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第二十二章 函数
八下数学 RJ
第3课时
22.1 函数的概念
1.探索实际问题中的数量关系与变化规律，明确常量、变量的意义，理解函数概念及解析式表示法，结合实例建立函数，形成模型观念；
2.掌握函数解析式的书写方法，能依据实际背景确定自变量的取值范围，并会代入自变量的值求函数值，提升应用数学的能力.
复习 1. 什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 判断一个关系是不是函数关系的方法
①看是否在一个变化过程中；
②看是否存在两个变量；
③看每当自变量确定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中剩余的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为
y = 50 0.1x.
0.1x表示的实际意义是什么？
0.1x表示这辆汽车行驶x km时的耗油量为0.1x L.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(2)指出自变量x的取值范围；
自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(2)指出自变量x的取值范围；
解：(2)仅从式子 y = 50 0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为 0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50 L，即 0.1x ≤ 50.
因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500.
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.
例1 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：(3)汽车行驶200 km时，油箱中剩余的汽油量是函数y=500.1x在 x=200时的函数值. 将x=200代入y=500.1x，得
y=500.1×200=30.
因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.
例1 函数 y = + (x - 2) 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ≥ 1 B. x > 2
C. x > 1 且 x ≠ 2 D. x ≠ 1 且 x ≠ 2
解析：由题意，可得
解得 x > 1 且 x ≠ 2.
C
像 y=500.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
例2 某品牌新能源纯电动汽车电池容量为 90 kW·h，每千米耗电约 0.15 kW·h.当电池充满电后开始行驶，那么该电池中剩余电量
y kW·h 与行驶路程 x km 之间的函数解析式是 _____________，自变量 x 的取值范围是 ___________，当x=400时，函数值 y=______.
y=90-0.15x
0≤ x ≤ 600
30
确定函数解析式的步骤
(1)找：认真审题，根据题意找出各个量之间的数量关系.
(2)写：根据数量关系写出含有两个变量的等式.
(3)变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式.
跟踪训练 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
(1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量与函数；
解：(1) 根据题意可知，自变量是燃烧时间t,香可燃烧部分的长度l是燃烧时间t的函数；
燃烧时间t /min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l /cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
跟踪训练 (2)写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式；
燃烧时间t /min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l /cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
解： (2) 根据题意可知，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度减少0.5 cm,
∴当t=0时，香的长度为22.4+0.5=22.9（cm），
∴这根香燃尽所需的时间为22.9÷0.5=45.8（min），
∴这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式为
l=-0.5t+22.9（0≤t≤45.8）.
跟踪训练 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
(3)求这根香可燃烧的时间．
燃烧时间t /min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l /cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
解：(3) 由(2)可得这根香可燃烧的时间为45.8 min.
1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(1) 水箱中原有水 10 L，漏水速度为 0.05 L/h，水箱中剩余的水量 V（单位：L）随时间 t（单位：h）的变化而变化；
解：（1）是.自变量是 t，V 是 t 的函数.
V = 10 - 0.05t.
1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(2) 绿水村的耕地面积是 10 m ，这个村的人均耕地面积 y（单位：m ）随人数 n 的变化而变化.
解：（2）是.自变量是 n，y 是 n 的函数.
y = .
2. 梯形的上底长为 2 cm，高为 3 cm，下底长 x（单位：cm）大于上底长但不超过 5 cm，写出梯形面积 S（单位：cm ）关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围.
解：，即 + 3 (2 < x ≤ 5).
3. 举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围.
解：已知一等腰三角形的面积为 20 cm ，设它的底边长为 x (cm)，底边上的高为 y (cm)，
则 y 与 x 之间的函数解析式为 xy = 20，
即 y = (x > 0).（答案不唯一）
函数
概 念
表 示
自变量的取值范围
函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,
并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
函数的解析式.
使函数关系式有意义.
使实际问题有意义.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.

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