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课题名称：1.1二次根式的意义
第一章：二次根式
初中数学
学习目标
经历从实际问题抽象出二次根式的过程，通过观察、对比、辨析，提升抽象概括与逻辑推理能力。
02
理解二次根式的概念，掌握的形式特征；会判断一个式子是否为二次根式，能求简单二次根式中字母的取值范围。
01
发展符号意识与推理素养，体会二次根式的非负性本质，建立数学概念与实际问题的关联。
03
感受数学与生活的联系，培养严谨的思维习惯，激发对根式运算的探究兴趣。
04
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
情境导入
学校要搭建一个正方形的展示区，计划用边长为3米的正方形展板拼接，拼接后总面积为12平方米；另外要制作一个圆形标语牌，其面积与正方形展示区相等。
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
1.正方形边长为12 米，它表示 12 的算术平方根，符合 “一个非负数的算术平方根” 的特征；
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
情境导入
学校要搭建一个正方形的展示区，计划用边长为3米的正方形展板拼接，拼接后总面积为12平方米；另外要制作一个圆形标语牌，其面积与正方形展示区相等。
提问引导:
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
2.这个式子带有二次根号，根号内的是正数，所以有意义。
探究新知
探究一：引入新课
球网的高为米,,为米。你能用代数式表示的长吗？
解：因为，
所以,
在中，
由勾股定理得：，
探究新知
探究二：二次根式的概念
我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，用表示。
根据图1-1所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空：
直角三角形的斜边长是 ;正方形的边长是 ;等腰直角三角形的腰长是 ;你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
都含有根号，被开方数都大于等于零.
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
总结归纳：二次根式的概念
像,,,这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。
注意:根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
形如:
探究新知
探究三：例题精讲
例1：求下列二次根式中字母的取值范围。
(1); (2); (3).
解：(1)由，得。
所以字母的取值范围是大于或等于的实数。
(2)因为无论取何值，都有，所以的取值范围是全体实数。
(3)由,得,即。
所以字母的取值范围是小于的实数。
探究新知
探究三：例题精讲
例2.当时，求二次根式的值。
解：将代二次根式，
得。
课堂练习
1.下列式子中，是二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
2.二次根式中字母的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3.若式子有意义，则(　　)
A. B. C. D.为任意实数
A
B
A
课堂练习
4.若式子有意义，则的取值范围是(　　)
A.x≤2 B.x≥1 C.x≥2 D.1≤x≤2
5.若代数式有意义，则x的取值范围是　 　.
6.当 时，二次根式 的值是　 　.
D
2
课堂练习
7.(1)已知，求的立方根；
(2)已知，求的平方根.
(1)解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵27的立方根为3，
∴的立方根为3；
课堂练习
7.(1)已知，求的立方根；
(2)已知，求的平方根.
(2)解：∵，，，
∴，∴，
∴，
∵16的平方根为±4，
∴的平方根为±4.
课堂小结
二次根式的定义：形如的式子，其中为被开方数，且必须是非负数。
有意义的条件：被开方数；若含分母，需额外满足分母不为零。
本质特征：二次根式的结果具有非负性(。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.若 有意义，则m的取值的最小整数值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.＝成立的条件是(　　)
A C. D.
3.如果代数式有意义，那么直角坐标系中点的位置在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
D
C
A
课后提升
基础作业：
4.已知 ，则 的值为(　　)
A. B. C. D.
5.若实数满足，则的值为　 　.
6.若整数x满足，则使为整数的的值是　 　.
A
5
-2或3
课后提升
提升作业：
7.若是整数,则满足条件的自然数共有(　　)个
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知实数满足，那么的值是(　　)
A.1999 B.2000 C.2001 D.2002
9.函数中,自变量x的取值范围为　 　.当时,此函数值为　 　.
10.当　 　时，代数式有最小值，其最小值是　 　.
D
C
课后提升
拓展作业：
11.设.
(1)当有意义时，求的取值范围；
(2)若为直角三角形的三边长，试求的值.
(1)解：，∴;
(2)解：①若是斜边,则有()2=22 +()2, 即,解得;
②若为直角边,则有( )2+22=( )2,∴,解得;
∵都满足,
∴的值为-2或6.
课后提升
拓展作业：
12.已知实数满足，求：
(1)与的值；
(2)的平方根.
(1)解：∵，，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴的平方根是.
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1.1二次根式的意义教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 1.1二次根式的意义 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数与代数” 领域核心要求：引导学生理解二次根式的概念与本质，掌握被开方数是非负数的核心条件，发展数感与符号意识；能结合具体情境探究二次根式有意义的条件，会求简单二次根式中字母的取值范围；通过联系算术平方根的知识，建立新旧知识的关联，培养逻辑推理能力；体会二次根式在解决长度、面积等实际问题中的应用价值，契合新课标 “理解运算对象、掌握核心概念” 的导向，为后续二次根式的运算与化简奠定基础。
教材分析 本节课是二次根式章节的起始课，是连接算术平方根与二次根式运算的关键纽带。教材以实际问题（如求边长、面积）为切入点，通过具体实例抽象出二次根式的形式，先回顾算术平方根的意义，再逐步明确二次根式的定义、有意义的条件及简单求值。内容编排遵循 “具体—抽象—应用” 的逻辑，既注重概念的形成过程，又强化与已有知识的衔接，同时为后续同类二次根式、根式运算等内容提供概念支撑，体现新课标 “螺旋式上升、循序渐进” 的编写理念。
学情分析 学生已具备算术平方根的基础：知道正数有两个平方根，零的平方根是零，负数没有平方根，能进行简单的算术平方根计算。但存在明显短板：一是难以将算术平方根的非负性迁移到二次根式中，易忽略被开方数a≥0的隐含条件；二是面对含分母或多重符号的二次根式，求字母取值范围时容易出错；三是对 “二次根式是表示算术平方根的代数式” 的本质理解不深，易与平方根概念混淆，个体差异集中在 “概念迁移” 与 “条件辨析” 能力上。
教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握的形式特征；会判断一个式子是否为二次根式，能求简单二次根式中字母的取值范围。 2.经历从实际问题抽象出二次根式的过程，通过观察、对比、辨析，提升抽象概括与逻辑推理能力。 3.发展符号意识与推理素养，体会二次根式的非负性本质，建立数学概念与实际问题的关联。 4.感受数学与生活的联系，培养严谨的思维习惯，激发对根式运算的探究兴趣。
教学重点 1.理解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式。 2.掌握二次根式有意义的条件，会求简单情况下根号内字母的取值范围。
教学难点 准确求解含分母、多重约束条件的二次根式中字母的取值范围，同时兼顾被开方数非负与分母不为零的双重要求。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景创设 学校要搭建一个正方形的展示区，计划用边长为 3 米的正方形展板拼接，拼接后总面积为 12 平方米；另外要制作一个圆形标语牌，其面积与正方形展示区相等。 提问引导: 1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？ 2.圆形标语牌的半径可以表示为π12 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？ 预设答案 1.正方形边长为12 米，它表示 12 的算术平方根，符合 “一个非负数的算术平方根” 的特征； 2.这个式子带有二次根号，根号内的是正数，所以有意义。 通过正方形展示区、圆形标语牌的实际情境提问，引导学生关联算术平方根，引出二次根式的形式特征。 结合面积公式列出表示边长、半径的式子，发现其 “含二次根号、根号内为非负数” 的特点。 衔接旧知（算术平方根），从实际问题抽象出数学概念，激发探究兴趣。
探究活动一：引入新课 球网的高AD为2.43米，AC=AB，CB为a米。你能用代数式表示AC的长吗？ 解：由题意可知：， 所以， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： .
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：二次根式的概念 我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，用表示。 根据图1-1所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的斜边长是 。 正方形的边长是 。 等腰直角三角形的腰长是 。 你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ ，，，，它们都表示某个数的算术平方形的形式. 总结归纳： 像，，，这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。 形如: 注意:根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 呈现多个含根号的式子，引导学生观察对比，提炼二次根式的定义，明确形式特征。 分组讨论式子的共同特点，归纳二次根式的定义，判断给定式子是否为二次根式。 培养抽象概括能力，让学生在辨析中深化对二次根式概念的理解。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：例题精讲 例1：求下列二次根式中字母的取值范围。 (1)； (2)； (3). 解：(1)由，得。 所以字母的取值范围是大于或等于的实数。 (2)因为无论取何值，都有，所以a的取值范围是全体实数。 (3)由，得，即。 所以字母a的取值范围是小于的实数。 例2 当时，求二次根式的值。 解：将代二次根式，得。 提出 “式子何时有意义” 的问题，引导学生结合算术平方根的非负性，推导被开方数a≥0的核心条件。 自主推导二次根式有意义的条件，求解简单二次根式中字母的取值范围。 建立新旧知识的关联，落实 “被开方数非负” 的核心要点，提升逻辑推理能力。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列式子中，是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2.二次根式中字母的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.若式子有意义，则(　　) A. B. C. D.x为任意实数 4.若式子有意义，则x的取值范围是(　　) A.x≤2 B.x≥1 C.x≥2 D.1≤x≤2 5.若代数式有意义，则x的取值范围是　 　. 6.当 =－1时，二次根式 的值是　 　. 7.(1)已知，求的立方根； (2)已知，求的平方根. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 二次根式的定义：形如的式子，其中a为被开方数，且a必须是非负数。 有意义的条件：被开方数a≥0；若含分母，需额外满足分母不为零。 本质特征：二次根式的结果具有非负性（）。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.1二次根式 一、二次根式的概念 定义： 判断方法： 二、有意义的条件:被开方数大于等于零 三、本质与应用： 本质： 应用： 例1： 例2： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.若 有意义，则m的取值的最小整数值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.＝成立的条件是(　　) A.m≥﹣1 B.m≤﹣5 C.﹣1＜m≤5 D.﹣1≤m≤5 3.如果代数式有意义，那么直角坐标系中点A(a，b)的位置在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知 ，则 的值为(　　) A. B. C. D. 5.若实数满足，则的值为　 　. 6.若整数x满足，则使为整数的的值是　 　. 能力提升： 7.若是整数，则满足条件的自然数n共有(　　)个 A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知实数a满足，那么的值是(　　) A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 9.函数中，自变量x的取值范围为　 　.当时，此函数值为　 　. 10.当　 　时，代数式有最小值，其最小值是　 　. 拓展迁移： 11.设. (1)当a有意义时，求x的取值范围； (2)若a，b，c为直角三角形ABC的三边长，试求的值. 12.已知实数x，y满足，求： (1)x与y的值； (2)的平方根.
教学反思 本节课通过实际情境有效衔接了算术平方根与二次根式的知识，多数学生能理解二次根式的概念及基本有意义条件。但存在两点不足：一是部分学生在求含分母的二次根式取值范围时，仅关注被开方数非负，忽略分母不为零的要求，需通过错题对比强化双重约束意识；二是对二次根式 “非负性” 的本质理解不够深入，后续可增加简单的非负性应用练习。课堂应多设计分层辨析题，让学生在对比中明确概念边界，同时加强小组讨论，及时解决理解误区，更好落实新课标对概念教学 “深度理解” 的要求。
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分课时学案
课题 1.1二次根式的意义 单元 一 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解二次根式的概念，掌握的形式特征；会判断一个式子是否为二次根式，能求简单二次根式中字母的取值范围。 2.经历从实际问题抽象出二次根式的过程，通过观察、对比、辨析，提升抽象概括与逻辑推理能力。 3.发展符号意识与推理素养，体会二次根式的非负性本质，建立数学概念与实际问题的关联。 4.感受数学与生活的联系，培养严谨的思维习惯，激发对根式运算的探究兴趣。
重点 1.理解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式。 2.掌握二次根式有意义的条件，会求简单情况下根号内字母的取值范围。
难点 准确求解含分母、多重约束条件的二次根式中字母的取值范围，同时兼顾被开方数非负与分母不为零的双重要求。
教学过程
导入新课 【情景创设】 学校要搭建一个正方形的展示区，计划用边长为 3 米的正方形展板拼接，拼接后总面积为 12 平方米；另外要制作一个圆形标语牌，其面积与正方形展示区相等。 提问引导: 正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？ 圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
新知讲解 探究活动一：引入新课 球网的高AD为2.43米，AC=AB,CB为a米。你能用代数式表示AC的长吗？ 探究活动二：二次根式的概念 我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，用表示。 根据图1-1所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的斜边长是 。 正方形的边长是 。 等腰直角三角形的腰长是 。 你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 总结归纳： 探究活动三：典例精讲 例1：求下列二次根式中字母的取值范围。 (1)； (2)； (3). 例2 当时，求二次根式的值。
课堂练习 巩固训练 1.下列式子中，是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2.二次根式中字母的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.若式子有意义，则(　　) A. B. C. D.x为任意实数 4.若式子有意义，则x的取值范围是(　　) A.x≤2 B.x≥1 C.x≥2 D.1≤x≤2 5.若代数式有意义，则x的取值范围是　 　. 6.当 =－1时，二次根式 的值是　 　. 7.(1)已知，求的立方根； (2)已知，求的平方根.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.若 有意义，则m的取值的最小整数值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.＝成立的条件是(　　) A.m≥﹣1 B.m≤﹣5 C.﹣1＜m≤5 D.﹣1≤m≤5 3.如果代数式有意义，那么直角坐标系中点A(a，b)的位置在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知 ，则 的值为(　　) A. B. C. D. 5.若实数满足，则的值为　 　. 6.若整数x满足，则使为整数的的值是　 　. 能力提升： 7.若是整数，则满足条件的自然数n共有(　　)个 A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知实数a满足，那么的值是(　　) A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 9.函数中，自变量x的取值范围为　 　.当时，此函数值为　 　. 10.当　 　时，代数式有最小值，其最小值是　 　. 拓展迁移： 11.设. (1)当a有意义时，求x的取值范围； (2)若a，b，c为直角三角形ABC的三边长，试求x的值. 12.已知实数x，y满足，求： (1)x与y的值； (2)x2﹣y2的平方根.
答案：
情景创设：
1.正方形边长为12 米，它表示 12 的算术平方根，符合 “一个非负数的算术平方根” 的特征；
2.这个式子带有二次根号，根号内的是正数，所以有意义。
例题精讲：
例1：解：(1)由，得。
所以字母的取值范围是大于或等于的实数。
(2)因为无论取何值，都有，所以a的取值范围是全体实数。
(3)由,得,即。
所以字母a的取值范围是小于的实数。
例2：解：将代二次根式，得。
课堂练习：
答案：1.A；2.B；3.A；4.D；5.x<2；6.2；
7. 【答案】(1)解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵27的立方根为3，
∴的立方根为3；
(2)解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵16的平方根为±4，
∴的平方根为±4.
作业设计：
答案：1.D；2.C；3.A；4.A；5.5；6.-2或3；7.D；8.C；9. ；；10. ，0.
11. 【答案】(1)解：8- x≥0，∴x≤8
(2)解：若a是斜边，则有()2=22 +()2，
8-x=10，解得x=-2.
若a为直角边，则有( )2+22=( )2，
∴8-x+4=6，解得x=6.
∵x都满足x≤8，∴x的值为-2或6.
12. 【答案】(1)解：∵x-13≥0，13-x≥0，
∴x=13，
∴y=0+5=5；
(2)解：∵x2﹣y2=132-52=144，
∴x2﹣y2的平方根是±12.
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