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8.4.1　平　面
【课程标准要求】　1.通过学习平面的概念和平面的基本性质,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过应用平面的基本性质,培养直观想象和逻辑推理的核心素养.
知识点一　平面的概念、画法与表示
概念 几何里所说的“平面”就是从生活中的一些物体中抽象出来的,类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的
画法 我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面
当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向
表示 方法 (1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ等. (2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD. (3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC、平面BD
平面与平面图形的区别与联系
平面是无限延展、无厚薄、无大小的一种理想的面.我们日常接触到的是平面图形,如三角形、正方形、圆等,它们有大小之分,它们都不是平面,而是平面的一部分.一般用平面图形平行四边形来表示平面.
知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及其符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α
直线l不在平面α内 l α
平面α与β相交于直线l α∩β=l
对点、直线、平面之间的基本位置关系的理解
(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示.
(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“ ”或“ ”表示.
知识点三　平面的基本性质
1.与平面有关的三个基本事实
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l, B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
2.三个推论
推论 内容 图形 作用
推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
对“有且只有一个”的理解
“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性.
基础自测
1.有以下说法:
①平面是处处平的面;
②平面是无限延展的;
③平面的形状是平行四边形;
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,①②两种说法是正确的;③④两种说法是错误的.故选B.
2.能确定一个平面的条件是(　　)
[A] 空间三个点 [B] 一个点和一条直线
[C] 无数个点 [D] 两条相交直线
【答案】 D
【解析】 A项,三个点可能共线,B项,点可能在直线上,C项,无数个点可能在同一条直线上.故选D.
3.(人教A版必修第二册P128练习T4改编)如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　)
[A] A a,a α,B∈α
[B] A∈a,a α,B∈α
[C] A a,a∈α,B α
[D] A∈a,a∈α,B∈α
【答案】 B
【解析】 点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a α,B∈α.故选B.
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　　　　　.
【答案】 P∈直线DE　
【解析】 因为P∈AB,AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.
题型一　平面的概念及基本性质
[例1] 用符号语言改写下列语句.
(1)点A在平面α内,点B不在直线l上;
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α有且只有一个公共点M;
(3)直线a和b相交于一点M;
(4)平面α与平面β相交于过点A的直线l.
【解】 (1)A∈α,B l.
(2)l α,m∩α=M.
(3)a∩b=M.
(4)A∈l,α∩β=l.
用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面,几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
[变式训练] 如图所示的点、线、面的位置关系,用符号语言表示正确的是(　　)
[A] α∩β=m,n α,A α,A β
[B] α∩β=m,n∈α,m∩n=A
[C] α∩β=m,n α,m∩n=A
[D] α∩β=m,n∈α,A∈α,A∈β
【答案】 C
【解析】 点和面、点和线的关系用“∈”或“ ”表示,故A错误;线面关系用“ ”或“ ”表示,故B,D错误;根据图形有α∩β=m,n α,m∩n=A,C正确.故选C.
题型二　证明点线共面问题
[例2] (苏教版必修第二册P165例1)已知:A∈l,B∈l,C∈l,D l(如图).
求证:直线AD,BD,CD共面.
【证明】 因为D l,所以l与D可以确定平面α(推论1).
因为A∈l,所以A∈α.
又D∈α,所以AD α(基本事实2).
同理,BD α,CD α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.解决这类问题通常有三种方法.
(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(3)反证法.
通常情况下采用第一种方法.
[变式训练] 如图,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l共面.
【证明】 因为a∥b,
所以a与b共面.
又由l∩a=A,l∩b=B,所以a,b,l三线共面.
同理可证a,c,l三线共面,
所以四条直线a,b,c,l共面.
题型三　点共线、线共点问题
[例3] 如图,设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1.求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
【证明】 由题意知四边形AA1B1B为梯形,AA1与BB1相交,令其交点为S,
则S∈AA1,S∈BB1.
因为BB1 平面BB1C1C,AA1 平面AA1C1C,
所以点S在平面BB1C1C与平面AA1C1C的交线上.
因为平面BB1C1C与平面AA1C1C的交线为C1C,
所以S∈C1C,AA1,BB1,CC1三线共点.
(1)证明三线共点问题的基本方法.
先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
(2)证明点共线问题常用的方法.
①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
[变式训练] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1上的点且D1F∩CE=M.求证:D,A,M三点共线.
【证明】 因为D1F∩CE=M,且D1F 平面A1D1DA,所以点M∈平面A1D1DA,
同理点M∈平面ABCD,
从而点M在两个平面的交线上.
因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD,
所以M∈AD.
所以D,A,M三点共线.
题型四　平面的交线问题
[例4] 如图,在正四棱柱A′B′C′P′-ABCP中,画出经过P,Q,R三点的截面.
【解】 作直线QR分别交P′A′,P′C′的延长线于点M,N,连接MP交AA′于点S,
连接PN交CC′于点T,连接SQ,TR,则五边形PSQRT即为所求,如图.
画两平面的交线,关键是找到同时在这两个平面内的两个点.
[变式训练] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.
【解】 由于P是BB1上的点,所以A1P 平面AA1B1B,且A1P 平面α,
所以平面α∩平面AA1B1B=A1P.
同理,平面α∩平面BB1C1C=PC1,平面α∩平面A1B1C1D1=A1C1,
所以平面α与长方体ABCD-A1B1C1D1表面的交线是A1P,PC1,A1C1.
作法:连接A1P,PC1,A1C1,它们就是平面α与长方体表面的交线(如图).
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 平静的太平洋面是平面
[B] 四边形一定是平面图形
[C] 梯形一定是平面图形
[D] 两个不重合的平面α和β有三个不共线的交点
【答案】 C
【解析】 对于A,平静的太平洋面是个有边界的图形,不是平面,A错误;
对于B,空间四边形不是平面图形,B错误;
对于C,梯形有一组对边互相平行,则四个顶点必然处于同一平面内,即梯形一定是平面图形,C正确;
对于D,两个不重合的平面若有交点,则所有交点必在同一条直线上,D错误.
故选C.
2.空间中有三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是(　　)
[A] 1或2 [B] 3或4
[C] 1或2或3 [D] 1或3或4
【答案】 C
【解析】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定1个平面(平面ABB1A1);
②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定2个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1);
③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定3个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).
故选C.
3.(多选题)设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,下列说法不正确的是(　　)
[A] 若P∈a,P∈α,则a α
[B] 若a∩b=P,b β,则a β
[C] 若a∥b,a α,P∈b,P∈α,则b α
[D] 若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b
【答案】 AB
【解析】 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a α,A不正确;
当a∩β=P时,a β,B不正确;
因为a∥b,P∈b,所以P a,所以由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面,该平面经过直线a与点P,所以该平面与α重合,所以b α,故C正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.
故选AB.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设BC1与B1C的交点为O,则O可以是(　　)
[A] 平面ABCD与平面A1B1CD的公共点
[B] 平面ABC1D1与平面BDD1B1的公共点
[C] 平面ABC1D1与平面A1B1CD的公共点
[D] 平面A1BC1与平面ACC1A1的公共点
【答案】 C
【解析】 连接BD1,如图,平面ABCD∩平面A1B1CD=CD,O CD,故A不符合题意;
平面ABC1D1∩平面BDD1B1=BD1,O BD1,故B不符合题意;设A1D∩AD1=O′,连接OO′,则平面ABC1D1∩平面A1B1CD=OO′,O∈OO′,故C符合题意;平面A1BC1∩平面ACC1A1=A1C1,O A1C1,故D不符合题意.故选C.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点G为正方形ABCD的中心,E为A1D1的中点,F为AE的中点,则(　　)
[A] C,E,F,G四点共面,且CG与EF平行
[B] C,E,F,G四点共面,且CE与FG相交
[C] C,E,F,G四点共面,且CE与FG平行
[D] C,E,F,G四点不共面
【答案】 C
【解析】 如图,连接AC,CE,FG,因为G为正方形ABCD的中心,所以G为AC的中点.
因为F为AE的中点,故CE∥FG,所以C,E,F,G四点共面.故选C.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　)
[A] l过点B
[B] l不一定过点B
[C] D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
[D] D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
【答案】 B
【解析】 连接PB,QB,如图,
因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,
由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP,
所以四边形D1PBQ是菱形,
所以D1,P,B,Q四点共面,即B∈平面D1PBQ.
又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A正确,B错误.
延长D1P与DA的延长线交于点F,延长D1Q与DC的延长线交于点E.
因为D1F 平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ.
因为DF 平面ABCD,所以F∈平面ABCD,所以F∈l.
同理E∈l,故C,D正确.故选B.
7.(5分)已知平面α与平面β相交于直线l,若M∈α,a β,则M与a的位置关系是　 .
【答案】 M∈a或M a　
【解析】 若点M是l和直线a的交点,则M∈a;若点M在l外,则M a.
8.(5分)有下列三个命题:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③依次首尾相接的四条线段一定共面.
其中正确命题的个数是　　　　.
【答案】 1　
【解析】 对于①,若存在三点共线,则四点一定共面,故①正确;对于②,若A,B,C三点共线,如图(a)所示,则A,B,C,D,E不共面,故②不正确;对于③,如图(b)所示的AB,BC,CD,DA依次首尾相接,但四条线段不共面,故③不正确.
9.(13分)如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别在AB,AD,BC,CD上.设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
【证明】 因为EG∩FH=P,
P∈EG,EG 平面ABC,
所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC.
所以P是平面ABC与平面ADC的公共点.
又平面ABC∩平面ADC=AC,
所以P∈AC,所以P,A,C三点共线.
10.(14分)如图,点O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面的中心,过D1,B1,A三点作一个截面.求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
【证明】 如图,连接A1C1,AC,因为O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面的中心,
所以O1∈A1C1,
且O1∈B1D1.
因为A1C1 平面ACC1A1,B1D1 平面AB1D1,
所以O1∈平面ACC1A1,O1∈平面AB1D1.
又因为A∈平面ACC1A1,A∈平面AB1D1,
所以平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1.
因为对角线A1C∩平面AB1D1=P,
所以P∈平面ACC1A1,P∈平面AB1D1.
所以由基本事实3可得,对角线A1C与平面AB1D1的交点P一定在AO1上.
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱D1C1上靠近D1的三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O,则(　　)
[A] 三点D1,O,B共线,且OB=2OD1
[B] 三点D1,O,B共线,且OB=3OD1
[C] 三点D1,O,B不共线,且OB=2OD1
[D] 三点D1,O,B不共线,且OB=3OD1
【答案】 B
【解析】 如图,连接AD1,BC1,BD1,
因为O∈直线AE,AE 平面ABC1D1,
所以O∈平面ABC1D1.
又因为O∈平面BB1D1D,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,所以O∈直线BD1.
所以三点D1,O,B共线.
因为△ABO∽△ED1O,
所以OB∶OD1=AB∶ED1=3∶1.
所以OB=3OD1.故选B.
12.(5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1上的点,且EF∥GH,EB1=FC1,GB1≠HC1,则下列说法正确的有　　　　　(填序号).
①E,F,G,H四点共面;
②EG,FH,AA1三线不共点;
③∠EGB1=∠FHC1.
【答案】 ①　
【解析】 对于①,因为EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面,所以①正确.
对于②,如图,延长EG,FH相交于点P,
因为P∈EG,EG 平面ABB1A1,
所以P∈平面ABB1A1.
因为P∈FH,FH 平面ACC1A1,
所以P∈平面ACC1A1.
因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,
所以P∈AA1.
所以EG,FH,AA1三线共点,所以②不正确.
对于③,因为EB1=FC1,GB1≠HC1,
所以tan∠EGB1≠tan∠FHC1.
又0<∠EGB1,∠FHC1<,所以∠EGB1≠∠FHC1,所以③错误.
13.(17分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1,AD,BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD、平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.
【解】 (1)如图,因为MP 平面ABB1A1,
所以MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB1A1与底面ABCD的交线AB上.
所以过点M,N,P的平面与平面ABCD的交线是NK(K在线段AB的延长线上),
与平面BB1C1C的交线是PT(T在线段BC上).
(2)由(1)知,Q点即为图中T点.
因为BK∥A1B1,
所以==1,
所以BK=1.
因为BQ∥AN,
所以==,所以BQ=.
因为BP=1,
在Rt△BPQ中,由勾股定理得PQ==.8.4.1　平　面
【课程标准要求】　1.通过学习平面的概念和平面的基本性质,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过应用平面的基本性质,培养直观想象和逻辑推理的核心素养.
知识点一　平面的概念、画法与表示
概念 几何里所说的“平面”就是从生活中的一些物体中抽象出来的,类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的
画法 我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面
当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向
表示 方法 (1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ等. (2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD. (3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC、平面BD
平面与平面图形的区别与联系
平面是无限延展、无厚薄、无大小的一种理想的面.我们日常接触到的是平面图形,如三角形、正方形、圆等,它们有大小之分,它们都不是平面,而是平面的一部分.一般用平面图形平行四边形来表示平面.
知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及其符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α
直线l不在平面α内 l α
平面α与β相交于直线l α∩β=l
对点、直线、平面之间的基本位置关系的理解
(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示.
(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“ ”或“ ”表示.
知识点三　平面的基本性质
1.与平面有关的三个基本事实
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l, B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
2.三个推论
推论 内容 图形 作用
推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
对“有且只有一个”的理解
“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性.
基础自测
1.有以下说法:
①平面是处处平的面;
②平面是无限延展的;
③平面的形状是平行四边形;
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
2.能确定一个平面的条件是(　　)
[A] 空间三个点 [B] 一个点和一条直线
[C] 无数个点 [D] 两条相交直线
3.(人教A版必修第二册P128练习T4改编)如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　)
[A] A a,a α,B∈α
[B] A∈a,a α,B∈α
[C] A a,a∈α,B α
[D] A∈a,a∈α,B∈α
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　　　　　.
又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.
题型一　平面的概念及基本性质
[例1] 用符号语言改写下列语句.
(1)点A在平面α内,点B不在直线l上;
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α有且只有一个公共点M;
(3)直线a和b相交于一点M;
(4)平面α与平面β相交于过点A的直线l.
(2)l α,m∩α=M.
(3)a∩b=M.
(4)A∈l,α∩β=l.
用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面,几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
[变式训练] 如图所示的点、线、面的位置关系,用符号语言表示正确的是(　　)
[A] α∩β=m,n α,A α,A β
[B] α∩β=m,n∈α,m∩n=A
[C] α∩β=m,n α,m∩n=A
[D] α∩β=m,n∈α,A∈α,A∈β
题型二　证明点线共面问题
[例2] (苏教版必修第二册P165例1)已知:A∈l,B∈l,C∈l,D l(如图).
求证:直线AD,BD,CD共面.
因为A∈l,所以A∈α.
又D∈α,所以AD α(基本事实2).
同理,BD α,CD α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.解决这类问题通常有三种方法.
(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(3)反证法.
通常情况下采用第一种方法.
[变式训练] 如图,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l共面.
所以a与b共面.
又由l∩a=A,l∩b=B,所以a,b,l三线共面.
同理可证a,c,l三线共面,
所以四条直线a,b,c,l共面.
题型三　点共线、线共点问题
[例3] 如图,设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1.求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
则S∈AA1,S∈BB1.
因为BB1 平面BB1C1C,AA1 平面AA1C1C,
所以点S在平面BB1C1C与平面AA1C1C的交线上.
因为平面BB1C1C与平面AA1C1C的交线为C1C,
所以S∈C1C,AA1,BB1,CC1三线共点.
(1)证明三线共点问题的基本方法.
先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
(2)证明点共线问题常用的方法.
①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
[变式训练] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1上的点且D1F∩CE=M.求证:D,A,M三点共线.
同理点M∈平面ABCD,
从而点M在两个平面的交线上.
因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD,
所以M∈AD.
所以D,A,M三点共线.
题型四　平面的交线问题
[例4] 如图,在正四棱柱A′B′C′P′-ABCP中,画出经过P,Q,R三点的截面.
连接PN交CC′于点T,连接SQ,TR,则五边形PSQRT即为所求,如图.
画两平面的交线,关键是找到同时在这两个平面内的两个点.
[变式训练] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.
所以平面α∩平面AA1B1B=A1P.
同理,平面α∩平面BB1C1C=PC1,平面α∩平面A1B1C1D1=A1C1,
所以平面α与长方体ABCD-A1B1C1D1表面的交线是A1P,PC1,A1C1.
作法:连接A1P,PC1,A1C1,它们就是平面α与长方体表面的交线(如图).
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 平静的太平洋面是平面
[B] 四边形一定是平面图形
[C] 梯形一定是平面图形
[D] 两个不重合的平面α和β有三个不共线的交点
对于B,空间四边形不是平面图形,B错误;
对于C,梯形有一组对边互相平行,则四个顶点必然处于同一平面内,即梯形一定是平面图形,C正确;
对于D,两个不重合的平面若有交点,则所有交点必在同一条直线上,D错误.
故选C.
2.空间中有三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是(　　)
[A] 1或2 [B] 3或4
[C] 1或2或3 [D] 1或3或4
①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定1个平面(平面ABB1A1);
②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定2个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1);
③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定3个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).
故选C.
3.(多选题)设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,下列说法不正确的是(　　)
[A] 若P∈a,P∈α,则a α
[B] 若a∩b=P,b β,则a β
[C] 若a∥b,a α,P∈b,P∈α,则b α
[D] 若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b
当a∩β=P时,a β,B不正确;
因为a∥b,P∈b,所以P a,所以由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面,该平面经过直线a与点P,所以该平面与α重合,所以b α,故C正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.
故选AB.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设BC1与B1C的交点为O,则O可以是(　　)
[A] 平面ABCD与平面A1B1CD的公共点
[B] 平面ABC1D1与平面BDD1B1的公共点
[C] 平面ABC1D1与平面A1B1CD的公共点
[D] 平面A1BC1与平面ACC1A1的公共点
平面ABC1D1∩平面BDD1B1=BD1,O BD1,故B不符合题意;设A1D∩AD1=O′,连接OO′,则平面ABC1D1∩平面A1B1CD=OO′,O∈OO′,故C符合题意;平面A1BC1∩平面ACC1A1=A1C1,O A1C1,故D不符合题意.故选C.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点G为正方形ABCD的中心,E为A1D1的中点,F为AE的中点,则(　　)
[A] C,E,F,G四点共面,且CG与EF平行
[B] C,E,F,G四点共面,且CE与FG相交
[C] C,E,F,G四点共面,且CE与FG平行
[D] C,E,F,G四点不共面
因为F为AE的中点,故CE∥FG,所以C,E,F,G四点共面.故选C.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　)
[A] l过点B
[B] l不一定过点B
[C] D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
[D] D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,
由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP,
所以四边形D1PBQ是菱形,
所以D1,P,B,Q四点共面,即B∈平面D1PBQ.
又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A正确,B错误.
延长D1P与DA的延长线交于点F,延长D1Q与DC的延长线交于点E.
因为D1F 平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ.
因为DF 平面ABCD,所以F∈平面ABCD,所以F∈l.
同理E∈l,故C,D正确.故选B.
7.(5分)已知平面α与平面β相交于直线l,若M∈α,a β,则M与a的位置关系是　 .
8.(5分)有下列三个命题:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③依次首尾相接的四条线段一定共面.
其中正确命题的个数是　　　　.
9.(13分)如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别在AB,AD,BC,CD上.设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
P∈EG,EG 平面ABC,
所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC.
所以P是平面ABC与平面ADC的公共点.
又平面ABC∩平面ADC=AC,
所以P∈AC,所以P,A,C三点共线.
10.(14分)如图,点O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面的中心,过D1,B1,A三点作一个截面.求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
所以O1∈A1C1,
且O1∈B1D1.
因为A1C1 平面ACC1A1,B1D1 平面AB1D1,
所以O1∈平面ACC1A1,O1∈平面AB1D1.
又因为A∈平面ACC1A1,A∈平面AB1D1,
所以平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1.
因为对角线A1C∩平面AB1D1=P,
所以P∈平面ACC1A1,P∈平面AB1D1.
所以由基本事实3可得,对角线A1C与平面AB1D1的交点P一定在AO1上.
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱D1C1上靠近D1的三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O,则(　　)
[A] 三点D1,O,B共线,且OB=2OD1
[B] 三点D1,O,B共线,且OB=3OD1
[C] 三点D1,O,B不共线,且OB=2OD1
[D] 三点D1,O,B不共线,且OB=3OD1
因为O∈直线AE,AE 平面ABC1D1,
所以O∈平面ABC1D1.
又因为O∈平面BB1D1D,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,所以O∈直线BD1.
所以三点D1,O,B共线.
因为△ABO∽△ED1O,
所以OB∶OD1=AB∶ED1=3∶1.
所以OB=3OD1.故选B.
12.(5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1上的点,且EF∥GH,EB1=FC1,GB1≠HC1,则下列说法正确的有　　　　　(填序号).
①E,F,G,H四点共面;
②EG,FH,AA1三线不共点;
③∠EGB1=∠FHC1.
对于②,如图,延长EG,FH相交于点P,
因为P∈EG,EG 平面ABB1A1,
所以P∈平面ABB1A1.
因为P∈FH,FH 平面ACC1A1,
所以P∈平面ACC1A1.
因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,
所以P∈AA1.
所以EG,FH,AA1三线共点,所以②不正确.
对于③,因为EB1=FC1,GB1≠HC1,
所以tan∠EGB1≠tan∠FHC1.
又0<∠EGB1,∠FHC1<,所以∠EGB1≠∠FHC1,所以③错误.
13.(17分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1,AD,BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD、平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.
所以MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB1A1与底面ABCD的交线AB上.
所以过点M,N,P的平面与平面ABCD的交线是NK(K在线段AB的延长线上),
与平面BB1C1C的交线是PT(T在线段BC上).
(2)由(1)知,Q点即为图中T点.
因为BK∥A1B1,
所以==1,
所以BK=1.
因为BQ∥AN,
所以==,所以BQ=.
因为BP=1,
在Rt△BPQ中,由勾股定理得PQ==.(共34张PPT)
8.4　空间点、直线、
平面之间的位置关系
8.4.1　平　面
1.通过学习平面的概念和平面的基本性质,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过应用平面的基本性质,培养直观想象和逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　平面的概念、画法与表示
概念 几何里所说的“平面”就是从生活中的一些物体中抽象出来的,类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周 的 画法 我们常用矩形的直观图,即 表示平面 当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向
无限延展
平行四边形
表示 方法 (1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ等.
(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如
平面ABCD.
(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC、平面BD
·温馨提示·
平面与平面图形的区别与联系
平面是无限延展、无厚薄、无大小的一种理想的面.我们日常接触到的是平面图形,如三角形、正方形、圆等,它们有大小之分,它们都不是平面,而是平面的一部分.一般用平面图形平行四边形来表示平面.
知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及其符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 .
点A在直线l外 .
点A在平面α内 .
点A在平面α外 .
直线l在平面α内 .
直线l不在平面α内 .
平面α与β相交于直线l .
A∈l
A l
A∈α
A α
l α
l α
α∩β=l
·疑难解惑·
对点、直线、平面之间的基本位置关系的理解
(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示.
(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“ ”或“ ”表示.
知识点三　平面的基本性质
1.与平面有关的三个基本事实
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过 的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
不在一条直线上
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,
B∈α .
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 . P∈α,且P∈β
.
两个点
l α
公共直线
α∩β=l,且P∈l
2.三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 ·疑难解惑·
对“有且只有一个”的理解
“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性.
基础自测
1.有以下说法:
①平面是处处平的面;
②平面是无限延展的;
③平面的形状是平行四边形;
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
B
【解析】 平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,①②两种说法是正确的;③④两种说法是错误的.故选B.
2.能确定一个平面的条件是(　　)
[A] 空间三个点 [B] 一个点和一条直线
[C] 无数个点 [D] 两条相交直线
D
【解析】 A项,三个点可能共线,B项,点可能在直线上,C项,无数个点可能在同一条直线上.故选D.
3.(人教A版必修第二册P128练习T4改编)如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　)
[A] A a,a α,B∈α
[B] A∈a,a α,B∈α
[C] A a,a∈α,B α
[D] A∈a,a∈α,B∈α
B
【解析】 点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a α, B∈α.故选B.
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　　　　　.
P∈直线DE
【解析】 因为P∈AB,AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.
关键能力·素养培优
题型一　平面的概念及基本性质
[例1] 用符号语言改写下列语句.
(1)点A在平面α内,点B不在直线l上;
【解】 (1)A∈α,B l.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α有且只有一个公共点M;
【解】 (2)l α,m∩α=M.
(3)直线a和b相交于一点M;
【解】 (3)a∩b=M.
(4)平面α与平面β相交于过点A的直线l.
【解】 (4)A∈l,α∩β=l.
·解题策略·
用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面,几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
[变式训练] 如图所示的点、线、面的位置关系,用符号语言表示正确的是
(　　)
[A] α∩β=m,n α,A α,A β
[B] α∩β=m,n∈α,m∩n=A
[C] α∩β=m,n α,m∩n=A
[D] α∩β=m,n∈α,A∈α,A∈β
C
【解析】 点和面、点和线的关系用“∈”或“ ”表示,故A错误;线面关系用“ ”或“ ”表示,故B,D错误;根据图形有α∩β=m,n α,m∩n=A,C正确.故选C.
[例2] (苏教版必修第二册P165例1)已知:A∈l,B∈l,C∈l,D l(如图).
求证:直线AD,BD,CD共面.
题型二　证明点线共面问题
【证明】 因为D l,所以l与D可以确定平面α(推论1).
因为A∈l,所以A∈α.
又D∈α,所以AD α(基本事实2).
同理,BD α,CD α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
·解题策略·
点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.解决这类问题通常有三种方法.
(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(3)反证法.
通常情况下采用第一种方法.
[变式训练] 如图,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l共面.
【证明】 因为a∥b,
所以a与b共面.
又由l∩a=A,l∩b=B,所以a,b,l三线共面.
同理可证a,c,l三线共面,
所以四条直线a,b,c,l共面.
[例3] 如图,设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB∥A1B1,
BC∥B1C1,CA∥C1A1.求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
题型三　点共线、线共点问题
【证明】 由题意知四边形AA1B1B为梯形,AA1与BB1相交,令其交点为S,
则S∈AA1,S∈BB1.
因为BB1 平面BB1C1C,AA1 平面AA1C1C,
所以点S在平面BB1C1C与平面AA1C1C的交线上.
因为平面BB1C1C与平面AA1C1C的交线为C1C,
所以S∈C1C,AA1,BB1,CC1三线共点.
·解题策略·
(1)证明三线共点问题的基本方法.
先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
(2)证明点共线问题常用的方法.
①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
[变式训练] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1上的点且D1F∩CE=M.求证:D,A,M三点共线.
【证明】 因为D1F∩CE=M,且D1F 平面A1D1DA,所以点M∈平面A1D1DA,
同理点M∈平面ABCD,
从而点M在两个平面的交线上.
因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD,
所以M∈AD.
所以D,A,M三点共线.
[例4] 如图,在正四棱柱A′B′C′P′-ABCP中,画出经过P,Q,R
三点的截面.
题型四　平面的交线问题
【解】 作直线QR分别交P′A′,P′C′的延长线于点M,N,连接MP交AA′于点S,
连接PN交CC′于点T,连接SQ,TR,则五边形PSQRT即为所求,如图.
·解题策略·
画两平面的交线,关键是找到同时在这两个平面内的两个点.
[变式训练] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.
【解】 由于P是BB1上的点,所以A1P 平面AA1B1B,且A1P 平面α,
所以平面α∩平面AA1B1B=A1P.
同理,平面α∩平面BB1C1C=PC1,平面α∩平面A1B1C1D1=A1C1,
所以平面α与长方体ABCD-A1B1C1D1表面的交线是A1P,PC1,A1C1.
作法:连接A1P,PC1,A1C1,它们就是平面α与长方体表面的交线(如图).
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