资源简介

课后限时练15　直线与圆
1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4 B．＋y2＝8
C．＋y2＝5 D．＋y2＝10
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2025·苏锡常镇二模)已知圆C：x2＋(y－2)2＝，将直线l1：x－y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°后得到直线l2，则(　　)
A．直线l2过圆心C
B．直线l2与圆C相交，但不过圆心
C．直线l2与圆C相切
D．直线l2与圆C无公共点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·广东汕头一模)如果圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－x－2 B．y＝－x
C．y＝－x或y＝x＋2 D．y＝x＋2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．[高考真题改编]已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上恰有两个点到直线l：x＋y＋m＝0(m>0)的距离为2，则m的取值范围是(　　)
A．(3，7) B．(3＋1，7＋1)
C．(2，7) D．(2＋1，7＋1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(2025·湖北武汉模拟)过直线l：y＝－x＋1上任一点P向圆C：x2＋(y＋1)2＝1作两条切线，切点为A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A． B． C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．(多选)已知圆C1：x2＋(y＋2)2＝4，圆C2：x2＋y2－4y＋a＝0，则(　　)
A．a<4
B．若a＝0，则圆C1与圆C2有且仅有1个公共点
C．若圆C1与圆C2的相交弦长为4，则a＝－16
D．当a＝－32时，若动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M的轨迹方程为＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知直线l：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．(2025·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程：________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9．(2025·河北沧州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，动点M(x，y)到A(－1，0)，B(1，0)两点的距离的平方和为10，则的取值范围为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课后限时练15
1．D　[令该圆圆心为，半径为r，则该圆的方程为＋y2＝r2，
则有
故该圆的方程为＋y2＝10．故选D．]
2．B　[直线l1：x－y＝0即y＝x，斜率为，倾斜角为60°，将直线l1绕原点按顺时针方向旋转30°得到直线l2，则直线l2的倾斜角为30°，所以直线l2的方程为y＝x，即x－y＝0，又圆C：x2＋(y－2)2＝的圆心坐标为C(0，2)，半径r＝，圆心到直线l2的距离d＝，
所以直线l2与圆C相交但不过圆心．故选B．]
3．D　[圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(－2，2)，由题意可得直线l的方程是以两圆圆心(0，0)，(－2，2)为端点的线段的中垂线方程，设k1＝＝－1，
由两直线垂直时的斜率关系可得直线l的斜率为1，又两圆圆心的中点坐标为(－1，1)，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2．故选D．]
4．B　[由题意可得圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心C(1，－2)，半径r＝5，则圆心C到直线l的距离d＝．
因为圆C上恰有两个点到直线l的距离为2，所以r－20，
解得3＋1．
故选B．]
5．C　[设点P(x0，1－x0)，则直线AB的方程为x0x＋(2－x0)(y＋1)＝1(注：由圆x2＋y2＝r2外一点E(x0，y0)，向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，
结合圆的几何性质，易知当PC⊥l时，|AB|的值最小，kPC＝1，所以＝1，解得x0＝1，所以直线AB的方程为x＋y＝0．
所以圆心C(0，－1)到直线AB的距离d＝．
所以|AB|＝2．故选C．]
6．ABC　[对于圆C2：x2＋y2－4y＋a＝0，
转化为标准方程x2＋(y－2)2＝4－a，
因为半径r＝>0，所以a<4，A正确；
若a＝0，圆C1：x2＋(y＋2)2＝4，圆心C1(0，－2)，半径r1＝2，
圆C2：x2＋(y－2)2＝4，圆心C2(0，2)，半径r2＝2．
两圆心间距离|C1C2|＝|－2－2|＝4＝r1＋r2，则两圆外切，
所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；
若圆C1与圆C2的相交弦长为4，因为圆C1的直径为4，
所以相交弦为圆C1的直径，即两圆的公共弦所在直线过圆C1的圆心(0，－2)，
由 两式相减可得8y－a＝0，将(0，－2)代入8y－a＝0，得a＝－16，C正确；
当a＝－32时，圆C2：x2＋(y－2)2＝36，
圆心C2(0，2)，半径r2＝6，圆C1：x2＋(y＋2)2＝4，圆心C1(0，－2)，半径r1＝2．
设动圆M的半径为R，因为动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，
则|MC1|＝R＋2，|MC2|＝6－R，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝4，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以C1(0，－2)，C2(0，2)为焦点的椭圆，
2a＝8，2c＝4，
可得a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝16－4＝12，其轨迹方程为＝1(y≠－4)，D错误．故选ABC．]
7.2　[对于直线l：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6．因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2．圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心坐标为(－1，3)，圆心到直线l的距离d＝，所以r＝＝2．]
8．y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可)
[因为切线的方向向量为，
所以切线的斜率为，
故可设切线方程为y＝x＋b．
因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，
又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为，半径为1，
圆心到直线y＝x＋b的距离为，
所以＝1，所以b＝2或b＝－2，
所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的直线方程为y＝x＋2或y＝x－2．]
9．(－∞，2]∪　[因为动点M(x，y)到A(－1，0)，B(1，0)两点的距离的平方和为10，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝10，
化简上述等式得到动点M的轨迹方程为x2＋y2＝4，故点M(x，y)的轨迹是以原点(0，0)为圆心，半径r＝2的圆．
因为可看作是点M(x，y)与点(1，－2)连线的斜率k＝，
设直线l：y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，则圆心(0，0)到直线l的距离d＝，
因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤2，整理得3k2－4k≥0，解得k≥或k≤0，
所以＝2＋k的取值范围为(－∞，2]∪．]
1/2课时15　直线与圆
[备考指南]　直线与圆主要考查与圆有关的最值、切线、弦长等问题．备考时要立足直线与圆方程的求法，融合圆的几何性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
命题点1　直线的方程及应用
【典例1】　(1) (多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l与直线x＋y＋2＝0平行
(2)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B． C． D．2
(3)[教材母题改编]已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)判断两直线的位置关系时要学会转化，即把两直线的平行、垂直关系，转化为两直线方程系数的关系，再进行判断．
(2)解决点到直线的距离、两平行线间的距离问题的关键是将直线方程化为一般式再求解．
(3)解决最值问题，常需借助图形进行分析，如求曲线上任意一点到已知直线的最小距离．
1．(多选)对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，以下说法正确的有(　　)
A．l1∥l2的充要条件是a＝3
B．当a＝时，l1⊥l2
C．直线l1一定经过点M(3，0)
D．点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为5
2．(2025·湖南长沙三模)过点A(1，4)，且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
3．(2025·山东潍坊模拟)如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知A，B，从点P射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程为________．
命题点2　圆的方程及应用
【典例2】　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
(3)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　 B．4　 C．1＋3　 D．7
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即待定系数法，先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
2．与圆有关的最值问题常用代数(Δ)法、几何法、三角换元法求解．
1．(2025·贵州黔南三模)“关于x，y的方程x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．[教材母题改编]长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最小值为(　　)
A．1 B． C．2 D．3
3．[高考真题改编]已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项错误的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．的最小值是2
D．过点作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0
命题点3　直线与圆及圆与圆的位置关系
【典例3】　(1)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　)
A．外切　　　　　　　　 B．相交
C．内切 D．没有公共点
(2)(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
(3)(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　直线与圆及圆与圆问题的求解思路
(1)位置关系问题：主要利用几何法求解．
(2)弦长问题：依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．
(3)切线长问题：先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
提醒：在处理该类问题时应树立作图意识．
1．(2025·江苏苏州三模)已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为时，r的值为(　　)
A．1 B． C． D．2
2．(多选)(2025·福建南平二模)已知圆C：＋＝25，直线l：x＋y－7m－4＝0，则(　　)
A．直线l过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
3．(2025·河南湘豫名校联考)已知点O(0，0)，Q(3，0)，动点P满足|PQ|＝2|OP|，过点Q的直线与动点P的轨迹相交于A，B两点，若|AB|＝，则直线AB的方程为________．
4．若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝________，此公切线的方程为________．
课时15　直线与圆
典例1　(1)CD　(2)B　(3)x－8y＋20＝0　[(1)因为直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，所以直线l的斜率k＝－．
因为直线l经过点(1，－2)，所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即＝0．
对于A选项，因为直线l的斜率k＝－，则倾斜角等于120°，A错误；
对于B选项，当y＝0时，x＝1－，所以l在x轴上的截距等于1－，B错误；
对于C选项，因为直线l的斜率k＝－x－3y＋2＝0的斜率为，－＝－1，所以两直线垂直，C正确；
对于D选项，因为直线l的斜率k＝－x＋y＋2＝0的斜率为－且不过点(1，－2)，所以两直线平行，D正确．故选CD．]
(2)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离
d＝
＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝．故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝．故选B．
(3)由
所以点B的坐标为(9，－2)．
设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A'(x0，y0)，
则
解得所以点A'的坐标为(2，－1)．
因为点A'(2，－1)在直线BC上，
所以直线BC的方程为y－(－1)＝(x－2)，即x＋7y＋5＝0．
设点C的坐标为(x1，y1)，
则AC的中点坐标为．
所以由点C在直线BC上，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，
所以
解得所以点C的坐标为(－12，1)，
所以kAC＝，所以AC边所在直线的方程为y－3＝(x－4)，即x－8y＋20＝0．]
考教衔接
1．BD　[当l1∥l2时，a(a－1)－6＝0，解得a＝3 或a＝－2．
当a＝－2时，两直线方程分别为x－y＋3＝0，x－y＋＝0，符合题意；
当a＝3时，两直线方程分别为3x＋2y＋9＝0，3x＋2y＝0，符合题意，故A错误；
当a＝时，两直线方程分别为x＋5y＋3＝0，15x－3y＋13＝0，·×5＝－1，所以l1⊥l2，故B正确；
直线l1：ax＋2y＋3a＝0，即a(x＋3)＋2y＝0，故直线l1过定点(－3，0)，C错误；
因为直线l1：ax＋2y＋3a＝0过定点(－3，0)，当直线l1：ax＋2y＋3a＝0与点P(1，3)和(－3，0)的连线垂直时，P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为＝5，故D正确．
故选BD．]
2.3　[因为在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，故设直线为y＝kx或＝1或＝1，
若直线y＝kx过点A(1，4)，则4＝k，得直线方程为y＝4x；
若直线＝1过点A(1，4)，则＝1，a＝5，得直线方程为x＋y＝5；
若直线＝1过点A(1，4)，则＝1，a＝－3，得直线方程为x－y＋3＝0．所以满足条件的直线有3条．]
3.2　[设点P关于y轴的对称点P1，点P关于直线AB的对称点P2，如图所示，
因为A，
B(0，3)，
所以直线AB的方程为x＋y－3＝0，
所以
所以P2(3，2)，所以光线经过的路程为|PM|＋|MN|＋|PN|＝|P2M|＋|MN|＋|P1N|＝|P1P2|＝．]
典例2　(1)＝13或＝5或或(从这四个方程中任选一个作答即可)　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　(3)C
[(1)依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过，(－1，1)三点，
则 易得D2＋E2－4F>0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＝13；
若过三点，
则
解得
易得D2＋E2－4F>0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＝5；
若过三点，
则
解得
易得D2＋E2－4F>0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－y＝0，即；
若过三点，
则
解得易得D2＋E2－4F>0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－＝0，即．
(2)∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M(a，1－2a)．
又∵点(3，0)和(0，1)均在☉M上，
∴点M到这两点的距离相等且为半径R，
∴
＝R，
即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
(3)法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，所以Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3，
故x－y的最大值是3＋1．故选C．
法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈，则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cosθ＋＋1．
因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．故选C．
法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3．故选C．]
考教衔接
1．B　[若关于x，y的方程x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆，则a2＋22－4×2>0，解得a>2或a<－2，因为(2，＋∞) (－∞，－2)∪(2，＋∞)，
所以“关于x，y的方程x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的必要不充分条件．故选B．]
2．A　[设A(x，0)，B(0，y)，由题意可得x2＋y2＝4，
设AB的中点坐标为(m，n)，则
所以m2＋n2＝1，即线段AB的中点的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，
圆心(0，0)到直线3x＋4y＋10＝0的距离为＝2，
所以线段AB的中点到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最小值为2－1＝1．故选A．]
3．C　[曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为＋y2＝3，它表示圆心为的圆．
对选项A，x2＋y2表示圆C上的点到定点O)2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对选项B，表示圆上的点与点P的连线的斜率k，由圆心到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d1＝，
可得2－，B正确；
对选项C，表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，
圆心(1，0)到直线的距离d2＝，
所以其最小值为，故C错误；
对选项D，过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y＝mx＋，解得m＝，
故切线方程为x－y＋2＝0，故D正确．
故选C．]
典例3　(1)B　(2)B　(3)D　[(1)直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
则圆心O到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1．
圆(x－a)2＋(y－b)2＝，其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B．
(2)由题意得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2．当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当10)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B．
(3)
法一：由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0　①，
得☉M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝，
所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0．由所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋，即x2＋y2－y－1＝0　②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．
法二：因为☉M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．
连接AM，BM(图略)，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l．因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与☉M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．]
考教衔接
1．A　[如图所示，|MC|＝r，sin∠MPC＝，
当∠MPN的最大值为时，
∠MPC＝，
当PC⊥l时，|PC|最小，∠MPC＝最大．
由题得|PC|min＝d＝＝2，所以sin∠MPC＝，则r＝1．故选A．]
2．ACD　[对于A，直线l的方程变形为
m＋x＋y－4＝0，
令
所以直线l恒过定点，故A正确；
对于B，圆C的圆心C，半径r＝5，
C到x轴的距离为2，所以圆C被x轴截得的弦长为2，故B错误；
对于C，当m＝－2时，直线l：3x＋y－10＝0，此时圆心C到直线l的距离d＝，而r－d＝5－<4，
所以当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确；
对于D，设直线l恒过的定点为P(3，1)，当PC⊥l时，弦长最短，此时kl＝－＝2，所以l的方程为y－1＝2，化简为2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD．]
3．x－2y－3＝0或x＋2y－3＝0　[设P(x，y)，因为|PQ|＝2|OP|，
所以，
化简得(x＋1)2＋y2＝4．
所以动点P的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
因为弦长|AB|＝，所以圆心到直线AB的距离d＝．
由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0．
所以圆心(－1，0)到直线AB的距离d＝，解得k＝±，所以直线AB的方程为＝0或－＝0，即x－2y－3＝0或x＋2y－3＝0．]
4.1　x＋y＋2＝0　[如图，
由题意得C1与C2相内切，又C2：(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5a，
所以|C1C2|
＝
＝－1，
所以2a＋1＝，解得a＝1，
所以C2(，1)，．
联立
解得
所以切点的坐标为，
故所求公切线的方程为y＋·x＋y＋2＝0．]
1/4(共112张PPT)
专题五　解析几何
提纲挈领——重构知识体系 整合必备知识
融会贯通——重视审题答题 升华学生思维
阅卷案例
四字解题 读 R在射线AP上；|AR|·|AP|＝3，求点R的坐标 直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍；
|PQ|的最大值
想 离心率公式，A，B的坐标 斜率公式；
|PQ|的表达式
算 a，b 求λ及点R的坐标 动点P的轨迹
思 方程思想 方程思想 转化与化归
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
满分心得
得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问只要列出a，b的方程组就得3分．
得关键分：第(2)问(ⅰ)中，准确转化“点R在射线AP上”是后面运算的关键；第(2)问(ⅱ)中正确求出点P的轨迹方程及转化|PQ|为变量x或y的二次函数是求|PQ|的最大值的关键．
得计算分：能准确地解出a，b的值、求出点R的坐标、准确转化|PQ|是得满分的保障．
“学会拆解、分步得分”，同时加强日常规范运算是攻克圆锥曲线问题的重要保障．
课时15　直线与圆
[备考指南]　直线与圆主要考查与圆有关的最值、切线、弦长等问题．备考时要立足直线与圆方程的求法，融合圆的几何性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
命题点1　直线的方程及应用
【典例1】　(1) (多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l与直线x＋y＋2＝0平行
√
√
(2)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值
为(　　)
A．1 B． C． D．2
(3)[教材母题改编]已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为_____________．
√
x－8y＋20＝0
(1)CD　(2)B　(3)x－8y＋20＝0　[(1)因为直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，所以直线l的斜率k＝－．
因为直线l经过点(1，－2)，所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0．
对于A选项，因为直线l的斜率k＝－，则倾斜角等于120°，A错误；
对于B选项，当y＝0时，x＝1－，所以l在x轴上的截距等于1－，B错误；
对于C选项，因为直线l的斜率k＝－，直线x－3y＋2＝0的斜率为，－＝－1，所以两直线垂直，C正确；
对于D选项，因为直线l的斜率k＝－，直线x＋y＋2＝0的斜率为－且不过点(1，－2)，所以两直线平行，D正确．故选CD．]
(2)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝．故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝．故选B．
(3)由解得
所以点B的坐标为(9，－2)．
设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则
解得所以点A′的坐标为(2，－1)．
因为点A′(2，－1)在直线BC上，
所以直线BC的方程为y－(－1)＝(x－2)，即x＋7y＋5＝0．
设点C的坐标为(x1，y1)，
则AC的中点坐标为．
所以由点C在直线BC上，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，
所以
解得所以点C的坐标为(－12，1)，
所以kAC＝＝，所以AC边所在直线的方程为y－3＝(x－4)，即x－8y＋20＝0．]
反思领悟　(1)判断两直线的位置关系时要学会转化，即把两直线的平行、垂直关系，转化为两直线方程系数的关系，再进行判断．
(2)解决点到直线的距离、两平行线间的距离问题的关键是将直线方程化为一般式再求解．
(3)解决最值问题，常需借助图形进行分析，如求曲线上任意一点到已知直线的最小距离．
1．(多选)对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，以下说法正确的有(　　)
A．l1∥l2的充要条件是a＝3
B．当a＝时，l1⊥l2
C．直线l1一定经过点M(3，0)
D．点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为5
√
√
BD　[当l1∥l2时，a(a－1)－6＝0，解得a＝3 或a＝－2．
当a＝－2时，两直线方程分别为x－y＋3＝0，x－y＋＝0，符合题意；
当a＝3时，两直线方程分别为3x＋2y＋9＝0，3x＋2y＝0，符合题意，故A错误；
当a＝时，两直线方程分别为x＋5y＋3＝0，15x－3y＋13＝＝－×5＝－1，
所以l1⊥l2，故B正确；
直线l1：ax＋2y＋3a＝0，即a(x＋3)＋2y＝0，故直线l1过定点(－3，0)，C错误；
因为直线l1：ax＋2y＋3a＝0过定点(－3，0)，当直线l1：ax＋2y＋3a＝0与点P(1，3)和(－3，0)的连线垂直时，P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为＝5，故D正确．故选BD．]
2．(2025·湖南长沙三模)过点A(1，4)，且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
3　[因为在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，故设直线为y＝kx或＝1或＝1，
3　
若直线y＝kx过点A(1，4)，则4＝k，得直线方程为y＝4x；
若直线＝1过点A(1，4)，则＝1，a＝5，得直线方程为x＋y＝5；
若直线＝1过点A(1，4)，则＝1，a＝－3，得直线方程为x－y＋3＝0．
所以满足条件的直线有3条．]
3．(2025·山东潍坊模拟)如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知A，B，从点P射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程为________．
2
2　[设点P关于y轴的对称点P1，点P关于直线AB的对称点P2，如图所示，
因为A，B，
所以直线AB的方程为x＋y－3＝0，
所以解得
所以P2(3，2)，所以光线经过的路程为|PM|＋|MN|＋|PN|＝|P2M|＋|MN|＋|P1N|＝|P1P2|＝＝2．]
【教用·备选题】
1．[教材母题改编]已知平面直角坐标系内两点A(1，2)，B(－2，3)，则过点A且以为法向量的直线l的方程为(　　)
A．3x－y－1＝0 B．3x－y－2＝0
C．3x＋y－5＝0 D．3y－x－5＝0
√
A　[由题意知A(1，2)，B(－2，3)，则＝(－3，1)，则kAB＝－，所以直线l的斜率kl＝3，所以直线l的方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0．故选A．]
2．已知直线l1：y＝ax＋3与l2关于直线y＝x对称，l2与l3：x＋2y－1＝0平行，则a＝(　　)
A．－ B． C．－2 D．2
√
C　[直线l1关于直线y＝x对称的直线，即交换x，y的位置所得，l2：x＝ay＋3，又l2，l3相互平行，l3：x＋2y－1＝0的斜率为－，故a＝－2．故选C．]
3．已知实数a＞0，b＜0，则的取值范围是(　　)
A．[－2，－1) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
√
A　[可看作点A(1，－)到直线l：ax＋by＝0的距离．因为a＞0，b＜0，所以d＝，且直线l的斜率k＝－＞0．
如图．
当直线l的斜率不存在时，d＝＝1，所以当k＞0时，d＞1，
当OA⊥l时，dmax＝|OA|＝＝2，
所以1＜d≤2，即1＜≤2．
因为＝－，
所以－2≤＜－1．
故选A．]
4．已知直线l1：kx－y＝0过定点A，直线l2：x＋ky－＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|CA|＋|CB|的最大值为________．
2　[直线l1：kx－y＝0过定点A(0，0)，
直线l2：x＋ky－＋2k＝0，即x－＋k(2＋y)＝0，则
可得x＝，y＝－2，故过定点B(，－2)．直线l1：
kx－y＝0与直线l2：x＋ky－＋2k＝0中，∵k×1＋(－1)×k＝0，∴l1⊥l2．
2
∵l1与l2的交点为C，
∴|CA|2＋|CB|2＝|AB|2＝2＋4＝6，
∴＝
≤(|CA|2＋|CB|2)＝3，
∴，
∴|CA|＋|CB|≤2，当且仅当|CA|＝|CB|时，|CA|＋|CB|的最大值为2．]
5．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和_______________．
－2　－(答案不唯一)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
－2
－(答案不唯一)
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ或α＝2θ－π，tan α＝
tan 2θ＝＝＝2，整理得k2＋k－1＝0，
解得k＝；
当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tanθ＝tan 2α＝＝＝－．所以k的可能取值为－2，，－．]
命题点2　圆的方程及应用
【典例2】　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_____________________________
____________________________________________________________________________________________________________________．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__________________．
＋＝13或
＋＝5或＋＝或＋
＝(从这四个方程中任选一个作答即可)
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
(3)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　　B．4　　　C．1＋3　　　D．7
√
(1)＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(从这四个方程中任选一个作答即可)　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　(3)C　[(1)依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过三点，
则解得 易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13；
若过三点，
则解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5；
若过三点，
则解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即＋＝；
若过三点，
则解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即＋＝．
(2)∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M(a，1－2a)．
又∵点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到这两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
(3)法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，所以Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是3＋1．
故选C．
法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得＋9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1．
因为θ∈，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．故选C．
法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3．故选C．]
反思领悟
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即待定系数法，先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
2．与圆有关的最值问题常用代数(Δ)法、几何法、三角换元法求解．
1．(2025·贵州黔南三模)“关于x，y的方程x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[若关于x，y的方程x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆，则a2＋22－4×2>0，解得a>2或a<－2，因为(2，＋∞)? (－∞，－2)∪(2，
＋∞)，
所以“关于x，y的方程x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的必要不充分条件．故选B．]
2．[教材母题改编]长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最小值为(　　)
A．1 B． C．2 D．3
√
A　[设A(x，0)，B(0，y)，由题意可得x2＋y2＝4，
设AB的中点坐标为(m，n)，则
所以m2＋n2＝1，即线段AB的中点的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，
圆心(0，0)到直线3x＋4y＋10＝0的距离为＝2，
所以线段AB的中点到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最小值为2－1＝1．故选A．]
3．[高考真题改编]已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项错误的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．的最小值是2
D．过点作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0
√
C　[曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为＋y2＝3，它表示圆心为，半径为的圆．
对选项A，x2＋y2表示圆C上的点到定点O的距离的平方，故它的最大值为()2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对选项B，表示圆上的点与点P的连线的斜率k，由圆心到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d1＝，
可得2－≤k≤2＋，B正确；
对选项C，表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，圆心(1，0)到直线的距离d2＝＝2，
所以其最小值为＝4－，故C错误；
对选项D，过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y＝mx＋，
由＝，解得m＝，
故切线方程为x－y＋2＝0，故D正确．
故选C．]
【教用·备选题】
1．(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．的最大值为
B．的最小值为0
C．x2＋y2的最大值为＋1
D．x＋y的最大值为3＋
√
√
√
ABD　[由x2＋y2－4x－2y＋4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝1．
对于ABD，令y＝kx，x＋y＝a，若两条直线都与圆有公共点，则≤1，≤1，解得3－≤a≤3＋，0≤k≤，故x＋y的最大值为3＋＝k的最大值为，最小值为0，故A，B，D正确；对于C，原点到圆心的距离d＝，则圆上的点到原点的距离的范围为[－1，＋1]，所以x2＋y2≤6＋2，故x2＋y2的最大值为6＋2，故C错误．故选ABD．]
2．(2024·东北三省三校二模)曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积是________．
2＋π　[将－x或－y代入方程，方程不发生改变，故曲线x2＋y2＝|x|＋|y|关于x轴、y轴对称，
2＋π
因此只需求出曲线在第一象限的面积即可．
当x≥0，y≥0时，曲线方程为＋＝，表示的图形占整个图形的，而＋＝围成的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，
所以S＝4＝2＋π，
故围成的图形的面积为2＋π．]
3．在某数学活动课上，数学老师把一块三边长分别为6，8，10的三角板ABC放在平面直角坐标系中，则△ABC的外接圆的方程可以为______________________．(写出其中一个符合条件的即可)
x2＋y2＝25(答案不唯一)　[边长分别为6，8，10的△ABC为直角三角形，且外接圆的半径为5，若将斜边的中点与坐标原点重合，则圆心为(0，0)，所以其外接圆的方程可以为x2＋y2＝25；
x2＋y2＝25(答案不唯一)
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为6的直角边落在x轴的正半轴，则圆心为(3，±4)，
所以其外接圆的方程可以为(x－3)2＋(y±4)2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为6的直角边落在x轴的负半轴，则圆心为(－3，±4)，
所以其外接圆的方程可以为(x＋3)2＋(y±4)2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为8的直角边落在x轴的正半轴，则圆心为(4，±3)，
所以其外接圆的方程可以为(x－4)2＋(y±3)2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为8的直角边落在x轴的负半轴，则圆心为(－4，±3)，
所以其外接圆的方程可以为(x＋4)2＋(y±3)2＝25．
(或者其他符合条件的圆的方程)．]
命题点3　直线与圆及圆与圆的位置关系
【典例3】　(1)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　)
A．外切　　　　　　　　 B．相交
C．内切 D．没有公共点
(2)(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
√
√
(3)(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
√
(1)B　(2)B　(3)D　[(1)直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
则圆心O到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1．
圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为，半径为，其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B．
(2)由题意得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2．当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当10)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B．
(3)法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0　①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．
因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0．由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0　②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．
法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．
连接AM，BM(图略)，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l．因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．]
反思领悟　直线与圆及圆与圆问题的求解思路
(1)位置关系问题：主要利用几何法求解．
(2)弦长问题：依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．
(3)切线长问题：先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
提醒：在处理该类问题时应树立作图意识．
1．(2025·江苏苏州三模)已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为时，r的值为(　　)
A．1 B． C． D．2
√
A　[如图所示，|MC|＝r，sin ∠MPC＝，
当∠MPN的最大值为时，∠MPC＝，
当PC⊥l时，|PC|最小，∠MPC＝最大．
由题得|PC|min＝d＝＝2，
所以sin ∠MPC＝＝，则r＝1．故选A．]
2．(多选)(2025·福建南平二模)已知圆C：＋＝25，直线l：x＋y－7m－4＝0，则(　　)
A．直线l过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
√
√
√
ACD　[对于A，直线l的方程变形为
m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直线l恒过定点，故A正确；
对于B，圆C的圆心C，半径r＝5，
C到x轴的距离为2，所以圆C被x轴截得的弦长为2＝2，故B错误；
对于C，当m＝－2时，直线l：3x＋y－10＝0，
此时圆心C到直线l的距离d＝＝，而r－d＝5－<4，所以当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确；
对于D，设直线l恒过的定点为P(3，1)，当PC⊥l时，弦长最短，此时kl＝－＝－＝2，
所以l的方程为y－1＝2，化简为2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD．]
3．(2025·河南湘豫名校联考)已知点O(0，0)，Q(3，0)，动点P满足|PQ|＝2|OP|，过点Q的直线与动点P的轨迹相交于A，B两点，若|AB|＝，则直线AB的方程为_________________________．
x－2y－3＝0或x＋2y－3＝0　[设P(x，y)，因为|PQ|＝2|OP|，所以＝2，化简得(x＋1)2＋y2＝4．
x－2y－3＝0或x＋2y－3＝0
所以动点P的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
因为弦长|AB|＝，所以圆心到直线AB的距离d＝＝＝．
由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0．
所以圆心(－1，0)到直线AB的距离d＝＝，解得k＝±，所以直线AB的方程为x－y－＝0或－x－y＋＝0，即x－2y－3＝0或x＋2y－3＝0．]
4．若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝__，此公切线的方程为______________．
1　x＋y＋2＝0　[如图，
1
x＋y＋2＝0
由题意得C1与C2相内切，又C2：(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5a，
所以|C1C2|＝＝－1，
所以2a＋1＝，解得a＝1，
所以＝＝．
联立解得
所以切点的坐标为，
故所求公切线的方程为y＋＝－，
即x＋y＋2＝0．]
【教用·备选题】
1．已知点A，B为圆C：(x－6)2＋y2＝16上两点，|AB|＝4，点P为线段AB的中点，点Q为直线x－y＋4＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．3
√
A　[圆C：(x－6)2＋y2＝16的圆心坐标为C(6，0)，半径R＝4，因为点P为线段AB的中点，|AB|＝4，
则|CP|＝＝＝2，
所以点P的轨迹是以C(6，0)为圆心，半径为r＝2的圆，
点Q在直线x－y＋4＝0上，可得圆心C(6，0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝5，所以|PQ|的最小值为d－r＝5－2＝3．故选A．]
2．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
　
　[法一：由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所以kA′B＝，
所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0．
由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，
易知圆心坐标为(－3，－2)，半径为1，
所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是．
法二：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点．直线AB的方程为y＝x＋a，即(a－3)x－2y＋2a＝0，
又对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是
法三：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点．
设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤－，解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是．]
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值__________________________________．
2
2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，点C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
4．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_______________________________________ _________________________________________________________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(只需从这三条公切线中任选一条作答即可)
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(只需从这三条公切线中任选一条作答即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图．
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设切线l的方程为y＝－x＋t(t＞0)，O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝
－x＋．
当切线为m时，设切线m的方程为kx＋y＋p＝0，
其中p＞0，k＜0，
由题意得解得
所以m的方程为y＝x－．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
课后限时练15　直线与圆
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4 B．＋y2＝8
C．＋y2＝5 D．＋y2＝10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[令该圆圆心为，半径为r，则该圆的方程为＋y2＝r2，
则有解得
故该圆的方程为＋y2＝10．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
2．(2025·苏锡常镇二模)已知圆C：x2＋(y－2)2＝，将直线l1：x－y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°后得到直线l2，则(　　)
A．直线l2过圆心C
B．直线l2与圆C相交，但不过圆心
C．直线l2与圆C相切
D．直线l2与圆C无公共点
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[直线l1：x－y＝0即y＝x，斜率为，倾斜角为60°，将直线l1绕原点按顺时针方向旋转30°得到直线l2，则直线l2的倾斜角为30°，所以直线l2的方程为y＝x，即x－y＝0，又圆C：x2＋(y－2)2＝的圆心坐标为C(0，2)，半径r＝，
圆心到直线l2的距离d＝＝<，
所以直线l2与圆C相交但不过圆心．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
3．(2025·广东汕头一模)如果圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－x－2 B．y＝－x
C．y＝－x或y＝x＋2 D．y＝x＋2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(－2，2)，由题意可得直线l的方程是以两圆圆心(0，0)，(－2，2)为端点的线段的中垂线方程，设k1＝＝－1，由两直线垂直时的斜率关系可得直线l的斜率为1，
又两圆圆心的中点坐标为(－1，1)，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2．故选D．]
4．[高考真题改编]已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上恰有两个点到直线l：x＋y＋m＝0(m>0)的距离为2，则m的取值范围是(　　)
A．(3，7) B．(3＋1，7＋1)
C．(2，7) D．(2＋1，7＋1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[由题意可得圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心C(1，－2)，半径r＝5，则圆心C到直线l的距离d＝．
因为圆C上恰有两个点到直线l的距离为2，
所以r－20，
解得3＋1故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·湖北武汉模拟)过直线l：y＝－x＋1上任一点P向圆C：x2＋(y＋1)2＝1作两条切线，切点为A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A． B． C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[设点P(x0，1－x0)，则直线AB的方程为x0x＋(2－x0)(y＋1)＝1(注：由圆x2＋y2＝r2外一点E(x0，y0)，向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，
结合圆的几何性质，易知当PC⊥l时，|AB|的值最小，kPC＝1，所以＝1，解得x0＝1，所以直线AB的方程为x＋y＝0．
所以圆心C(0，－1)到直线AB的距离d＝．
所以|AB|＝2＝2＝．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
6．(多选)已知圆C1：x2＋(y＋2)2＝4，圆C2：x2＋y2－4y＋a＝0，则
(　　)
A．a<4
B．若a＝0，则圆C1与圆C2有且仅有1个公共点
C．若圆C1与圆C2的相交弦长为4，则a＝－16
D．当a＝－32时，若动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M的轨迹方程为＝1
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABC　[对于圆C2：x2＋y2－4y＋a＝0，
转化为标准方程x2＋(y－2)2＝4－a，
因为半径r＝>0，所以a<4，A正确；
若a＝0，圆C1：x2＋(y＋2)2＝4，圆心C1(0，－2)，半径r1＝2，
圆C2：x2＋(y－2)2＝4，圆心C2(0，2)，半径r2＝2．
两圆心间距离|C1C2|＝|－2－2|＝4＝r1＋r2，则两圆外切，
所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；
若圆C1与圆C2的相交弦长为4，因为圆C1的直径为4，
所以相交弦为圆C1的直径，即两圆的公共弦所在直线过圆C1的圆心(0，－2)，
由 两式相减可得8y－a＝0，
将(0，－2)代入8y－a＝0，得a＝－16，C正确；
当a＝－32时，圆C2：x2＋(y－2)2＝36，
圆心C2(0，2)，半径r2＝6，圆C1：x2＋(y＋2)2＝4，圆心C1(0，－2)，半径r1＝2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
设动圆M的半径为R，因为动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，
则|MC1|＝R＋2，|MC2|＝6－R，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝4，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以C1(0，－2)，C2(0，2)为焦点的椭圆，2a＝8，2c＝4，
可得a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝16－4＝12，其轨迹方程为＝1(y≠－4)，D错误．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．已知直线l：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝______．
2　[对于直线l：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝
－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6．因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2．圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心坐标为(－1，3)，圆心到直线l的距离d＝＝，所以r＝＝＝2．]
2　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程：___________________________________．
y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可)　[因为切线的方向向量为，
所以切线的斜率为，
故可设切线方程为y＝x＋b．
y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，
又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为，半径为1，
圆心到直线y＝x＋b的距离为＝，
所以＝1，所以b＝2或b＝－2，
所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的直线方程为y＝x＋2或y＝x－2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．(2025·河北沧州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，动点M(x，y)到A(－1，0)，B(1，0)两点的距离的平方和为10，则的取值范围为_____________________．
(－∞，2]　[因为动点M(x，y)到A(－1，0)，B(1，0)两点的距离的平方和为10，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝10，
(－∞，2]　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
化简上述等式得到动点M的轨迹方程为x2＋y2＝4，故点M(x，y)的轨迹是以原点(0，0)为圆心，半径r＝2的圆．
因为＝＝2＋，其中可看作是点M(x，y)与点(1，－2)连线的斜率k＝，
设直线l：y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，则圆心(0，0)到直线l的距离d＝，
因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤2，整理得3k2－4k≥0，解得k≥或k≤0，
所以＝2＋k的取值范围为(－∞，2]．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
谢 谢！

展开更多......

收起↑