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8.5　空间直线、平面
的平行
8.5.1　直线与直线平行
1.借助长方体,抽象出空间两条直线的平行关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过基本事实4和等角定理的应用,培养直观想象和逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线 .
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c .
作用 证明两条直线平行
平行
a∥c
·疑难解惑·
对基本事实4的理解
根据基本事实4可以将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题.
知识点二　空间等角定理
相等或互补
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角
.
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
『知识拓展』
空间等角定理的拓展
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
基础自测
1.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是
(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 不确定
A
【解析】 因为a∥b,b∥c,所以a∥c.又c∥d,所以a∥d.故选A.
2.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则有(　　)
[A] ∠BAC=∠B′A′C′
[B] ∠BAC+∠B′A′C′=180°
[C] ∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°
[D] ∠BAC+∠B′A′C′=90°
C
【解析】 由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行,
所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.故选C.
3.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中2条直线的平面共有(　　)
[A] 1个 [B] 2个
[C] 3个 [D] 0或有无数多个
C
【解析】 直线a,b确定一个平面,直线b,c确定一个平面,直线a,c确定一个平面,例如三棱柱的三条侧棱组成的三个侧面,所以共3个平面.故选C.
4.(人教A版必修第二册P135练习T4改编)两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形的关系为　　　　.
相似
【解析】 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故这两个三角形的关系为相似.
关键能力·素养培优
题型一　基本事实4
[例1] 在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1C1D1上有一条直线MN,而平面ABCD上有一点P.试过点P作一条直线l,使得l∥MN.
【解】 分别过点M,N作MM1⊥AB,
NN1⊥CD,连接M1N1,
所以MM1∥AA1,NN1∥DD1,
MM1=AA1,NN1=DD1.
因为AA1 DD1,所以MM1 NN1,
所以四边形MM1N1N是平行四边形.
所以MN∥M1N1,
再过点P作M1N1的平行线l即可,如图,
则l∥MN.
·解题策略·
基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性,解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
[变式训练] 如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AC=BD.求证:四边形EFGH是菱形.
[例2] (苏教版必修第二册P170例2)如图,已知E,E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠C1E1B1=∠CEB.
题型二　空间等角定理
故四边形EE1B1B是平行四边形,
从而E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又因为∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同,
所以∠C1E1B1=∠CEB.
·解题策略·
利用空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行.
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
[变式训练] 如图,已知直线a,b为异面直线,A,B,C为直线a上三点,D,E,F为直线b上三点,A′,B′,C′,D′,E′分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.若∠A′B′C′=120°,则 ∠C′D′E′=　 .
120°　
【解析】 因为A′,B′分别是AD,DB的中点,
所以A′B′∥a.
同理C′D′∥a,B′C′∥b,D′E′∥b,
所以A′B′∥C′D′,B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同,所以∠A′B′C′=∠C′D′E′,
所以∠C′D′E′=120°.
感谢观看8.5.1　直线与直线平行
【课程标准要求】　1.借助长方体,抽象出空间两条直线的平行关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过基本事实4和等角定理的应用,培养直观想象和逻辑推理的核心素养.
知识点一　基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c a∥c
作用 证明两条直线平行
对基本事实4的理解
根据基本事实4可以将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题.
知识点二　空间等角定理
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
知识拓展
空间等角定理的拓展
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
基础自测
1.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 不确定
【答案】 A
【解析】 因为a∥b,b∥c,所以a∥c.又c∥d,所以a∥d.故选A.
2.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则有(　　)
[A] ∠BAC=∠B′A′C′
[B] ∠BAC+∠B′A′C′=180°
[C] ∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°
[D] ∠BAC+∠B′A′C′=90°
【答案】 C
【解析】 由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行,所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.故选C.
3.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中2条直线的平面共有(　　)
[A] 1个 [B] 2个
[C] 3个 [D] 0或有无数多个
【答案】 C
【解析】 直线a,b确定一个平面,直线b,c确定一个平面,直线a,c确定一个平面,例如三棱柱的三条侧棱组成的三个侧面,所以共3个平面.故选C.
4.(人教A版必修第二册P135练习T4改编)两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形的关系为　　　　.
【答案】 相似
【解析】 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故这两个三角形的关系为相似.
题型一　基本事实4
[例1] 在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1C1D1上有一条直线MN,而平面ABCD上有一点P.试过点P作一条直线l,使得l∥MN.
【解】 分别过点M,N作MM1⊥AB,
NN1⊥CD,连接M1N1,
所以MM1∥AA1,NN1∥DD1,
MM1=AA1,NN1=DD1.
因为AA1DD1,所以MM1NN1,
所以四边形MM1N1N是平行四边形.
所以MN∥M1N1,
再过点P作M1N1的平行线l即可,如图,
则l∥MN.
基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性,解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
[变式训练] 如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AC=BD.求证:四边形EFGH是菱形.
【证明】 因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH是△ABD的中位线,
所以EH∥BD,且EH=BD.
同理可得FG∥BD,且FG=BD.
所以EH∥FG,且EH=FG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
又F为BC的中点,所以EF为△ABC的中位线,
所以EF=AC.
又AC=BD,所以EH=EF.
又四边形EFGH是平行四边形,
所以四边形EFGH是菱形.
题型二　空间等角定理
[例2] (苏教版必修第二册P170例2)如图,已知E,E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠C1E1B1=∠CEB.
【证明】 因为E1,E分别是A1D1,AD的中点,
所以A1E1AE,
故四边形A1E1EA是平行四边形,
从而A1AE1E.
又因为A1AB1B,
所以E1EB1B,
故四边形EE1B1B是平行四边形,
从而E1B1∥EB.
同理E1C1∥EC.
又因为∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同,
所以∠C1E1B1=∠CEB.
利用空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行.
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
[变式训练] 如图,已知直线a,b为异面直线,A,B,C为直线a上三点,D,E,F为直线b上三点,A′,B′,C′,D′,E′分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.若∠A′B′C′=120°,则 ∠C′D′E′=　 .
【答案】 120°　
【解析】 因为A′,B′分别是AD,DB的中点,
所以A′B′∥a.
同理C′D′∥a,B′C′∥b,D′E′∥b,
所以A′B′∥C′D′,B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同,所以∠A′B′C′=∠C′D′E′,
所以∠C′D′E′=120°.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列结论正确的是(　　)
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交.
[A] ①② [B] ② [C] ②③ [D] ③
【答案】 B
【解析】 ①错误,两条直线可以异面;②正确;③错误,和另一条可以异面.故选B.
2.若AB∥A′B′,BC∥B′C′,且∠ABC=45°,则∠A′B′C′等于(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 45°或135° [D] 不能确定
【答案】 C
【解析】 因为AB∥A′B′,BC∥B′C′,且∠ABC=45°,所以∠A′B′C′=45°或∠A′B′C′=135°.
故选C.
3.已知三条不同的直线l,m,n,且l∥m,则“m∥n”是“l∥n”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 若m∥n,又l∥m,则l∥n,故充分性成立;
反之,若l∥n,又l∥m,则m∥n,故必要性成立.
故“m∥n”是“l∥n”的充要条件.故选C.
4.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
【答案】 D
【解析】 如图,因为E,D,F分别为AB,PA,AC的中点,所以DE∥PB,EF∥BC.
又因为PB⊥BC,
所以DE⊥EF,
所以∠DEF=90°.
故选D.
5.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是(　　)
[A] OB∥O1B1且方向相同
[B] OB∥O1B1,方向可能不同
[C] OB与O1B1不平行
[D] OB与O1B1不一定平行
【答案】 D
【解析】 如图①,
∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,
但是OB与O1B1不平行.
如图②,∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,
此时OB∥O1B1且方向相同.
综上,OB与O1B1不一定平行,故D正确.
故选D.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别是AA1,CC1的中点,则四边形BED1F是(　　)
[A] 梯形 [B] 矩形
[C] 菱形 [D] 正方形
【答案】 C
【解析】 取棱BB1的中点G,连接C1G,EG,如图所示.
由正方体的性质,可知侧面ABB1A1为正方形,
又E,G分别为棱AA1,BB1的中点,
所以EG=A1B1=C1D1,EG∥A1B1∥C1D1.
从而四边形EGC1D1为平行四边形,
所以D1E∥C1G,D1E=C1G.
又F,G分别为棱CC1,BB1的中点,
且侧面CBB1C1为正方形,
所以四边形BGC1F为平行四边形.
所以BF∥C1G,BF=C1G.
所以D1E∥BF,D1E=BF.
从而四边形BED1F为平行四边形.
设正方体的棱长为a,
可知BE=BF==a,
所以四边形BED1F是菱形.
连接EF,因为E,F分别是AA1,CC1的中点,
所以EF==a.
而BE2+BF2=a2+a2≠EF2,
所以菱形BED1F不是正方形.故选C.
7.(5分)在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则直线EG和FH的位置关系是　　　　.
【答案】 相交　
【解析】 因为E,F,G,H分别是四边上的中点,
所以EF∥AC∥GH,即EF∥GH.
同理可得EH∥GF,
故E,F,G,H四点共面,且EFGH为平行四边形,则直线EG和FH的位置关系是相交.
8.(5分)如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别为AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为28 cm2,则平行线EH,FG间的距离为　　　　 cm.
【答案】 8　
【解析】 因为E,H分别为AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==,BD=6 cm,所以EH=3 cm,FG=6×=4(cm).设EH,FG间的距离为h,则S梯形EFGH==28(cm2),解得h=8 cm.
9.(13分)如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:△EFG∽△C1DA1.
【证明】 如图,连接B1C.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,
所以FGB1C.
又A1B1C1D1-ABCD为正方体,
所以CDAB,A1B1AB.
由基本事实4知,CDA1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形.
所以A1DB1C.
因为B1C∥FG,
由基本事实4知,A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠FGE,∠A1DC1与∠GFE的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠FGE,∠A1DC1=∠GFE,
所以△EFG∽△C1DA1.
10.(14分)如图,在长方体A′B′C′D′-ABCD中,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD的中点.
(1)判断四边形MNA′C′的形状;
(2)求四边形MNA′C′的面积.
【解】 (1)如图,连接AC.
因为M,N分别是CD和AD的中点,
所以MN∥AC,MN=AC.
因为AA′∥CC′,AA′=CC′,
所以四边形AA′C′C是平行四边形.
所以AC∥A′C′,AC=A′C′.
所以MN∥A′C′,
MN=A′C′.
故四边形MNA′C′为梯形.
(2)由题意可得AC=A′C′==a,
A′N=C′M==a,
则MN=AC=a,
故梯形的高为=a,
故四边形MNA′C′的面积
S=(a+a)×a=a2.
11.(多选题)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] 四边形MNPQ是菱形
[B] ∠QME=∠DBC
[C] △BCD∽△MEQ
[D] 四边形MNPQ为矩形
【答案】 BC
【解析】 由三角形中位线的性质知MQ∥BD,MQ=BD,NP∥BD,NP=BD,所以MQ∥NP,MQ=NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,但不能确定是否为菱形或矩形,故A,D不正确.
在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC,同理在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,所以由等角定理知,∠QME=∠DBC,所以B正确.
在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,所以ME∥BC,MQ∥BD,QE∥DC,
所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,
所以△BCD∽△MEQ,所以C正确.故选BC.
12.(5分)如图,在四面体ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=　　　　.
【答案】 m　
【解析】 如图,连接AM并延长交BC于点E,
连接AN并延长交CD于点F,再连接MN,EF,
所以BE=EC,CF=FD,
所以EF=BD=m,
又因为AM=AE,AN=AF,
所以MN=EF=m.
13.(17分)如图,△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同一点O,且===.
(1)证明:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′.
(2)求的值.
(1)【证明】 因为AA′与BB′相交于点O,
所以AA′与BB′共面.
在△ABO和△A′B′O中,
可得∠AOB=∠A′OB′.
又因为=,所以△ABO∽△A′B′O,
所以=,∠BAO=∠B′A′O,
所以AB∥A′B′,同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.
(2)【解】 因为AB∥A′B′,AC∥A′C′,
且AB和A′B′,AC和A′C′的方向相反,
所以∠BAC=∠B′A′C′.
同理∠ABC=∠A′B′C′,
因此△ABC∽△A′B′C′.
又==,
所以=()2=.8.5.1　直线与直线平行
【课程标准要求】　1.借助长方体,抽象出空间两条直线的平行关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过基本事实4和等角定理的应用,培养直观想象和逻辑推理的核心素养.
知识点一　基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c a∥c
作用 证明两条直线平行
对基本事实4的理解
根据基本事实4可以将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题.
知识点二　空间等角定理
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
知识拓展
空间等角定理的拓展
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
基础自测
1.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 不确定
2.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则有(　　)
[A] ∠BAC=∠B′A′C′
[B] ∠BAC+∠B′A′C′=180°
[C] ∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°
[D] ∠BAC+∠B′A′C′=90°
3.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中2条直线的平面共有(　　)
[A] 1个 [B] 2个
[C] 3个 [D] 0或有无数多个
4.(人教A版必修第二册P135练习T4改编)两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形的关系为　　　　.
题型一　基本事实4
[例1] 在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1C1D1上有一条直线MN,而平面ABCD上有一点P.试过点P作一条直线l,使得l∥MN.
NN1⊥CD,连接M1N1,
所以MM1∥AA1,NN1∥DD1,
MM1=AA1,NN1=DD1.
因为AA1DD1,所以MM1NN1,
所以四边形MM1N1N是平行四边形.
所以MN∥M1N1,
再过点P作M1N1的平行线l即可,如图,
则l∥MN.
基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性,解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
[变式训练] 如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AC=BD.求证:四边形EFGH是菱形.
所以EH∥BD,且EH=BD.
同理可得FG∥BD,且FG=BD.
所以EH∥FG,且EH=FG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
又F为BC的中点,所以EF为△ABC的中位线,
所以EF=AC.
又AC=BD,所以EH=EF.
又四边形EFGH是平行四边形,
所以四边形EFGH是菱形.
题型二　空间等角定理
[例2] (苏教版必修第二册P170例2)如图,已知E,E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠C1E1B1=∠CEB.
所以A1E1AE,
故四边形A1E1EA是平行四边形,
从而A1AE1E.
又因为A1AB1B,
所以E1EB1B,
故四边形EE1B1B是平行四边形,
从而E1B1∥EB.
同理E1C1∥EC.
又因为∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同,
所以∠C1E1B1=∠CEB.
利用空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行.
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
[变式训练] 如图,已知直线a,b为异面直线,A,B,C为直线a上三点,D,E,F为直线b上三点,A′,B′,C′,D′,E′分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.若∠A′B′C′=120°,则 ∠C′D′E′=　 .
所以A′B′∥a.
同理C′D′∥a,B′C′∥b,D′E′∥b,
所以A′B′∥C′D′,B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同,所以∠A′B′C′=∠C′D′E′,
所以∠C′D′E′=120°.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列结论正确的是(　　)
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交.
[A] ①② [B] ② [C] ②③ [D] ③
2.若AB∥A′B′,BC∥B′C′,且∠ABC=45°,则∠A′B′C′等于(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 45°或135° [D] 不能确定
故选C.
3.已知三条不同的直线l,m,n,且l∥m,则“m∥n”是“l∥n”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
反之,若l∥n,又l∥m,则m∥n,故必要性成立.
故“m∥n”是“l∥n”的充要条件.故选C.
4.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
又因为PB⊥BC,
所以DE⊥EF,
所以∠DEF=90°.
故选D.
5.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是(　　)
[A] OB∥O1B1且方向相同
[B] OB∥O1B1,方向可能不同
[C] OB与O1B1不平行
[D] OB与O1B1不一定平行
∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,
但是OB与O1B1不平行.
如图②,∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,
此时OB∥O1B1且方向相同.
综上,OB与O1B1不一定平行,故D正确.
故选D.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别是AA1,CC1的中点,则四边形BED1F是(　　)
[A] 梯形 [B] 矩形
[C] 菱形 [D] 正方形
由正方体的性质,可知侧面ABB1A1为正方形,
又E,G分别为棱AA1,BB1的中点,
所以EG=A1B1=C1D1,EG∥A1B1∥C1D1.
从而四边形EGC1D1为平行四边形,
所以D1E∥C1G,D1E=C1G.
又F,G分别为棱CC1,BB1的中点,
且侧面CBB1C1为正方形,
所以四边形BGC1F为平行四边形.
所以BF∥C1G,BF=C1G.
所以D1E∥BF,D1E=BF.
从而四边形BED1F为平行四边形.
设正方体的棱长为a,
可知BE=BF==a,
所以四边形BED1F是菱形.
连接EF,因为E,F分别是AA1,CC1的中点,
所以EF==a.
而BE2+BF2=a2+a2≠EF2,
所以菱形BED1F不是正方形.故选C.
7.(5分)在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则直线EG和FH的位置关系是　　　　.
所以EF∥AC∥GH,即EF∥GH.
同理可得EH∥GF,
故E,F,G,H四点共面,且EFGH为平行四边形,则直线EG和FH的位置关系是相交.
8.(5分)如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别为AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为28 cm2,则平行线EH,FG间的距离为　　　　 cm.
9.(13分)如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:△EFG∽△C1DA1.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,
所以FGB1C.
又A1B1C1D1-ABCD为正方体,
所以CDAB,A1B1AB.
由基本事实4知,CDA1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形.
所以A1DB1C.
因为B1C∥FG,
由基本事实4知,A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠FGE,∠A1DC1与∠GFE的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠FGE,∠A1DC1=∠GFE,
所以△EFG∽△C1DA1.
10.(14分)如图,在长方体A′B′C′D′-ABCD中,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD的中点.
(1)判断四边形MNA′C′的形状;
(2)求四边形MNA′C′的面积.
因为M,N分别是CD和AD的中点,
所以MN∥AC,MN=AC.
因为AA′∥CC′,AA′=CC′,
所以四边形AA′C′C是平行四边形.
所以AC∥A′C′,AC=A′C′.
所以MN∥A′C′,
MN=A′C′.
故四边形MNA′C′为梯形.
(2)由题意可得AC=A′C′==a,
A′N=C′M==a,
则MN=AC=a,
故梯形的高为=a,
故四边形MNA′C′的面积
S=(a+a)×a=a2.
11.(多选题)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] 四边形MNPQ是菱形
[B] ∠QME=∠DBC
[C] △BCD∽△MEQ
[D] 四边形MNPQ为矩形
在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC,同理在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,所以由等角定理知,∠QME=∠DBC,所以B正确.
在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,所以ME∥BC,MQ∥BD,QE∥DC,
所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,
所以△BCD∽△MEQ,所以C正确.故选BC.
12.(5分)如图,在四面体ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=　　　　.
连接AN并延长交CD于点F,再连接MN,EF,
所以BE=EC,CF=FD,
所以EF=BD=m,
又因为AM=AE,AN=AF,
所以MN=EF=m.
13.(17分)如图,△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同一点O,且===.
(1)证明:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′.
(2)求的值.
所以AA′与BB′共面.
在△ABO和△A′B′O中,
可得∠AOB=∠A′OB′.
又因为=,所以△ABO∽△A′B′O,
所以=,∠BAO=∠B′A′O,
所以AB∥A′B′,同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.
且AB和A′B′,AC和A′C′的方向相反,
所以∠BAC=∠B′A′C′.
同理∠ABC=∠A′B′C′,
因此△ABC∽△A′B′C′.
又==,
所以=()2=.

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