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第二十二章 函数
八下数学 RJ
第1课时
22.2 函数的表示
1.掌握描点法画函数图象的步骤（列表、描点、连线），能运用该方法画出简单函数的图象；
2. 能通过函数图象，直观观察函数随自变量变化的趋势.
生活中有很多关系难以通过列解析式或列表格的方法表示，通常用图来直观地反映，帮助人们快速获取想要的信息，如心电图测试结果、股票走势、天气的变化等.
问题1：请写出正方形的面积S与边长x的函数解析式.
S=x2.
问题2：自变量 x 的取值范围是多少？
根据问题的实际意义，该自变量 x 的取值范围是 x>0.
问题3：如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观，怎样确定图象的点？
选取合适的值，确定点的坐标.
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
S=x2.
x ... 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ...
S ... 0.25 1 ...
2.25
4
6.25
9
12.25
16
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
(0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4) (2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16)
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
(0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4)
(2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16)
用空心圆圈表示不在曲线的点
用实心圆点表示在曲线的点
所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应.
用平滑曲线连接画出的点
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
(0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4)
(2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16)
图中的曲线即函数 S=x （x>0）的图象.
思考 函数 S = x2 表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？
表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.
函数的图象：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
敲黑板
函数图象上的任意一点的坐标 (x, y) 中的 x，y 均满足函数解析式；
满足函数解析式的任意一对 x，y 的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.
例1 在下列式子中，y是x的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1) y=x+0.5； (2) y= (x>0).
解：(1)从式子 y=x+0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数.
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 …
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大.
y=x+0.5
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 …
例1 在下列式子中，y是x的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1) y=x+0.5； (2) y= (x>0).
解：(2) y = (x > 0) 中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数y= (x>0) 的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小.
归纳
用描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点;
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
跟踪训练 (1)画出函数y=-2x-1的图象；
(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.
解：(1)列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 5 3 1 -1 -3 -5 -7 …
因为x的取值范围是全体实数，所以表的左右两端不要忘记用省略号表示对应的数值
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，如图.
跟踪训练 (1)画出函数y=-2x-1的图象；
(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.
判断点是否在函数图象上的方法
要判断点P (x,y)是否在某一函数的图象上，只需把x的值代入该函数的解析式，如果所求得的函数值与y的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.
跟踪训练 (1)画出函数y=-2x-1的图象；
(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.
解：(2)当x=5时，y=-2×5-1=-11，
所以点(5，9)不在此函数的图象上.
当x=7时，y=-2×7-1=-15，
所以点(7，-15)在此函数的图象上.
1. (1) 画出函数 y = 2x -1 的图象；
(2) 判断点 A(-2.5, -4)，B(1, 3)，C(2.5, 4) 是否在函数 y = 2x-1 的图象上.
解：(1)列表：
描点、连线，所画图象如图所示.
1. (1) 画出函数 y = 2x -1 的图象；
(2) 判断点 A(-2.5, -4)，B(1, 3)，C(2.5, 4) 是否在函数 y = 2x-1 的图象上.
解：(2) 将 x = -2.5 代入 y = 2x -1，得 y =-6 ≠ -4，
∴ 点 A 不在该函数图象上.
将 x = 1 代入 y = 2x -1，得 y = 1 ≠ 3，
∴ 点 B 不在该函数图象上.
将 x = 2.5 代入 y = 2x -1，得 y = 4，
∴ 点 C 在该函数图象上.
2. (1) 画出函数 y = x + 1 的图象.
(2) 观察函数 y = x + 1 的图象，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小？当 x > 0 时呢？
解：(1)列表：
描点、连线，所画图象如图所示.
2. (1) 画出函数 y = x + 1 的图象.
(2) 观察函数 y = x + 1 的图象，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小？当 x > 0 时呢？
解：(2)从图象中观察可知：
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
3.下列各点在函数y=3x-1的图象上的是（ ）
A.(0,1) B.(2,5) C.(-3,7) D.(1,1)
解析：判断点是否在函数图象上，只需将横坐标代入函数解析式，计算出函数值，如果函数值与纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在函数图象上.
当x=0时，y=3×0-1=-1≠1，故A选项错误：
当x=2时，y=3×2-1=5，故B选项正确；
当x=-3时，y=3×(-3)-1=-10≠7，故C选项错误；
当x=1时，y=3×1-1=2≠1，故D选项错误.
B
4.已知点 P(a，5) 在函数y=3x-4的图象上，则a的值为_______.
解析：因为点P(a，5)在函数y=3x-4的图象上，
所以 5=3a-4，解得a=3.
3
函数图象
定义
画法
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
①列表；②描点；③连线.

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