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3.菱形
第2课时 菱形的判定
19.3　矩形、菱形、正方形
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学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
一、学习目标
二、新课导入
怎样判定一个四边形是菱形？
矩形 菱形
定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形的性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直
判定
有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角是直角的四边形
四条边相等
复习引入
三、自主学习
知识点一：用定义判定菱形
思考：我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
定义法
A
B
C
D
还有什么方法吗
∵在平行四边形ABCD中，AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
三、自主学习
知识点二：四边都相等的四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理1：
四边形ABCD
A
B
C
D
三、自主学习
知识点三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴□ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理2：
活动1：如图,在△ABC中, AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.
探究一：菱形的判定定理1
四、合作探究
证明：∵AD是角平分线,∴∠1=∠2，
又∵AE=AC，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
点拨：直接由SAS得出△ACD≌△AED，进而得出CD=ED，同理得到CF=EF，由EF=ED得CD=ED=CF=EF，由此判定四边形CDEF是菱形.
2
A
C
B
E
D
F
1
∴CD=ED，CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
总结：
菱形的判定：
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
定理1：四边相等的四边形是菱形.
四、合作探究
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
练一练
四、合作探究
分析：先证明四边形OCED是平行四边形，然后由矩形的性质可知OC=OD，据此判定四边形OCED是菱形.
A
B
C
D
O
E
活动2：如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
探究二：菱形的判定定理2
四、合作探究
点拨：根据已知条件可先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形.
想一想：你还有其他的证明方法吗？
四、合作探究
提示：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形.
总结：
菱形的判定
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
四、合作探究
练一练
四、合作探究
B
分析：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形.
2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
提示：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
√
1.判断下列命题是否正确.
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形.
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形.
√
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
五、当堂检测
分析：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
×
×
(4)一组邻边相等的平行四边形是形是菱形.
五、当堂检测
分析：(3)判定四边形是菱形的方法有定义法和判定定理，四条边都相等的四边形和对角线互相垂直的平行四边形.
1.判断下列命题是否正确.
(3)邻角相等的四边形是菱形.
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形.
五、当堂检测
20
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD=6，AC=8，则四边形ABCD的周长为 ，面积为 .
分析：首先由AC与BD互相垂直且平分证得四边形ABCD是菱形，又由BD=6，AC=8，求菱形的周长和面积.
解：∵AC与BD互相垂直且平分，
∴AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵BD=6，AC=8，
∴OA= AC=4，OD= BD=3，
由勾股定理得，
∴菱形ABCD的周长为20，面积为
24
五、当堂检测
∴∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，
∴平行四边形AEDF是菱形.
3.如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.
分析：先证明四边形AEDF是平行四边形，再由邻边相等判定四边形AEDF是菱形.
证明: ∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
又∵AE∥FD，
菱形的判定方法：
六、课堂总结
一组邻边相等
对角线互相垂直
四边相等
四种判定方法
四边形
平行四边形
菱形

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