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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.2 三角形及全等三角形
三角形 三角形的分类及边角关系 概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形.
性质 三角形具有稳定性.
三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
角的关系 (1)三角形三个内角的和等于180°； (2)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
分类 按角分 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三角形中的重要线段 名称 图形 性质 延伸
高 AD⊥BC,即∠ADB = ∠ADC=90° 锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条高恰好是三角形的两条直角边；钝角三角形有一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，三条高所在的直线交于三角形外一点.
中线 BD=CD= (1)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分； (2)三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
中位线 DE∥BC 且 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
角平分线 ∠1=∠2= 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这个点是三角形的内心，它到三边的距离相等.
线段垂直平分线 且 BD=CD 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做外心，外心到三角形三个顶点的距离相等.
三角形内外角平分线相交所成角 分类三角形两内角平分线所成夹角三角形两外角平分线所成夹角三角形一内角平分线和一外角 平分线所成夹角结论 图示
全等三角形 全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
2.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.②
3.全等三角形的判定
三角形 字母表示 判定方法 图示
一 般 三 角 形 SSS 三边分别相等的两个三角形全等.
SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.
ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.
AAS 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.
直角三角形 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
■考点一　三角形的三边关系
◇典例1：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6
【答案】C．
【解析】【解答】解：A、2+1＝3，长度是1，2，3的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+3＝5＜7，长度是2，3，7的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+6＞7，长度是2，6，7的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、3+3＝6，长度是3，3，6的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
◆变式训练
1.若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（　　）
A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm
【答案】B．
【解析】【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10﹣7＜x＜10+7，
即3＜x＜17，
10cm适合，
故选：B．
【点评】本题主要考查了求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可，难度适中．
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
2.现有两根木条，它们的长分别是40cm和50cm，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为x cm，则（　　）
A．10＜x＜90 B．20＜x＜100 C．40＜x＜50 D．90＜x＜200
【答案】A．
【分析】已知三角形的两边长分别为40cm和50cm，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：50﹣40＜x＜40+50，即10＜x＜90．
故选：A．
【分析】已知三角形的两边长分别为40cm和50cm，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
■考点二 三角形的内角与外角
◇典例1：如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，是正南和正北方向，
，
处在处的南偏西方向，
，
处在处的南偏东方向，
，
，
又处在处的北偏东方向，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 本题考察方向角、平行线的性质及三角形内角和定理，解题需先梳理方向线的平行关系，再逐步推导角度。因为AE与DB平行，根据平行线内错角相等，B在A南偏西42°，故∠BAE=∠DBA=42°；C在A南偏东30°，故∠EAC=30°，因此∠BAC=42°+30°=72°。又C在B北偏东72°，故∠DBC=72°，则∠ABC=∠DBC-∠DBA=72°-42°=30°。根据三角形内角和为180°，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-72°-30°=78°。
◆变式训练
1.一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么∠α的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】D．
【解析】【解答】解：由题意α＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
【分析】利用三角形内角和定理求解．
2．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】D．
【解析】【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，
根据三角形内角和定理可得：
∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°；
如图，设C'D与BC交于点O，
则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，
则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°．
故选：D．
【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求．
■考点三 三角形的中线、高线和角平分线
◇典例1：如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥AB
【答案】C．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解析】【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥AB，∠ACE∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
◆变式训练
1.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2．
【答案】1．
【解析】【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）．
故答案为1．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
2.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3
∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3，
∵AB＝9，
∴BC＝12或6．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
■考点四 三角形的中位线
◇典例1：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，OD的中点，若EF＝2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D．
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AD，OD的中点，EF＝2，
∴OA＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA＝8，
故选：D．
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的中位线定理解答即可．
◆变式训练
1.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A．
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　．
【答案】119°．
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝58°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝29°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣29°＝61°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝BE，
∴∠BAD＝∠ABE＝29°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝58°，
∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠ADB＝∠DEF＝61°，
∴∠BEF＝∠DEF+∠BED＝58°+61°＝119°，
故答案为：119°．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AE＝BE，根据点E、F分别是AD、AC的中点得到EF是△ADC的中位线，可得EF∥BC，分别求出∠BED和∠DEF的度数即可．
■考点五 全等三角形的性质
◇典例1：如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．65°
【答案】A．
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
◆变式训练
1.如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
【答案】C．
【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD，
∵AD＝8，BC＝2，
∴AB（AD﹣BC）（8﹣2）＝3，
∴AC＝AB+BC＝3+2＝5．
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC＝DB，再求出AB＝CD（AD﹣BC）＝3，那么AC＝AB+BC，代入数值计算即可得解．
2.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【解答】解：（1）∵∠A＝85°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，
∵△ABC≌△DEF，AB＝8，
∴∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8，
∵EH＝2，
∴DH＝8﹣2＝6；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB∥DE．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案；
根据全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可．
■考点六 全等三角形的判定
◇典例1：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠D＝∠B．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD．
【分析】根据平行线的性质求出∠ACB＝∠E，利用AAS证明△ABC≌△CDE，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证．
◆变式训练
1.如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
【解答】证明：∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【分析】由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，再由SAS证明△ABE≌△CDF即可．
2.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC．F是AD的延长线上一点．
求证：（1）∠ABD＝∠ACD；
（2）BF＝CF．
【解答】证明：（1）∵在△BAD和△CAD中
∴△BAD≌△CAD（SSS），
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）∵在△BAF和△CAF中
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴BF＝CF．
【分析】（1）根据SSS推出△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等三角形的性质得出即可．
■考点七 全等三角形的性质与判定
◇典例1：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝55°，求∠EGC的大小．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D＝55°，
∵AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A＝55°．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再利用线段的数量关系线段相等，进而得到△ABC≌△DEF；
（2）利用全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝55°，再利用平行线的性质即可解答．
◆变式训练
1.如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE＝∠DBF，AC＝BD．求证：
（1）BC＝AD；
（2）∠CAD＝∠DBC．
【解答】证明：（1）∵∠CAE＝∠DBF，∠CAB+∠CAE＝180°，∠DBF+∠DBA＝180°，
∴∠CAB＝∠DBA，
在△CAB和△DBA中
∴△CAB≌△DBA（SAS），
∴BC＝AD；
（2）∵△CAB≌△DBA，
∴∠C＝∠D，
∵∠COA＝∠DOB，∠C+∠CAD+∠COA＝180°，∠D+∠DOB+∠DBC＝180°，
∴∠CAD＝∠DBC．
【分析】（1）求出∠CAB＝∠DBA，根据SAS推出△CAB≌△DBA即可；
（2）根据全等得出∠C＝∠D，根据三角形的内角和定理得出即可．
2.如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠ACE＝∠ABD＝20°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB＝47°，则∠FBC＝∠FCB＝27°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣86°）＝47°，
∴∠FBC＝∠FCB＝47°﹣20°＝27°，
∴∠BFC＝180°﹣27°﹣27°＝126°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
■微专题三 全等三角形简单模型的应用
◇典例1：如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DFE．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
【分析】先证明BC＝EF，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DFE．
◆变式训练
1.如图．已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的中点，连接BE、CD．
求证：BE＝CD．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴ABAC，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ADAB，AEAC，
∴AD＝AE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD．
【分析】由AB＝AC，且ADAB，AEAC，得AD＝AE，而∠A＝∠A，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，则BE＝CD．
2.如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC．
【解答】证明：
∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAB，
即∠EAD＝∠CAB，
在△EAD和△CAB中
∴△EAD≌△CAB（ASA），
∴AE＝AC．
【分析】由∠EAC＝∠DAB可得到∠EAD＝∠CAB，结合条件可证明△EAD≌△CAB，利用全等三角形的性质可得AE＝AC．
■微专题三 一线三等角模型
◇典例1：如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．
（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）DF＝CD，CD⊥DF．
理由：∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF．
（2）成立，理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF．
【分析】（1）利用SAS证明△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠ADF＝∠BCD，由∠BCD+∠CDB＝90°得∠ADF+∠CDB＝90°，即可证得DF＝CD且CD⊥DF；
（2）由已知证明△FAD≌△DBC，得到DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，由∠DCB+∠BDC＝90°，得到∠FDA+∠BDC＝90°，证出∠FDC＝90°即可得出结论．
◆变式训练
1.如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD．
【分析】如图作AH⊥BD于H．只要证明△DEF≌△ADH，△ABH≌△BCG，可得EF＝DH，BH＝CG，由此即可解决问题．
【解答】证明：如图作AH⊥BD于H．
∵AD⊥DE，EF⊥DF，AH⊥BD，
∴∠EFD＝∠EDA＝∠AHD＝90°，
∴∠EDF+∠ADH＝90°，∠E+∠EDF＝90°，
∴∠E＝∠ADH，
∴DE＝AD，
∴△DEF≌△ADH，
∴DH＝EF，
同理可证△ABH≌△BCG，
∴BH＝CG，
∴BD＝DH+BH＝EF+CG．
【分析】如图作AH⊥BD于H．只要证明△DEF≌△ADH，△ABH≌△BCG，可得EF＝DH，BH＝CG，由此即可解决问题．
■微专题三 倍长中线模型
◇典例1：在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，
【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由．
【应用】如图，，，，，为中点，求证：．
【解答】解：举例：是中线，
．
在和中，
，
．
应用：延长到，使，连接．
为中点，
．
在和中，
，
．
，．
，
．
，，
．
．
又，
．
在和中，
，
．
．
，
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键．
举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等．
应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出．
◆变式训练
1.综合与实践【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是 ___________；
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长．
【解答】解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C；
（2）∵，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵是中线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案．
1．（2025·新会模拟）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　　)
A．5 B．6 C．11 D．16
【答案】C
【解析】【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解答】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合的条件确定的范围．本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 是解题的关键．
【详解】解：∵ 三角形三边为，，，
∴ ，即．
又∵ ，也就是，
∴ 综合可得．
故选：．
3．（2025·潮南模拟）如图，在中，，点在直线上．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
，
，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由两直线平行内错相等可把转化到的位置上，再由两锐角互余即可．
4．（2025·广东模拟）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵E为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
故选；B．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积即可求出答案.
5．（2025·连州模拟）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：，
∴是的中线，
∴，
又是的中点，
．
故选：D．
【分析】
本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键．根据三角形中位线的性质可得，同理可得．
6．（2025·南海模拟）如图，平分，添加一个条件　 ．可以判定．
【答案】（答案不唯一，还可以是，）
【解析】【解答】解：∵平分，
，
，
∴添加，根据可以判定，
添加，根据可以判定，
添加，根据 可以判定，
故答案为：（答案不唯一，还可以是，）．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．
7．（2025·海珠模拟）如图，已知平分，，求证：．
【答案】证明：平分，
．
在和中，
．
∴△BAC≌△DAC（AAS），
【解析】【分析】利用角平分线的概念可证得∠BAC=∠DAC，再利用AAS可证得△BAC≌△DAC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
8．（2025·广州）如图，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．（2025·广东·模拟预测）如图，在和中，于点，于点，，．求证：．
【答案】证明：，，
，
在和中，
，
；
，
在中，，
，即；
．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，进而推出，即可．
10．（2025·宁明模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
【答案】（1）证明：∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴；
（2）解：由(1)知：
∴∠B=∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴在五边形ABCDE中， ．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，多边形内角和，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理.（1）根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ACD=∠ADC，再根据角的和差运算和等式的性质可知：∠ACB=∠ADE，结合AC=AD和BC=ED，根据三角形全等的判定定理SAS可得：△ABC≌△AED，由此可证得结论；
（2）根据三角形全等的性质：对应角相等可知：∠B=∠E=140°，再根据多边形内角和计算公式：(n-2)×180°，当n=5时，代入可得：(5-2)×180°=540°，即五边形内角和为540°，即∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，代入数据计算即可得到∠BAE的度数，由此可得出答案．
1．（2025·广东惠州·三模）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意；
B、∵，
∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意；
C、∵，
∴能组成三角形，该选项符合题意；
D、∵，
∴不能组成三角形，该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解．
2．（2025·广东深圳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，但是三角形的高不一定在内部，原说法错误，不符合题意；
B、等边三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C、等腰三角形是关于底边上的中线所在的直线成轴对称的图形，原说法错误，不符合题意；
D、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据三角形的高、中线、角平分线的特征可判断A；根据全等三角形的定义以及等边三角形的性质可判断B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据轴对称的性质和全等三角形的判定可判断D．
3．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则 ．
【答案】/50度
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平移的性质，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．利用平移的性质，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出（即）的度数．
4．（2025·广东·三模）如图，为的外角，点为边上的一点，点F在外，且，若，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵为的外角，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由三角形外角的定义及性质可得，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
5．（2025·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ．
【答案】/度
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
由折叠可知：，
当时，则
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解．
6．（2025·广东深圳·二模）如图，已知，，，则的度数为 度．
【答案】30
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由，得，再结合三角形内角和进行列式计算，即可作答．
7．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在和中，已知，．求证：．
【答案】证明：在和中，
，
∴≌，
∴．
【分析】由，，，根据“”证明≌，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
8．（2025·广东珠海·三模）如图，已知和，点在上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记判定定理和性质定理，并应用解决问题是解题的关键．根据，得，结合已知条件证明，即可得出结论．
9．（2025·广东广州·二模）如图，点E，F在直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先证明，得到，即可得到．
10．（2025·广东广州·一模）如图，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．先由得到其邻补角相等，再由证明全等，则由全等三角形对应边相等即可说理．
11．（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：．
【答案】证明：，
∴，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
12．（2025·榕城模拟）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】
（1）利用同角的余角相等可求得，再利用可证明，解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案．
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第四章 图形的认识
4.2 三角形及全等三角形
三角形 三角形的分类及边角关系 概念 由不在 的三条线段首尾顺次连接组成的图形.
性质 三角形具有稳定性.
三边关系 三角形两边的和 第三边，两边的差 第三边.
角的关系 (1)三角形三个内角的和等于 ； (2)三角形的外角 与它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角 与它不相邻的任意一个内角.
分类 按角分 锐角三角形、 三角形、钝角三角形
三角形中的重要线段 名称 图形 性质 延伸
高 AD⊥BC,即∠ADB = ∠ADC=90° 锐角三角形的三条高都在三角形的 ；直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条高恰好是三角形的两条直角边；钝角三角形有一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，三条高所在的直线交于三角形外一点.
中线 BD=CD= (1)三角形的中线将三角形分成 相等的两部分； (2)三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的 .重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
中位线 DE∥BC 且 三角形的中位线平行于三角形的 ，并且等于第三边的 .
角平分线 ∠1=∠2= 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这个点是三角形的 ，它到三边的 相等.
线段垂直平分线 且 BD=CD 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做 ，外心到三角形三个顶点的距离 .
三角形内外角平分线相交所成角 分类三角形两内角平分线所成夹角三角形两外角平分线所成夹角三角形一内角平分线和一外角 平分线所成夹角结论 图示
全等三角形 全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 .
2.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.②
3.全等三角形的判定
三角形 字母表示 判定方法 图示
一 般 三 角 形 SSS 三边分别相等的两个三角形全等.
SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.
ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.
AAS 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.
直角三角形 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
■考点一　三角形的三边关系
◇典例1：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6
◆变式训练
1.若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（　　）
A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm
2.现有两根木条，它们的长分别是40cm和50cm，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为x cm，则（　　）
A．10＜x＜90 B．20＜x＜100 C．40＜x＜50 D．90＜x＜200
■考点二 三角形的内角与外角
◇典例1：如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是　 　．
◆变式训练
1.一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么∠α的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
■考点三 三角形的中线、高线和角平分线
◇典例1：如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥AB
◆变式训练
1.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2．
2.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
■考点四 三角形的中位线
◇典例1：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，OD的中点，若EF＝2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
◆变式训练
1.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　．
■考点五 全等三角形的性质
◇典例1：如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．65°
◆变式训练
1.如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
2.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
■考点六 全等三角形的判定
◇典例1：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠D＝∠B．求证：AB＝CD．
◆变式训练
1.如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
2.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC．F是AD的延长线上一点．
求证：（1）∠ABD＝∠ACD；
BF＝CF．
■考点七 全等三角形的性质与判定
◇典例1：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝55°，求∠EGC的大小．
◆变式训练
1.如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE＝∠DBF，AC＝BD．求证：
（1）BC＝AD；
（2）∠CAD＝∠DBC．
2.如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．
■微专题三 全等三角形简单模型的应用
◇典例1：如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DFE．
◆变式训练
1.如图．已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的中点，连接BE、CD．
求证：BE＝CD．
2.如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC．
■微专题三 一线三等角模型
◇典例1：如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．
（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．
◆变式训练
1.如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD．
■微专题三 倍长中线模型
◇典例1：在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，
【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由．
【应用】如图，，，，，为中点，求证：．
◆变式训练
1.综合与实践【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是 ___________；
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长．
1．（2025·新会模拟）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　　)
A．5 B．6 C．11 D．16
2．（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·潮南模拟）如图，在中，，点在直线上．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广东模拟）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025·连州模拟）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．6
6．（2025·南海模拟）如图，平分，添加一个条件　 ．可以判定．
7．（2025·海珠模拟）如图，已知平分，，求证：．
8．（2025·广州）如图，，，．求证：．
9．（2025·广东·模拟预测）如图，在和中，于点，于点，，．求证：．
10．（2025·宁明模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
1．（2025·广东惠州·三模）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·广东深圳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
3．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则 ．
4．（2025·广东·三模）如图，为的外角，点为边上的一点，点F在外，且，若，，则 ．
5．（2025·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ．
6．（2025·广东深圳·二模）如图，已知，，，则的度数为 度．
7．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在和中，已知，．求证：．
8．（2025·广东珠海·三模）如图，已知和，点在上，，，．求证：．
9．（2025·广东广州·二模）如图，点E，F在直线上，，，．求证：．
10．（2025·广东广州·一模）如图，，．求证：．
11．（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：．
12．（2025·榕城模拟）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长度．
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