3)2，
所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，
所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h
＝＝，
所以V′＝＝l3，
当3l＜2 时，V′＞0，当2 ＜l3 时，V′＜0，
所以当l＝2 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，
又l＝3时，V＝，l＝3 时，V＝，
所以正四棱锥的体积V的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是．
故选C．]
当堂进阶　真题试做　感悟高考
√
1．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A． B．
C． D．
C　[设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，四棱锥的高为h．
设四边形ABCD对角线夹角为α，
设S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α·AC·BD·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)．
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，
又r2＋h2＝1，
则VO -ABCD＝·2r2·h＝＝，
当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立，故选C．]
2．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________________．
[2，2]
[2，2]　[由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包括棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝×4，所以r＝2；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2．所以球O的半径的取值范围是[2，2]．]
√
课后限时练(十)　与球有关的“切”“接”问题
1．[人教A版必修第二册P120习题8.3T5改编]已知正方体的棱长为a，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则a的值为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[因为正方体的棱长为a，所以其外接球与内切球的半径分别为a，，
所以外接球体积与内切球表面积的比值为＝，
解得a＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　)
A．16π B．
C．36π D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[由题意，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
所以AC＝10，
可得△ABC的内切圆的半径为＝2．
又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC-A1B1C1内部的球的半径最大为2，所以此时V的最大值为×π×23＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
3．(2025·海南模拟)已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为(　　)
A．(＋1)π B．(＋1)π
C．3π D．4π
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[因为圆锥的底面半径r＝1，设母线长为l，则圆锥的高为h＝，
圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，
即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为，
因此该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆半径为，
所以(2＋2l)＝×2，解得l＝3，
所以圆锥的表面积为πrl＋πr2＝4π．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
4．(2025·贵州三模)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，则该正四棱台的外接球的表面积为(　　)
A．40π B．40π
C．π D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，
所以上下底面中心到相应正方形顶点的距离分别为，2，
所以高为＝，
设该正四棱台的外接球的半径为R，球心到下底面的距离为t，
则t2＋(2)2＝R2＝()2＋(＋t)2，解得t＝，
所以R2＝2＋8＝10，
所以该正四棱台的外接球的表面积为4πR2＝40π．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
5．(多选)(2025·河南郑州期中)已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则(　　)
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
√
ACD　[设梯形ABCD为圆台的轴截面，如图，设圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
题号
1
3
5
2
4
6
7
球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，
故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，
由题意可知，∠OAD＋∠ODA＝，
即∠DOA＝，所以△AOE∽△ODE，
题号
1
3
5
2
4
6
7
故＝，即OE2＝DE·AE，
即R2＝r1r2＝3，解得R＝，
母线长为r1＋r2＝4，A正确；
圆台的高为2R＝2，B错误；
圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确；
球O的表面积为4×π×()2＝12π，D正确．
故选ACD．]
6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝6，S△ABC＝，若三棱锥的内切球的半径为，则此三棱锥的侧面积为________________．
题号
1
3
5
2
4
6
7
3
3　[设三棱锥内切球球心为O，以O为顶点将三棱锥P-ABC分为四个小三棱锥，则三棱锥P-ABC的体积V＝×S△PAC＋×S△PAB＋×S△PBC＋×S△ABC＝×S总．因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积V＝×S△ABC×PA＝2，则S总＝4，
所以S侧＝S总－S△ABC＝4＝3．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
7．(2025·湖南永州三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，tan ∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为____________________．
题号
1
3
5
2
4
6
7
　[设BC＝3a，因为AB⊥BC，tan ∠BAC＝，
所以AB＝4a，AC＝5a．
设△ABC的内切圆的半径为r，则(AB＋BC＋AC)r＝AB·BC，
即(4a＋3a＋5a)r＝×4a×3a，解得r＝a．
因为三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，
所以AA1＝2a，因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
题号
1
3
5
2
4
6
7
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直径就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的对角线，其长为＝＝a，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球的表面积为4πa2，三棱柱的外接球的表面积为29πa2，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球与外接球的表面积之比为．
题号
1
3
5
2
4
6
7
]
谢 谢！

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