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第七章
相交线与平行线
数学 人教版 七年级下册
7.1.2
两条直线垂直
第7章 相交线与平行线
情境引入
天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，人们概括有“五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，都是2分07秒，国旗也准时到达30米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.
可是，你看着旗杆与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？
情境引入
思考：日常生活中，图中的两条直线的关系很常见，你能举出其他例子吗？
新知探究
思考：当转动一木条的位置时，什么也随着发生了变化？
学习笔记
新知探究
定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足.如图.
垂足
垂 线
垂
线
新知探究
思考：如图，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质可知，
当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
学习笔记
新知探究
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.
如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ).
A
B
C
D
O
l
m
两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.
学习笔记
新知探究
A
B
C
D
O
符号语言：
①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O.
因为∠AOD = 90°（已知）,
所以AB⊥CD（垂直的定义）.
②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°.
因为 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90°（垂直的定义）.
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
垂直的判定与性质
符号语言：
典例精析
例1
如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射线OE，OF是什么位置关系？请说明理由.
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.　
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
归纳总结
典例精析
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四个角中有一个角是直角即可．
垂线的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
典例精析
例2
如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数.
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE
＝90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，
所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
典例精析
例3
如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOC = 45°，∠AOD = 3∠DOE.图中是否存在互相垂直的直线？若存在，请写出互相垂直的直线；若不存在，请说明理由.
解：存在，OE⊥AB.理由如下：
因为 ∠AOC = 45°，
所以 ∠AOD = 180°-∠AOC = 180°-45° = 135°.
因为 ∠AOD =3∠DOE，所以 3∠DOE = 135°，
所以 ∠DOE = 45°，
所以 ∠AOE = ∠AOD-∠DOE =135°-45° = 90°，
所以 OE⊥AB.
新知探究
1.落.
2.画.
l
O
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
A
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
无数条.
新知探究
A
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
一条.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
l
归纳总结
典例精析
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线.
如果作线段互相垂直或作射线的垂线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部分.在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长线上，并记上直角符号“﹁”.
归纳总结
新知探究
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线.即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件:
其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；
“有且只有”中的“有”是指能画出一条已知直线的垂线，即存在性，“只有”是指只能画一条，即唯一性.
新知探究
A
A
思考：如果直线并不是水平的你还会画吗？
典例精析
点 A 在直线 l 上
点 A 在直线 l 外
l
A
l
A
思考：除了用三角板画直角，你还能有什么方法画垂线？
还可以用折纸的方法画垂线，你知道吗？
新知探究
练习：分别过点 P 作线段 MN 的垂线.
M
N
P
M
N
P
Q
P
M
N
Q
P
M
N
Q
典例精析
例4
如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
解：如图所示，即为所求.
A
B
C
归纳总结
典例精析
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角是90°
典例精析
例5
如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是(　　)
C
归纳总结
典例精析
利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：
1. 在平面内；
2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；
3. 相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
新知探究
C
D
E
l
再从点 A 向已知直线 l 画几条不垂直的线段.
B
A
如图，点 A 为直线 l 外一点，AD⊥l，垂足为D，
称 AD为点 A到直线 l 的垂线段.
线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？
你能用一句话表示这个结论吗？
学习笔记
新知探究
垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离.
C
D
E
l
B
A
小提醒
新知探究
(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
(2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
(3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
新知探究
思考：在施肥时，要把从公路上运到农田的肥料转移到农田 P 处，如何设计搬运路线才能是最短的？请在图中画出来，并说明理由.
m
垂线段最短.
P
典例精析
例6
如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA = 6 cm，PB = 5 cm，PC = 7 cm，则点 P 到直线 l 的距离是 cm.
解：因为 PB⊥l，PB = 5 cm，
所以点 P 到直线 l 的距离是 5 cm.
5
典例精析
例7
如图，高铁站、码头分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.
(1)从高铁站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从高铁站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
A
a
B
b
两点之间
线段最短
垂线段最短
垂线段最短
垂线
垂线
定义：在同一平面内，过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直.
性质:若直线 AB⊥CD ，
垂足为 O，则∠AOD = 90°.
画法:一贴二靠三画
垂线段
性质：连接直线外一点与直线上各
点的所有线段中，垂线段最短.
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
随堂演练
2.如图，CD⊥AB, ∠ACB=90° ,
线段AC，BC，CD中最短的是（ ）
A.AC B.CD C.BC D.不能确定
B
D
A
B
C
1.已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
D
随堂演练
3.已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有(　　)
D
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
随堂演练
4.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为( 　　)
A．35° B．45°
C．55° D．65°
C
5.如图，三条直线相交于点O，若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于(　　)
A．30° B．34°
C．45° D．56°
B
随堂演练
6.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为(　　)
A．35° B．45°
C．55° D．65°
C
7.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为(　　)
A．36° B．54°
C．55° D．44°
B
随堂演练
8.过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在(　　)
A．这条线段上
B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
D
9.在同一平面内，下列语句正确的是(　　)
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
C
随堂演练
10.点 P 为直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，PA = 2 cm，PB = 3 cm，PC = 4 cm，则点 P 到直线 l 的距离( )
A.等于 2 cm B.小于 2 cm
C.大于 2cm D.不大于 2 cm
D
11.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有( )
①线段 CD 的长度是点 C 到 AB 的距离；
②线段 AC 是点 A 到 BC 的距离；
③ AB > AC > CD；
④线段 BC 是点 B 到 AC 的距离；
⑤ CD < BC < AB.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
随堂演练
12.如图，过点P分别作OA，OB的垂线.
O
A
B
P
M
N
解：如图所示，即为所求.
随堂演练
13.如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF = 60°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.
解：因为 OF⊥AB，OE⊥CD，
所以 ∠BOF = ∠DOE = 90°，
因为 ∠DOF = 60°，
所以 ∠BOD = 90°- 60° = 30°，
所以 ∠BOE = 90°-∠BOD = 90°-30°=60°，
∠AOC =∠BOD = 30°.
随堂演练
14. 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠NOE＝40°.
所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为AO⊥BC，所以∠AOC＝90°.
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°.
7.1.2
两条直线垂直
第7章 相交线与平行线
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