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(共20张PPT)
1.矩形
第2课时 矩形的判定
19.3 矩形、菱形、正方形
学习导航
学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.理解并掌握矩形的判定方法
2.能应用矩形定义、判定等知识解决相关问题
二、新课导入
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
三、自主学习
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1：除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
矩形是特殊的平行四边形，类似的，我们也可以参照之前研究平行四边形判定定理的方法来研究矩形的判定方法.
三、自主学习
问题2：你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
性 质
猜 想
判定定理
逆命题
证明
问题3：同样，上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”的性质，反过来，猜想对角线相等的平行四边形是矩形，你觉得对吗？你能证明这一猜想吗？
三、自主学习
证一证：已知：如图,在□ABCD中，AC、BD是它的两条对角线, AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
证明：在□ABCD中，AB=DC，BC=CB
∴△ABC≌△DCB. (SSS)
∴∠ABC=∠DCB
∴∠ABC +∠DCB =180°
∴∠ABC=90°
∴ □ABCD是矩形
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
又AC=BD
∵AB∥CD
几何语言描述：
在□ABCD中，∵AC=BD
∴□ABCD是矩形.
三、自主学习
问题4：上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题5：至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜想：三个角是直角的四边形是矩形.
三、自主学习
证一证：已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理2：
三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
四、合作探究
如图，AC是□ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE.
问题提出：（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
问题探究：根据□ABCD的对边 性质可知：AB=CD，AB∥CD，结合题目条件可推出四边形ACDE的AE与CD ，从而推出四边形ACDE是平行四边形.
平行且相等
平行且相等
问题解决：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD
∵AE=AB
∴AE=CD，且AB∥CD
∴四边形ACDE是平行四边形
探究一 矩形判定的证明
四、合作探究
探究一 矩形判定的证明
如图，AC是□ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE.
问题提出：（2）连接EC交AD于点O，若∠EOD=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．
问题探究：根据□ACDE的对角线 性质可知：OA=OD，OE=OC
在□ABCD中∠B= ，结合三角形外角定理推出OC=OD，根据矩形判定定理( )出□ACDE是矩形.
互相平分
∠ADC
对角线相等的平行四边形是矩形
四、合作探究
问题解决：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，
∵∠EOD=2∠B
∴∠EOD=2∠ADC，且∠EOD=∠ADC+∠OCD
∴∠ADC=∠OCD
∵四边形ACDE是平行四边形
∴AO=DO，EO=CO，且OC=OD
∴AD=CE
∴四边形ACDE是矩形
∴OC=OD
探究一 矩形判定的证明
四、合作探究
练一练
1.如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，AD=BD．
∵在□ DBCE中，EC∥BD，EC=BD，
∴EC∥AD，EC=AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
四、合作探究
探究二 矩形判定定理的运用
问题提出：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．连接DE，交AB于点O，若BC=8，AO=2.5,求 的值.
问题探究：
两对边分别平行可得：□AEBD，等腰△ACB中底边的中线可知： ，得出□AEBD是 ，其性质(对角线 )结合题目已知边长长度可推出 的值.
AD⊥BC
矩形
相等且平分
四、合作探究
问题解决：
解：∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC．
∴四边形ADBE为矩形．
∴2AO=AB，AB=DE
∵D是BC的中点，BC=8，
∴AE=DB=4，
即∠ADB=90°．
∴AB=5．
探究二 矩形判定定理的运用
四、合作探究
练一练
2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，（对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
　
A　
B　
C　
D　
O
五、当堂检测
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
五、当堂检测
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
五、当堂检测
3.如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，则求四边形ABCD的面积.
解∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AD=3，AB=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD AB=2×3=6.
六、课堂总结
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行证明
矩形
定义
判定定理

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