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(共36张PPT)
10.3 频率与概率
人教A版（2019）必修第二册
素养目标
1.了解频率与概率的关系，提升逻辑推理素养（难点）
2.会用频率估计概率，提升数学运算能力（重点）
3.了解随机模拟的基本过程，提升逻辑推理能力（难点）
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探究思考：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=＂一个正面朝上，一个反面朝上＂，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较．你发现了什么规律？
把硬币正面朝上记为 1 ，反面朝上记为 0 ，则这个试验的样本空间Ω={(1,1),
(1,0),(0,1),(0,0)},A={(1,0),(0,1)} ，所以 P(A)=0.5，
下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件 A 的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.
第一步：每人重复做25次试验，记录事件 A 发生的次数，计算频率；
第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；
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第三步：各组统计事件 A 发生的次数，计算事件 A 发生的频率，将结果填入下表中
每组中 4 名同学的结果一样吗？为什么会出现这样的情况？
小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
1 100
2 100
3 100
...
合计
4名同学的结果可能不一样，因为频率具有随机性，可能会因试验的不同而不同
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思考一下：比较在自己试验25次，小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率.
(1)各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
(2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为 20,100,500 时各做 5 组试验，得到事件 A=＂一个正面朝上，一个反面朝上＂发生的频数nA 和频率fn (A).
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v
序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 216 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况(如下图)．
n=20
n=100
n=500
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v
我们发现：
（1）试验次数n相同，频率 fn (A) 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
（2）从整体来看，频率在概率 0.5 附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小．但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
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频率的稳定性的概念
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn (A) 会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P(A) ．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn (A)估计概率P(A) ．
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拓展：频率与概率的区别和联系
（1）区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性.
（2）联系：频率是概率的试验值，会随试验次数的增加逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率.
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例1 新生婴儿性别比是每100 名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年，2015年出生的婴儿性别比分别为115.88 和113.51 ．
（1）分别估计我国 2014 年和 2015 年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到 0.001)
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.
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2014 年男婴出生的频率为
2015 年男婴出生的频率为
由此估计，我国 2014 年男婴出生率约为 0.537 ，2015年男婴出生率约为0.532 ．
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（2）根据估计结果，你认为＂生男孩和生女孩是等可能的＂这个判断可靠吗？
由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑＂生男孩和生女孩是等可能的＂的结论．
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例2 一个游戏包含两个随机事件A 和 B ，规定事件A发生则甲获胜，事件B 发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等．在游戏过程中甲发现：玩了 10 次时，双方各胜 5 次；但玩到1000次时，自己才胜300 次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？
当游戏玩了 10 次时，甲，乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7．根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近．而游戏玩到 1000 次时，甲，乙获胜的频率分别是0.3和0.7 ，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断．
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思考一下：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是 90% ．如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是 90%”
？又该如何评价预报的结果是否准确呢？
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对＂降水的概率为 90%＂比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有 90% 的天数要下雨.
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只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有 90% 确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与 90% 差别较大，那么就可以认为预报不太准确．
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思考一下：用频率估计概率，需要做大量的重复试验．有没有其他方法可以替代试验呢？
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．
例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0,1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上．这样不断产生0,1 两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
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又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别．对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合 {1,2,3,4,5}的随机数，用1,2 表示红球，用3,4,5 表示白球．这样不断产生 1~5 之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验．
下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA 为摸到红球的频数，fn (A) 为摸到红球的频率．
n 10 20 50 100 150 200 250 300
nA 6 7 20 45 66 77 104 116
fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39
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画出频率折线图（如上图），从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4．
我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛 （Monte Carlo）方法．
蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯 诺伊曼（John von Neumann）．这种方法在应用物理，原子能，固体物理，化学，生物，生态学，社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用．
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例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月 十二月是等可能的．设事件A=＂至少有两人出生月份相同＂，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率．
方法一：
根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1,2, ,12的12 个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这 6 个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
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方法二：
利用电子表格软件模拟试验． 统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值．
下表是20次模拟试验的结果．事件A发生了14 次，事件A的概率估计值为 0.70 ，与事件 A 的概率（约 0.78 ）相差不大．
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例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6 ，乙获胜的概率为0.4 ．利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1 ．
显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果．
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设事件 A=＂甲获得冠军＂，事件 B=＂单局比赛甲胜＂，则 P(B)=0.6 ．用计算器或计算机产生1~5 之间的随机数，当出现随机数1 , 2 或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验．其中事件A发生了13次，对应的数组分别423,123,423,
114,332,152,342,512,125,432,334,151,314，
用频率估计事件 A 的概率近似为
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C
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C
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A
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B
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D
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0.65
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课堂总结
1.频率的稳定性的概念
2.随机模拟解决问题的方法
感谢同学们观看

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