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(共32张PPT)
8.5.3　平面与平面平行
1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号 语言
图形 语言
两条相交直线
·疑难解惑·
(1)应用面面平行判定定理应具备的条件:
①平面α内两条相交直线a,b,即a α,b α,a∩b=P.
②两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β.
(2)平面与平面平行判定定理的推论:
如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字 语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 .
符号 语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b .
图形 语言
平行
a∥b
『知识拓展』
平面与平面平行的其他常用性质推论
(1)平行于同一个平面的两个平面平行.
(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
基础自测
1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)
[A] 两两相互平行
[B] 两两相交于同一点
[C] 两两相交但不一定交于同一点
[D] 两两相互平行或交于同一点
A
【解析】 可以想象四棱柱,由面面平行的性质定理可知四条直线两两相互平行.故选A.
2.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A′B′C′D′
=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 不确定
A
【解析】 由面面平行的性质定理可知两条交线平行.故选A.
3.已知α,β,γ是三个不重合的平面,a,b是两条不重合的直线.若α∩β=a,β∩γ=b,且α∥γ,则a与b的位置关系是　　　　.
a∥b　
【解析】 由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,写出满足条件的一个平面,
(1)与平面ADD1A1平行的平面为　 ;
(2)与平面ABB1A1平行的平面为　 ;
(3)与平面A1DC1平行的平面为　 .
平面BCC1B1
平面DCC1D1
平面AB1C
【解析】 因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且A1C1∥AC,DC1∥AB1.
又因为AC 平面A1DC1,AB1 平面A1DC1,A1C1,DC1 平面A1DC1,所以AC∥平面A1DC1,AB1∥平面A1DC1.
因为AC∩AB1=A,AC,AB1 平面AB1C,
所以平面A1DC1∥平面AB1C.
关键能力·素养培优
题型一　平面与平面平行的判定定理
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,C1D1的中点,G,H分别为AB,BC的中点,O为平面ABCD的中心.
求证:平面OEF∥平面C1GH.
因为E,F分别为A1D1,C1D1的中点,G,H分别为AB,BC的中点,
所以EF∥A1C1,GH∥AC,
所以EF∥GH,
因为EF,OF 平面OEF,GH,HC1 平面OEF,
所以GH∥平面OEF,HC1∥平面OEF,
因为GH∩HC1=H,GH,HC1 平面C1GH,
所以平面OEF∥平面C1GH.
·解题策略·
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
[变式训练] 在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,H,E,F分别为PA,AH,HO的中点,点M在棱PD上,且PM=3MD.
(1)求证:HO∥平面PCD.
【证明】 (1)连接AC,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,则O为AC中点,
因为H为PA的中点,所以HO∥PC,
又HO 平面PCD,PC 平面PCD,
所以HO∥平面PCD.
(2)求证:平面EFM∥平面ABCD.
【证明】(2)因为E,F分别为AH,HO的中点,所以EF∥AO.
又EF 平面ABCD,AO 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD,
因为H,E分别为PA,AH的中点,所以PE=3EA.
又PM=3MD,所以EM∥AD,
因为EM 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EM∥平面ABCD.
又EF,EM 平面EFM,EF∩EM=E,
所以平面EFM∥平面ABCD.
[例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是棱PA,AD的中点,且BE∥平面PCD.
求证:BF∥CD.
题型二　平面与平面平行的性质定理
【证明】 连接EF,如图,
因为E,F分别是PA,AD的中点,
所以EF为△APD的中位线,所以EF∥PD.
因为EF 平面PDC,PD 平面PDC,
所以EF∥平面PCD.
又因为BE∥平面PCD,BE∩EF=E,BE,EF 平面EFB,
所以平面EFB∥平面PCD.
又因为平面ABCD∩平面EFB=BF,平面ABCD∩平面PCD=CD,
所以BF∥CD.
·解题策略·
(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
(2)两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
[变式训练] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,平面CB1E交棱DD1于点F,求证:B1C∥EF.
【证明】 由长方体的性质知,平面BCC1B1∥平面ADD1A1,
又平面CB1E∩平面BCC1B1=B1C,
平面CB1E∩平面ADD1A1=EF,
所以B1C∥EF.
题型三　平行关系的综合应用
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
【证明】 (1)因为E,F分别为B1C1,A1B1的中点,所以EF∥A1C1,
因为A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,所以EF∥平面A1C1G.
又F,G分别为A1B1,AB的中点,所以A1F=BG.
又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G,
因为A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,
所以BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,
所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
【证明】(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,
所以平面A1C1G与平面ABC有公共点G,所以有经过G的直线交BC于H.
又A1C1∥GH,所以GH∥AC,
因为G为AB的中点,
所以H为BC的中点.
·解题策略·
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.
[变式训练] 如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的三等分点(M靠近B,N靠近C).
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,并证明.
所以MQ∥平面PAD.
又由(1)知MN∥平面PAD,且MN∩MQ=M,MN,MQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PAD,
即当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD.
感谢观看8.5.3　平面与平面平行
【课程标准要求】　1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号 语言 α∥β
图形 语言
(1)应用面面平行判定定理应具备的条件:
①平面α内两条相交直线a,b,即a α,b α,a∩b=P.
②两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β.
(2)平面与平面平行判定定理的推论:
如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字 语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
符号 语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b
图形 语言
知识拓展
平面与平面平行的其他常用性质推论
(1)平行于同一个平面的两个平面平行.
(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
基础自测
1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)
[A] 两两相互平行
[B] 两两相交于同一点
[C] 两两相交但不一定交于同一点
[D] 两两相互平行或交于同一点
2.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A′B′C′D′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 不确定
3.已知α,β,γ是三个不重合的平面,a,b是两条不重合的直线.若α∩β=a,β∩γ=b,且α∥γ,则a与b的位置关系是　　　　.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,写出满足条件的一个平面,
(1)与平面ADD1A1平行的平面为　 ;
(2)与平面ABB1A1平行的平面为　 ;
(3)与平面A1DC1平行的平面为　 .
(3)平面AB1C
又因为AC 平面A1DC1,AB1 平面A1DC1,A1C1,DC1 平面A1DC1,所以AC∥平面A1DC1,AB1∥平面A1DC1.
因为AC∩AB1=A,AC,AB1 平面AB1C,
所以平面A1DC1∥平面AB1C.
题型一　平面与平面平行的判定定理
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,C1D1的中点,G,H分别为AB,BC的中点,O为平面ABCD的中心.
求证:平面OEF∥平面C1GH.
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,O为平面ABCD的中心,
所以A1C1∥AC,D1C1∥AB,D1C1=AB,O为AC中点,
因为H为BC中点,F为D1C1中点,
所以OH∥AB∥FC1,OH=AB=FC1,
所以四边形OHC1F为平行四边形,OF∥HC1.
因为E,F分别为A1D1,C1D1的中点,G,H分别为AB,BC的中点,
所以EF∥A1C1,GH∥AC,
所以EF∥GH,
因为EF,OF 平面OEF,GH,HC1 平面OEF,
所以GH∥平面OEF,HC1∥平面OEF,
因为GH∩HC1=H,GH,HC1 平面C1GH,
所以平面OEF∥平面C1GH.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
[变式训练] 在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,H,E,F分别为PA,AH,HO的中点,点M在棱PD上,且PM=3MD.
(1)求证:HO∥平面PCD.
(2)求证:平面EFM∥平面ABCD.
因为H为PA的中点,所以HO∥PC,
又HO 平面PCD,PC 平面PCD,
所以HO∥平面PCD.
(2)因为E,F分别为AH,HO的中点,
所以EF∥AO.
又EF 平面ABCD,AO 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD,
因为H,E分别为PA,AH的中点,
所以PE=3EA.
又PM=3MD,所以EM∥AD,
因为EM 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EM∥平面ABCD.
又EF,EM 平面EFM,EF∩EM=E,
所以平面EFM∥平面ABCD.
题型二　平面与平面平行的性质定理
[例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是棱PA,AD的中点,且BE∥平面PCD.
求证:BF∥CD.
因为E,F分别是PA,AD的中点,
所以EF为△APD的中位线,
所以EF∥PD.
因为EF 平面PDC,PD 平面PDC,
所以EF∥平面PCD.
又因为BE∥平面PCD,BE∩EF=E,BE,EF 平面EFB,
所以平面EFB∥平面PCD.
又因为平面ABCD∩平面EFB=BF,平面ABCD∩平面PCD=CD,
所以BF∥CD.
(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
(2)两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
[变式训练] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,平面CB1E交棱DD1于点F,求证:B1C∥EF.
又平面CB1E∩平面BCC1B1=B1C,
平面CB1E∩平面ADD1A1=EF,
所以B1C∥EF.
题型三　平行关系的综合应用
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
所以EF∥A1C1,
因为A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,
所以EF∥平面A1C1G.
又F,G分别为A1B1,AB的中点,
所以A1F=BG.
又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,
则BF∥A1G,
因为A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,
所以BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,
所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,
所以平面A1C1G与平面ABC有公共点G,所以有经过G的直线交BC于H.
又A1C1∥GH,所以GH∥AC,
因为G为AB的中点,
所以H为BC的中点.
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.
[变式训练] 如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的三等分点(M靠近B,N靠近C).
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,并证明.
因为N为PC的三等分点,可得NE=CD.
又因为M为AB的三等分点,可得AM=AB,
因为AB∥CD且AB=CD,
所以AM∥NE且AM=NE,
所以四边形AMNE为平行四边形,所以MN∥AE.
又由MN 平面PAD,AE 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
在PB上取一点Q,使得BQ=BP,即点Q为PB上靠近点B的三等分点,
在△PAB中,因为M,Q分别为AB,PB的三等分点,可得=,所以MQ∥PA,
因为MQ 平面PAD,PA 平面PAD,
所以MQ∥平面PAD.
又由(1)知MN∥平面PAD,且MN∩MQ=M,MN,MQ 平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD,
即当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,有以下三个命题:
①m,n相交且都在平面α,β外,若m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中正确命题的个数是(　　)
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 3
因为m∥α,n∥α,m γ,n γ,m,n相交,
所以α∥γ,
同理可得β∥γ,所以α∥β,故①正确;
②α,β有可能相交,若m平行α,β的交线,此时也满足m∥α,m∥β,故②错误;
③α,β有可能相交,若m,n平行α,β的交线,此时也满足m∥n,m∥α,n∥β,故③错误.
故选B.
2.若平面α∥平面β,直线a α,点M∈β,则过点M的所有直线中(　　)
[A] 不一定存在与a平行的直线
[B] 只有两条与a平行的直线
[C] 存在无数条与a平行的直线
[D] 有且只有一条与a平行的直线
设γ∩β=b,又γ∩α=a,
由于α∥β,所以a∥b,
假设平面β内过M还有一个直线c与a平行,即c∥a,则c∥b,但b,c有公共点M,矛盾,因此过M有且只有一条直线与a平行.故选D.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,则下列结论错误的是(　　)
[A] FG∥平面AA1D1D
[B] EF∥平面ABC1D1
[C] 平面ABCD∥平面A1B1C1D1
[D] 平面EFG∥平面A1BC1
又FG 平面BB1C1C,
所以FG∥平面AA1D1D,故A正确;
因为EF∥A1C1,A1C1与平面ABC1D1相交,
所以EF与平面ABC1D1相交,故B错误;
由正方体的性质可知,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,故C正确;
因为E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,
所以FG∥BC1,EF∥A1C1,
又BC1 平面A1BC1,FG 平面A1BC1,A1C1 平面A1BC1,EF 平面A1BC1,
所以FG∥平面A1BC1,EF∥平面A1BC1,
又FG∩EF=F,
所以平面EFG∥平面A1BC1,故D正确.故选B.
4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是(　　)
[A] 截面BDC′与截面B′D′C
[B] 截面A′BC′与截面ACD′
[C] 截面B′D′D与截面BDA′
[D] 截面A′DC′与截面AD′C
对于A,BC′与B′C相交,截面BDC′与截面B′D′C相交,A不是;
对于B,截面A′BC′与截面ACD′平行.
由A′D′∥AD∥BC,A′D′=AD=BC,得四边形BCD′A′为平行四边形,则A′B∥D′C.
又A′B 平面A′BC′,D′C 平面A′BC′,
所以D′C∥平面A′BC′,
同理可证AC∥平面A′BC′,AC∩D′C=C,AC,D′C 平面ACD′,
所以平面A′BC′∥平面ACD′,B是;
对于C,截面B′D′D与截面BDA′有公共点D,截面B′D′D与截面BDA′相交,C不是;
对于D,A′D与AD′相交,截面A′DC′与截面AD′C相交,D不是.故选B.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为(　　)
[A] 1 [B] 1.5 [C] 2 [D] 3
6.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,2AP=DP,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ等于(　　)
[A] [B] [C] 2 [D] 2
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且MN 平面A1B1C1D1,所以MN∥平面ABCD,
因为平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,MN 平面PQNM,所以MN∥PQ.
又M,N分别是A1B1,B1C1的中点,
所以MN∥A1C1,
又A1C1∥AC,
所以由平行的传递性可知PQ∥AC,
因为2AP=DP,所以2CQ=DQ,
所以DQ=DP=2,
故在直角三角形PDQ中,
PQ===2.故选C.
7.(5分)已知a和b是异面直线,且a 平面α,b 平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是　　　　.
因为a∥β,所以a∥a′,
下面证明直线a′与b相交,
假设a′∥b,由a∥a′,可得a∥b,与已知a与b是异面直线矛盾,所以直线a′与b相交.
又b∥α,所以平面β上有两条相交直线b和a′都与平面α平行,所以α∥β.
法二　假设平面α与β不平行,则α∩β=c,
因为a 平面α,a∥β,所以a∥c,
因为b 平面β,b∥α,所以b∥c,所以a∥b,
这与a和b是异面直线相矛盾,故α∥β.
8.(5分)设平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB∩CD=S,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=　　　　.
因为直线AB∩CD=S,故可设它们确定的平面为m,则m和α的交线为AC,和β的交线为BD,
因为α∥β,故AC∥BD,
故=,即=,则SD=9.
9.(13分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.
(1)求证:B,C,H,G四点共面;
(2)求证:平面BCHG∥平面A1EF.
所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,
所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,
A1B1∥AB,A1B1=AB,
所以A1G∥EB,A1G=A1B1=AB=EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,
所以A1E∥BG,
因为A1E 平面A1EF,BG 平面A1EF,
所以BG∥平面A1EF.
又E,F是AB,AC的中点,所以EF∥BC.
又GH∥BC,
所以GH∥EF,
因为EF 平面A1EF,GH 平面A1EF,
所以GH∥平面A1EF.
又BG∩GH=G,BG,GH 平面BCHG,
所以平面BCHG∥平面A1EF.
10.(14分)如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN∥平面α.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
所以平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC,
因为α∥β,所以AC∥DE.
又P,N分别为AE,CD的中点,
所以PN∥DE.
因为PN α,DE α,
所以PN∥α.
又M,P分别为AB,AE的中点,
所以MP∥BE,且PM α,BE α.
所以PM∥α.
因为PM∩PN=P,PM,PN 平面PMN,
所以平面PMN∥α.
又MN 平面PMN,
所以MN∥平面α.
11.(多选题)如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,在此几何体中,下列结论正确的是(　　)
[A] 平面EFGH∥平面ABCD
[B] 平面PAD∥BC
[C] 平面PCD∥AB
[D] 平面PAD∥平面PAB
如图所示,把平面展开图还原为四棱锥,
对于A,由EF∥AB,EF 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,又EH∥AD,同理可证EH∥平面ABCD,又EF∩EH=E,EF,EH 平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;
对于B,因为BC∥AD,BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以平面PAD∥BC,故B正确;
对于C,因为AB∥CD,AB 平面PCD,CD 平面PCD,所以平面PCD∥AB,故C正确;
对于D,由平面PAD与平面PAB有公共点P,故平面PAD与平面PAB不平行,故D不正确.
故选ABC.
12.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,则M满足　　　　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1.
由题易知,HN∥DB,HN 平面B1BDD1,DB 平面B1BDD1,
所以HN∥平面B1BDD1.
又FH∥D1D,
同理可证FH∥平面B1BDD1,
又HN∩HF=H,HN,HF 平面FHN,
所以平面FHN∥平面B1BDD1.
因为点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,平面FHN∩平面EFGH=FH,
所以M∈FH.
13.(17分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M,N分别是棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)MN∥PE.
连接MQ,NQ.
因为N,Q分别是PC,DC的中点,
所以NQ∥PD.
因为NQ 平面PAD,PD 平面PAD,
所以NQ∥平面PAD.
因为M是AB的中点,
四边形ABCD是平行四边形,
所以MQ∥AD.
又MQ 平面PAD,AD 平面PAD,
所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ,
所以MN∥平面PAD.
(2)因为平面MNQ∥平面PAD,且平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,
所以MN∥PE.8.5.3　平面与平面平行
【课程标准要求】　1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号 语言 α∥β
图形 语言
(1)应用面面平行判定定理应具备的条件:
①平面α内两条相交直线a,b,即a α,b α,a∩b=P.
②两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β.
(2)平面与平面平行判定定理的推论:
如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字 语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
符号 语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b
图形 语言
知识拓展
平面与平面平行的其他常用性质推论
(1)平行于同一个平面的两个平面平行.
(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
基础自测
1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)
[A] 两两相互平行
[B] 两两相交于同一点
[C] 两两相交但不一定交于同一点
[D] 两两相互平行或交于同一点
【答案】 A
【解析】 可以想象四棱柱,由面面平行的性质定理可知四条直线两两相互平行.故选A.
2.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A′B′C′D′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 不确定
【答案】 A
【解析】 由面面平行的性质定理可知两条交线平行.故选A.
3.已知α,β,γ是三个不重合的平面,a,b是两条不重合的直线.若α∩β=a,β∩γ=b,且α∥γ,则a与b的位置关系是　　　　.
【答案】 a∥b　
【解析】 由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,写出满足条件的一个平面,
(1)与平面ADD1A1平行的平面为　 ;
(2)与平面ABB1A1平行的平面为　 ;
(3)与平面A1DC1平行的平面为　 .
【答案】 (1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1
(3)平面AB1C
【解析】 因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且A1C1∥AC,DC1∥AB1.
又因为AC 平面A1DC1,AB1 平面A1DC1,A1C1,DC1 平面A1DC1,所以AC∥平面A1DC1,AB1∥平面A1DC1.
因为AC∩AB1=A,AC,AB1 平面AB1C,
所以平面A1DC1∥平面AB1C.
题型一　平面与平面平行的判定定理
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,C1D1的中点,G,H分别为AB,BC的中点,O为平面ABCD的中心.
求证:平面OEF∥平面C1GH.
【证明】 连接A1C1,OH(图略),
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,O为平面ABCD的中心,
所以A1C1∥AC,D1C1∥AB,D1C1=AB,O为AC中点,
因为H为BC中点,F为D1C1中点,
所以OH∥AB∥FC1,OH=AB=FC1,
所以四边形OHC1F为平行四边形,OF∥HC1.
因为E,F分别为A1D1,C1D1的中点,G,H分别为AB,BC的中点,
所以EF∥A1C1,GH∥AC,
所以EF∥GH,
因为EF,OF 平面OEF,GH,HC1 平面OEF,
所以GH∥平面OEF,HC1∥平面OEF,
因为GH∩HC1=H,GH,HC1 平面C1GH,
所以平面OEF∥平面C1GH.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
[变式训练] 在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,H,E,F分别为PA,AH,HO的中点,点M在棱PD上,且PM=3MD.
(1)求证:HO∥平面PCD.
(2)求证:平面EFM∥平面ABCD.
【证明】 (1)连接AC,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,则O为AC中点,
因为H为PA的中点,所以HO∥PC,
又HO 平面PCD,PC 平面PCD,
所以HO∥平面PCD.
(2)因为E,F分别为AH,HO的中点,
所以EF∥AO.
又EF 平面ABCD,AO 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD,
因为H,E分别为PA,AH的中点,
所以PE=3EA.
又PM=3MD,所以EM∥AD,
因为EM 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EM∥平面ABCD.
又EF,EM 平面EFM,EF∩EM=E,
所以平面EFM∥平面ABCD.
题型二　平面与平面平行的性质定理
[例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是棱PA,AD的中点,且BE∥平面PCD.
求证:BF∥CD.
【证明】 连接EF,如图,
因为E,F分别是PA,AD的中点,
所以EF为△APD的中位线,
所以EF∥PD.
因为EF 平面PDC,PD 平面PDC,
所以EF∥平面PCD.
又因为BE∥平面PCD,BE∩EF=E,BE,EF 平面EFB,
所以平面EFB∥平面PCD.
又因为平面ABCD∩平面EFB=BF,平面ABCD∩平面PCD=CD,
所以BF∥CD.
(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
(2)两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
[变式训练] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,平面CB1E交棱DD1于点F,求证:B1C∥EF.
【证明】 由长方体的性质知,平面BCC1B1∥平面ADD1A1,
又平面CB1E∩平面BCC1B1=B1C,
平面CB1E∩平面ADD1A1=EF,
所以B1C∥EF.
题型三　平行关系的综合应用
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
【证明】 (1)因为E,F分别为B1C1,A1B1的中点,
所以EF∥A1C1,
因为A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,
所以EF∥平面A1C1G.
又F,G分别为A1B1,AB的中点,
所以A1F=BG.
又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,
则BF∥A1G,
因为A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,
所以BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,
所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,
所以平面A1C1G与平面ABC有公共点G,所以有经过G的直线交BC于H.
又A1C1∥GH,所以GH∥AC,
因为G为AB的中点,
所以H为BC的中点.
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.
[变式训练] 如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的三等分点(M靠近B,N靠近C).
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,并证明.
(1)【证明】 过点N作NE∥CD,交PD于点E,连接AE,
因为N为PC的三等分点,可得NE=CD.
又因为M为AB的三等分点,可得AM=AB,
因为AB∥CD且AB=CD,
所以AM∥NE且AM=NE,
所以四边形AMNE为平行四边形,所以MN∥AE.
又由MN 平面PAD,AE 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)【解】 当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD,证明如下:
在PB上取一点Q,使得BQ=BP,即点Q为PB上靠近点B的三等分点,
在△PAB中,因为M,Q分别为AB,PB的三等分点,可得=,所以MQ∥PA,
因为MQ 平面PAD,PA 平面PAD,
所以MQ∥平面PAD.
又由(1)知MN∥平面PAD,且MN∩MQ=M,MN,MQ 平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD,
即当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,有以下三个命题:
①m,n相交且都在平面α,β外,若m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中正确命题的个数是(　　)
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 3
【答案】 B
【解析】 ①因为m,n相交,所以m,n共面,设这个平面为γ,
因为m∥α,n∥α,m γ,n γ,m,n相交,
所以α∥γ,
同理可得β∥γ,所以α∥β,故①正确;
②α,β有可能相交,若m平行α,β的交线,此时也满足m∥α,m∥β,故②错误;
③α,β有可能相交,若m,n平行α,β的交线,此时也满足m∥n,m∥α,n∥β,故③错误.
故选B.
2.若平面α∥平面β,直线a α,点M∈β,则过点M的所有直线中(　　)
[A] 不一定存在与a平行的直线
[B] 只有两条与a平行的直线
[C] 存在无数条与a平行的直线
[D] 有且只有一条与a平行的直线
【答案】 D
【解析】 显然M a,过点M和直线a确定平面为γ,
设γ∩β=b,又γ∩α=a,
由于α∥β,所以a∥b,
假设平面β内过M还有一个直线c与a平行,即c∥a,则c∥b,但b,c有公共点M,矛盾,因此过M有且只有一条直线与a平行.故选D.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,则下列结论错误的是(　　)
[A] FG∥平面AA1D1D
[B] EF∥平面ABC1D1
[C] 平面ABCD∥平面A1B1C1D1
[D] 平面EFG∥平面A1BC1
【答案】 B
【解析】 由正方体的性质知平面AA1D1D∥平面BB1C1C,
又FG 平面BB1C1C,
所以FG∥平面AA1D1D,故A正确;
因为EF∥A1C1,A1C1与平面ABC1D1相交,
所以EF与平面ABC1D1相交,故B错误;
由正方体的性质可知,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,故C正确;
因为E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,
所以FG∥BC1,EF∥A1C1,
又BC1 平面A1BC1,FG 平面A1BC1,A1C1 平面A1BC1,EF 平面A1BC1,
所以FG∥平面A1BC1,EF∥平面A1BC1,
又FG∩EF=F,
所以平面EFG∥平面A1BC1,故D正确.故选B.
4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是(　　)
[A] 截面BDC′与截面B′D′C
[B] 截面A′BC′与截面ACD′
[C] 截面B′D′D与截面BDA′
[D] 截面A′DC′与截面AD′C
【答案】 B
【解析】 如图,选项A,B,C,D分别对应图①,图②,图③,图④.
对于A,BC′与B′C相交,截面BDC′与截面B′D′C相交,A不是;
对于B,截面A′BC′与截面ACD′平行.
由A′D′∥AD∥BC,A′D′=AD=BC,得四边形BCD′A′为平行四边形,则A′B∥D′C.
又A′B 平面A′BC′,D′C 平面A′BC′,
所以D′C∥平面A′BC′,
同理可证AC∥平面A′BC′,AC∩D′C=C,AC,D′C 平面ACD′,
所以平面A′BC′∥平面ACD′,B是;
对于C,截面B′D′D与截面BDA′有公共点D,截面B′D′D与截面BDA′相交,C不是;
对于D,A′D与AD′相交,截面A′DC′与截面AD′C相交,D不是.故选B.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为(　　)
[A] 1 [B] 1.5 [C] 2 [D] 3
【答案】 A
【解析】 因为平面α∥平面BC1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F∥BE.又A1E∥BF,所以A1EBF是平行四边形,所以A1E=BF=2,所以AF=1.故选A.
6.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,2AP=DP,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ等于(　　)
[A] [B] [C] 2 [D] 2
【答案】 C
【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且MN 平面A1B1C1D1,所以MN∥平面ABCD,
因为平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,MN 平面PQNM,所以MN∥PQ.
又M,N分别是A1B1,B1C1的中点,
所以MN∥A1C1,
又A1C1∥AC,
所以由平行的传递性可知PQ∥AC,
因为2AP=DP,所以2CQ=DQ,
所以DQ=DP=2,
故在直角三角形PDQ中,
PQ===2.故选C.
7.(5分)已知a和b是异面直线,且a 平面α,b 平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是　　　　.
【答案】 平行
【解析】 法一　过a作平面γ,使γ∩β=a′,
因为a∥β,所以a∥a′,
下面证明直线a′与b相交,
假设a′∥b,由a∥a′,可得a∥b,与已知a与b是异面直线矛盾,所以直线a′与b相交.
又b∥α,所以平面β上有两条相交直线b和a′都与平面α平行,所以α∥β.
法二　假设平面α与β不平行,则α∩β=c,
因为a 平面α,a∥β,所以a∥c,
因为b 平面β,b∥α,所以b∥c,所以a∥b,
这与a和b是异面直线相矛盾,故α∥β.
8.(5分)设平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB∩CD=S,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=　　　　.
【答案】 9　
【解析】 根据题意可作图,
因为直线AB∩CD=S,故可设它们确定的平面为m,则m和α的交线为AC,和β的交线为BD,
因为α∥β,故AC∥BD,
故=,即=,则SD=9.
9.(13分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.
(1)求证:B,C,H,G四点共面;
(2)求证:平面BCHG∥平面A1EF.
【证明】 (1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,
所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,
A1B1∥AB,A1B1=AB,
所以A1G∥EB,A1G=A1B1=AB=EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,
所以A1E∥BG,
因为A1E 平面A1EF,BG 平面A1EF,
所以BG∥平面A1EF.
又E,F是AB,AC的中点,所以EF∥BC.
又GH∥BC,
所以GH∥EF,
因为EF 平面A1EF,GH 平面A1EF,
所以GH∥平面A1EF.
又BG∩GH=G,BG,GH 平面BCHG,
所以平面BCHG∥平面A1EF.
10.(14分)如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN∥平面α.
【证明】 如图,过点A作AE∥CD交α于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED,AC.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
所以平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC,
因为α∥β,所以AC∥DE.
又P,N分别为AE,CD的中点,
所以PN∥DE.
因为PN α,DE α,
所以PN∥α.
又M,P分别为AB,AE的中点,
所以MP∥BE,且PM α,BE α.
所以PM∥α.
因为PM∩PN=P,PM,PN 平面PMN,
所以平面PMN∥α.
又MN 平面PMN,
所以MN∥平面α.
11.(多选题)如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,在此几何体中,下列结论正确的是(　　)
[A] 平面EFGH∥平面ABCD
[B] 平面PAD∥BC
[C] 平面PCD∥AB
[D] 平面PAD∥平面PAB
【答案】 ABC
【解析】
如图所示,把平面展开图还原为四棱锥,
对于A,由EF∥AB,EF 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,又EH∥AD,同理可证EH∥平面ABCD,又EF∩EH=E,EF,EH 平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;
对于B,因为BC∥AD,BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以平面PAD∥BC,故B正确;
对于C,因为AB∥CD,AB 平面PCD,CD 平面PCD,所以平面PCD∥AB,故C正确;
对于D,由平面PAD与平面PAB有公共点P,故平面PAD与平面PAB不平行,故D不正确.
故选ABC.
12.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,则M满足　　　　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1.
【答案】 M在线段FH上
【解析】 连接HN,FH,FN.
由题易知,HN∥DB,HN 平面B1BDD1,DB 平面B1BDD1,
所以HN∥平面B1BDD1.
又FH∥D1D,
同理可证FH∥平面B1BDD1,
又HN∩HF=H,HN,HF 平面FHN,
所以平面FHN∥平面B1BDD1.
因为点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,平面FHN∩平面EFGH=FH,
所以M∈FH.
13.(17分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M,N分别是棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)MN∥PE.
【证明】 (1)如图,取DC的中点Q,
连接MQ,NQ.
因为N,Q分别是PC,DC的中点,
所以NQ∥PD.
因为NQ 平面PAD,PD 平面PAD,
所以NQ∥平面PAD.
因为M是AB的中点,
四边形ABCD是平行四边形,
所以MQ∥AD.
又MQ 平面PAD,AD 平面PAD,
所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ,
所以MN∥平面PAD.
(2)因为平面MNQ∥平面PAD,且平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,
所以MN∥PE.

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