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八下数学 BSD
第四章 因式分解
章末小结
概念
方法
应用
类比思想
整体思想
数形结合
转化思想
归纳思想
因式分解
提公因式法
公式法
因式分解
一、因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法互为逆变形.
注意
(1) 因式分解的对象是多项式，结果是几个整式乘积的形式；
(2) 本章仅限于在有理数范围内因式分解；
(3) 因式分解是恒等变形.
1. 甲、乙两名同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，因式分解的结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，因式分解的结果为(x+1)(x+9)，则a+b= .
解析：甲看错了b，但a是正确的，
∵ (x+2)(x+4)=x2+6x+8，∴ a=6.
乙看错了a，但b是正确的，
∵ (x+1)(x+9)=x2+10x+9，∴ b=9，
∴ a+b=15.
15
2. 如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成一个大长方形，则利用整个图形可表示出一些有关多项式因式分解的等式，请你写出任意一个表示因式分解的等式：　　　　　　　　　　　　　.
a2+2ab=a(a+2b)
3. 2 0232+2 023能被2 024整除吗?
解：∵ 2 0232+2 023=2 023×(2 023+1)
=2 023×2 024,
∴ 2 0232+2 023能被2 024整除.
二、提公因式法
1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式叫作这个多项式各项的公因式.
确定公因式的方法：一定“系数”，二定“字母”，三定“指数”.
多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积.
二、提公因式法
2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
步骤：(1) 确定公因式；
(2) 提出公因式；
(3) 确定另一个因式；
(4) 写成乘积的形式.
二、提公因式法
提公因式法因式分解的注意事项：
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
因式分解常用到以下几个恒等变形：
① b-a=-(a-b)；② (a-b)2=(b-a)2；③ (b-a)3=-(a-b)3.
1. 把下列各式因式分解：
(1) 6x3y2+12x2y3-6x2y2； (2) -2a2b+4ab2-6ab.
解：(1) 6x3y2+12x2y3-6x2y2
= 6x2y2(x+2y-1)；
(2) -2a2b+4ab2-6ab
= -2ab(a-2b+3).
2. 若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于(　　)
A. y－x B. x－y
C. 3a(x－y)2 D. －3a(x－y)
C
3. 计算：(1) 39×37-13×34；
(2) 求2x(a-2)-y(2-a)的值，其中a=0.5，x=1.5，y=-2；
(3) 已知a-b=5，ab=6，求3a2b-6ab2+18b+6的值.
解：(1) 39×37-13×34=39×37-13×3×33
=39×(37-27)=390.
(2) 2x(a-2)-y(2-a)=2x(a-2)+y(a-2)
=(a-2)(2x+y).
当a=0.5，x=1.5，y=-2时，原式=(0.5-2)×(2×1.5-2)=-1.5.
3. 计算：(1) 39×37-13×34；
(2) 求2x(a-2)-y(2-a)的值，其中a=0.5，x=1.5，y=-2；
(3) 已知a-b=5，ab=6，求3a2b-6ab2+18b+6的值.
(3) 当a-b=5，ab=6时，原式=ab(3a-6b)+18b+6
=6(3a-6b)+18b+6
=18a-36b+18b+6
=18a-18b+6
=18(a-b)+6=18×5+6=96.
三、公式法
公式法的定义：
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
三、公式法
平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).
三、公式法
完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
用字母表示：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
三、公式法
因式分解的步骤
一提：有公因式的先提公因式；
二套：套用公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式(不能直接套公式时，可适当变形整理)；
三查：检查乘积中的每一个多项式的因式是否分解彻底.
1. 把下列各式因式分解：
(1) 49m2-19n2； (2) (3x+2y)2-(2x+3y)2.
?
(2) (3x+2y)2-(2x+3y)2
= (3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)
= (5x+5y)(x-y)
= 5(x+y)(x-y).
解：(1) 49m2-19n2
= (7m)2-(13n)2
= (7m+13n)(7m-13n)；
?
2. 把下列各式因式分解：
(1) 4(2a+b)2-4(2a+b)+1； (2) y2+2y+1-x2.
解：(1) 4(2a+b)2-4(2a+b)+1
= [2(2a+b)]?-2·2(2a+b)·1+(1)?
= (4a+2b-1)2；
(2) y2+2y+1-x2
= (y+1)?-x?
= (y+1+x)(y+1-x).
3. 利用因式分解计算：
(1) 5722×14-4282×14 ； (2) (1-122)(1-132)(1-142)...(1-12?0242?).
?
解：(1) 5722×14-4282×14
＝(5722-4282)×14
＝(572+428)(572-428)×14
＝1000×144×14
＝36 000；
?
(2) (1-122)(1-132)(1-142)...(1-12?0242?)
= (1-12)(1+12)(1-13)(1+13)(1-14)(1+14)...(1-12?024?)(1+12?024?)
= 12×32×23×43×34×54×... ×2?0232?024×2?0252?024
= 12×2?0252?024
= 2?0254?048 .
?
4. (1) 若x-2y=-3，则代数式4y2-12y+9-x2的值为 ；
(2) 已知a=2 024x+2 023，b=2 024x+2 024，c=2 024x+2 025，
那么a2+b2+c2-ab-bc-ac的值等于 .
0
3
5. 已知△ABC的三边长a，b，c满足等式a2-2bc=c2-2ab，则△ABC是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形
解析：∵ a2-2bc=c2-2ab，∴ a2-c2+2ab-2bc=0，
∴ (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0，
∴ (a-c)(a+c+2b)=0.
∵ a，b，c是△ABC的三边长，
∴ a+c+2b>0，∴ a-c=0，即a=c.
A
6. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法.如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)= a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1) 因式分解：x2-y2-x-y； (2) 因式分解：x3+x2y-xy2-y3.
(1) 因式分解：x2-y2-x-y； (2) 因式分解：x3+x2y-xy2-y3.
解： (1) 原式=(x2-y2)-(x+y)
= (x+y)(x-y)-(x+y)
= (x+y)(x-y-1)；
(2) 原式=(x3+x2y)-(xy2+y3)
= x2(x+y)-y2(x+y)
= (x+y)2(x-y).
7. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.
(1) 64是“神秘数”吗?为什么?
解：不是.理由如下：若64 是“神秘数”，
则64=(2n+2)2-(2n)2(n为整数)，
∴ 64=(2n+2+2n)(2n+2-2n)，即64=8n+4，
解得n=152，与n为整数矛盾，故64不是“神秘数”.
?
7. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.
(2) 说明“神秘数”是4的奇数倍.
解：由题意得“神秘数”为(2m+2)2-(2m)2(m为整数)，
(2m+2)2-(2m)2
=(2m+2+2m)(2m+2-2m)
=8m+4
=4(2m+1).
∵ m为整数，
∴ 2m+1为奇数，
∴ “神秘数”是4的奇数倍.

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