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20.2 勾股定理的逆定理
新课导入
提问：这个命题的条件和结论分别是什么？
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c .结论：a2+b2=c2．
思考：
如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？
答案就藏在课本中，我们一起来看一看！
推进新课
知识点 1
互逆命题
　 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
这种方法对吗？
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究
下列各组数中的两数平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
（1） 2.5，6，6.5； （2）6，8，10；
（3） 4，7.5，8.5．
用量角器量一量，它们是什么三角形？
提问
直角三角形
由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2
=c2，那么这个三角形是直角三角形．
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
观察
这两个命题有什么不同？
题设
结论
结论
题设
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
小结
练习
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（1）内错角相等，两直线平行； 成立
（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等； 不成立
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.
（3）对应角相等的两个三角形全等；不成立
（4）角平分线上的点到角两边的距离相等；成立
知识点 2
勾股定理的逆定理
命题2正确吗？如何证明呢？
思考
A'　
B'　
C' 　
？
三角形全等 　　
△ABC是直角三角形　　　
∠C是直角　　
A　
B　
C　
a
b
c
a
A　
B　
C　
a
b
c
A'　
B'　
C' 　
a
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2，
∴ A'B' =c.
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中
小结
勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2
=c2，那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．　
例1　判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解:(1) ∵　152+82 =225+64=289，
　 172 =289，
∴　152+82 =172.
∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．
　　像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
练习
如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
分析：这三条线段组成的三角形是直角三角形.因为由 a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
拓展延伸
一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？
我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
分析：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.
拓广探索
因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,
所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.
（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.
因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2
（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2
故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.
课堂小结
勾股定理的逆定理
逆命题和逆定理
勾股定理的逆定理
勾股定理的实际应用
课后作业
复习巩固
（1）（2）（3）是；（4）不是.
1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7,b=24,c=25;（2）a= ,b=4,c=5;
（3）a= ,b=1,c= ;（4）a=40,b=50,c=60.
2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
分析：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；成立.
（2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那么它们都是直角”，不成立.
（3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形全等”；成立.
（4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；不成立.
4.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC.
综合应用
因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，
所以BD2+AD2=AB2，所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.因此△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.
分析：在△ABD中，BD= BC=5，AD=12，AB=13，

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