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课后限时练11　空间几何体的表面积、体积
1．(2025·山东平度模拟)一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为(　　)
A．64π B．56π C．48π D．52π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2025·浙江杭州模拟)将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(　　)
A．8π B．π
C．16π D．π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2023·全国甲卷理T15改编)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　)
A．24－3π B．24－π
C．24＋π D．24＋5π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(2025·云南昆明一模)一个内角为30°且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体积为(　　)
A． B． C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(2025·北京模拟)如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为(　　)
A．V B．V C．V D．V
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．(多选)(2025·山西晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(　　)
A．该圆锥的母线长为
B．该圆锥的体积为π
C．该圆锥的侧面积为π
D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．(2025·陕西咸阳二模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，则三棱锥C-A1BC1的体积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．(2025·陕西西安二模)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为6，体积为48，则该正四棱锥的侧面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9．(2025·湖北T8联盟)设棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝，若三棱锥M-NBC1的体积为，则该正三棱柱的棱长为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课后限时练11
1．D　[∵圆台的高为h＝＝4，∴圆台的体积V＝π·(22＋52＋2×5)×4＝52π．故选D．]
2．B　[由题意知，半圆的周长为4π，设圆锥底面圆的半径为r，则4π＝2πr，解得r＝2，又母线长为4，
所以圆锥的高为h＝，所以圆锥的体积为V＝×π×22×2π．故选B．]
3．B　[∵几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，
∴表面积＝正方体表面积－3个半径为2的圆＋2为半径的球面，
则S＝6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π．故选B．]
4．D　[如图，在直角三角形ABC中，AB＝2，∠CAB＝30°，则AC＝2cos 30°＝，
将直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥，如图所示，
由CO＝AC·sin 30°＝，得所求几何体的体积
V＝S圆·AB＝π·OC2·AB＝π×．故选D．]
5．B　[连接EC，EH，
∵S△FHC＝S△PAC，
∴VE-FHC＝VB-APC，
∵S四边形HGBC＝S△ABC－S△ABC，
∴VE-HGBC＝VP-ABC，
∴多面体BCFEGH体积为VE-FHC＋VE-HGBC＝V．故选B．]
6．ABD　[设该圆锥的母线长为l，如图所示，
因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，即∠ASB为直角，所以l2＝1，解得l＝，A正确；
设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA＝SB＝，所以AB＝2，则圆锥的高SO＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×1＝π，侧面积为πrl＝π×1×π，B正确、C错误；设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α＝2π×1，所以α＝π，D正确．故选ABD．]
7．　[＝S△ABC·AA1－S△ABC·AA1－·AA1
＝S△ABC·AA1＝．]
8．60　[设正四棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h'，由题意可得48＝×62h＝48 h＝4，
所以斜高h'＝＝5，
所以该正四棱锥的侧面积为4××6×5＝60．]
9.3　[如图，
因为，所以M，N分别为BB1，AB中点．设三棱柱的棱长为a．
则S△NBC·MB＝S△ABC·，解得a＝3．]
1/2课时11　空间几何体的表面积、体积
[备考指南]　空间几何体的表面积和体积是历年高考的核心命题点之一．备考时不仅要熟记相应的计算公式，更要理解空间几何体的侧面展开图与表面积的关系，同时掌握空间几何体间的割补、等体积的转换等思想．
命题点1　空间几何体的表面积
【典例1】　(1)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．8π
(2)(2025·浙江金华二模)如图，AB，CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为(　　)
A．6＋4 B．6＋2
C．2＋2＋4 D．2＋4＋4
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求解几何体表面积的类型及方法
(1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；
(2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；
(3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．
1．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(　　)
A． B． C． D．
2．(2025·重庆模拟)已知A，B，C是球O的球面上的三个点，且AB＝AC＝BC＝2，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为(　　)
A．16π B．20π C．24π D．28π
3．[教材母题改编]某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有________个面；若被截正方体的棱长是60 cm，那么该几何体的表面积是________cm2．
命题点2　空间几何体的体积
【典例2】　(1)(2025·福建南平模拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为4，若将其截去三棱锥C1-B1BD1，则剩余几何体的体积为(　　)
A． B． C． D．
(2)(2024·天津高考)如图是一个五面体ABC-DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求解几何体的体积的方法
(1)直接法、割补法、轴截面法及等体积转换法．
(2)对于某些动态三棱锥的体积问题，直接求解不方便时，可采用转换底面的方式求解．尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采用等体积转换法求解．
1．[教材母题改编]一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝18，底面△ABC边AB上的高为h．当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图1)．则当侧面AA1B1B水平放置时(如图2)，水面高度为(　　)
A．h B．h C．h D．h
2．[高考真题改编]楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中四边形ABCD为正方形．若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为(　　)
A．18 cm3 B．24 cm3
C．30 cm3 D．48 cm3
3．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________．圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．
课时11　空间几何体的表面积、体积
典例1　
(1)C　(2)B　[(1)设圆锥底面半径为R，母线长为l，则R＝1．设圆台上底面半径为r，母线长为l1，则r＝．
由已知可得，，所以l＝6．
如图，作出圆锥、圆台的轴截面，
则有，所以l1＝4．
所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝4×π＝π．故选C．
(2)还原正方体，如图所示，
BC＝CD＝BD＝2，S△BCD＝，
S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×2×2＝2，
所以四面体ABCD的表面积为6＋2．故选B．]
考教衔接
1．C　[设圆锥和圆柱的底面半径为r，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为l＝2r，则圆锥和圆柱的高为h＝r，
所以圆锥的侧面积为S1＝×2πr·l＝2πr2，
圆柱的侧面积为S2＝2πr·h＝2πr2，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为．故选C．]
2．B　[设球O的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，则r＝＝2．
因为球心O到平面ABC的距离为1，所以R2＝r2＋1＝5，从而球O的表面积为20π．故选B．]
3.14　10 800＋3 600　[由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，所以该几何体有8个面为等边三角形，再加上6个面为小正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是60 cm，那么石凳的表面积为S＝8×＝(10 800＋3 600)cm2．]
典例2　(1)C　(2)C　(3)　[(1)设四边形BCC1B1的面积为S，点D1到平面BCC1B1的距离为h，显然有4＝Sh，
所以S·h＝，
因此剩余部分几何体的体积为4－．故选C．
(2)因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝．故选C．
(3)由题意可得两个圆台的高分别为h甲＝(r2－r1)，
h乙＝
＝2(r2－r1)，
所以．]
考教衔接
1．D　[设底面△ABC的面积为S，当底面△ABC水平放置时水面高度为16，所以水的体积为V＝16S，
侧面AA1B1B水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为S'，则水的体积为V＝18S'，所以16S＝18S'，所以，设四棱柱体的底面梯形的高为h'，则可得，解得h'＝h．故选D．]
2．C　[如图所示，
设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，
因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥DC，又AB 平面EFCD，DC 平面EFCD，所以AB∥平面EFCD．
又平面EFCD∩平面ABFE＝EF，AB 平面ABFE，所以AB∥EF．
因为G，H分别为AB，DC的中点，AB＝6 cm，EF＝3 cm，所以EF∥GB，EF＝GB，
则四边形EGBF为平行四边形，所以EG∥FB，
同理EH∥FC，又GH∥BC，
所以几何体EGH-FBC为三棱柱，由题意，可得V四棱锥E-AGHD＝S矩形AGHD·h＝AD·AG·h＝×6×3×2＝12(cm3)．
又V三棱柱EGH-FBC＝3V三棱锥B-EGH
＝3V三棱锥E-BGH＝3×V四棱锥E-AGHD＝V四棱锥E-AGHD＝×12＝18(cm3)．
所以该多面体的体积为V＝V四棱锥E-AGHD＋V三棱柱EGH-FBC＝12＋18＝30(cm3)．故选C．]
3．　1　[设正三角形的边长为2r，则正三角形的高为r，此时圆锥MM'的底面半径为r，母线长l＝2r，高为r，故圆锥MM'的体积V1＝×πr2×πr3，圆锥MM'的表面积S1＝πr2＋πrl＝3πr2．因为正三角形的高与球O的直径相等，所以球O的半径R＝r，故球O的体积V2＝πR3＝πr3，球O的表面积S2＝4πR2＝3πr2．因此，圆锥MM'的体积与球O的体积的比值为，圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值为＝1．]
1/9(共64张PPT)
专题四　立体几何
提纲挈领——重构知识体系 整合必备知识
融会贯通——重视审题答题 升华学生思维
阅卷案例
四字解题 读 平面PAB⊥平面PAD 点P，B，C，D均在球O的球面上 直线AC与直线PO所成角
想 面面垂直的判定定理 建立关于球半径的方程组 异面直线所成角的运算公式
算 相关点的坐标、球的半径 直线的方向向量
思 转化与化归 坐标法 转化与化归
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
满分心得
得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列对关于球的半径的方程组即得3分．
得关键分：解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，如第(1)(2)问解析中标记的关键点．
得计算分：计算准确，如第 (2)问中球心的坐标求解，相应直线方向向量的求解等都要细心运算．
1．熟知立体几何中的各个定理及其应用要点是正确证明线面位置关系的关键．
2．相应点坐标的正确求解是立体几何计算的关键．
课时11　空间几何体的表面积、体积
[备考指南]　空间几何体的表面积和体积是历年高考的核心命题点之一．备考时不仅要熟记相应的计算公式，更要理解空间几何体的侧面展开图与表面积的关系，同时掌握空间几何体间的割补、等体积的转换等思想．
命题点1　空间几何体的表面积
【典例1】　(1)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．8π
√
(2)(2025·浙江金华二模)如图，AB，CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为(　　)
A．6＋4
B．6＋2
C．2＋2＋4
D．2＋4＋4
√
(1)C　(2)B　[(1)设圆锥底面半径为R，母线长为l，则R＝1．设圆台上底面半径为r，母线长为l1，则r＝．
由已知可得，＝＝，所以l＝6．
如图，作出圆锥、圆台的轴截面，
则有＝＝，所以l1＝4．
所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝4×π＝π．故选C．
(2)还原正方体，如图所示，
BC＝CD＝BD＝2，S△BCD＝×2×2×sin ＝2，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×2×2＝2，
所以四面体ABCD的表面积为6＋2．故选B．]
反思领悟　求解几何体表面积的类型及方法
(1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；
(2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；
(3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．
1．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(　　)
A． B． C． D．
√
C　[设圆锥和圆柱的底面半径为r，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为l＝2r，则圆锥和圆柱的高为h＝＝r，
所以圆锥的侧面积为S1＝×2πr·l＝2πr2，
圆柱的侧面积为S2＝2πr·h＝2πr2，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为＝．故选C．]
2．(2025·重庆模拟)已知A，B，C是球O的球面上的三个点，且AB＝AC＝BC＝2，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为
(　　)
A．16π B．20π C．24π D．28π
√
B　[设球O的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，则r＝＝2．
因为球心O到平面ABC的距离为1，所以R2＝r2＋1＝5，从而球O的表面积为20π．故选B．]
3．[教材母题改编]某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有________个面；若被截正方体的棱长是60 cm，那么该几何体的表面积是___________________cm2．
14
10 800＋3 600
14　10 800＋3 600　[由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，所以该几何体有8个面为等边三角形，再加上6个面为小正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是60 cm，那么石凳的表面积为S＝8××30×30×sin 60°＋6×30×30＝(10 800＋
3 600)cm2．]
【教用·备选题】
(2025·四川自贡二模)已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为(　　)
A． B． C． D．2
√
B　[设圆锥底面圆的半径为r，则母线长为2r，∴S侧＝×2πr×2r＝2πr2，S表＝2πr2＋πr2＝3πr2，∴＝．故选B．]
命题点2　空间几何体的体积
【典例2】　(1)(2025·福建南平模拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为4，若将其截去三棱锥C1-B1BD1，则剩余几何体的体积为(　　)
A． B． C． D．
√
(2)(2024·天津高考)如图是一个五面体ABC-DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　)
A． B．
C． D．
√
(3)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
　
(1)C　(2)C　(3)　[(1)设四边形BCC1B1的面积为S，点D1到平面BCC1B1的距离为h，显然有4＝Sh，
所以＝＝S·h＝，
因此剩余部分几何体的体积为4－＝．故选C．
(2)因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋＝．故选C．
(3)由题意可得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r2－r1)，
h乙＝＝2(r2－r1)，
所以＝＝＝＝．]
反思领悟　求解几何体的体积的方法
(1)直接法、割补法、轴截面法及等体积转换法．
(2)对于某些动态三棱锥的体积问题，直接求解不方便时，可采用转换底面的方式求解．尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采用等体积转换法求解．
1．[教材母题改编]一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝18，底面△ABC边AB上的高为h．当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图1)．则当侧面AA1B1B水平放置时(如图2)，水面高度为(　　)
A．h B．h C．h D．h
√
D　[设底面△ABC的面积为S，当底面△ABC水平放置时水面高度为16，所以水的体积为V＝16S，
侧面AA1B1B水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为S′，则水的体积为V＝18S′，所以16S＝18S′，所以＝＝，设四棱柱体的底面梯形的高为h′，则可得＝，解得h′＝h．故选D．]
2．[高考真题改编]楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中四边形ABCD为正方形．若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为(　　)
A．18 cm3
B．24 cm3
C．30 cm3
D．48 cm3
√
C　[如图所示，
设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，
因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥DC，
又AB 平面EFCD，DC 平面EFCD，所以AB∥平面EFCD．
又平面EFCD∩平面ABFE＝EF，AB 平面ABFE，所以AB∥EF．
因为G，H分别为AB，DC的中点，AB＝6 cm，EF＝3 cm，所以EF∥GB，EF＝GB，
则四边形EGBF为平行四边形，所以EG∥FB，
同理EH∥FC，又GH∥BC，
所以几何体EGH-FBC为三棱柱，由题意，可得
V四棱锥E-AGHD＝S矩形AGHD·h＝AD·AG·h＝×6×3×2＝12(cm3)．
又V三棱柱EGH-FBC＝3V三棱锥B-EGH＝3V三棱锥E-BGH＝3×V四棱锥E-AGHD
＝V四棱锥E-AGHD＝×12＝18(cm3)．
所以该多面体的体积为V＝V四棱锥E-AGHD＋V三棱柱EGH-FBC＝12＋18＝30(cm3)．故选C．]
3．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是_______．圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．
　
1
　1　[设正三角形的边长为2r，则正三角形的高为r，此时圆锥MM′的底面半径为r，母线长l＝2r，高为r，故圆锥MM′的体积V1＝×πr2×r＝πr3，圆锥MM′的表面积S1＝πr2＋πrl＝3πr2．因为正三角形的高与球O的直径相等，所以球O的半径R＝r，故球O的体积V2＝πR3＝πr3，球O的表面积S2＝4πR2＝3πr2．因此，圆锥MM′的体积与球O的体积的比值为＝＝，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值为＝1．]
【教用·备选题】
1．(多选)(2025·河北秦皇岛三模)如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为3π，△SAB是圆锥的一个轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，则下列说法正确的是(　　)
A．△SAB的面积为2
B．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
C．由C点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到C点
的细绳长度的最小值为3
D．若AC＝，则三棱锥O-SAC的体积为
√
√
√
ABC　[由圆锥SO的底面半径为1，侧面积为3π，得圆锥的母线长l＝3，圆锥的高h＝＝2．
对于A，S△SAB＝AB·h＝2，A正确；
对于B，圆锥SO的侧面展开图扇形弧长为2π，圆心角为，B正确；
对于C，将圆锥SO的侧面沿母线SC剪开展成平面图形，连接CC′，如图，
所求细绳长度的最小值为CC′＝2l sin ＝3，C正确；
对于D，当AC＝时，OC⊥OA，S△AOC＝OA·OC＝，
VO-SAC＝VS-OAC＝×2＝，D错误．故选ABC．]
2．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　)
A．V3＝2V2　　　　　
B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2
D．2V3＝3V1
√
√
CD　[如图，连接BD交AC于点O，连接OE，OF．设AB＝ED＝2FB＝2，则AB＝BC＝CD＝AD＝2，FB＝1．
因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，所以FB⊥平面ABCD，所以V1＝
VE-ACD＝S△ACD·ED＝AD·CD·ED＝×2×2×2＝，V2＝VF-ABC＝S△ABC·FB＝AB·BC·FB＝×2×2×1＝．
因为ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以ED⊥AC，又AC⊥BD，且ED∩BD＝D，ED，BD 平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．
因为OE，OF 平面BDEF，所以AC⊥OE，AC⊥OF．
易知AC＝BD＝AB＝2，OB＝OD＝BD＝，OF＝＝，OE＝＝，EF＝＝＝3，所以EF2＝OE2＋OF2，
所以OF⊥OE，又OE∩AC＝O，OE，AC 平面ACE，所以OF⊥平面ACE，所以V3＝VF-ACE＝S△ACE·OF＝AC·OE·OF＝×2＝2，所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，所以选项A，B不正确，选项C，D正确．故选CD．]
3．(2025·北京高考)某科技兴趣小组使用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥BC∥ED，若AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，AR＝RF＝TC＝TD＝，则该多面体的体积为________．
60
60　[因为AB∥EF∥CD，AF∥BC∥ED，且AB⊥BC，
可得BC⊥CD，CD⊥DE，DE⊥EF，EF⊥AF，AF⊥AB，
延长CB与EF相交于点N，延长AB与ED相交于点M，
所以AM⊥ED，CN⊥EF，
所以四边形ABNF和四边形CDMB为矩形，所以AF＝CD＝BM＝BN，
所以四边形BMEN为正方形，所以BM＝ME＝EN＝BN＝AF＝CD＝4，
即EF＝DE＝12，由此可得组合体关于平面SBE对称．
过点B作BQ∥AR，交RS于点Q，连接QN，过点B作BP∥CT，交TS于点P，连接PM，所以平面ARF∥平面BQN，平面CDT∥BMP，
所以组合体体积V＝VAFR-BNQ＋VCDT-BMP＋VS-BMEN＋VS-BMP＋VS-BNQ．
①求解三棱柱AFR-BNQ和CDT-BMP的体积：
因为平面ARF⊥平面ABC，平面ARF∩平面ABC＝AF，AB⊥AF，
所以三棱柱AFR-BNQ为直三棱柱(三棱柱CDT-BMP同理)，
所以VAFR-BNQ＝VCDT-BMP＝S△ARF·|AB|＝×4××8＝24；
②求解四棱锥S-BMEN的体积：
由组合体关于平面SBE对称，所以平面SBE⊥平面BMEN，
因为AR＝FR，平面ARF⊥平面ABC，所以R在底面的投影为AF的中点，又因为平面SBE⊥平面BMEN，所以S在底面的投影为BE的中点O，SO即为＝，
所以VS-BMEN＝×4×4×＝8；
③求解三棱锥S-BNQ和三棱锥S-BMP的体积：
因为AB⊥平面ARF，AB∥RS，平面ARF∥平面BQN，
所以RS⊥平面BQN，所以QS即为三棱锥S-BNQ的高，QS＝NE＝2，
所以VS-BNQ＝VS-BMP＝×4××2＝2．
综上，组合体体积为24＋24＋8＋2＋2＝60．]
课后限时练11　空间几何体的表面积、体积
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
1．(2025·山东平度模拟)一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为(　　)
A．64π B．56π C．48π D．52π
D　[∵圆台的高为h＝＝4，
∴圆台的体积V＝π×4＝52π．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
2．(2025·浙江杭州模拟)将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(　　)
A．8π B．π C．16π D．π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[由题意知，半圆的周长为4π，设圆锥底面圆的半径为r，则4π＝2πr，解得r＝2，又母线长为4，
所以圆锥的高为h＝＝2，所以圆锥的体积为V＝Sh＝×π×22×2＝π．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
3．(2023·全国甲卷理T15改编)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　)
A．24－3π
B．24－π
C．24＋π
D．24＋5π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[∵几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，
∴表面积＝正方体表面积－3个半径为2的圆＋2为半径的球面，
则S＝6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π．
故选B．]
4．(2025·云南昆明一模)一个内角为30°且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体积为(　　)
A． B． C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[如图，在直角三角形ABC中，AB＝2，∠CAB＝30°，则AC＝2cos 30°＝，
将直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥，如图所示，
由CO＝AC·sin 30°＝，得所求几何体的体积
V＝S圆·AB＝π·OC2·AB＝π××2＝．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·北京模拟)如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为
(　　)
A．V B．V C．V D．V
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[连接EC，EH，
∵S△FHC＝S△PAC，
∴VE-FHC＝VE-APC＝VB-APC＝VB-APC，
∵S四边形HGBC＝S△ABC－S△ABC＝S△ABC，
∴VE-HGBC＝VP-HGBC＝VP-ABC＝VP-ABC，
∴多面体BCFEGH体积为VE-FHC＋VE-HGBC＝V．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
6．(多选)(2025·山西晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(　　)
A．该圆锥的母线长为
B．该圆锥的体积为π
C．该圆锥的侧面积为π
D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为π
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[设该圆锥的母线长为l，如图所示，
因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，
即∠ASB为直角，所以l2＝1，解得l＝，A正确；
设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA＝SB＝，所以AB＝2，则圆锥的高SO＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×1＝π，侧面积为πrl＝π×1×＝π，B正确、C错误；设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α＝2π×1，所以α＝π，D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(2025·陕西咸阳二模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，则三棱锥C-A1BC1的体积为________．
＝＝·AA1＋3＝S△ABC·AA1＝×1×1×1＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·陕西西安二模)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为________．
60　[设正四棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h′，由题意可得48＝a2h ×62h＝48 h＝4，
所以斜高h′＝＝＝5，
所以该正四棱锥的侧面积为4××6×5＝60．]
60　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．(2025·湖北T8联盟)设长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝，若三棱锥M-NBC1的体积为，则该正三棱柱的棱长为________．
3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3　[如图，
因为＝2＝，所以M，
N分别为BB1，AB中点．设三棱柱的棱长为a．
则＝＝VC-MNB＝VM-NBC＝S△NBC·MB＝S△ABC·BB1＝a3＝，解得a＝3．]
谢 谢！

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