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1.矩形
第1课时 矩形的性质
19.3 矩形、菱形、正方形
学习导航
学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.了解矩形的概念,掌握矩形的性质及推论,并能给出证明(重点)
2.能熟练应用矩形的性质及推论进行有关证明和计算
二、新课导入
观察下列各图，思考：
它们是平行四边形吗？它们都有些什么特征？
三、自主学习
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
A
B
D
C
A
B
D
C
一个角为直角
平行四边形
矩形
注意：矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
三、自主学习
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
（小提示：可以从边，角，对角线等方面来考虑.）
活动1：任意度量身边一矩形物体的每个角的度数，如数学书本、课桌等.并说一说你的发现.
每个角的度数都为90°
三、自主学习
活动2：拿出一张白纸，分别画出它的两条对角线，再分别量出两条对角线的长度,并说一说你的发现.
两条对角线的长度相等
根据上面的两个活动，说一说你的猜想.
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
你能证明吗？
三、自主学习
证明猜想：
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
请同学们试一试证明猜想1吧！
三、自主学习
归纳总结
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
三、自主学习
思考：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
A
B
C
D
O
三、自主学习
活动：准备一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
说一说BO与斜边AC的关系.
A
B
C
D
O
O
A
B
C
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
你能证明吗？
BO= AC
三、自主学习
证明猜想：
A
B
C
D
O
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：BO= AC.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,
又 BO= BD，
∴BO= AC
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
四、合作探究
探究一 关于矩形性质的应用
问题提出：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
问题探究：连接DE，证明△DFE≌ ，推出DF=DC
根据矩形ABCD,DF⊥AE,可推出∠DFE= ，
公共边 ，
一角一边用AAS方法求证△DFE≌△DCE，那么还需通过矩形ABCD的 性质推出 .
对边平行
△DCE
∠DCE
∠ADE=∠DEC
DE
四、合作探究
探究一 关于矩形性质的应用
问题提出：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
问题探究：连接DE，发现DF、DC分别是△DEF、△DCE的一边，从而可证明△DFE≌△DCE，推出DF=DC
矩形的 性质可知：∠ADE=∠DEC，
AE=AD，则∠AED= ，推出∠AED=∠DEC.
矩形ABCD,DF⊥AE,可推出∠DFE= ，
从而可证明△DFE≌△DCE( )
对边平行
∠ADE
∠DCE
AAS
四、合作探究
探究一 关于矩形性质的应用
问题提出：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
问题解决：
证明：∵矩形ABCD
∴∠DCE=90°，AD∥BC
∴∠ADE=∠DEC
∵AE=AD
∴∠ADE=∠AED
∴∠ADE=∠DEC
又∵DF⊥AE
∴∠DFE=90°
∴∠DFE=∠DCE
∵∠ADE=∠DEC，∠DFE=∠DCE，DE=DE
∴△DFE≌△DCE
∴DF=DC
四、合作探究
练一练
1.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形沿AC折叠，使点B与点E重合，AD与EC相交于点F．求证：EF=DF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°
由题意知：AE=AB，∠E=∠B
∴CD=AE，∠D=∠E
在△AFE和△CFD中，
∠D=∠E
CD=AE
∠AFE=∠DFC
∴△AEF≌△CDF（AAS）
∴EF=DF
四、合作探究
探究二 关于矩形性质推论的应用
问题提出：如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，求四边形ABPE的周长.
问题探究：
根据矩形 的性质，得出
∠ABC=90°，CD=AB,BC=AD，
四个角都是直角，对边相等
△ABC是直角三角形，知AB、BC的长度，那么可用 求到AC.
勾股定理
结合题目根据矩形性质的推论得出BP，再由三角形 定理得出PE，从而可计算出四边形ABPE的周长.
中位线
四、合作探究
问题解决：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴AC=
∴BP= AC=5，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴AE= AD=4，PE是△ACD的中位线，
∴PE= CD=3，
∴四边形ABPE的周长=
AB+BP+PE+AE
=6+5+3+4
=18.
=10，
探究二 关于矩形性质推论的应用
四、合作探究
练一练
2.如图，在△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，求BC的长.
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∵点E为AC的中点，
∴DE=EC= AB=7.5
∵△CDE的周长为21，
∴CD=21-7.5-7.5=6，
∴BC=2CD=12
五、当堂检测
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD=3，CE=5，则CD等于（　　）
A.3 B.4 C. D.
C
五、当堂检测
2.如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE=BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵E为CD边上的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．
五、当堂检测
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，
∴OA=OB
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，且∠BAD=∠DAE+∠BAE
∴△OAB是等腰三角形
∴∠AB0=∠BAO
∴∠BAE=22.5°
OA=OC= AC,
OB=OD= BD
∠BAD=90°
∵AE⊥BD
∴∠BAE+∠ABE=90°
∴∠ABE=67.5°
即∠BAO=67.5°
∴∠EAO=∠BAO-∠BAE=45°
六、课堂总结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形

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