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课后限时练5　等差数列、等比数列
1．(2025·湖北黄冈模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4＝5，a8＝9，则S11＝(　　)
A．88 B．77 C．66 D．55
2．(2025·安徽安庆二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4＝(　　)
A．33　　　 B．31　　　 C．17　　　 D．15
3．(2025·天津高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　)
A．48 B．112 C．80 D．144
4．[高考真题改编]将数列{2n－1}与数列{3n－2}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝(　　)
A． B． C． D．
5．(多选)[教材母题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
B．若{an}为等差数列，则}为等比数列
C．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列
D．若a1＝1，a2＝2，3an＋1＝an＋2an＋2(n∈N*)，则{an＋1－an}为等比数列
6．甲、乙两个机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过________分钟．
7．(2024·山西晋中三模)下面给出一个“三角形数阵”：
　
1 2
3　6
2 4　8　16
…
该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100＝________．
8．(2025·广东开学考试)在数列{an}中，a1＝＝＋2n＋1．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．
课后限时练5
1．B　[由等差数列的性质可得：a1＋a11＝a4＋a8＝5＋9＝14，
则由等差数列前n项和公式可得S11＝＝77．
故选B．]
2．D　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由已知得a2a5＝a3a4，则a3a4＝2a4，所以a3＝2，因为a3与2a6的等差中项为，
所以a3＋2a6＝2×，则a6＝，故q＝，所以a1＝＝8，
故S4＝＝15．
故选D．]
3．C　[当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以|an|＝所以{|an|}的前12项和为＝80．
故选C．]
4．A　[数列{2n－1}是以1为首项的奇数列，即1，3，5，7，9，11，13，…，
数列{3n－2}是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即1，4，7，10，13，16，19，…，
故数列{2n－1}与{3n－2}的公共项所构成的新数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，即an＝6n－5，
所以
＝
＝．
故选A．]
5．BCD　[对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误；
对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则＝2d>0，且≠0，
所以数列{}为等比数列，故B正确；
对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，
an＝Sn－Sn-1＝3n－1－(3n-1－1)＝3n－3n-1＝2·3n-1(n≥2)，
a1＝2满足an＝2·3n-1，于是an＝2·3n-1(n∈N*)，
则＝3，且a1＝2≠0，所以数列{an}为等比数列，故C正确；
对于D，因为3an+1＝an＋2an+2，
所以2(an+2－an+1)－(an+1－an)＝0，即，
而a1＝1，a2＝2，a2－a1≠0，
因此数列{an+1－an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．
故选BCD．]
6.15　[由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．
乙每分钟走的路程为5 m，
因为第1次相遇甲、乙共走70 m，第2次相遇甲、乙共走了210 m，第二次相遇经过的时间设为t分钟，
则＋5t＝210，
所以t＝15(负值舍去)．]
7.1 792　[由1＋2＋…＋13＝＝91<100，1＋2＋…＋14＝＝105>100，100－91＝9，知a100是第14行的第9个数．
而每一行的第一个数构成首项和公差均为的等差数列，从而第14行的第一个数是＝7．
又因为从第3行起，每一行的数由左至右成公比为2的等比数列，故第14行的第9个数等于7×29-1＝7×256＝1 792．]
8．解：(1)证明：因为＋2n＋1，
所以－2n＋1，
所以＝1．
因为a1＝－2＝1，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列．
(2)由(1)得－2n＝1＋(n－1)×1＝n，则＝2n＋n，故an＝．
(3)由(2)可得bn＝＝2n＋n，
则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝
＝2n+1＋n－2．
1/2课时5　等差数列、等比数列
[备考指南]　主要以选择题、填空题的形式考查等差、等比数列的基本运算及性质的应用；对等差、等比数列的判定与证明常以解答题的形式考查，难度中等或偏下．备考中注意函数与方程思想、分类讨论思想的应用．
命题点1　等差(比)数列的基本运算
【典例1】　(1)(2025·豫湘名校联考)在等比数列{an}中，记其前n项和为Sn，已知a3＝－a2＋2a1，则的值为(　　)
A．2 B．17
C．2或8 D．2或17
(2)(2025·浙江金华二模)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，满足S3＝5，S12＝32，则a8的值为________．
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4．
①证明：a1＝b1；
②求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　等差(比)数列基本运算的解题途径
(1)设基本量a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
提醒：对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1和q≠1的情况，公式Sn＝只适用于q≠1的情况．
1．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
2．(多选)(2025·广东茂名二模)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　)
A．数列{an}的公差为2
B．Sn取最小值时，n＝6
C．S4＝S7　
D．数列{|an|}的前10项和为50
命题点2　等差(比)数列的性质
【典例2】　(1)(2025·湖北八市州二模)在正项等比数列{an}中，a3，a7是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则＝(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
(2)(2025·湖北荆州模拟)已知Sn与Tn分别是等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和，且＝，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　等差、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系．抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质．数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如增减性、周期性等，可利用函数的性质解题．
1．[高考真题改编]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A．81 B．71 C．61 D．51
2．(多选)(2025·湖北随州模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 023a2 024>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A．S2 023B．a2 023a2 025－1<0
C．T2 024是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
3．已知数列是等比数列，且＝4．设bn＝log2an，数列的前n项和为Sn，则S7＝________．
4．[高考真题改编]已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝________．
命题点3　等差(比)数列的判定与证明
【典例3】　已知在数列中，a1＝1，an＋an＋1＝．
(1)令bn＝3n-1an－，证明：数列是等比数列；
(2)设Sn＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an，证明：数列是等差数列．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　判定等差(比)数列的主要方法
(1)定义法：对于任意n≥1，n∈N*，验证an＋1－an为与正整数n无关的一个常数；
(2)中项公式法．
提醒：＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判定一个数列是等比数列时，要注意各项不为0．
(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9，S6成等差数列，则(　　)
A．a2，a5，a8成等比数列
B．a2，a8，a5成等差数列
C．S2，S5，S8成等比数列
D．S2，S8，S5成等差数列
课时5　等差数列、等比数列
典例1　(1)D　(2)3　[(1)由等比数列的通项公式可得a1q2＝－a1q＋2a1，
整理得q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2．
当q＝1时，＝2；
当q＝－2时，＝q4＋1＝17．
所以的值为2或17．
故选D．
(2)设等差数列{an}的公差为d，
则
化简可得
所以a8＝a1＋7d＝3．]
(3)解：①证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1．
由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，
故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证．
②由①知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知b1·2k-1＝a1＋(m－1)·d＋a1，
即b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m，因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9．
考教衔接
1．AD　[根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，故A正确．
a5＝a3q2＝1×，故B错误．
因为a1＝＝4，所以S5＝，故C错误．
an＝a1qn-1＝4×＝23-n，Sn＝＝8－23-n，所以an＋Sn＝8，故D正确．故选AD．]
2．AD　[对A，设等差数列{an}的公差为d，则由题意知
解得故A正确；
对B，an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，
则当n＝5时，Sn取得最小值－25，故B错误；
对C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误；
对D，数列{|an|}的前10项和为|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝50，故D正确．故选AD．]
典例2　(1)B　(2)C　[(1)因为a3，a7是方程x2－10x＋16＝0的两个根，
所以a3a7＝＝16，
因为在等比数列{an}中，a2a8＝＝a3a7＝16，
且{an}是正项等比数列，所以a5＝4，
所以＝4．故选B．
(2)由等差数列的性质可知b6＋b2 020＝b4＋b2 022＝b1＋b2 025，
所以＝3．故选C．]
考教衔接
1．C　[由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，
所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1，
则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27，
S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81，
所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61．
故选C．]
2．AB　[对于A，由<0可得，(a2 023－1)(a2 024－1)<0，(*)
由a2 023a2 024＝q>1可得q>0．
当q≥1时，因为a1>1，则a2 023>1，a2 024>1，则(*)式不成立；
所以01，0对于B，因为a2 023a2 025－1＝－1<0，故B正确；
对于C，D，由上分析a2 023>1，0则T2 023是数列{Tn}中的最大值，故C错误，D错误．
故选AB．]
3．　[因为数列为等比数列，a2＝4，所以a4＝．又因为bn＝log2an，所以bn+1－bn＝log2an+1－log2an＝log2＝log2q(为常数)，所以数列为等差数列，所以S7＝．]
4．　[因为等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，故可设
Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(n－1)，k≠0，
所以．]
典例3　证明：(1)易知
＝＝－3，
又b1＝a1－≠0，
所以数列为首项，－3为公比的等比数列．
(2)法一：由Sn＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an，
得Sn-1＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-2an-1，n≥2，
以上两式相减得Sn－Sn-1＝3n-1an，
所以4Sn－3nan－
＝4－3nan＋3n-1an-1
＝4·3n-1an－3nan＋3n-1an-1
＝3n-1＝3n-1·＝1，
又4S1－31a1＝1，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
法二：由(1)知bn＝3n-1an－×(－3)n-1，所以3n-1an＝×(－3)n-1＋，
所以Sn＝
＝[1－(－3)n]，
即4Sn＝n＋×(－3)n，
又3nan＝－×(－3)n＋，所以4Sn－3nan＝n，
所以n≥2时，4Sn－3nan－(4Sn-1－3n-1an-1)＝1，
又4S1－31a1＝1，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
考教衔接
　ABD　[对于A，因为数列{an}为等比数列，可设首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，
则＝q3，所以a2，a5，a8成等比数列，故A正确；
对于B，若等比数列的公比q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，根据S3，S9，S6成等差数列，则2S9＝S3＋S6，即18a1＝3a1＋6a1 a1＝0，这与a1≠0矛盾，故q＝1不成立；
当q≠1时，由2S9＝S3＋S6 2× 2q9＝q3＋q6．
所以2q6＝1＋q3，两边同乘a1q得2a1q7＝a1q＋a1q4，即2a8＝a2＋a5，
所以a2，a8，a5成等差数列，故B正确；
对于C，若S2，S5，S8成等比数列，则＝S2·S8，
因为q≠1，所以
＝·，
又a1≠0，所以(1－q5)2＝(1－q2)·(1－q8) 2q5＝q2＋q8，
所以2q3＝1＋q6 (q3－1)2＝0，所以q＝1，这与q≠1矛盾，
故S2，S5，S8不可能成等比数列，故C错误；
对于D，因为q≠1，2q6＝1＋q3，
两边同乘q2，得2q8＝q2＋q5，
可得2×
＝，
即2S8＝S2＋S5，所以S2，S8，S5成等差数列，故D正确．故选ABD．]
1/6(共76张PPT)
专题二　数列
提纲挈领——重构知识体系 整合必备知识
融会贯通——重视审题答题 升华学生思维
阅卷案例 四字解题
(2025·全国一卷T16，15分)已知数列{an}中，a1＝3，＝． (1)证明：数列{nan}是等差数列； (2)给定正整数m，设函数 f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f ′(－2)． 读 (1)＝＋； (2)证明：数列{nan}是等差数列 f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求
f ′(－2)
想 等差数列的证明方法 数列求和的方法
算 (n＋1)an＋1－nan＝常数 求f ′(－2)
思 函数与方程 错位相减法
规范解答
[解]　(1)证明： ……………1分
所以(n＋1)an＋1＝nan＋1，…………………………………………2分
即(n＋1)an＋1－nan＝1，……………………………………………3分
因为a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．…4分
(2)由(1)知，nan＝3＋n－1＝n＋2，………………………………5分
…………………………………………6分
规范解答
因为f (x)＝3x＋2x2＋…＋xm，……………………………7分
………8分
所以f ′(－2)＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋1)(－2)m-2＋(m＋2)
(－2)m-1，①…………………………………………………………9分
－2f ′(－2)＝3×(－2)＋4×(－2)2＋5×(－2)3＋…＋(m＋1)(－2)m-1＋(m＋2)(－2)m，②………………………………………………………10分
规范解答
①－②得
…………………………………………12分
＝3＋－(m＋2)(－2)m…………………………………13分
＝·(－2)m，………………………………………………14分
所以f ′(－2)＝·(－2)m，m∈N*．………………………15分
满分心得
得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问错位相减法求值的过程，每一步都有得分点．
得关键分：如第(2)问数列{an}的通项公式，f ′(x)的表达式的求解都是计算的关键所在．
得计算分：在求解f ′(－2)的过程中，保证错位相减法的准确性是得满分的保证．
本题第(2)问在求f ′(－2)的过程中方法较多，得分的步骤务必齐全，故可采用“踩点得分”求解．
课时5　等差数列、等比数列
[备考指南]　主要以选择题、填空题的形式考查等差、等比数列的基本运算及性质的应用；对等差、等比数列的判定与证明常以解答题的形式考查，难度中等或偏下．备考中注意函数与方程思想、分类讨论思想的应用．
√
命题点1　等差(比)数列的基本运算
【典例1】　(1)(2025·豫湘名校联考)在等比数列{an}中，记其前n项和为Sn，已知a3＝－a2＋2a1，则的值为(　　)
A．2 B．17 C．2或8 D．2或17
(2)(2025·浙江金华二模)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，满足S3＝5，S12＝32，则a8的值为________．
3
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4．
①证明：a1＝b1；
②求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
(1)D　(2)3　[(1)由等比数列的通项公式可得a1q2＝－a1q＋2a1，
整理得q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2．
当q＝1时，＝＝2；
当q＝－2时，＝＝＝q4＋1＝17．所以的值为2或17．故选D．
(2)设等差数列{an}的公差为d，
则
化简可得解得
所以a8＝a1＋7d＝3．]
(3)[解]　①证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1．
由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，
故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证．
②由①知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知b1·2k-1＝a1＋(m－1)·d＋a1，即b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m，
因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9．
反思领悟　等差(比)数列基本运算的解题途径
(1)设基本量a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
提醒：对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1和q≠1的情况，公式Sn＝只适用于q≠1的情况．
√
1．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
√
AD　[根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q＞0，所以q＝，故A正确．
a5＝a3q2＝1×＝，故B错误．
因为a1＝＝4，所以S5＝＝＝，故C错误．
an＝a1qn-1＝4×＝＝23-n，Sn＝＝＝8＝8－＝8－23-n，所以an＋Sn＝8，故D正确．故选AD．]
√
2．(多选)(2025·广东茂名二模)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　)
A．数列{an}的公差为2
B．Sn取最小值时，n＝6
C．S4＝S7　
D．数列{|an|}的前10项和为50
√
AD　[对A，设等差数列{an}的公差为d，则由题意知
解得故A正确；
对B，an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，则当n＝5时，Sn取得最小值－25，故B错误；
对C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误；
对D，数列{|an|}的前10项和为|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝50，故D正确．故选AD．]
√
【教用·备选题】
1．(2025·广东惠州模拟)已知数列{an}满足＝2，且a3＝，则＝(　　)
A．12 B．16 C．18 D．20
B　[由＝2可得}是公差为2的等差数列，故＝＋5×2＝16．故选B．]
2．(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman．若ak＋1＋
ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
C　[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n．
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴＝215－25，
即2k+1(210－1)＝25(210－1)，∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．
故选C．]
√
√
3．将数列中的所有项从第二行起按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公差为3的等差数列，从第2行起，每一行都是公比为q的等比数列，若a3＝－8，a84＝80，则q＝(　　)
第1行　a1
第2行　a2　　a3　　a4
第3行　a5　　a6　　a7　　a8　　a9
……
A．2 B． C． D．
A　[由题意知a3＝a2q＝－8，所以a2＝－，
第n行的项的个数为2n－1，
所以从第1行到第n行的所有项的个数之和为＝n2，因为84＝92＋3，所以a84是第10行第3个数，
所以a84＝a82q2＝·q2＝q2＝－8q＋24q2＝80，
解得q＝2或q＝－(舍去)．故选A．]
√
命题点2　等差(比)数列的性质
【典例2】　(1)(2025·湖北八市州二模)在正项等比数列{an}中，a3，a7是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则＝(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
(2)(2025·湖北荆州模拟)已知Sn与Tn分别是等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和，且＝，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
√
(1)B　(2)C　[(1)因为a3，a7是方程x2－10x＋16＝0的两个根，所以a3a7＝＝16，
因为在等比数列{an}中，a2a8＝＝a3a7＝16，
且{an}是正项等比数列，所以a5＝4，
所以＝＝4．故选B．
(2)由等差数列的性质可知b6＋b2 020＝b4＋b2 022＝b1＋b2 025，
所以＝＝＝＝3．故选C．]
反思领悟　等差、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系．抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质．数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如增减性、周期性等，可利用函数的性质解题．
√
1．[高考真题改编]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A．81 B．71 C．61 D．51
C　[由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，
所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1，
则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27，
S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81，
所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61．
故选C．]
√
2．(多选)(2025·湖北随州模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 023a2 024>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A．S2 023B．a2 023a2 025－1<0
C．T2 024是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
√
AB　[对于A，由<0可得，(a2 023－1)(a2 024－1)<0，(*)
由a2 023a2 024＝q>1可得q>0．
当q≥1时，因为a1>1，则a2 023>1，a2 024>1，则(*)式不成立；
所以01，0对于B，因为a2 023a2 025－1＝－1<0，故B正确；
对于C，D，由上分析a2 023>1，0故选AB．]
3．已知数列是等比数列，且＝4．设bn＝log2an，数列的前n项和为Sn，则S7＝________．
　[因为数列为等比数列＝a2a5a5＝a3a4a5＝＝4，所以a4＝＝．又因为bn＝log2an，所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(为常数)，所以数列为等差数列，所以S7＝×7＝7b4＝7log2a4＝7×＝．]
　
4．[高考真题改编]已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝________．
　[因为等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，故可设
Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(n－1)，k≠0，
所以＝＝＝＝．]
　
√
【教用·备选题】
1．(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2　　　B．　　　C．1　　　D．
D　[法一(利用等差数列的基本量)：
由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋d＝1 9a1＋36d＝1，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝．
故选D．
法二(利用等差数列的性质)：
根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝＝＝1，故a3＋a7＝．
故选D．
法三(特殊值法)：
不妨取等差数列的公差d＝0，则S9＝1＝9a1 a1＝，则a3＋a7＝2a1＝．
故选D．]
√
2．在各项均为正数的等比数列中，a2a6＋a5a11＝16，则a4a8的最大值是(　　)
A．4　　　B．8　　　C．16　　　D．32
B　[在各项均为正数的等比数列中，由a2a6＋a5a11＝16，可得＝16，所以＝8，当且仅当a4＝a8＝2时等号成立，故a4a8的最大值为8．故选B．]
3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________．
5　[设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5．]
5
4．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝
－8，则a7＝________．
－2　[设等比数列{an}的公比为q，∵{an}是等比数列，∴a2a4a5＝a2a3a6＝a3a6，解得a2＝1，而a9a10＝a2q7a2q8＝(a2)2q15＝－8，可得q15＝(q5)3＝－8，
即q5＝－2，∴ a7＝a2·q5＝1×(－2)＝－2．]
－2
命题点3　等差(比)数列的判定与证明
【典例3】　已知在数列中，a1＝1，an＋an＋1＝．
(1)令bn＝3n-1an－，证明：数列是等比数列；
(2)设Sn＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an，证明：数列是等差数列．
[证明]　(1)易知＝
＝＝＝－3，
又b1＝a1－＝≠0，
所以数列是以为首项，－3为公比的等比数列．
(2)法一：由Sn＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an，
得Sn－1＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-2an－1，n≥2，
以上两式相减得Sn－Sn－1＝3n-1an，
所以4Sn－3nan－
＝4－3nan＋3n-1an－1＝4·3n-1an－3nan＋3n-1an－1＝
3n-1＝3n-1·＝1，又4S1－31a1＝1，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
法二：由(1)知bn＝3n-1an－＝×(－3)n-1，
所以3n-1an＝×(－3)n-1＋，
所以Sn＝＝[1－(－3)n]，
即4Sn＝n＋×(－3)n，
又3nan＝－×(－3)n＋，所以4Sn－3nan＝n，
所以n≥2时，4Sn－3nan－＝1，
又4S1－31a1＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
反思领悟　判定等差(比)数列的主要方法
(1)定义法：对于任意n≥1，n∈N*，验证an＋1－an为与正整数n无关的一个常数；
(2)中项公式法．
提醒：＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判定一个数列是等比数列时，要注意各项不为0．
√
(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9，S6成等差数列，则(　　)
A．a2，a5，a8成等比数列
B．a2，a8，a5成等差数列
C．S2，S5，S8成等比数列
D．S2，S8，S5成等差数列
√
√
ABD　[对于A，因为数列{an}为等比数列，可设首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，
则＝＝q3，所以a2，a5，a8成等比数列，故A正确；
对于B，若等比数列的公比q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，根据S3，S9，S6成等差数列，则2S9＝S3＋S6，即18a1＝3a1＋6a1 a1＝0，这与a1≠0矛盾，故q＝1不成立；
当q≠1时，由2S9＝S3＋S6 2×＝ 2q9＝q3＋q6．
所以2q6＝1＋q3，
两边同乘a1q得2a1q7＝a1q＋a1q4，即2a8＝a2＋a5，所以a2，a8，a5成等差数列，故B正确；
对于C，若S2，S5，S8成等比数列，则＝S2·S8，
因为q≠1，所以
＝·，
又a1≠0，所以(1－q5)2＝(1－q2)·(1－q8) 2q5＝q2＋q8，
所以2q3＝1＋q6 (q3－1)2＝0，所以q＝1，这与q≠1矛盾，
故S2，S5，S8不可能成等比数列，故C错误；
对于D，因为q≠1，2q6＝1＋q3，
两边同乘q2，得2q8＝q2＋q5，
可得2×＝，
即2S8＝S2＋S5，所以S2，S8，S5成等差数列，故D正确．故选ABD．]
【教用·备选题】
1．已知正项数列，其前n项和Sn满足2Sn＝an＋．
(1)求证：数列是等差数列，并求出an的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列？请说明理由．
[解]　(1)证明：因为2Sn＝an＋，所以令n＝1，得2a1＝a1＋，
故正项数列中＝1，即a1＝1．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即2Sn＝Sn－Sn－1＋，
整理得＝1，又＝＝1，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则＝n．
因为是正项数列，即Sn>0，所以Sn＝．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，
又a1＝1满足此式，所以an＝．
(2)不存在，理由如下：
由(1)中an＝，可得＝＝，
假设存在满足要求的连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列，
则2()＝()＋()，即＝，
两边平方，得k＋1＋k＋2·＝k－1＋k＋2＋2·，即(k＋1)k＝(k－1)(k＋2)，
整理得k2＋k＝k2＋k－2，即0＝－2，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使(k∈N*)构成等差数列．
2．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝8，a2n－1＋a2n＋1＝＝．
(1)证明：{a2n－1}是等差数列；
(2)记{an}的前n项和为Sn，Sn＞2 025，求n的最小值．
[解]　(1)证明：法一：由a2n－1＋a2n＋1＝log2a2n，得a2n＝，
则a2n＋2＝，
从而a2na2n＋2＝＝．
又a2na2n＋2＝＝，
所以a2n－1＋2a2n＋1＋a2n＋3＝4a2n＋1，
即a2n－1＋a2n＋3＝2a2n＋1，所以{a2n－1}是等差数列．
法二：由a2n＞0，且a2na2n＋2＝，
则log2(a2na2n＋2)＝，
得log2a2n＋log2a2n＋2＝4a2n＋1，
因为a2n－1＋a2n＋1＝log2a2n，a2n＋1＋a2n＋3＝log2a2n＋2，
所以(a2n－1＋a2n＋1)＋(a2n＋1＋a2n＋3)＝log2a2n＋log2a2n＋2＝4a2n＋1，
即a2n－1＋a2n＋3＝2a2n＋1，所以{a2n－1}是等差数列．
(2)法一：设等差数列{a2n－1}的公差为d．
当n＝1时，a1＋a3＝log2a2，即1＋a3＝log28，
所以a3＝2，所以d＝a3－a1＝1，
所以数列{a2n－1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a2n－1＝n．
又a2n＝＝2n＋(n+1)＝22n+1，
所以S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9
＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)
＝(1＋2＋3＋4＋5)＋(23＋25＋27＋29)
＝15＋680＝695＜2 025，
又S10＝S9＋a10＝695＋211＝2 743＞2 025，
又an＞0，则Sn＜Sn＋1，且S9＜2 025＜S10，
所以n的最小值为10．
法二：设等差数列{a2n－1}的公差为d．
当n＝1时，a1＋a3＝log2a2，即1＋a3＝log28，
所以a3＝2，所以d＝a3－a1＝1，
所以数列{a2n－1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a2n－1＝n．
又a2n－1＋a2n＋1＝log2a2n，所以a2n＝＝2n＋(n+1)＝22n+1．
当k∈N*时，S2k＝a1＋a2＋a3＋…＋a2k
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2k)
＝(1＋2＋3＋…＋k)＋(23＋25＋27＋…＋22k+1)
＝，
S2k－1＝S2k－a2k＝－22k+1＝，
所以S9＝S2×5－1＝＝695＜2 025，
S10＝S2×5＝＝2 743＞2 025，
又an＞0，则Sn＜Sn＋1，且S9＜2 025＜S10，
所以n的最小值为10．
8
课后限时练5　等差数列、等比数列
√
1．(2025·湖北黄冈模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4＝5，a8＝9，则S11＝(　　)
A．88 B．77 C．66 D．55
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[由等差数列的性质可得：a1＋a11＝a4＋a8＝5＋9＝14，
则由等差数列前n项和公式可得S11＝＝77．
故选B．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．(2025·安徽安庆二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4＝(　　)
A．33　　　 B．31　　　 C．17　　　 D．15
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由已知得a2a5＝a3a4，则a3a4＝2a4，所以a3＝2，因为a3与2a6的等差中项为，所以a3＋2a6＝2×，则a6＝，故q＝＝，所以a1＝＝8，
故S4＝＝＝15．
故选D．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
3．(2025·天津高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　)
A．48 B．112 C．80 D．144
√
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
C　[当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以|an|＝所以{|an|}的前12项和为＝80．故选C．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
4．[高考真题改编]将数列{2n－1}与数列{3n－2}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝(　　)
A． B． C． D．
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[数列{2n－1}是以1为首项的奇数列，即1，3，5，7，9，11，13，…，数列{3n－2}是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即1，4，7，10，13，16，19，…，故数列{2n－1}与{3n－2}的公共项所构成的新数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，即an＝6n－5，所以＝＝＝＝．故选A．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
5．(多选)[教材母题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
B．若{an}为等差数列，则}为等比数列
C．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列
D．若a1＝1，a2＝2，3an＋1＝an＋2an＋2(n∈N*)，则{an＋1－an}为等比数列
√
√
√
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
BCD　[对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误；
对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则＝＝2d>0，且≠0，
所以数列}为等比数列，故B正确；
对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，
an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n-1－1)＝3n－3n-1＝2·3n-1(n≥2)，
a1＝2满足an＝2·3n-1，于是an＝2·3n-1(n∈N*)，
8
则＝＝3，且a1＝2≠0，所以数列{an}为等比数列，故C正确；
对于D，因为3an＋1＝an＋2an＋2，所以2(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝0，即＝，
而a1＝1，a2＝2，a2－a1≠0，
因此数列{an＋1－an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．甲、乙两个机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第
1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过________分钟．
15
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
15　[由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．
乙每分钟走的路程为5 m，
因为第1次相遇甲、乙共走70 m，第2次相遇甲、乙共走了210 m，第二次相遇经过的时间设为t分钟，
则＋5t＝210，
所以t＝15(负值舍去)．]
8
7．(2024·山西晋中三模)下面给出一个“三角形数阵”：
　
1 2
3　6
2 4　8　16
…
该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
7
1 792
题号
1
3
5
2
4
6
7
1 792　[由1＋2＋…＋13＝＝91<100，1＋2＋…＋14＝＝105＞100，100－91＝9，知a100是第14行的第9个数．
而每一行的第一个数构成首项和公差均为的等差数列，从而第14行的第一个数是＝7．
又因为从第3行起，每一行的数由左至右成公比为2的等比数列，故第14行的第9个数等于7×29-1＝7×256＝1 792．]
8
8．(2025·广东开学考试)在数列{an}中，a1＝＝＋2n＋1．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．
题号
1
3
5
2
4
6
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[解]　(1)证明：因为＝＋2n＋1，
所以－2n+1＝－2n＋1，所以－2n+1－＝1．
因为a1＝，所以－2＝1，所以数列是首项和公差均为1的等差数列．
(2)由(1)得－2n＝1＋(n－1)×1＝n，则＝2n＋n，故an＝．
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(3)由(2)可得bn＝＝2n＋n，
则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝
＝2n+1＋n2＋n－2．
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谢 谢！

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