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4.1 因式分解
第四章 因式分解
八下数学 BSD
1. 经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，了解因式分解的意义.
2. 初步体会因式分解与整式乘法的联系，能用整式乘法对因式分解的结果是否正确进行检验.
3.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
问题 993-99能被100整除吗？
小明是这样做的：
993-99
= 99×992-99×1
= 99×(992-1)
= 99×9 800
= 98×99×100.
所以，993-99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数乘积的形式.
知识点1 因式分解
思考
你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？
a3 - a =a(a2-1)
=a(a+1)(a-1).
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知识点1 因式分解
= .
ma+mb+mc
m(a+b+c)
知识点1 因式分解
x2+2x+1
(x+1)2
= .
观察下列拼图过程，写出相应的关系式.
观察以下等式，它们有什么共同特点？
知识点1 因式分解
a3 - a = a(a+1)(a-1)
ma+mb+mc = m(a+b+c)
x2+2x+1 = (x+1)2
多项式
整式乘积
像这样的变形叫作因式分解.
知识点1 因式分解
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫作这个多项式的因式.
注意 (1) 因式分解的对象是多项式，结果是几个整式乘积的形式；
(2) 本章仅限于在有理数范围内因式分解；
(3) 因式分解是恒等变形.
知识点1 因式分解
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
① x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1； ② x3+x＝x(x2+1)；
③ (x-y)2＝x2-2xy+y2； ④ x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).
A. 1个 　　　　 B. 2个 　　　　C. 3个 　　　　　 D. 4个
B
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
根据左面的算式填空：
(1) 3x2-3x=_________；
(2) ma+mb+mc=_________；
(3) m2-16=__________；
(4) y2-6y+9=________.
计算下列各式：
(1) 3x(x-1)= ；
(2) m(a+b+c)= ；
(3) (m+4)(m-4)= ；
(4) (y-3)2= .
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
y2-6y+9
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
因式分解与整式乘法的关系：
联系：多项式的因式分解与整式乘法互为逆变形.
区别：
因式分解：(1) 把一个多项式化成几个整式乘积的形式； (2) 是多项式的恒等变形.
整式乘法：(1) 把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式；(2) 是一种乘法运算.
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
跟踪训练 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是( )
A．x2-y2 B．-x2+y2
C．x2+y2 D．-x2-y2
B
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
跟踪训练 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x-2)(x+3)，求a，b的值.
解：∵ x2+ax+b=a(x-2)(x+3)
=ax2+ax-6a,
∴ a=1，b=-6a=-6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
1. 连一连：
x2-y2 (x+3)2
9-25x2 y(x-y)
x2+6x+9 (3+5x)(3-5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
2. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解
(1) (a+3)(a-3)=a2-9；
(2) m2-4=(m+2)(m-2)；
(3) a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1；
(4) 2mR+2mr=2m(R+r).
主要依据因式分解的定义，看右边的结果是否为几个整式乘积的形式.
解：(2)(4)是因式分解.
3. 如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形，请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解：
　　　　　　　　　.
(a+b)(a+b)
(a2+b2)+ab
=
4. 若多项式x4+mx3+nx-16含有因式(x-2)和(x-1)，求mn的值.
解：∵ x4+mx3+nx-16的最高次数是4，
∴可设x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n,
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20,
∴ mn=-5×20=-100．
5. 通过计算说明255+511能否被30整除.
解：原式=510+511=510+5×510
=6×510
=6×5×59
=30×59.
∵ 30×59能被30整除，
∴ 255+511能被30整除.
因式分解
与整式乘法的关系
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.因式分解也可称为分解因式.
定义
因式分解与整式乘法互为逆变形.
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积；整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.

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