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(共29张PPT)
人教版八年级下册
20.1　勾股定理（1）
观察欣赏 感知文化
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.在中国古代，把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称为“股”.把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
弦
股
勾
股
【设计意图】看到会标，部分学生会想到“勾三股四弦五”．这样以学生的认知为基础引入，激发学习兴趣的同时，自然向学生渗透与勾股定理有关的历史文化，增强民族自豪感．根据教材的介绍，此时，老师可直接告诉学生：事实上，古人发现，直角三角形三条边长度的平方存在一种特殊的关系．为活动1为什么要计算直角三角形的三边平方作铺垫．
学习目标
（1）经历用方格子计算面积的办法探索勾股定理以及利用图形面积验证勾股定理的过程， 渗透“特殊到一般”、
“数形结合”的数学思想，培养学生分析问题和解决问题的能 力，提升学生几何直观的数学素养．
（2）能准确利用文字语言、几何图形语言、字母符号语言表述勾股定理，会初步运用勾股 定理进行简单的计算
和解释生活中的简单现象．
（3）利用古代中外勾股定理的发现故事，感受数学文化，热爱我国悠久文化的同时，学习 多元文化，了解不同
民族为人类的发展所做的贡献．
教学重点：探索和验证勾股定理．
教学难点：在方格纸上利用割补法计算面积探索勾股定理．
教学设计：
1. 文化为线，贯穿课堂始终.
2. 问题为串，设置层层铺垫.
3. 学生为本，发展核心素养.
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？
活动1
探究
活动一：
（1）请在方格纸上任意画一个直角三角形；
（2）用直尺测量它们的三边长度；
（3）计算三边长度的平方；
（4）探究三边长度的平方有什么数量关系
1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
思考：1、正方形A,B,C的面积有什么关系？
2、正方形A,B,C与等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC
A的面积 B的面积 C的面积
图1-1
9
9
18
如何求C的面积呢
？
方法一：割
方法二：补
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
C面积的求法
等腰直角三角形比较特殊，从“形”上来看，体现探究的过程是一个从特殊到一般的过程，自然引出下一个活动：一般直角三角形的探究．而C的面积，学生有多种算法，本例比较特殊，用凑整的方法较为简单．但学生用补成正方形或是分割成三角形的计算方法，应该要给予展示和鼓励，从而为图1-3和图1-4中C面积的计算方法做铺垫．
结论：
思考：一般的直角三角形是否有相同的结论？
等腰直角三角形
两直角边上的正
方形的面积的和
等于斜边上正方
形的面积。
2．观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-1
16
9
A
B
C
图1-2
2．观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-1
16
9
25
3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形 面积之和等于斜边上的正方形的面积．
A
B
C
图1-2
4．你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+ b2=c2
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a ,ｂ，斜边为ｃ，
那么 a2+b2=c2 .
A
B
C
a
c
b
符号语言：
∵ 在Rt△ ABC中， ∠C=90°，
∴ a2+b2 = c2 .
变形形式： a2 = c2 - b2 ， b2= c2 - a2 .
勾股定理
　 　 相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从用地砖铺成的地面中发现了直角三角形的某种特性．
A
B
C
A、B、C的面积有什么等量关系？
等腰直角三角形三边的数量关系：
SA + SB= SC
两直角边的平方和等于斜边的平方．
m
m
n
SA + SB= SC
A
B
C
+
=
发现规律
猜想结论
严格证明
数学发展历程：
得出定理
认 识 赵爽“弦 图”
对一般直角三角形的探究进一步说明结论的正确性，体现从特殊到一般的数学思想．从毕达哥拉斯发现勾股定理，到引出赵爽弦图，再一次让学生了解勾股定理悠久的历史文化，了解不同民族为人类的发展所做的贡献，渗透爱国主义教育，并为下一课时用“面积法”证明勾股定理奠定基础．
如图我国古代证明该命题的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实.
你是如何理解的？你会证明吗？　　
赵爽弦图
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
a
b
c
a
b
c
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证明：
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
摆一摆，拼一拼，能否得到一个含有边长为c的正方形
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
动手实践 验证猜想
a
c
b
S小正方形= S大正方形－ 4S直角三角形.
(a-b)2
c2
－
=
=
∴ a2+ b2
c2 .
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
a2－2ab+ b2
c2
－
2ab .
=
动手实践 验证猜想

.
证明思路:
1.在图中寻找等量关系。
2.列出等式证明猜想成立。
你能用那种方法证勾股定理
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
观察欣赏 感知文化
跟踪练习：1（口答）求下图中字母所代表的正方形面积．
625
144
运用新知 解决问题
2.例 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.5m的
长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
运用新知 解决问题
3. 已知3和4是直角三角形的两边长，求第三边的长.
解：设第三边的长为x(x>0).
①当3为斜边时，因为3小于4，所以此直角三角形不存在;
②当4为斜边时，由勾股定理得，32＋x2＝42,解得x＝ ;
③当x为斜边时，由勾股定理得，32＋42＝ x2,解得x=5.
故第三边的长为5或 .


运用新知 解决问题
A
B
C
D
E
4. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是
正方形.已知正方形A，B，C，D的面积分别是5 ，3，3，1，
求最大正方形E的面积．
8
4
12
运用新知 解决问题
这节课你感悟到了哪些数学思想呢？
归纳总结 畅谈收获
等腰直角三角形
一般的直角三角形
由特殊到一般的化归思想
数形结合
割补法
分类讨论
方程思想
教材第24页《漫画勾股世界》.
读一读
做一做
完成教材第24页习题1.1的1，2，题.
试一试
智慧课堂第18页习题10.12.14题.
课后作业
（必做）
（选做）
（必读）
赵爽
古今中外三千年，
勾股三角紧相连，
赵爽弦图为榜样，
发现真理若等闲！

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