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19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定（1）
2. 平行四边形的判定
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学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.掌握平行四边形的判定定理1
2.利用判定方法解决相关几何问题
二、新课导入
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小戴问：怎么确定这四边形就是平行四边形呢
三、自主学习
想一想：如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
B
A
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
三、自主学习
证一证：
已知：四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
∵AB//CD
∴△ABC≌△BCA(SAS)
AB=CD (已知)
AC=CA (公共边)
∠1=∠2
∴∠ACB=∠CAD
∴AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠2.
在△ABC和△BCA中，
D
A
B
C
1
2
(内错角相等，两直线平行)
(平行四边形的定义)
三、自主学行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
得出结论：
B
D
C
A
∵AB=CD，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
四、合作探究
探究一 平行四边形的判定的运用
问题提出：如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
问题探究：根据已给条件利用 判定方法求出△ABC≌ ，从而推出AB=DE.
∠B与∠DEF是同位角，根据同位角相等，两直线平行得出 ，
利用一组对边 可推出四边形ABED为平行四边形.
△DEF
AB//DE
平行且相等
SAS
四、合作探究
探究一 平行四边形的判定的运用
问题解决：
证明：∵BE=CF，
即BC=EF，
又∵∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴BE+EC=CF+EC，
∴AB=DE，
1．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC．
求证：四边形ADCE是平行四边形.
四、合作探究
练一练
证明：∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ECA，
在△DAF和△ECF中，
∠DAF=∠ECF
∠AFD＝∠CFE
FA=FC
∴△DAF≌△ECF（ASA），
∴CE=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵CE∥AB，
四、合作探究
探究二 平行四边形的判定与性质的运用
问题提出：如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，求PD+PE+PF的值.
问题探究：已知线段平行，可构造平行四边形，故延长FP交BC于点H，延长EP交AB于点G，根据平行四边形的定义( 是平行四边形)可证四边形BDPG、PHCE是平行四边形.利用平行四边形对边 的性质及等边三角形每个角 ，每条边 的性质可证PD+PE+PF=BC，
根据等边△ABC的周长，可求出 的长，即PD+PE+PF的值.
两组对边分别平行的四边形
G
H
平行且相等
都为60°
相等
BC
四、合作探究
问题解决：
探究二 平行四边形的判定与性质的运用
解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC
可得四边形PGBD，EPHC是平行四边形
∴PG=BD，PE=HC，PG∥BD
∴∠AGE=∠B
又∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠A=60°
又∵PF∥AC
∴∠AGE=∠GFP=60°
∴△PFG是等边三角形
∴PF=PG=BD
同理可得：PD=DH
又∵等边△ABC的周长为24
∴BC=24÷3=8
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=8
G
H
∴∠GFP=∠A=60°
2．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F，连结BF．已知AD=6，求AF的值.
四、合作探究
练一练
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC=6，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∠ABE=∠ECF
∠AEB＝∠FEC
BE=CE
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
∴AB=CF，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABFC为平行四边形．
∴AF=BC=6
五、当堂检测
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　　）
A.AB∥CD B.∠B=∠D C.AD=BC D.AB=CD
D
五、当堂检测
2.如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB=CD,AD∥BC，AD=BC
∴∠BEA=∠FAE
∵AE是∠DAB的角平分线
∴∠BAE=∠BEA
同理可得：DF=CD
又∵AB=CD，AD=BC，AD=AF+DF，BC=BE+EC
∴AF=EC
∴四边形EBFD是平行四边形
∴∠BAE=∠FAE
又∵AD∥BC
∴AB=BE
五、当堂检测
3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠BAC=∠DCA．若AC=4，CD=5，AC⊥BC，求BD的长．
解：∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形
∴AE=EC= AC=2，2BE=BD，AB=CD=5
AC⊥BC，有AB2=BC2+AC2
即52=BC2+42
∴BC=3
同理：BE2=BC2+CE2=32+22
∴BE=
∴BD=
六、课堂总结
平行四边形判定方法：
(1)定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理1的几何语言：
B
D
C
A

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