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重点培优练5　概率中的函数问题及马尔科夫链问题
1．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示．
(1)根据大量的产品检测数据，得到样本数据的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
2．(2025·辽宁二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈·马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn，恰有2个红球的概率为qn．
(1)求p2，q2的值；
(2)证明：是等比数列，并求{pn}的通项公式；
(3)求Xn的数学期望．
重点培优练5
1．解：(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1 000件的质量差的平均数为
＝70．
则μ≈＝70，σ≈s≈10，所以X~N(70，102)，则优等品的质量差在[μ－σ，μ＋σ]即[60，80]内，一等品的质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]即(80，90]内，
所以正品的质量差在[60，80]和(80，90]内，即[60，90]内，
故该企业生产的产品为正品的概率P(60≤X≤90)＝P(60≤X≤80)＋P(80(2)①从n＋2件正品中任选两个，有·＝2n(种)选法，
故某箱产品抽检被记为B的概率p＝．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f(p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)
＝10(p3－2p4＋p5)，
则f'(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
所以当p∈时，f'(p)>0，函数f(p)单调递增，当p∈时，f'(p)<0，函数f(p)单调递减，
所以当p＝时，f(p)取得最大值，最大值为f．
此时由p＝，n≥2，n∈N*，
得n＝3，
所以当n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为．
2．解：(1)由题意，A盒子中没有红球的概率为1－pn－qn，
则p1＝，q1＝，
p2＝p1·＋q1·＋(1－p1－q1)·
＝，
q2＝p1·＋q1·．
(2)证明：因为pn＝pn-1·＋qn-1·＋(1－pn-1－qn-1)·，n≥2，n∈N*，
所以pn－，又p1－，
所以数列是以－为首项，－为公比的等比数列，所以pn－·，
即pn＝－·．
(3)当n≥2，n∈N*时，qn＝pn-1·＋qn-1·qn-1，①
1－pn－qn＝pn-1·＋(1－pn-1－qn-1)·(1－pn-1－qn-1)，②
由①－②得，2qn＋pn－1＝(2qn-1＋pn-1－1)，又2q1＋p1－1＝0，
所以2qn＋pn－1＝0，则qn＝，
Xn的可能取值为0，1，2，
则P(Xn＝0)＝1－pn－qn＝，
P(Xn＝1)＝pn，P(Xn＝2)＝qn＝，
则Xn的分布列为
Xn 0 1 2
P pn
所以E(Xn)＝0×＝1．
1/2培优课5　概率中的函数问题及马尔科夫链问题
近几年，高考对概率题目的命制越来越注重知识间的融合，背景新颖，综合性增强，难度加深，解答此类问题时需要搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
类型1　概率中的函数问题
【典例1】　(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助一次函数、二次函数、分段函数的性质，利用单调性求最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．
1．(2025·江西上饶一模)为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率．
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为p，且每次是否中奖相互独立．
①记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(p)，求f(p)的极大值；
②M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元，试求此时p的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　马尔科夫链问题
【典例2】　[教材母题改编]为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
①证明：为等比数列；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m的取值范围．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　1．马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关．
2．写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式，进而解决有关问题．
2．甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为，当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率．
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5～25分之间选一个整数分(含5分和25分)，且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为n的概率为P(n)．
①证明：{P(n＋1)－P(n)}为等比数列；
②甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优课5　概率中的函数问题及马尔科夫链问题
典例1　解：(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%，所以95则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5．
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．
综上所述，
f(c)＝
由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]上的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．
考教衔接
1．解：(1)记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛，则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率P(B|A)＝．
(2)①由题意知，f(p)＝p(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0令f'(p)＝0，得p＝或p＝1(舍)，
当p∈时，f'(p)>0，
当p∈时，f'(p)<0，
所以f(p)在内单调递减，
所以当p＝时，f(p)有极大值，且极大值为f．
②设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为60，120，180，360，
则P(Y＝60)＝(1－p)3，
P(Y＝120)＝p(1－p)2，
P(Y＝180)＝p2(1－p)，
P(Y＝360)＝p3，
所以E(Y)＝60(1－p)3＋120p(1－p)2＋180p2(1－p)＋360p3＝60(2p3＋3p＋1)，令9E(Y)≥1 120，即540(2p3＋3p＋1)≥1 120，
整理得2p3＋3p－≥0，
因为2p3＋3p－＝p－2p2＋，
易知2p2＋>0，所以p－≥0，即p≥，
又0典例2　解：(1)设A1为“第一天选择米饭套餐”，A2为“第二天选择米饭套餐”，
则为“第一天不选择米饭套餐”，
根据题意P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝1－，
由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝．
(2)①证明：设An为“第n天选择米饭套餐”，则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn，
根据题意，P(An+1|An)＝，P(An+1|)＝1－，
由全概率公式得Pn+1＝P(An+1)＝P(An)·P(An+1|An)＋P()P(An+1|)＝(1－Pn)＝－，
因此Pn+1－，
∵P1－≠0，
∴为首项，－为公比的等比数列．
②根据①可得Pn－(n≥2)，所以Pn＝，
要求Pn的最大值，则n－1为偶数，
当n－1为偶数时，Pn＝，此时{Pn}是递减数列，
所以Pn的最大值为P3＝，
因此m≥，则m的取值范围是，＋∞.
考教衔接
2．解：(1)甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为P'(0)，P'(1)，P'(2)，则P'(0)＝，P'(1) ＝，P'(2)＝．经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；4轮中甲掷3轮，其中一轮积分为2分，另两轮积分均为1分；甲掷4轮，每轮积分均为1分．所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率P＝．
(2)①证明：记“累计积分之和为n＋2”为事件An+2，“累计积分之和为n＋1”为事件An+1，“累计积分之和为n”为事件An，于是P(n＋2)＝P(An)P(An+2|An)＋P(An+1)P(An+2|An+1)＝P(n)＋P(n＋1)，则P(n＋2)－P(n＋1)＝－[P(n＋1)－P(n)]．又P(1)＝，P(2)＝，P(2)－P(1)＝≠0，所以{P(n＋1)－P(n)}是首项为，公比为－的等比数列．
②由①得，当n≥2时，P(n)－P(n－1)＝，累加得P(n)－P(1)＝＋…＋，因此P(n)＝．当n≥5且n为奇数时，P(n)＝·递增，且P(n)<；当n≥5且n为偶数时，P(n)＝1＋n+1递减，且P(n)>．则当n＝6时，P(n)最大，所以甲选择6分对自己最有利．
1/4(共47张PPT)
专题三　概率与统计
培优课5　概率中的函数问题及马尔科夫链问题
近几年，高考对概率题目的命制越来越注重知识间的融合，背景新颖，综合性增强，难度加深，解答此类问题时需要搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
类型1　概率中的函数问题
【典例1】　(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值．
[解]　(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5．
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100＜c≤105时，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．
综上所述，f (c)＝
由一次函数的单调性知，函数f (c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f (c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f (c)在区间[95，105]上的最小值f (c)min＝f (100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．
反思领悟　概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助一次函数、二次函数、分段函数的性质，利用单调性求最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．
1．(2025·江西上饶一模)为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率．
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为p，且每次是否中奖相互独立．
①记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f (p)，求f (p)的极大值；
②M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元，试求此时p的取值范围．
[解]　(1)记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛，则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率P(B|A)＝＝＝＝．
(2)①由题意知，f (p)＝p(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0令f ′(p)＝0，得p＝或p＝1(舍)，
当p∈时，f ′(p)>0，
当p∈时，f ′(p)<0，
所以f (p)在内单调递增，在内单调递减，
所以当p＝时，f (p)有极大值，且极大值为f ＝．
②设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为60，120，180，360，
则P(Y＝60)＝(1－p)3，
P(Y＝120)＝p(1－p)2，
P(Y＝180)＝p2(1－p)，
P(Y＝360)＝p3，
所以E(Y)＝p2(1－p)＋360p3＝60(2p3＋3p＋1)，
令9E(Y)≥1 120，即540(2p3＋3p＋1)≥1 120，
整理得2p3＋3p－≥0，
因为2p3＋3p－＝，
易知2p2＋p＋＝2＋>0，
所以p－≥0，即p≥，
又0类型2　马尔科夫链问题
【典例2】　[教材母题改编]为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
①证明：为等比数列；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m的取值范围．
[解]　(1)设A1为“第一天选择米饭套餐”，A2为“第二天选择米饭套餐”，
则为“第一天不选择米饭套餐”，
根据题意P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝1－＝，
由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝＝．
(2)①证明：设An为“第n天选择米饭套餐”，则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn，
根据题意，P(An＋1|An)＝，P(An＋1|)＝1－＝，
由全概率公式得Pn＋1＝P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P()P(An＋1|)＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋，
因此Pn＋1－＝－，∵P1－＝≠0，
∴是以为首项，－为公比的等比数列．
②根据①可得Pn－＝(n≥2)，
所以Pn＝，
要求Pn的最大值，则n－1为偶数，
当n－1为偶数时，Pn＝，
此时{Pn}是递减数列，
所以Pn的最大值为P3＝＝，
因此m≥，则m的取值范围是．
反思领悟　1．马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关．
2．写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式，进而解决有关问题．
2．甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为，当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率．
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5～25分之间选一个整数分(含5分和25分)，且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为n的概率为P(n)．
①证明：{P(n＋1)－P(n)}为等比数列；
②甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由．
[解]　(1)甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为P′(0)，P′(1)，P′(2)，则P′(0)＝，P′(1) ＝＝，P′(2)＝＝．经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；4轮中甲掷3轮，其中一轮积分为2分，另两轮积分均为1分；甲掷4轮，每轮积分均为1分．所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率P＝＝．
(2)①证明：记“累计积分之和为n＋2”为事件An＋2，“累计积分之和为n＋1”为事件An＋1，“累计积分之和为n”为事件An，于是P(n＋2)＝P(An)·P(An＋2|An)＋P(An＋1)P(An＋2|An＋1)＝P(n)＋P(n＋1)，则P(n＋2)－P(n＋1)＝－[P(n＋1)－P(n)]．又P(1)＝，P(2)＝＝，P(2)－P(1)＝≠0，所以{P(n＋1)－P(n)}是首项为，公比为－的等比数列．
②由①得，当n≥2时，P(n)－P(n－1)＝＝，累加得P(n)－P(1)＝＋＋…＋＝，因此P(n)＝．当n≥5且n为奇数时，P(n)＝递增，且P(n)＜；当n≥5且n为偶数时，P(n)＝递减，且P(n)＞．则当n＝6时，P(n)最大，所以甲选择6分对自己最有利．
【教用·备选题】
1．(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E＝．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
[解]　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以P＝P＋P＝P·P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设P＝pi，依题可知，P＝1－pi，p1＝，
则P＝P＋P＝P·P＋PP，即pi＋1＝0.6pi＋＝0.4pi＋0.2，
构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－，所以pi＋1－＝，又p1－＝＝≠0，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以pi－＝，即pi＝＋．
(3)由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P(Yi＝1)＝1－P(Yi＝0)＝pi，
且E＝E(Y)＝pi，
所以当n≥1时，E(Y)＝pi＝＋＝＝．
综上所述，E(Y)＝，n∈N＋．
2．甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，pn＝apn－1＋bpn－2＋cpn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
[解]　(1)由题意可知，X的可能取值为－1，0，1．
P(X＝－1)＝＝；
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝．
故X的分布列如下：
X －1 0 1
P
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝．
(2)由题意可知，p1＝1，p2＝1，p3＝1－＝，p4＝1－3×＝；
经分析可得：
若第n轮没有得1分，则pn＝×pn－1；
若第n轮得1分，且第n－1轮没有得1分，则pn＝×pn－2；
若第n轮得1分，且第n－1轮得1分，第n－2轮没有得1分，
则pn＝pn－3；
故pn＝pn－1＋pn－2＋pn－3(n≥4)，
故a＝，b＝，c＝．
因为pn＝pn－1＋pn－2＋pn－3，故pn＋1＝pn＋pn－1＋pn－2，
故pn＋1－pn＝－pn＋pn－1＋pn－2
＝－pn－1＋pn－2＝－pn－3<0；
故pn＋1p3>p4，
则p1＝p2>p3>p4>p5>…，所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
重点培优练5　概率中的函数问题及马尔科夫链问题
1．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示．
(1)根据大量的产品检测数据，得到样本数据的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f (p)，求当n为何值时，
f (p)取得最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解]　(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1 000件的质量差的平均数为＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70．
则μ≈＝70，σ≈s≈10，所以X～N(70，102)，
则优等品的质量差在[μ－σ，μ＋σ]即[60，80]内，一等品的质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]即(80，90]内，
所以正品的质量差在[60，80]和(80，90]内，即[60，90]内，
故该企业生产的产品为正品的概率P(60≤X≤90)＝P(60≤X≤80)＋P(80(2)①从n＋2件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有＝2n(种)选法，
故某箱产品抽检被记为B的概率p＝＝＝．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f (p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，
则f ′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
所以当p∈时，f ′(p)>0，函数f (p)单调递增，当p∈时，f ′(p)<0，函数f (p)单调递减，
所以当p＝时，f (p)取得最大值，最大值为f ＝＝．
此时由p＝＝，n≥2，n∈N*，
得n＝3，所以当n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为．
2．(2025·辽宁二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈·马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn，恰有2个红球的概率为qn．
(1)求p2，q2的值；
(2)证明：是等比数列，并求{pn}的通项公式；
(3)求Xn的数学期望．
[解]　(1)由题意，A盒子中没有红球的概率为1－pn－qn，
则p1＝＝，q1＝＝，
p2＝
＝＝，
q2＝＝＝．
(2)证明：因为pn＝pn－1·＋qn－1·＋(1－pn－1－qn－1)·＝－pn－1＋，n≥2，n∈N*，
所以pn－＝－，又p1－＝－，
所以数列是以－为首项，－为公比的等比数列，所以pn－＝－·，
即pn＝－·＋．
(3)当n≥2，n∈N*时，qn＝＝pn－1＋qn－1，①
1－pn－qn＝＝pn－1＋(1－
pn－1－qn－1)，②
由①－②得，2qn＋pn－1＝(2qn－1＋pn－1－1)，
又2q1＋p1－1＝0，所以2qn＋pn－1＝0，则qn＝，
Xn的可能取值为0，1，2，
则P(Xn＝0)＝1－pn－qn＝，
P(Xn＝1)＝pn，P(Xn＝2)＝qn＝，
则Xn的分布列为
Xn 0 1 2
P pn
所以E(Xn)＝0×＋1×pn＋2×＝1．
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