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2. 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
19.2 平行四边形
学习导航
学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.掌握平行线等分线段定理及相关结论
2.了解三角形的中位线的概念并掌握三角形中位线定理
3.能运用三角形的中位线定理解决有关问题
二、新课导入
如图，有一块三明治，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
三、自主学习
已知，直线l1、l2、l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C和点A1、B1、C1，且AB=BC.求证：A1B1=B1C1.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
证明：
过点B1作EF∥ AC，
分别交直线l1、l3于点E、F.
∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形
∴ AB=EB1，
∵ AB=BC
∴ EB1=B1F
∵ l1∥ l3
∴ △A1B1E≌△C1B1F
∴ A1B1=B1C1
∴ ∠A1EB1=∠C1FB1
在△A1B1E和△C1B1F中
∵
∠A1B1E=∠C1FB1
EB1=FB1
∠A1EB1=∠B1FC1
(ASA)
BC=B1F
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
三、自主学习
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
由此得到如下结论：
那么在其他直线上截得的线段也相等.
平行线等分线段定理推论：
经过三角形一边中点
如果一组平行线
在一条直线上
截得的线段相等，
平行线等分线段定理
与另一边平行的直线
必平分第三边.
三、自主学习
三、自主学习
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条.
如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2：画出△ABC中的中线，说出三角形的中位线与中线的区别.
定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
三、自主学习
问题3：如图，DE是△ABC的中位线，与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
2DE=BC
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
能否证明这个猜想？
三、自主学习
证一证：
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：DE∥BC，DE= BC
D
E
F
证明：
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF AD ,
∴CF BD ,
又∵ ，
∴ DE∥BC， ．
三、自主学习
得出结论：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
1.三角形中位线定理：
2.符号语言：
D
E
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE= BC．
四、合作探究
探究 三角形中位线定理的运用
问题提出1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
问题探究：
题中已知三个中点，可以联想到运用 的性质解题.由中位线的性质可知PM=PN，
中位线
再利用平行线两直线平行，同旁内角 的性质可求出∠MPN的度数.
互补
最后根据 的性质即可求出∠PMN的度数.
等腰三角形
四、合作探究
问题解决：
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠NPD+∠BDC=180°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+110°=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，


∵∠BDC=70°
∴∠NPD=110°
探究 三角形中位线定理的运用
四、合作探究
问题提出2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．BE的延长线与AC边相交于点D，求证：2EF=AC-AB.
问题探究：
已知AE平分∠BAC，BE⊥AE可推出AB AD，结合BE⊥AE，通过等腰三角形的
性质可得BE=DE，点F是BC的中点，三角形中位线定理可得出DC= ，通过线段等量关系可证明2EF=AC-AB.
三线合一
2EF
=
探究 三角形中位线定理的运用
四、合作探究
问题解决：
证明：∵AE⊥BD
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°
∵AE平分∠BAC
∴∠ABE=∠ADE
∵AE⊥BD
∵BF=FC
∴∠AED=∠AEB=90°
∴∠BAE=∠DAE
∴AB=AD
∴BE=DE
∴2EF=DC=AC-AD=AC-AB
探究 三角形中位线定理的运用
△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
证明：连接DE，FG
∵BD，CE是△ABC的中线
∴D，E是AB，AC的中点
∴DE∥BC，DE= BC
∴DE∥FG，DE=FG
∴四边形DEFG是平行四边形
同理：DE∥BC，DE= BC
∴EF∥DG，EF=DG
四、合作探究
练一练
1. 如图，如果AD= AC，AE= AB，DE=2cm，
那么BC= cm.
A
B
D
C
E
H
G
8
五、当堂检测
五、当堂检测
2.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）若DE=5，则BC= ．
（2）若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3）若DE+BC=12，则BC= ．
10
65
8
3.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F．求证：DE=CF.
证明：∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE∥BC
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE=CF．
五、当堂检测
4.如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若EF=3，BC=18，求线段AB的长.
解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE= BC=9
∴∠DFB=∠FBC，DF=DE-EF=9-3=6
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠FBC
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF=6
∵点D为边AB的中点
∴AB=2DB=12
五、当堂检测
六、课堂总结
三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
三角形的中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
定 义
平行线等分线段
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边
推论
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
定理

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