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第二十二章 函数
八下数学 RJ
章末小结
本章知识结构图
常量与变量
函数的概念
函数的表示
函数的应用
解析法
列表法
图象法
一、常量与变量：
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
二、函数：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
三、函数的图象：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
四、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法.
1.水中涟漪(圆)不断扩大，记它的半径为R，周长为C，下列关于等式 C＝2πR 的说法正确的是( )
A. C，π，R是变量，2 是常量
B. C是变量，2，π，R是常量
C. C，R是变量，2，π 是常量
D. R 是变量，π，C是常量
解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，π 不变，所以R，C是变量，2，π 是常量.
C
2. 下列图象中，表示y是x的函数的是( )
D
3. 函数y＝＋的自变量x的取值范围是( )
A. x≤3 B. x ≠ 2
C. x ≤3 且x ≠ 2 D. x<3
C
4.小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离(单位：km)与时间(单位：min)的关系. 下列说法正确的是( )
A. 小明家到体育馆的距离为2 km
B. 小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C. 小明家到书店的距离为1 km
D. 小明从书店到家步行的时间为40 min
C
2.5 km
45－15＝30 (min)
100－80＝20 (min)
5. 一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40 L，开始工作后，每小时耗油6 L.
(1)写出油箱中的剩余油量W(单位：L)与工作时间t(单位：h)之间的关系式；
解：根据“剩余油量＝原有油量－ 消耗的油量”，得
W＝40－6t(0 ≤ t ≤ ).
5. 一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40 L，开始工作后，每小时耗油6 L.
(2)这台拖拉机工作4 h后，油箱中剩余的油量是多少？
解：当t＝4 时，W＝40－6×4＝40－24＝16.
因此，这台拖拉机工作4 h 后，油箱中剩余的油量是16 L.
5. 一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40 L，开始工作后，每小时耗油6 L.
(3)当油箱内剩余的油量为10 L时，这台拖拉机已工作了几小时？
解：当W＝10 时，10＝40－6t，解得t＝5.
因此，这台拖拉机已工作了5 h.
6.甲、乙两人沿同一跑道匀速从A地跑到B地，乙比甲先出发2 min，甲的速度为每分钟150 m，若两人之间的路程y (单位：m)与甲出发的时间x (单位：min)的关系如图所示，则A，B两地的路程为 ( )
A.1 800 m B.2 000 m
C.2 400 m D.2 500 m
解：由题意，可得乙的速度为200÷2＝100(m/min)，
由图象，可知当甲出发的时间为a min 时，追上乙，
则150a－100a＝200，解得a＝4.
因此，当甲出发4 min 时追上乙.
设甲出发m min 后，到达B地，
则(150－100)×(m－4)＝ 600，
解得m＝16.
则A，B两地的路程为150×16＝2 400(m).
6.甲、乙两人沿同一跑道匀速从A地跑到B地，乙比甲先出发2 min，甲的速度为每分钟150 m，若两人之间的路程y (单位：m)与甲出发的时间x (单位：min)的关系如图所示，则A，B两地的路程为
( )
A.1 800 m B.2 000 m
C.2 400 m D.2 500 m
C
7.学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动. 师生队伍从学校出发，匀速行走30 min到达烈士陵园，用1 h在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45 min返校.设师生队伍离学校的距离为y m，离校的时间为x min，则下列图象能大致反映y 与x 关系的是(　　)
A
8. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化. 研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(单位：km/h)间的函数关系如图. 下列说法错误的是( )
C
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B. 当0 ≤ v ≤ 60 时，这款轮胎的摩擦系数
随车速的增大而减小
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，
车速应不低于60 km/h
D. 若车速从25 km/h 增大到60 km/h，
则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
9. 2025年4月16日上午，教育部举行新闻发布会，发布和解读《关于加快推进教育数字化的意见》，该意见提出要将人工智能技术融入教育教学的全要素过程，某市为了积极响应国家政策，计划为该市各初级中学购买某种数字化教学设备，经过询问得知，这种数字化教学设备的原价为0.5万元/套，若一次性购买数量不超过100套，按原价付款；若一次性购买数量超过100 套，则不超过100套的部分仍按原价付款，超过100套的部分按原价的八折付款，设该市计划购买这种数字化教学设备x(x>100)套，购买所需的总费用为y万元.
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
解：根据题意，可得y＝0.5×100＋0.5×0.8(x－100)＝0.4x＋10，即y与x之间的函数关系式为y＝0.4x＋10.
(2)若该市对本次购买这种数字化教学设备的总预算不超过150万元，请你计算最多可购买这种数字化教学设备多少套？
解：根据题意，得y≤150，即0.4x＋10≤150，
解得 x≤350.
因此，最多可购买这种数字化教学设备350套．
10.某地举行龙舟比赛，赛程为900 m，甲、乙两队比赛时，路程
y(m)与时间x(min)的函数关系如图所示.
乙
1
(1)最先到达终点的是_______队，比另一队领先_______min到达；
(2)求出图中点C的坐标，并解释它的实际意义；
m
min
解：由题中函数图象，得甲的速度为900÷6＝150(m/min)，
乙队在第2 min后第一次加速，其速度为
(500－200)÷(4－2)＝150(m/min)，
乙队在第4 min后第二次加速，其速度为
(900－500)÷(5－4)＝400(m/min)．
设在x min时乙追上甲，
根据题意，得150x＝500＋400(x－4)，
解得x＝4.4.
150×4.4＝660.
即点C的坐标为(4.4，660)，
它的实际意义为当时间为4.4 min时，
乙追上甲，此时路程为660 m．
m
min
(3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点 早几分钟？
解：乙队在第一次加速后，始终保持这
个速度继续前进走完余下路程需要的时
间为 700 ÷ 150 = (min)，
∴ 乙队走完全程的时间为2＋ = (min)，
∵ 甲队走完全程需要的时间是 6 min，
且 －6 = ，
∴ 甲早到达终点，早 min.
m
min
11.研究表明，温度会随距离地面高度的变化而变化，数数绘制了如图所示的表格：
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现温度与距离地面的高度之间有什么变化规律？
解：(1)如图，描出表中数据对应的点可以看出，这6个点在一条直线上，再结合表中的数据，可以发现高度每上升1 km，温度下降
6 ℃，由此猜想，在距离地面高度 5 km以内，温度随距离地面高度的上升而下降，高度每上升1 km，温度下降6 ℃.
(2)t是h的函数吗？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象，这个函数能表示温度的变化规律吗？
(2)由于温度在距离地面5 km以内，随距离地面高度的上升而下降，对于高度h的每一个确定的值，温度t都有唯一确定的值与其对应，所以t是h的函数.
(2)t是h的函数吗？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象，这个函数能表示温度的变化规律吗？
开始时，温度为20 ℃，以后每上升1 km温度下降6 ℃，
所以函数解析式可以为t=-6h+20 (0≤h≤5)，
其图象是图中自变量在0到5之间的线段.
这个函数能表示温度的变化规律.
11.研究表明，温度会随距离地面高度的变化而变化，数数绘制了如图所示的表格：
(3)如果这种规律还会持续，你能预测出距离地面6 km的高空温度是多少摄氏度吗？
(3)如果温度的变化规律不变，则可利用上述函数预测，
当h=6时， t=-6×6+20=-16，
所以，距离地面6千米的高空温度是-16 ℃.

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