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第二十二章 函数
八下数学 RJ
第2课时
22.2 函数的表示
1.能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；
2.掌握分析实际问题中函数图象的方法，能结合图象解决对应情境下的具体问题.
思考 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？
由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数，下图是这个函数的图象.
问题1 气温 T 与时间 t 是函数关系吗？
这一天中凌晨4时气温最低（-3℃），14时气温最高(8℃).
问题2 这一天，何时气温最低，何时最高？
问题3 你可以大致描述这一天的气温变化情况吗？
从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），
从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态.
我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
例如：24时气温大约是2℃.
问题4 你还能得到哪些信息？
分析函数图象，读取相关信息应抓住以下关键点.
(1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数.
(2)特殊点：
①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值;
②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点;
③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化.
(3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化.
(4)线段（曲线）的陡缓：
线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，
线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢.
例1 如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家. 图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系.
李明家 食堂 图书馆
图1
图2
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？
分析：李明离家的距离y是时间x的函数，由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
解：(1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8 min.
根据图象回答下列问题：
(2)李明吃早餐用了多长时间？
解：(2)由横坐标看出，25 － 8=17，李明吃早餐用了17 mim.
根据图象回答下列问题：
(3)食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？
解：(3)由纵坐标看出，0.8 － 0.6=0.2，食堂离图书馆0.2 km；
由横坐标看出，28 － 25=3，李明从食堂到图书馆用了3 min.
根据图象回答下列问题：
(4)李明查资料用了多长时间？
解：(4)由横坐标看出，58－28=30，李明查资料用了30 min.
根据图象回答下列问题：
(5)图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？
解：(5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8 km；
由横坐标看出，68－58=10，
李明从图书馆回家用了10 min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min.
跟踪训练 小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题：
(1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？
解：(1) 由图象可知，小明到达离家最远的地方用了 3 h，此时离家 30 km.
跟踪训练 小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题：
(2) 小明出发 2.5 h 后离家多远？
解： (2) 由图可知，当 x=2 时，y=15，
当 2所以当x=2.5时，y=15+15×0.5=22.5，即小明出发 2.5 h 后离家 22.5 km.
跟踪训练 根据图象回答下列问题：
(3) 小明出发多长时间后离家 12 km？
解： (3) 小明离家12 km时，对应两个时间，第1次为出发时，
第2次为返回时，需分两种情况：
①小明出发时离家 12 km，
AB 段表示的速度为 =15 (km/h)，
= 0.8 (h)，
即小明出发 0.8 h 后离家 12 km.
解： (3)②小明返回时离家 12 km，
EF 段表示的速度为 = 15 (km/h)，
4 + = 5.2 (h)，即小明出发 5.2 h 后离家 12 km.
综上所述，小明出发 0.8 h 或 5.2 h 后离家 12 km.
跟踪训练 根据图象回答下列问题：
(3) 小明出发多长时间后离家 12 km？
探究 构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图 1和图 2中的图象来表示.
s/m
900
O 10 20 30 40
t/min
图 1
s/m
900
O 10 20 30 40 45
t/min
图 2
s/m
900
O 10 20 30 40
t/min
图 1
小明从家出发走路20 min到达离家900 m的体育馆后，直接原路返回，又用了20 min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图 1来表示.
s/m
900
O 10 20 30 40 45
t/min
图 2
小明从家出发走路20 min到达离家900 m的体育馆后，在体育馆休息了10 min，原路又用了15 min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图 2来表示.
1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间 t 的函数关系如图所示.
(1)休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？
(2)园林队中间休息了多长时间？
解：(1)休息前，园林队工作了1 h，绿化面积为60 m2.
(2)园林队中间休息了1 h.
O 1 2 4
160
60
S/m2
t/h
1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间 t 的函数关系如图所示.
(3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？
解： (3)(160-60)÷(4-2)=50 (m2/h).
所以休息后，园林队每小时完成的绿化面积为50 m2.
O 1 2 4
160
60
S/m2
t/h
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(1)这一天内，北京与上海何时气温相同？
解：(1)这一天内，北京与上海在7：00和12：00气温相同.
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？
解： (2)这一天内，上海的气温在0：00~7：00和12：00~24:00比北京的气温高，
在7：00~12：00比北京的气温低.
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(3)你还能从函数图象中得到哪些信息？
解： (3)北京和上海的气温在14：00后都逐渐降低.（答案不唯一）
3.如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示.
O 6 18 t/min
y/m
1 000
解：李明从距家1 000 m的图书馆以一定的速度步行回家，经过6 min 到达家门口，又以另以速度步行返回图书馆拿忘在图书馆的水杯，经过12 min回到图书馆.（答案不唯一）
4.过山车是一种深受年轻游客喜爱的娱乐项目，如图是佳佳某次乘坐过山车在一分钟之内距离地面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数图象，由图象可知，在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为( )
A.98米 B.93米
C.83米 D.5米
解析：由题中函数图象可知，最大高度为98米，最低高度为5米，则在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为98－5=93（米）.
B
5.小明向某种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h(cm)与注水时间t(s)的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是( )
解析：根据题中函数图象可知，随着注水时间的增加，水的深度增加速度越来越快，故水壶应该是下宽上窄型，只有A选项符合.
A
函数图象
的分析
(1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数.
(2)特殊点：
①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值；
②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点.
③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化.
(3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化.
(4)线段（曲线）的陡缓：线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢.

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