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研习1　集合、常用逻辑用语
基础考点1　集合
【母题1】　[人教A版必修第一册P14习题1.3T5]设a∈R，集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
(2)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2．
(3)A∩B＝A A B A∪B＝B．
(4)若已知A∩B＝ ，要注意不要漏掉特殊情况：A＝ 或B＝ ．
1．[人教B版必修第一册P14练习BT4改编]已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．[人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编]设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，若M∩( UN)＝{1，3，5}，则N＝(　　)
A．{1，3，5} B．{2，4，6}
C．{2，3，6} D．
3．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
4．(2025·南京鼓楼区模拟)已知全集U＝R，集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{0} B．{－1，0}
C．{1，2，3} D．{－1，0，1，2}
5．[新定义]对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　)
A．5 B．
C． D．
新定义的破解模型：
6．[易错题]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝________．
基础考点2　常用逻辑用语
【母题2】　[人教A版必修第一册P22习题1.4T2节选]在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)：
(1)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(2)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(3)p：x>y，q：x2>y2．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：(1)含有一个量词命题的否定，其原则为“改量词、否结论”．
(2)充分、必要条件的判断可利用定义或借助集合间的关系来判断．
(3)“A的充分不必要条件是B”是指B A，且ADB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A B，且BDA．
1．[北师大版必修第一册P23T3(4)改编]已知命题p： x＞0，x3＞x，则命题p的否定为(　　)
A． x＞0，x3x B． x0，x3＞x
C． x＞0，x3x D． x＞0，x3＞x
2．(2025·广东模拟)“x＞2”是“x2－2x＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
3．[易错题](多选)(2025·贵州安顺模拟)已知集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝1＋是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
5．[人教A版必修第一册P35复习参考题1T7改编]命题“ x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m＜0 B．m＜－1
C．m＞3 D．m3
6．[开放题](2025·北京西城区模拟)设f(x)是定义在R上的减函数，能说明“一定存在x0∈R使得f(x0)＜1”为假命题的一个函数是f(x)＝________．
题后反思：开放题是一类开放性和发散性问题，此类问题条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己结合已知条件进行分析、比较、概括和探索．
1．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0 B．3
C．5 D．8
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
1 / 3研习1　集合、常用逻辑用语
基础考点1　集合
【母题1】　[人教A版必修第一册P14习题1.3T5]设a∈R，集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B．
[解]　因为B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，
且A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}＝{3，a}，所以
(1)当a＝3时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝ ．
(2)当a＝1时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝{1}．
(3)当a＝4时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝{4}．
(4)当a≠1，3，4时，A∪B＝{1，3，4，a}，A∩B＝ ．
链接核心知识：(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
(2)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2．
(3)A∩B＝A A B A∪B＝B．
(4)若已知A∩B＝ ，要注意不要漏掉特殊情况：A＝ 或B＝ ．
1．[人教B版必修第一册P14练习BT4改编]已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
D　[集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，
若A B，则实数a的取值范围是[3，＋∞)．
故选D．]
2．[人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编]设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，若M∩( UN)＝{1，3，5}，则N＝(　　)
A．{1，3，5} B．{2，4，6}
C．{2，3，6} D．
B　[因为M∩ UN＝{1，3，5}，全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，
所以1 N，3 N，5 N，
所以N＝{2，4，6}．故选B．]
3．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
D　[由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D．]
4．(2025·南京鼓楼区模拟)已知全集U＝R，集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{0} B．{－1，0}
C．{1，2，3} D．{－1，0，1，2}
A　[由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩( UB)，
∵集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，
∴ UB＝，
即A∩( UB)＝{0}．
故选A．]
5．[新定义]对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　)
A．5 B．
C． D．
D　[因为定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，集合A＝{1，2}，则A＋A＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝，则可知所有元素的和为．
故选D．]
新定义的破解模型：
6．[易错题]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝ ．
1　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足题意．综上得a＝1．]
【教用·备选题】
1．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝(　　)
A．{1，2，3}　　　　　 B．{2，3}
C．{3} D．
D　[由题意可知，集合M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}，又因为N＝{1，2，3}，所以M∩N＝ ．故选D．]
2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9}　　　　　　 B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D．]
3．(多选)(2025·河南开封二模)已知集合A＝{x|－3＜2x－1＜3}， RB A，则(　　)
A．－1 B B．2∈B
C．－1∈A∪B D．2∈A∩B
BC　[A＝{x|－3＜2x－1＜3}＝{x|－1＜x＜2}，
对于选项A，若－1 B，则－1∈ RB，则根据 RB A有－1∈A，显然矛盾，故选项A错误；
对于选项B，假设2 B，则2∈ RB，根据 RB A有2∈A，显然矛盾，则2∈B，故选项B正确；
对于选项C，由A知，－1∈B，则－1∈A∪B，故选项C正确；
对于选项D，显然2 A，必有2 A∩B，故选项D错误．故选BC．]
基础考点2　常用逻辑用语
【母题2】　[人教A版必修第一册P22习题1.4T2节选]在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)：
(1)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(2)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(3)p：x>y，q：x2>y2．
[答案]　(1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件
(3)既不充分也不必要条件
链接核心知识：(1)含有一个量词命题的否定，其原则为“改量词、否结论”．
(2)充分、必要条件的判断可利用定义或借助集合间的关系来判断．
(3)“A的充分不必要条件是B”是指B A，且ADB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A B，且BDA．
1．[北师大版必修第一册P23T3(4)改编]已知命题p： x＞0，x3＞x，则命题p的否定为(　　)
A． x＞0，x3x B． x0，x3＞x
C． x＞0，x3x D． x＞0，x3＞x
C　[命题p： x＞0，x3＞x，
则命题p的否定为 x＞0，x3x．
故选C．]
2．(2025·广东模拟)“x＞2”是“x2－2x＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
A　[解不等式x2－2x＞0，可得x＞2或x＜0，
因为{x|x＞2}是{x|x＞2或x＜0}的真子集，
所以“x＞2”是“x2－2x＞0”的充分不必要条件，
故选A．]
3．[易错题](多选)(2025·贵州安顺模拟)已知集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
BC　[因为集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，
所以，解得1a2，
当a＝1时，A＝{1，1}，与集合元素的互异性矛盾．
故选BC．]
4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝1＋是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
C　[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．]
5．[人教A版必修第一册P35复习参考题1T7改编]命题“ x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m＜0 B．m＜－1
C．m＞3 D．m3
C　[命题“ x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题，
则命题的否定为 x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m＞0为真命题，
当m＝0时，不满足题意，
当m≠0时，则解得m＞3．
故选C．]
6．[开放题](2025·北京西城区模拟)设f(x)是定义在R上的减函数，能说明“一定存在x0∈R使得f(x0)＜1”为假命题的一个函数是f(x)＝ ．
＋1(答案不唯一)　[根据题意，若“存在x0∈R使得f(x0)＜1”为假命题，其反例可以为一个值域大于等于1的减函数，
分析可得：f(x)＝＋1符合要求．
故答案为＋1(答案不唯一)．]
题后反思：开放题是一类开放性和发散性问题，此类问题条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己结合已知条件进行分析、比较、概括和探索．
【教用·备选题】
1．[人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编](2024·天津卷)已知a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
C　[由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b，所以a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C．]
2．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[因为函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M，充分性成立；若对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M，f(x)的值域不一定是R，必要性不成立．故选A．]
3．[人教A版必修第一册P23习题1.4T6推广探索]设a，b，c分别是△ABC的三条边，且abc，我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2(勾股定理)，反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)．由此可知，a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件．
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明．
[证明]　(1)△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2．
充分性，若a2＋b2>c2且abc，则△ABC不是直角三角形．如果△ABC为钝角三角形，则∠C>90°．过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D(图1)，由勾股定理知，
c2＝BD2＋(b＋CD)2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b＝a2＋b2＋2·CD·b>a2＋b2，
矛盾，故△ABC为锐角三角形．
必要性，过点A作边BC的垂线，垂足为D(图2)．由勾股定理知，
c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝b2－CD2＋(a－CD)2＝a2＋b2－2·CD·a(2)△ABC为钝角三角形的充要条件为a2＋b21．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0 B．3
C．5 D．8
C　[由题意，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，
则 UA＝{2，4，6，7，8}，故 UA中有5个元素．故选C．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
C　[因为N＝{x|x2－x－60}＝{x|x3或x－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C．]
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
1 / 3(共41张PPT)
专题一　
送分考点　自我研习
研习1　集合、常用逻辑用语
基础考点1　集合
【母题1】　[人教A版必修第一册P14习题1.3T5]设a∈R，集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B．
[解]　因为B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，
且A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}＝{3，a}，所以
(1)当a＝3时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝ ．
(2)当a＝1时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝{1}．
(3)当a＝4时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝{4}．
(4)当a≠1，3，4时，A∪B＝{1，3，4，a}，A∩B＝ ．
链接核心知识：(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
(2)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2．
(3)A∩B＝A A B A∪B＝B．
(4)若已知A∩B＝ ，要注意不要漏掉特殊情况：A＝ 或B＝ ．
√
D　[集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，
若A B，则实数a的取值范围是[3，＋∞)．
故选D．]
1．[人教B版必修第一册P14练习BT4改编]已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
√
B　[因为M∩ UN＝{1，3，5}，全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，
所以1 N，3 N，5 N，
所以N＝{2，4，6}．故选B．]
2．[人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编]设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，若M∩( UN)＝{1，3，5}，则N＝(　　)
A．{1，3，5} B．{2，4，6}
C．{2，3，6} D．
√
D　[由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D．]
3．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
√
4．(2025·南京鼓楼区模拟)已知全集U＝R，集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{0} B．{－1，0}
C．{1，2，3} D．{－1，0，1，2}
A　[由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩( UB)，
∵集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，
∴ UB＝，
即A∩( UB)＝{0}．
故选A．]
√
5．[新定义]对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　)
A．5 B．
C． D．
D　[因为定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，集合A＝{1，2}，则A＋A＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝，则可知所有元素的和为．
故选D．]
新定义的破解模型：
6．[易错题]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝________________．
1
1　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足题意．综上得a＝1．]
【教用·备选题】
1．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝(　　)
A．{1，2，3}　　　　　 B．{2，3}
C．{3} D．
D　[由题意可知，集合M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}，又因为N＝{1，2，3}，所以M∩N＝ ．故选D．]
√
2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9}　　　　　　 B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
√
D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D．]
3．(多选)(2025·河南开封二模)已知集合A＝{x|－3＜2x－1＜3}， RB A，则(　　)
A．－1 B B．2∈B
C．－1∈A∪B D．2∈A∩B
√
√
BC　[A＝{x|－3＜2x－1＜3}＝{x|－1＜x＜2}，
对于选项A，若－1 B，则－1∈ RB，则根据 RB A有－1∈A，显然矛盾，故选项A错误；
对于选项B，假设2 B，则2∈ RB，根据 RB A有2∈A，显然矛盾，则2∈B，故选项B正确；
对于选项C，由A知，－1∈B，则－1∈A∪B，故选项C正确；
对于选项D，显然2 A，必有2 A∩B，故选项D错误．故选BC．]
基础考点2　常用逻辑用语
【母题2】　[人教A版必修第一册P22习题1.4T2节选]在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)：
(1)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(2)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(3)p：x>y，q：x2>y2．
[答案]　(1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件　(3)既不充分也不必要条件
链接核心知识：(1)含有一个量词命题的否定，其原则为“改量词、否结论”．
(2)充分、必要条件的判断可利用定义或借助集合间的关系来判断．
(3)“A的充分不必要条件是B”是指B A，且AD B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A B，且BD A．
√
C　[命题p： x＞0，x3＞x，
则命题p的否定为 x＞0，x3x．
故选C．]
1．[北师大版必修第一册P23T3(4)改编]已知命题p： x＞0，x3＞x，则命题p的否定为(　　)
A． x＞0，x3x B． x0，x3＞x
C． x＞0，x3x D． x＞0，x3＞x
√
A　[解不等式x2－2x＞0，可得x＞2或x＜0，
因为{x|x＞2}是{x|x＞2或x＜0}的真子集，
所以“x＞2”是“x2－2x＞0”的充分不必要条件，
故选A．]
2．(2025·广东模拟)“x＞2”是“x2－2x＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
√
√
3．[易错题](多选)(2025·贵州安顺模拟)已知集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
BC　[因为集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，
所以，解得1a2，
当a＝1时，A＝{1，1}，与集合元素的互异性矛盾．
故选BC．]
√
4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝1＋是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
C　[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．]
√
5．[人教A版必修第一册P35复习参考题1T7改编]命题“ x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m＜0 B．m＜－1
C．m＞3 D．m3
C　[命题“ x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题，
则命题的否定为 x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m＞0为真命题，
当m＝0时，不满足题意，
当m≠0时，则解得m＞3．
故选C．]
6．[开放题](2025·北京西城区模拟)设f(x)是定义在R上的减函数，能说明“一定存在x0∈R使得f(x0)＜1”为假命题的一个函数是f(x)＝
__________________．
＋1(答案不唯一)
＋1(答案不唯一)　[根据题意，若“存在x0∈R使得f (x0)＜1”为假命题，其反例可以为一个值域大于等于1的减函数，
分析可得：f (x)＝＋1符合要求．
故答案为＋1(答案不唯一)．]
题后反思：开放题是一类开放性和发散性问题，此类问题条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己结合已知条件进行分析、比较、概括和探索．
【教用·备选题】
1．[人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编](2024·天津卷)已知a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
√
C　[由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b，所以a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C．]
2．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得| f (x0)|>M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
A　[因为函数f(x)的定义域为D，若函数f (x)的值域为R，则对任意M∈R，存在x0∈D，使得| f (x0)|>M，充分性成立；若对任意M∈R，存在x0∈D，使得| f (x0)|>M，f(x)的值域不一定是R，必要性不成立．故选A．]
3．[人教A版必修第一册P23习题1.4T6推广探索]设a，b，c分别是△ABC的三条边，且abc，我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2(勾股定理)，反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)．由此可知，a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件．
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明．
[证明]　(1)△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2．
充分性，若a2＋b2>c2且abc，则△ABC不是直角三角形．如果△ABC为钝角三角形，则∠C>90°．过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D(图1)，由勾股定理知，
c2＝BD2＋(b＋CD)2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b＝a2＋b2＋2·CD·b>a2＋b2，
矛盾，故△ABC为锐角三角形．
必要性，过点A作边BC的垂线，垂足为D(图2)．由勾股定理知，
c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝b2－CD2＋(a－CD)2＝a2＋b2－2·CD·a(2)△ABC为钝角三角形的充要条件为a2＋b2当堂进阶　真题试做　感悟高考
√
C　[由题意，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，
则 UA＝{2，4，6，7，8}，故 UA中有5个元素．故选C．]
1．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0 B．3
C．5 D．8
√
C　[因为N＝{x|x2－x－60}＝{x|x3或x－2}，所以M∩N＝
{－2}，故选C．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
√
B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
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