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(共35张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
3.正方形
学习导航
学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.探索并证明正方形的性质和判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；(重点)
2.会运用正方形的性质和判定条件进行有关的论证和计算. (难点)
一、学习目标
二、新课导入
新知引入
平行
四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行
四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
邻边相等
二、新课导入
新知引入
问题1:菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
正方形
二、新课导入
新知引入
问题2:矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
矩 形
〃
〃
正方形
三、自主学习
知识点一：正方形的定义
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
三、自主学习
知识点二：正方形的性质
性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=AD.
三、自主学习
知识点二：正方形的性质
性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
A
B
C
D
O
三、自主学习
归纳总结
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四条边相等，四个角都是直角.
2.正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
问题提出：如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
探究一：利用正方形的性质进行证明
四、合作探究
问题探究：∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
A
D
C
B
O
问题解决：∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
总结：
正方形的性质：
性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角.
性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
四、合作探究
1.如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC，试判断△EFG的形状，并说明理由.
练一练
四、合作探究
解：△EFG是等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠B=90°
∵AE=FB=GC，
∴AF=BG，
∴△AEF≌△BFG(SAS)
∴∠AEF=∠BFG，EF=FG，
∵∠AEF＋∠AFE=90°，
∴∠BFG＋∠AFE = 90°，
∴∠EFG=90°
∴△EFG的等腰直角三角形.
问题提出：点E是正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
探究二：利用正方形的性质进行计算
四、合作探究
问题探究：∵E是正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
∴∠ADC=90°，∠EDC=60°，AD=CD=ED，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=30°，
问题解决：∠EAD=∠AED= .
练一练
四、合作探究
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠DCB=∠DCE=90°，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ACB是△ACE的外角，
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，求∠AFC的度数.
∵∠AFC是△CFE的外角，
∴∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22.5°=112.5°
∴∠E= ，
提示：根据正方形的性质和三角形的外角和定理先求∠E，再求∠AFC.
二、新课导入
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
二、新课导入
正方形
菱形
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
三、自主学习
知识点：正方形的判定
A
B
C
D
O
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形.
结论：对角线互相垂直的矩形是正方形.
三、自主学习
知识点：正方形的判定
A
B
C
D
O
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
结论：对角线相等的菱形是正方形.
三、自主学习
归纳总结
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一个角是直角
问题提出：在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗？为什么？
探究：正方形的判定
四、合作探究
问题探究：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
问题解决：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
四、合作探究
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
探究：正方形的判定
总结：
正方形的判定：
四、合作探究
定义法:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
矩形法:一组邻边相等的矩形(或对角线互相垂直的矩形)是正方形.
菱形法:一个角是直角的菱形(或对角线相等的菱形)是正方形.
1.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，
（1）判断四边形OCED是什么特殊四边形，证明你的结论.
练一练
四、合作探究
分析：先证得四边形OCED是平行四边形，再结合矩形的性质得OC=OD，由此可得四边形OCED是菱形.
解：（1）四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形.
（2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由.
练一练
四、合作探究
分析：由正方形的性质和判定作答此题.
（2）当AB=AD时，四边形OCED是正方形.
理由：∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，即OC⊥OD，
∴菱形ABCD是正方形.
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
五、当堂检测
分析：A、对角线互相平分是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质，D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质.
五、当堂检测
解：∵四边形ABCD是正方形，
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 .
∴AO=BO= AC=1cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得，AB= cm，
∴S正方形ABCD= =2 cm .
2 cm
温馨提示：正方形是特殊的菱形，已知正方形的对角线求面积，可利用菱形的面积公式即对角线乘积的一半计算.
五、当堂检测
3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（1）求证：BE=CF；
分析：由角平分线的性质可得BE=EF，再根据正方形的性质发现EF=CF，由此BE=CF.
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，AB=BC=1cm.
∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC,
∴BE=EF，∠EFA=∠EFC=90°.
又∵∠ECF=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF=FC.
∴BE=FC；
五、当堂检测
分析：由（1）得BE=CF=AC-AF，根据勾股定理求得对角线AC的长即可计算BE的长.
（2）求BE的长．
解：由（1）得BE=FE，又AE=AE
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AB=AF=1cm，
在Rt△ABC中，
∴BE=CF=AC-AF=
C
4.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠DAB=∠BCD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
五、当堂检测
分析：∵AO=BO=CO=DO，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
五、当堂检测
解：∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形.
5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
温馨提示：邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
五、当堂检测
6.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分∠ABC , P是BD上一点,过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.
（1）求证：∠ADB=∠CDB;
分析：根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌CBD，从而得到∠ADB=∠CDB.
证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB=CB，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB；
C
A
B
D
P
M
N
五、当堂检测
分析：若∠ADC=90°，则四边形MPND是矩形，再根据一组邻边相等可证明矩形MPND是正方形.
（2）若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形.
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°，
在Rt△PMD中，∠MPD=∠MDP=45°，
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
六、课堂总结
正方形的定义
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
正方形的性质
性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角.
性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
六、课堂总结
正方形的判定
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.

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