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8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课程标准要求】　1.借助长方体,抽象出空间中点、直线、平面之间的位置关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过运用符号语言和图形语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系,培养逻辑推理的核心素养.
知识点一　空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法).
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
2.空间两条直线的三种位置关系
两直线为异面直线的判断方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
知识点二　直线与平面的位置关系
位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外
直线a与 平面α相交 直线a与 平面α平行
公共 点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有 公共点
符号 表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
对直线与平面的位置关系的理解
若a α,则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系;若直线a与平面α相交,则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系;若a∥α,则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系.
知识点三　平面与平面的位置关系
位置 关系 两平面平行 两平面相交
公共 点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号 表示 α∥β α∩β=l
图形 表示
对平面与平面的位置关系的理解
若α∥β,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系;若α∩β=l,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内,其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系.
基础自测
1.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
[A] 都平行
[B] 都相交
[C] 在两个平面内
[D] 至少与其中一个平面平行
2.(人教A版必修第二册P131习题8.4 T2改编)空间中四点可确定的平面有(　　)
[A] 1个
[B] 4个
[C] 1个或4个
[D] 1个或4个或无数个
3.下列命题:
①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为　　　　.
题型一　空间中直线与直线的位置关系
[例1] 如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　.(填序号)
题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,且N GH,因此直线GH与MN异面.
题图③中,连接GM(图略),GM∥HN,因此,GH与MN共面.
题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN且G MN,因此GH与MN异面.
所以题图②④中GH与MN异面.
判断空间两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
[变式训练] 已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点,则下列直线中与BM恒为异面直线的是(　　)
[A] A1D [B] DD1
[C] CD [D] DC1
对于D,当点M位于C1位置时,BM与直线DC1相交,D错误.
对于B,当M为A1C1的中点时,如图,
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形,
所以M也为B1D1的中点.
因为BB1∥DD1,
所以B,D,D1,B1四点共面.
所以BM与DD1共面,B错误.
对于C,因为直线CD 平面ABCD,直线BM∩平面ABCD=B,点B不在直线CD上,所以直线BM与直线CD为异面直线,C正确.故选C.
题型二　空间中直线与平面的位置关系
[例2] 如图,直线A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系
所以直线A′B在平面ABB′A′内.
因为直线A′B与平面ABCD,BCC′B′都有且只有一个公共点B,
所以直线A′B与平面ABCD,BCC′B′相交.
因为直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,
所以直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′相交.
因为直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,
所以直线A′B与平面DCC′D′平行.
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时,直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,这三种情况都要考虑到,避免疏忽或遗漏.
(2)解决此类问题时,可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
(3)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面内;要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.
[变式训练] 已知A,B表示点,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题是真命题的是(　　)
[A] 若点A∈平面α,点B 平面α,则AB与平面α相交
[B] 若a α,b α,则a与b必异面
[C] 若A∈平面α,B 平面α,则AB∥平面α
[D] 若a∥平面α,b 平面α,则a∥b
对于选项B,如图①所示,显然B错误.
对于选项C,如图②所示,显然C错误.
对于选项D,如图③所示,显然D错误.
故选A.
题型三　空间中平面与平面的位置关系
[例3] 给出的下列三个命题中,正确命题的个数是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;
②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
③若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 3
平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
注意:判断面面的位置关系,要牢牢抓住其特征和定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.
[变式训练] 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是　　　　　　　　.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,直线AB1与直线BD(　　)
[A] 异面
[B] 平行
[C] 相交且垂直
[D] 相交但不垂直
法二　(反证法)假设直线AB1与直线BD不是异面直线,则直线AB1与直线BD共面,
设直线AB1与直线BD确定平面α,又A,B1,B不共线,所以确定平面AB1B,
所以平面α与平面AB1B重合,从而可得D∈平面AB1B,与D 平面AB1B矛盾,
所以直线AB1与直线BD异面.故选A.
2.已知直线a∥直线b,且a与平面α相交,那么b与平面α的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B] 平行或在平面内
[C] 相交或平行 [D] 相交或在平面内
所以b与平面α相交,如图所示.故选A.
3.平面α与平面β相交于直线l,点A,B在平面α内,点C在平面β内但不在直线l上,直线AB与直线l相交于点D.设A,B,C三点确定的平面为γ,则β与γ的交线是(　　)
[A] 直线AC [B] 直线AB
[C] 直线CD [D] 直线BC
又点C在平面β内,所以CD 平面β.
因为AB 平面γ,点D在直线AB上,
所以D∈平面γ.
又C∈平面γ,所以CD 平面γ.
所以β与γ的交线是直线CD.故选C.
4.已知空间中点A,B,直线l,平面α,若A∈l,B∈l,A α,B∈α,则下列结论正确的是(　　)
[A] l∥α [B] l与α相交
[C] l α [D] 以上都有可能
又因为B∈l,B∈α,所以l与α相交.故选B.
5.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,则(　　)
[A] 直线HE与直线GF是异面直线
[B] 直线HE与直线BB1是异面直线
[C] 直线HE与直线CC1共面
[D] 直线HE与直线BF共面
由正四棱台的性质可得侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的延长线交于同一点,设该交点为P.
E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,
延长HE,GF,则HE,GF的延长线必过点P,
则直线HE与直线GF相交于点P;与直线BB1相交于点P;与直线CC1相交于点P;与直线BF是异面直线.故选C.
6.在空间中,“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“平面α∥平面ABC”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
此时顶点A,B,C到平面α的距离相等,此时两平面不平行,
反过来,若平面α∥平面ABC,则顶点A,B,C到平面α的距离相等,
所以“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“平面α∥平面ABC”的必要不充分条件.
故选B.
7.(5分)直线a∥b,a∥平面α,则b与α的位置关系是　　　　　　　　.
b与α的位置关系为b∥α或b α.
8.(5分)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　条.
9.(13分)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为B′C′,A′D′的中点,求证:平面ABB′A′与平面CDFE相交.
则延长CE与BB′的延长线必相交于一点H(图略),所以H∈EC,H∈B′B.
又BB′ 平面ABB′A′,CE 平面CDFE,
所以H∈平面ABB′A′,H∈平面CDFE,
故平面ABB′A′与平面CDFE相交.
10.(14分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;
(4)平面ABB1M与平面CDD1C1的位置关系;
(5)平面AMD1与平面BNC的位置关系.
(2)因为点C在平面ABCD内,点N不在平面ABCD内,所以CN所在的直线与平面ABCD相交.
(3)由正方体的结构特征得平面AA1B1B∥平面CDD1C1,又AM 平面AA1B1B,
所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
(4)由正方体的结构特征,
得平面AA1B1B∥平面CDD1C1,
所以平面ABB1M与平面CDD1C1平行.
(5)由正方体的结构特征,
得平面AA1D1D∥平面CBB1C1,
而平面AA1D1D∩平面AMD1=AD1,
所以平面AMD1与平面BNC相交.
11.(多选题)如果三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系可以是(　　)
[A] 三个平面两两平行
[B] 三个平面两两相交,且交于同一条直线
[C] 三个平面两两相交,且有三条交线
[D] 两个平面平行,且都与第三个平面相交
对于B,三个平面两两相交,且交于同一条直线,可把空间分成6个部分,故B符合题意;
对于C,三个平面两两相交,且有三条交线,可把空间分成7个部分或8个部分,故C不符合题意;
对于D,两个平面平行,且都与第三个平面相交,可把空间分成6个部分,故D符合题意.故选BD.
12.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD-A1B1C1D1时,为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开,需要在木料表面CDD1C1上过点P画直线l,则l与直线AA1的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 重合
由M∈AA1,AA1 平面PAA1,得M∈平面PAA1,同理M∈平面CDD1C1,
而P∈平面PAA1,P∈平面CDD1C1,则平面PAA1∩平面CDD1C1=PM,
即直线PM为所求作的直线l,所以直线l与直线AA1相交.故选B.
13.(17分)如图,若P是△ABC所在平面外一点,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M为AB的中点.求证:PN与MC为异面直线.
所以点N与点M不重合.
因为N∈平面ABC,P 平面ABC,CM 平面ABC,N CM,
所以直线PN与MC为异面直线.8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课程标准要求】　1.借助长方体,抽象出空间中点、直线、平面之间的位置关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过运用符号语言和图形语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系,培养逻辑推理的核心素养.
知识点一　空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法).
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
2.空间两条直线的三种位置关系
两直线为异面直线的判断方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
知识点二　直线与平面的位置关系
位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外
直线a与 平面α相交 直线a与 平面α平行
公共 点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有 公共点
符号 表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
对直线与平面的位置关系的理解
若a α,则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系;若直线a与平面α相交,则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系;若a∥α,则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系.
知识点三　平面与平面的位置关系
位置 关系 两平面平行 两平面相交
公共 点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号 表示 α∥β α∩β=l
图形 表示
对平面与平面的位置关系的理解
若α∥β,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系;若α∩β=l,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内,其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系.
基础自测
1.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
[A] 都平行
[B] 都相交
[C] 在两个平面内
[D] 至少与其中一个平面平行
【答案】 D
【解析】 这条直线与两个平面的交线平行,有两种情形,其一是分别与这两个平面平行,其二是在一个平面内且平行于另一个平面,符合至少与其中一个平面平行.故选D.
2.(人教A版必修第二册P131习题8.4 T2改编)空间中四点可确定的平面有(　　)
[A] 1个
[B] 4个
[C] 1个或4个
[D] 1个或4个或无数个
【答案】 D
【解析】 当四个点为平面四边形的四个顶点时,只能确定唯一平面;当四个点为三棱锥的四个顶点时,可以确定四个不同的平面;当四个点共线时,可以有无数个平面过这四个点.故选D.
3.下列命题:
①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为　　　　.
【答案】 ①②　
【解析】 对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数个公共点,故①错误;对于②,借助正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.
题型一　空间中直线与直线的位置关系
[例1] 如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　.(填序号)
【答案】 ②④
【解析】 题图①中,GH∥MN.
题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,且N GH,因此直线GH与MN异面.
题图③中,连接GM(图略),GM∥HN,因此,GH与MN共面.
题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN且G MN,因此GH与MN异面.
所以题图②④中GH与MN异面.
判断空间两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
[变式训练] 已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点,则下列直线中与BM恒为异面直线的是(　　)
[A] A1D [B] DD1
[C] CD [D] DC1
【答案】 C
【解析】 对于A,当点M位于A1位置时,BM与直线A1D相交,A错误.
对于D,当点M位于C1位置时,BM与直线DC1相交,D错误.
对于B,当M为A1C1的中点时,如图,
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形,
所以M也为B1D1的中点.
因为BB1∥DD1,
所以B,D,D1,B1四点共面.
所以BM与DD1共面,B错误.
对于C,因为直线CD 平面ABCD,直线BM∩平面ABCD=B,点B不在直线CD上,所以直线BM与直线CD为异面直线,C正确.故选C.
题型二　空间中直线与平面的位置关系
[例2] 如图,直线A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系
【解】 因为直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点,
所以直线A′B在平面ABB′A′内.
因为直线A′B与平面ABCD,BCC′B′都有且只有一个公共点B,
所以直线A′B与平面ABCD,BCC′B′相交.
因为直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,
所以直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′相交.
因为直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,
所以直线A′B与平面DCC′D′平行.
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时,直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,这三种情况都要考虑到,避免疏忽或遗漏.
(2)解决此类问题时,可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
(3)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面内;要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.
[变式训练] 已知A,B表示点,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题是真命题的是(　　)
[A] 若点A∈平面α,点B 平面α,则AB与平面α相交
[B] 若a α,b α,则a与b必异面
[C] 若A∈平面α,B 平面α,则AB∥平面α
[D] 若a∥平面α,b 平面α,则a∥b
【答案】 A
【解析】 对于选项A,由线面位置关系可知,若点A∈平面α,点B 平面α,则AB与平面α有交点,故A正确.
对于选项B,如图①所示,显然B错误.
对于选项C,如图②所示,显然C错误.
对于选项D,如图③所示,显然D错误.
故选A.
题型三　空间中平面与平面的位置关系
[例3] 给出的下列三个命题中,正确命题的个数是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;
②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
③若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 3
【答案】 B
【解析】 如图,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交,故①②错误;不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故③正确.故选B.
平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
注意:判断面面的位置关系,要牢牢抓住其特征和定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.
[变式训练] 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是　　　　　　　　.
【答案】 平行或相交
【解析】 由图可知,两个平面平行或相交.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,直线AB1与直线BD(　　)
[A] 异面
[B] 平行
[C] 相交且垂直
[D] 相交但不垂直
【答案】 A
【解析】 法一　由题图可知,直线AB1与直线BD不同在任何一个平面内,这两条直线为异面直线.故选A.
法二　(反证法)假设直线AB1与直线BD不是异面直线,则直线AB1与直线BD共面,
设直线AB1与直线BD确定平面α,又A,B1,B不共线,所以确定平面AB1B,
所以平面α与平面AB1B重合,从而可得D∈平面AB1B,与D 平面AB1B矛盾,
所以直线AB1与直线BD异面.故选A.
2.已知直线a∥直线b,且a与平面α相交,那么b与平面α的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B] 平行或在平面内
[C] 相交或平行 [D] 相交或在平面内
【答案】 A
【解析】 因为a∥b,且a与平面α相交,
所以b与平面α相交,如图所示.故选A.
3.平面α与平面β相交于直线l,点A,B在平面α内,点C在平面β内但不在直线l上,直线AB与直线l相交于点D.设A,B,C三点确定的平面为γ,则β与γ的交线是(　　)
[A] 直线AC [B] 直线AB
[C] 直线CD [D] 直线BC
【答案】 C
【解析】 如图,因为直线AB与直线l相交于点D,D∈l,所以D∈平面β.
又点C在平面β内,所以CD 平面β.
因为AB 平面γ,点D在直线AB上,
所以D∈平面γ.
又C∈平面γ,所以CD 平面γ.
所以β与γ的交线是直线CD.故选C.
4.已知空间中点A,B,直线l,平面α,若A∈l,B∈l,A α,B∈α,则下列结论正确的是(　　)
[A] l∥α [B] l与α相交
[C] l α [D] 以上都有可能
【答案】 B
【解析】 因为A∈l,A α,所以l α.
又因为B∈l,B∈α,所以l与α相交.故选B.
5.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,则(　　)
[A] 直线HE与直线GF是异面直线
[B] 直线HE与直线BB1是异面直线
[C] 直线HE与直线CC1共面
[D] 直线HE与直线BF共面
【答案】 C
【解析】 如图,延长AA1,BB1,CC1,DD1,
由正四棱台的性质可得侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的延长线交于同一点,设该交点为P.
E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,
延长HE,GF,则HE,GF的延长线必过点P,
则直线HE与直线GF相交于点P;与直线BB1相交于点P;与直线CC1相交于点P;与直线BF是异面直线.故选C.
6.在空间中,“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“平面α∥平面ABC”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 如图,D,E分别是AB,AC的中点,若平面ABC与平面α交于DE,
此时顶点A,B,C到平面α的距离相等,此时两平面不平行,
反过来,若平面α∥平面ABC,则顶点A,B,C到平面α的距离相等,
所以“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“平面α∥平面ABC”的必要不充分条件.
故选B.
7.(5分)直线a∥b,a∥平面α,则b与α的位置关系是　　　　　　　　.
【答案】 b∥α或b α　
【解析】 如图,
b与α的位置关系为b∥α或b α.
8.(5分)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　条.
【答案】 6　
【解析】 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共有6条.
9.(13分)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为B′C′,A′D′的中点,求证:平面ABB′A′与平面CDFE相交.
【证明】 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E为B′C′的中点,所以EC与BB′不平行,
则延长CE与BB′的延长线必相交于一点H(图略),所以H∈EC,H∈B′B.
又BB′ 平面ABB′A′,CE 平面CDFE,
所以H∈平面ABB′A′,H∈平面CDFE,
故平面ABB′A′与平面CDFE相交.
10.(14分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;
(4)平面ABB1M与平面CDD1C1的位置关系;
(5)平面AMD1与平面BNC的位置关系.
【解】 (1)因为点A在平面ABCD内,点M不在平面ABCD内,所以AM所在的直线与平面ABCD相交.
(2)因为点C在平面ABCD内,点N不在平面ABCD内,所以CN所在的直线与平面ABCD相交.
(3)由正方体的结构特征得平面AA1B1B∥平面CDD1C1,又AM 平面AA1B1B,
所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
(4)由正方体的结构特征,
得平面AA1B1B∥平面CDD1C1,
所以平面ABB1M与平面CDD1C1平行.
(5)由正方体的结构特征,
得平面AA1D1D∥平面CBB1C1,
而平面AA1D1D∩平面AMD1=AD1,
所以平面AMD1与平面BNC相交.
11.(多选题)如果三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系可以是(　　)
[A] 三个平面两两平行
[B] 三个平面两两相交,且交于同一条直线
[C] 三个平面两两相交,且有三条交线
[D] 两个平面平行,且都与第三个平面相交
【答案】 BD
【解析】 对于A,三个平面两两平行,可把空间分成4个部分,故A不符合题意;
对于B,三个平面两两相交,且交于同一条直线,可把空间分成6个部分,故B符合题意;
对于C,三个平面两两相交,且有三条交线,可把空间分成7个部分或8个部分,故C不符合题意;
对于D,两个平面平行,且都与第三个平面相交,可把空间分成6个部分,故D符合题意.故选BD.
12.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD-A1B1C1D1时,为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开,需要在木料表面CDD1C1上过点P画直线l,则l与直线AA1的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 重合
【答案】 B
【解析】 如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A,B1B,C1C,D1D的延长线交于一点,设此点为M,
由M∈AA1,AA1 平面PAA1,得M∈平面PAA1,同理M∈平面CDD1C1,
而P∈平面PAA1,P∈平面CDD1C1,则平面PAA1∩平面CDD1C1=PM,
即直线PM为所求作的直线l,所以直线l与直线AA1相交.故选B.
13.(17分)如图,若P是△ABC所在平面外一点,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M为AB的中点.求证:PN与MC为异面直线.
【证明】 因为PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,
所以点N与点M不重合.
因为N∈平面ABC,P 平面ABC,CM 平面ABC,N CM,
所以直线PN与MC为异面直线.(共30张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体,抽象出空间中点、直线、平面之间的位置关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过运用符号语言和图形语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系,培养逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在 平面内的两条直线.
任何一个
(2)异面直线的画法(衬托平面法).
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
2.空间两条直线的三种位置关系
相交直线
一个公共点
平行直线
没有公共点
没有公共点
·温馨提示·
两直线为异面直线的判断方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
知识点二　直线与平面的位置关系
位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 . 公共点 . 公共点 .
公共点
符号 表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
有无数个
有且只有一个
没有
·疑难解惑·
对直线与平面的位置关系的理解
若a α,则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系;若直线a与平面α相交,则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系;若a∥α,则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系.
知识点三　平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 . 有 个公共点(在一条直线上)
符号 表示 . .
图形 表示
没有公共点
无数
α∥β
α∩β=l
·疑难解惑·
对平面与平面的位置关系的理解
若α∥β,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系;若α∩β=l,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内,其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系.
基础自测
1.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
[A] 都平行
[B] 都相交
[C] 在两个平面内
[D] 至少与其中一个平面平行
D
【解析】 这条直线与两个平面的交线平行,有两种情形,其一是分别与这两个平面平行,其二是在一个平面内且平行于另一个平面,符合至少与其中一个平面平行.故选D.
2.(人教A版必修第二册P131习题8.4 T2改编)空间中四点可确定的平面有
(　　)
[A] 1个
[B] 4个
[C] 1个或4个
[D] 1个或4个或无数个
D
【解析】 当四个点为平面四边形的四个顶点时,只能确定唯一平面;当四个点为三棱锥的四个顶点时,可以确定四个不同的平面;当四个点共线时,可以有无数个平面过这四个点.故选D.
3.下列命题:
①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为　　　　.
①②　
【解析】 对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数个公共点,故①错误;对于②,借助正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.
关键能力·素养培优
题型一　空间中直线与直线的位置关系
[例1] 如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,
MN是异面直线的图形有　　　　.(填序号)
②④
【解析】 题图①中,GH∥MN.
题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,且N GH,
因此直线GH与MN异面.
题图③中,连接GM(图略),GM∥HN,因此,GH与MN共面.
题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN且G MN,因此GH与MN异面.
所以题图②④中GH与MN异面.
·解题策略·
判断空间两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
[变式训练] 已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点,则下列直线中与BM恒为异面直线的是(　　)
[A] A1D [B] DD1
[C] CD [D] DC1
C
【解析】 对于A,当点M位于A1位置时,BM与直线A1D相交,A错误.
对于D,当点M位于C1位置时,BM与直线DC1相交,D错误.
对于B,当M为A1C1的中点时,如图,
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形,
所以M也为B1D1的中点.
因为BB1∥DD1,
所以B,D,D1,B1四点共面.
所以BM与DD1共面,B错误.
对于C,因为直线CD 平面ABCD,直线BM∩平面ABCD=B,点B不在直线CD上,所以直线BM与直线CD为异面直线,C正确.故选C.
[例2] 如图,直线A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系
题型二　空间中直线与平面的位置关系
【解】 因为直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点,
所以直线A′B在平面ABB′A′内.
因为直线A′B与平面ABCD,BCC′B′都有且只有一个公共点B,
所以直线A′B与平面ABCD,BCC′B′相交.
因为直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,
所以直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′相交.
因为直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,
所以直线A′B与平面DCC′D′平行.
·解题策略·
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时,直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,这三种情况都要考虑到,避免疏忽或遗漏.
(2)解决此类问题时,可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
(3)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面内;要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.
[变式训练] 已知A,B表示点,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题是真命题的是(　　)
[A] 若点A∈平面α,点B 平面α,则AB与平面α相交
[B] 若a α,b α,则a与b必异面
[C] 若A∈平面α,B 平面α,则AB∥平面α
[D] 若a∥平面α,b 平面α,则a∥b
A
【解析】 对于选项A,由线面位置关系可知,若点A∈平面α,点B 平面α,则AB与平面α有交点,故A正确.
对于选项B,如图①所示,显然B错误.
对于选项C,如图②所示,显然C错误.
对于选项D,如图③所示,显然D错误.
故选A.
[例3] 给出的下列三个命题中,正确命题的个数是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;
②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
③若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 3
题型三　空间中平面与平面的位置关系
B
【解析】 如图,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交,故①②错误;不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故③正确.故选B.
·解题策略·
平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
注意:判断面面的位置关系,要牢牢抓住其特征和定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.
[变式训练] 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是　　　　　　　　.
平行或相交
【解析】 由图可知,两个平面平行或相交.
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