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19.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的判定（2）
2. 平行四边形的判定
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学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.掌握平行四边形的判定定理2、3
2.利用判定定理2、3解决相关几何问题
二、新课导入
有一块平行四边形的玻璃块，假如不小心碰碎了一部分，聪明的师傅拿着细绳很快能将原来的平行四边形画出来，你知道他用的是什么方法吗？
三、自主学习
问题1：平行四边形对边、对角和对角线性质分别是什么呢？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形对角线互相平分.
问题2：平行四边形对边、对角和对角线性质的逆命题分别是什么？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思考：我们得到的这些逆命题是否都成立呢？
三、自主学习
证一证：
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：连接AC，
1
4
2
3
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS)
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
参照证明的方法，动手证一证另外两个命题吧！
三、自主学行四边形的判定定理3：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
通过证明，发现后面两个逆命题都成立.因此有，
由上面可知，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.
也就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立.
平行四边形的判定方法：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
三、自主学习
问题3：我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
四、合作探究
探究 平行四边形的判定的运用
问题提出：如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
问题探究：
利用平行四边形的性质( )可得：OB=OD，OA=OC，
结合条件AE=CF根据判定定律( )可证四边形BFDE是平行四边形.
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形
四、合作探究
探究 平行四边形的判定的运用
问题解决：
证明：∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵AE=CF，OA=AE+OE，OC=CF+OF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
四、合作探究
探究 平行四边形的判定的运用
证明：∵ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∴∠DAE=∠BCF
在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠DAE=∠BCF，AD=BC
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴DE=BC
同理△BAE≌△DCF可得BE=DC
∴四边形BFDE是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
思考：你还有其它证明方法吗？写出过程.
注意：在判定一个四边形是平行四边形时，要结合条件灵活选择方法．
四、合作探究
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且BE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
练一练
证明：∵AD∥BC，BD⊥AD
∴∠DBC=∠BDA=90°
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE=BF
∴AB=2BE=2CF=CD
∵在△ADB和△CBD中,∠DBC=∠BDA=90°，AB=CD,BD=DB
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL）
∴AD=BC
∴四边形BFDE是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
五、当堂检测
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( )
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ( )
×
×
√
×
√
A
B
C
分析：方法1：根据两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形确定点D；
D
方法2：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形确定点D.
O
D
2.昨天李明不小心碰碎了实验室里一块平行四边形形状的玻璃,只剩下如图所示部分.于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来,然后带上图纸去玻璃店买一块，可原来的平行四边形怎么补完全呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？
五、当堂检测
解：如图所示：
五、当堂检测
3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，OE=OF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AO=CO，OE=OF，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（SAS）
∴∠OAE=∠OCF
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠EDO=∠FBO
又∵OE=OF，∠EOD=∠FOB
∴△EOD≌△FOB（AAS）
又∵AO=CO
∴四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD
五、当堂检测
4.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF.
证明：连接DE，FB
∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵E、F分别是OA、OC的中点
∴2OE=OA，2OF=OC
又∵OB=OD
∴四边形DEBF是平行四边形
∴BE=DF
∴OE=OF
六、课堂总结
平行四边形的判定
两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

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