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(共28张PPT)
8.5.2　直线与平面平行
1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果平面外一条直线与 ,那么该直线与此平面平行
符号 语言
图形 语言
此平面内的一条直线平行
·疑难解惑·
对直线与平面平行的判定定理的理解
通过直线与平面平行的判定定理,可以将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题),即线线平行 线面平行
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字 语言 一条直线与一个平面 ,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与 .
符号 语言 a∥α, a∥b
图形 语言
平行
交线平行
a β,α∩β=b
·温馨提示·
直线与平面平行的性质定理的注意事项
(1)定理中三个条件缺一不可.
(2)简记:线面平行,则线线平行.
(3)定理的作用:判断直线与直线平行的重要依据.
(4)定理的关键:寻找平面与平面的交线.
基础自测
1.直线a,b为异面直线,过直线a与直线b平行的平面(　　)
[A] 有且只有一个
[B] 有无数多个
[C] 有且只有一个或不存在
[D] 不存在
A
【解析】 在a上任取一点A,则过点A与b平行的直线有且只有一条,设为b′,又因为a∩b′=A,所以a与b′确定一个平面α,即为过a与b平行的平面,可知它是唯一的.故选A.
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
[A] 平行
[B] 平行或异面
[C] 平行或相交
[D] 异面或相交
B
【解析】 由AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,得CD∥α,
所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.故选B.
3.(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列说法正确的序号是　　　　.
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a与直线b不相交,直线b α,则a∥α;
④若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
④
【解析】 ①错误,直线l还可以在平面α内;②错误,直线a在平面α外,包括平行和相交;③错误,a还可以与平面α相交或在平面α内.④正确.
关键能力·素养培优
题型一　直线与平面平行的判定定理
[例1] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,E,F分别是AB,PC的中点.求证:
EF∥平面PAD.
·解题策略·
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
[变式训练] 如图,在三棱台ABC-DEF中,AC=2DF,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
【证明】 如图,连接DG,CD,
设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台ABC-DEF中,由AC=2DF,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
所以O为CD的中点.
又H为BC的中点,所以OH∥BD.
又OH 平面FGH,BD 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AC上的动点(不与A,C重合),
平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证:BB1∥DE.
题型二　直线与平面平行的性质定理
【证明】 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1,且BB1 平面AA1C1C,
CC1 平面AA1C1C,
所以BB1∥平面AA1C1C.
又BB1 平面B1BD,
且平面B1BD∩平面ACC1A1=DE,
所以BB1∥DE.
·解题策略·
利用线面平行的性质定理解题的步骤
[变式训练] 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
【证明】 因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理AB∥PQ.
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
[例3] (人教B版必修第四册P103例2)如图所示,已知三棱锥A-BCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.
求证:EF∥GH.
题型三　线面平行判定定理和性质定理的综合应用
【证明】 在△ABD中,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD.
又因为EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD.
又因为EF 平面EFHG,平面EFHG∩平面BCD=GH,所以由线面平行的性质定理可知EF∥GH.
·解题策略·
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.
【证明】 如图,连接AC交BD于点O,连接OM.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点.
又M是PC的中点,所以PA∥OM.
因为OM 平面BMD,PA 平面BMD,
所以PA∥平面BMD.
又平面PAHG∩平面BMD=GH,
PA 平面PAGH,
所以PA∥GH.
感谢观看8.5.2　直线与平面平行
【课程标准要求】　1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
符号 语言 a∥α
图形 语言
对直线与平面平行的判定定理的理解
通过直线与平面平行的判定定理,可以将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题),即线线平行 线面平行
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字 语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
符号 语言 a∥α,a β,α∩β=b a∥b
图形 语言
直线与平面平行的性质定理的注意事项
(1)定理中三个条件缺一不可.
(2)简记:线面平行,则线线平行.
(3)定理的作用:判断直线与直线平行的重要依据.
(4)定理的关键:寻找平面与平面的交线.
基础自测
1.直线a,b为异面直线,过直线a与直线b平行的平面(　　)
[A] 有且只有一个
[B] 有无数多个
[C] 有且只有一个或不存在
[D] 不存在
【答案】 A
【解析】 在a上任取一点A,则过点A与b平行的直线有且只有一条,设为b′,又因为a∩b′=A,所以a与b′确定一个平面α,即为过a与b平行的平面,可知它是唯一的.故选A.
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
[A] 平行
[B] 平行或异面
[C] 平行或相交
[D] 异面或相交
【答案】 B
【解析】 由AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,得CD∥α,
所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.故选B.
3.(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列说法正确的序号是　　　　.
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a与直线b不相交,直线b α,则a∥α;
④若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
【答案】 ④　
【解析】 ①错误,直线l还可以在平面α内;②错误,直线a在平面α外,包括平行和相交;③错误,a还可以与平面α相交或在平面α内.④正确.
题型一　直线与平面平行的判定定理
[例1] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,E,F分别是AB,PC的中点.求证:EF∥平面PAD.
【证明】 如图,取PD的中点G,连接AG,FG.
因为F,G分别是PC,PD的中点,
所以FG∥CD,FG=CD.
又因为底面ABCD是菱形,E是AB的中点,
所以AE∥CD,AE=CD.
所以FG∥AE,FG=AE.
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG.
又EF 平面PAD,AG 平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
[变式训练] 如图,在三棱台ABC-DEF中,AC=2DF,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
【证明】 如图,连接DG,CD,
设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台ABC-DEF中,由AC=2DF,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
所以O为CD的中点.
又H为BC的中点,
所以OH∥BD.
又OH 平面FGH,BD 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
题型二　直线与平面平行的性质定理
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AC上的动点(不与A,C重合),平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证:BB1∥DE.
【证明】 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1,且BB1 平面AA1C1C,
CC1 平面AA1C1C,
所以BB1∥平面AA1C1C.
又BB1 平面B1BD,
且平面B1BD∩平面ACC1A1=DE,
所以BB1∥DE.
利用线面平行的性质定理解题的步骤
[变式训练] 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
【证明】 因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理AB∥PQ.
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
题型三　线面平行判定定理和性质定理的综合应用
[例3] (人教B版必修第四册P103例2)如图所示,已知三棱锥A-BCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.求证:EF∥GH.
【证明】 在△ABD中,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD.
又因为EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD.
又因为EF 平面EFHG,平面EFHG∩平面BCD=GH,所以由线面平行的性质定理可知EF∥GH.
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
线线平行线面平行线线平行.
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.
【证明】 如图,连接AC交BD于点O,连接OM.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点.
又M是PC的中点,
所以PA∥OM.
因为OM 平面BMD,PA 平面BMD,
所以PA∥平面BMD.
又平面PAHG∩平面BMD=GH,
PA 平面PAGH,
所以PA∥GH.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若直线l不平行于平面α,且l α,则下列说法正确的是(　　)
[A] α内存在一条直线与l平行
[B] α内不存在与l平行的直线
[C] α内所有直线与l异面
[D] α内所有直线与l相交
【答案】 B
【解析】 若α内存在一条直线与l平行,则由l α和线面平行判定定理可知l∥α,与已知矛盾,故α内不存在与l平行的直线,A错误,B正确;
如图,记l∩α=A,当α内直线a过点A时,
l与a相交,C错误;
当α内直线b不过点A时,l与b异面,D错误.
故选B.
2.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于(　　)
[A] 4.5 [B] 5 [C] 5.4 [D] 5.5
【答案】 B
【解析】 因为AB∥平面α,AB 平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,所以AB∥MN.
又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线,故MN=(AB+CD)=5.故选B.
3.在三棱锥A-BCD中,点E,F分别在AB,CB上.若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系为(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] AC 平面DEF [D] 不能确定
【答案】 A
【解析】 因为AE∶EB=CF∶FB=2∶5,
所以EF∥AC.
又AC 平面DEF,EF 平面DEF,
所以AC∥平面DEF.故选A.
4.在四棱锥P-ABCD中,“BC∥AD”是“BC∥平面PAD”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 由BC∥AD,BC 平面PAD,AD 平面PAD,得BC∥平面PAD.
由BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,得BC∥AD.
故“BC∥AD”是“BC∥平面PAD”的充要条件.故选C.
5.如图,四面体D-ABC中,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.则下列结论一定正确的是(　　)
[A] BD⊥AC
[B] BC⊥EG
[C] AD∥平面EFG
[D] AC∥平面EFG
【答案】 D
【解析】 由题意知GF∥BD,AC∥EF,若BD⊥AC,则GF⊥EF,由于四面体D-ABC各侧面形状不定,GF⊥EF不一定成立,故A错误;取BD的中点I,连接IG,则IG∥BC,若BC⊥EG,则IG⊥EG,同上,各侧面形状不定,IG⊥EG不一定成立,故B错误;
取AC的中点H,连接GH,HF,则GH∥AD,
而GH 面GHF,AD 平面GHF,
所以AD∥平面GHF,显然平面GHF与平面EFG不是同一平面,且平面GHF∩平面EFG=GF,
所以AD∥平面EFG不成立,故C错误;
由题意EF∥AC,EF 平面EFG,AC 平面EFG,所以AC∥平面EFG,故D正确.故选D.
6.在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
[A] 　[B]
[C] 　　 [D]
【答案】 A
【解析】 对于A,如图,取底面中心O,连接OQ,由中位线性质可知AB∥OQ,且OQ∩平面MNQ=Q,则AB与平面MNQ不平行,A选项满足题意;
对于B,由正方体结构特征,易得AB∥MQ,结合线面平行的判定定理,知B不满足题意;
对于C,由正方体结构特征,易得AB∥MQ,结合线面平行的判定定理,知C不满足题意;
对于D,由正方体结构特征,易得AB∥NQ,结合线面平行的判定定理,知D不满足题意.故选A.
7.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,B1D1的中点,则正方体六个面中与直线EF平行的面有　　　　个.
【答案】 2　
【解析】 如图,连接DC1,A1C1.因为F为B1D1的中点,所以F为A1C1的中点.
又E为A1D的中点,所以EF∥DC1.
又EF 平面DC1,DC1 平面DC1,
所以EF∥平面CC1D1D.
同理可证EF∥平面A1ABB1.
故正方体六个面中与直线EF平行的面有2个.
8.(5分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,M,N分别为线段PC,PB上一点,若PM∶MC=3∶1,且AN∥平面BDM,则PN∶NB的值为　　　　.
【答案】 2　
【解析】 如图,连接AC交BD于点O,连接CN交BM于点G,连接OG.
由AN∥平面BDM,AN 平面ANC,平面ANC∩平面BDM=OG,得AN∥OG.
因为OA=OC,所以CG=NG,所以G为CN的中点.
作NH∥BM,交PC于点H,所以CM=HM.
因为PM∶MC=3∶1,所以PH=HC,
所以PN∶NB=PH∶HM=2∶1.
9.(13分)证明:如果三个平面两两相交,并且三条交线中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.
已知:如图,平面α,β,γ,α∩β=l,α∩γ=m,β∩γ=n,且l∥m.
求证:n∥l,n∥m.
【证明】 因为l∥m,l 平面γ,m 平面γ,
所以l∥平面γ.
因为l 平面β,平面β∩平面γ=n,所以n∥l.
同理,n∥m.
10.(14分)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,B1B=2AB=2,E为棱B1B上的点,且满足B1E=2EB.
在棱D1D上是否存在一点F,使得B1F∥平面ACE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【解】 当点F为D1D的三等分点(靠近D点)时,B1F∥平面ACE.
如图,取B1E的中点G,DD1上靠近点D的三等分点F,连接B1F,GD,
连接BD交AC于点O,连接OE,
由棱柱的性质可知FDB1G,
所以四边形FB1GD是平行四边形,
所以B1F∥GD.
又因为点E,O分别是GB,BD的中点,
所以OE∥GD.
由基本事实4可得B1F∥OE.
又因为OE 平面ACE,B1F 平面ACE,
所以B1F∥平面ACE,此时=2.
11.(多选题)如图,在四面体ABCD中,E,P分别为AC,AB的中点,截面PQMN是正方形,则下列命题正确的是(　　)
[A] AC∥截面PQMN
[B] AC≠BD
[C] ∠APN=∠EQM
[D] △APE≌△EQC
【答案】 ACD
【解析】 因为截面PQMN为正方形,
所以PN∥QM,PQ∥MN.
又MN 平面ADC,PQ 平面ADC,
所以PQ∥平面ADC.
又PQ 平面ABC,
平面ABC∩平面ADC=AC,
所以PQ∥AC,即MN∥AC.
因为MN 平面PQMN,AC 平面PQMN,
所以AC∥截面PQMN,故A正确.
同理PN∥平面BCD,PN∥BD.
又P为AB的中点,所以N为AD的中点,
同理Q,M也分别是BC,CD的中点,
可得PN∥BD,PN=BD,
且PQ∥AC,PQ=AC,
又PN=PQ,所以AC=BD,故B错误.
因为E为AC的中点,所以PE∥BC,
PE=BC,且EQ∥AB,EQ=AB,
所以AP∥EQ,PN∥QM,
所以∠APN=∠EQM,故C正确.
显然△APE≌△EQC也成立,故D正确.
故选ACD.
12.(5分)如图①,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图②),那么在以下3个结论中,正确的结论是　　　　(填序号).
(1)AF∥平面BCD;(2)BE∥平面CDF;
(3)CD∥平面BEF.
【答案】 (1)(3)　
【解析】 对于(1),由题意得AB∥CF,AB=CF,
所以四边形ABCF是平行四边形,
所以AF∥BC.
因为AF 平面BCD,
BC 平面BCD,
所以AF∥平面BCD,故(1)正确.
对于(2),如图,取DF的中点G,连接EG,CG,
因为E是AD的中点,AF∥BC,AF=BC,
所以EG=BC,EG∥BC.
所以四边形BCGE为梯形.
所以直线BE与直线CG相交.
所以BE与平面CDF相交,故(2)错误.
对于(3),连接AC,交BF于点O,连接OE,
因为四边形ABCF是平行四边形,
所以O是AC的中点,
所以OE∥CD.
因为OE 平面BEF,CD 平面BEF,
所以CD∥平面BEF,故(3)正确.
13.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2为菱形,∠DAB=60°,△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形,F,G分别是PB,CD的中点.
(1)求证:GF∥平面PAD.
(2)设E为AB的中点,过E,F,G三点的截面与棱PC交于点Q,指出点Q的位置并证明.
(1)【证明】 如图,取PA的中点H,连接FH,HD.
因为F为PB的中点,
所以HF∥AB,
且HF=AB.
又四边形ABCD为菱形,且G为CD的中点,
所以DG∥AB,且DG=AB.
所以HF∥DG,且HF=DG.
所以四边形HDGF为平行四边形.
所以GF∥HD.
因为GF 平面PAD,HD 平面PAD,
所以GF∥平面PAD.
(2)【解】 Q为PC的中点.证明如下:
连接FQ,GQ,EG,因为CG∥BE,且CG=BE,
所以四边形BCGE为平行四边形.所以EG∥BC.
因为EG 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EG∥平面PBC.
又EG 平面EFQG,
平面EFQG∩平面PBC=FQ,所以EG∥FQ.
又EG∥BC,所以FQ∥BC.
因为F为PB的中点,所以Q为PC的中点.8.5.2　直线与平面平行
【课程标准要求】　1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
符号 语言 a∥α
图形 语言
对直线与平面平行的判定定理的理解
通过直线与平面平行的判定定理,可以将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题),即线线平行 线面平行
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字 语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
符号 语言 a∥α,a β,α∩β=b a∥b
图形 语言
直线与平面平行的性质定理的注意事项
(1)定理中三个条件缺一不可.
(2)简记:线面平行,则线线平行.
(3)定理的作用:判断直线与直线平行的重要依据.
(4)定理的关键:寻找平面与平面的交线.
基础自测
1.直线a,b为异面直线,过直线a与直线b平行的平面(　　)
[A] 有且只有一个
[B] 有无数多个
[C] 有且只有一个或不存在
[D] 不存在
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
[A] 平行
[B] 平行或异面
[C] 平行或相交
[D] 异面或相交
所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.故选B.
3.(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列说法正确的序号是　　　　.
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a与直线b不相交,直线b α,则a∥α;
④若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
题型一　直线与平面平行的判定定理
[例1] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,E,F分别是AB,PC的中点.求证:EF∥平面PAD.
因为F,G分别是PC,PD的中点,
所以FG∥CD,FG=CD.
又因为底面ABCD是菱形,E是AB的中点,
所以AE∥CD,AE=CD.
所以FG∥AE,FG=AE.
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG.
又EF 平面PAD,AG 平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
[变式训练] 如图,在三棱台ABC-DEF中,AC=2DF,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台ABC-DEF中,由AC=2DF,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
所以O为CD的中点.
又H为BC的中点,
所以OH∥BD.
又OH 平面FGH,BD 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
题型二　直线与平面平行的性质定理
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AC上的动点(不与A,C重合),平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证:BB1∥DE.
CC1 平面AA1C1C,
所以BB1∥平面AA1C1C.
又BB1 平面B1BD,
且平面B1BD∩平面ACC1A1=DE,
所以BB1∥DE.
利用线面平行的性质定理解题的步骤
[变式训练] 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理AB∥PQ.
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
题型三　线面平行判定定理和性质定理的综合应用
[例3] (人教B版必修第四册P103例2)如图所示,已知三棱锥A-BCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.求证:EF∥GH.
又因为EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD.
又因为EF 平面EFHG,平面EFHG∩平面BCD=GH,所以由线面平行的性质定理可知EF∥GH.
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
线线平行线面平行线线平行.
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点.
又M是PC的中点,
所以PA∥OM.
因为OM 平面BMD,PA 平面BMD,
所以PA∥平面BMD.
又平面PAHG∩平面BMD=GH,
PA 平面PAGH,
所以PA∥GH.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若直线l不平行于平面α,且l α,则下列说法正确的是(　　)
[A] α内存在一条直线与l平行
[B] α内不存在与l平行的直线
[C] α内所有直线与l异面
[D] α内所有直线与l相交
如图,记l∩α=A,当α内直线a过点A时,
l与a相交,C错误;
当α内直线b不过点A时,l与b异面,D错误.
故选B.
2.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于(　　)
[A] 4.5 [B] 5 [C] 5.4 [D] 5.5
又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线,故MN=(AB+CD)=5.故选B.
3.在三棱锥A-BCD中,点E,F分别在AB,CB上.若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系为(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] AC 平面DEF [D] 不能确定
所以EF∥AC.
又AC 平面DEF,EF 平面DEF,
所以AC∥平面DEF.故选A.
4.在四棱锥P-ABCD中,“BC∥AD”是“BC∥平面PAD”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
由BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,得BC∥AD.
故“BC∥AD”是“BC∥平面PAD”的充要条件.故选C.
5.如图,四面体D-ABC中,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.则下列结论一定正确的是(　　)
[A] BD⊥AC
[B] BC⊥EG
[C] AD∥平面EFG
[D] AC∥平面EFG
取AC的中点H,连接GH,HF,则GH∥AD,
而GH 面GHF,AD 平面GHF,
所以AD∥平面GHF,显然平面GHF与平面EFG不是同一平面,且平面GHF∩平面EFG=GF,
所以AD∥平面EFG不成立,故C错误;
由题意EF∥AC,EF 平面EFG,AC 平面EFG,所以AC∥平面EFG,故D正确.故选D.
6.在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
[A] 　[B]
[C] 　　 [D]
对于B,由正方体结构特征,易得AB∥MQ,结合线面平行的判定定理,知B不满足题意;
对于C,由正方体结构特征,易得AB∥MQ,结合线面平行的判定定理,知C不满足题意;
对于D,由正方体结构特征,易得AB∥NQ,结合线面平行的判定定理,知D不满足题意.故选A.
7.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,B1D1的中点,则正方体六个面中与直线EF平行的面有　　　　个.
又E为A1D的中点,所以EF∥DC1.
又EF 平面DC1,DC1 平面DC1,
所以EF∥平面CC1D1D.
同理可证EF∥平面A1ABB1.
故正方体六个面中与直线EF平行的面有2个.
8.(5分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,M,N分别为线段PC,PB上一点,若PM∶MC=3∶1,且AN∥平面BDM,则PN∶NB的值为　　　　.
由AN∥平面BDM,AN 平面ANC,平面ANC∩平面BDM=OG,得AN∥OG.
因为OA=OC,所以CG=NG,所以G为CN的中点.
作NH∥BM,交PC于点H,所以CM=HM.
因为PM∶MC=3∶1,所以PH=HC,
所以PN∶NB=PH∶HM=2∶1.
9.(13分)证明:如果三个平面两两相交,并且三条交线中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.
已知:如图,平面α,β,γ,α∩β=l,α∩γ=m,β∩γ=n,且l∥m.
求证:n∥l,n∥m.
所以l∥平面γ.
因为l 平面β,平面β∩平面γ=n,所以n∥l.
同理,n∥m.
10.(14分)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,B1B=2AB=2,E为棱B1B上的点,且满足B1E=2EB.
在棱D1D上是否存在一点F,使得B1F∥平面ACE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
如图,取B1E的中点G,DD1上靠近点D的三等分点F,连接B1F,GD,
连接BD交AC于点O,连接OE,
由棱柱的性质可知FDB1G,
所以四边形FB1GD是平行四边形,
所以B1F∥GD.
又因为点E,O分别是GB,BD的中点,
所以OE∥GD.
由基本事实4可得B1F∥OE.
又因为OE 平面ACE,B1F 平面ACE,
所以B1F∥平面ACE,此时=2.
11.(多选题)如图,在四面体ABCD中,E,P分别为AC,AB的中点,截面PQMN是正方形,则下列命题正确的是(　　)
[A] AC∥截面PQMN
[B] AC≠BD
[C] ∠APN=∠EQM
[D] △APE≌△EQC
所以PN∥QM,PQ∥MN.
又MN 平面ADC,PQ 平面ADC,
所以PQ∥平面ADC.
又PQ 平面ABC,
平面ABC∩平面ADC=AC,
所以PQ∥AC,即MN∥AC.
因为MN 平面PQMN,AC 平面PQMN,
所以AC∥截面PQMN,故A正确.
同理PN∥平面BCD,PN∥BD.
又P为AB的中点,所以N为AD的中点,
同理Q,M也分别是BC,CD的中点,
可得PN∥BD,PN=BD,
且PQ∥AC,PQ=AC,
又PN=PQ,所以AC=BD,故B错误.
因为E为AC的中点,所以PE∥BC,
PE=BC,且EQ∥AB,EQ=AB,
所以AP∥EQ,PN∥QM,
所以∠APN=∠EQM,故C正确.
显然△APE≌△EQC也成立,故D正确.
故选ACD.
12.(5分)如图①,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图②),那么在以下3个结论中,正确的结论是　　　　(填序号).
(1)AF∥平面BCD;(2)BE∥平面CDF;
(3)CD∥平面BEF.
所以四边形ABCF是平行四边形,
所以AF∥BC.
因为AF 平面BCD,
BC 平面BCD,
所以AF∥平面BCD,故(1)正确.
对于(2),如图,取DF的中点G,连接EG,CG,
因为E是AD的中点,AF∥BC,AF=BC,
所以EG=BC,EG∥BC.
所以四边形BCGE为梯形.
所以直线BE与直线CG相交.
所以BE与平面CDF相交,故(2)错误.
对于(3),连接AC,交BF于点O,连接OE,
因为四边形ABCF是平行四边形,
所以O是AC的中点,
所以OE∥CD.
因为OE 平面BEF,CD 平面BEF,
所以CD∥平面BEF,故(3)正确.
13.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2为菱形,∠DAB=60°,△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形,F,G分别是PB,CD的中点.
(1)求证:GF∥平面PAD.
(2)设E为AB的中点,过E,F,G三点的截面与棱PC交于点Q,指出点Q的位置并证明.
因为F为PB的中点,
所以HF∥AB,
且HF=AB.
又四边形ABCD为菱形,且G为CD的中点,
所以DG∥AB,且DG=AB.
所以HF∥DG,且HF=DG.
所以四边形HDGF为平行四边形.
所以GF∥HD.
因为GF 平面PAD,HD 平面PAD,
所以GF∥平面PAD.
连接FQ,GQ,EG,因为CG∥BE,且CG=BE,
所以四边形BCGE为平行四边形.所以EG∥BC.
因为EG 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EG∥平面PBC.
又EG 平面EFQG,
平面EFQG∩平面PBC=FQ,所以EG∥FQ.
又EG∥BC,所以FQ∥BC.
因为F为PB的中点,所以Q为PC的中点.

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