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课后限时练17　直线与圆锥曲线
1．(2025·内蒙古包头二模)已知直线l与双曲线－y2＝1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－3 B．y＝－x－3
C．y＝x＋5 D．y＝－x＋5
2．(2025·广东湛江二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线l：x－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2025·天津二模)若直线y＝2x与双曲线＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
4．(2025·重庆模拟)已知椭圆C：＋x2＝1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是，则|AB|＝(　　)
A． B． C． D．
5．(多选)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则(　　)
A．△PQF2的周长为8
B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1
C．若线段PQ的中点坐标为，则直线l的方程为2x＋8y－5＝0
D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2＋(y－2)2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为＋1
6．(2025·湖北武汉二模)已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AB|＝12，△OAB的面积为4，则p＝________．
7．(2025·湖北襄阳模拟)如图，斜率为的直线与椭圆C：＝1(08．(2025·湖北襄阳二模)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程；
(3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，AH⊥x轴于点H，直线BC与x轴交于点M．用S△BOM与S△AOH分别表示△BOM与△AOH的面积，证明：S△BOM＝2S△AOH．
课后限时练17
1．A　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为线段PQ的中点为M(4，1)，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
所以
两式相减可得，
即＝(y1＋y2)(y1－y2)，
所以·＝1，所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x－4，
化简为y＝x－3，经检验符合题意．故选A．]
2．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
整理得＝1，
因为线段AB中点的横坐标为7，
所以线段AB中点的纵坐标为4，
则y1＋y2＝8，
从而可得p＝4，故选D．]
3．B　[由题意可知，双曲线的渐近线斜率k＝±，
因为直线y＝2x与双曲线＝1(a>0，b>0)无公共点，所以≤2，e＝，
所以双曲线的离心率的取值范围为(1，]．故选B．]
4．D　[如图所示，
由题意，不妨设F(0，2)，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(k2＋9)x2－9＝0，Δ＝36(k2＋9)>0，
则x1＋x2＝0，x1x2＝，
所以S△ABF＝|OF|·|x1－x2|＝，
解得k＝±6，故|AB|＝．
故选D．]
5．BCD　[对于A，若直线l经过点F1，如图1，则△PF2Q的周长为4a＝4×2＝8，
若直线l不经过点F1，如图2，则△PF2Q的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|<|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝4a＝8，故A错误；
对于B，过左焦点F1的椭圆的焦点弦中，通径最短，即＝1，故B正确；
对于C，显然直线l的斜率存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
易知 整理得
＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以··kPQ，
因为PQ的中点坐标为，则x1＋x2＝y1＋y2＝1，所以kPQ＝－，
则直线l的方程为y－·，即2x＋8y－5＝0，故C正确；
对于D，设M(x0，y0)，圆心D(0，2)，
则|MD|＝
＝
＝，
因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，|MD|取得最大值，
此时|MN|取得最大值＋1，故D正确．故选BCD．]
6.4　[抛物线y2＝2px的焦点F，设直线AB：x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去x得y2－2pty－p2＝0，Δ>0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝t(y1＋y2)＋2p＝2p(t2＋1)＝12，即p(t2＋1)＝6，
|y1－y2|＝，
S△OAB＝p2·，
则p2，因此p3＝64，所以p＝4．]
7.2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AN|＝|NM|＝|MB|，
所以M(－x1，0)，N，
则B，
则
由两式相减得
＝0，
即·，
因为，
所以＝1，
·，
解得b＝1，
所以c＝，所以椭圆C的焦距为2．]
8．解：(1)依题意，2a＝2，解得a＝，得c＝2，则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆E的方程为＝1．
(2)由
消去y得2x2＋2mx＋3m2－6＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(xN，yN)，
Δ＝12m2－24(m2－2)＝12(4－m2)>0，解得－2x1＋x2＝－m，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2m＝m，由N是线段PQ的中点，得xN＝－m，yN＝m，
因此xN＋yN＝0，－1所以线段PQ的中点N的轨迹方程为x＋y＝0(－1(3)证明：由题意，设点A(x0，y0)(x0y0≠0)，则点B(－x0，－y0)，H(x0，0)，
设直线BC的方程为y＋y0＝k(x＋x0)，点C(xC，yC)，
由得(3k2＋1)x2＋6k(kx0－y0)x＋3(kx0－y0)2－6＝0，
则－x0＋xC＝，－x0xC＝，xC＝＋x0，yC＝kxC＋kx0－y0＝＋2kx0－y0．
由AB⊥AC，得·＝(x0，y0)·＋2kx0－2y0＝0，
整理得(y0－kx0)·(y0－3kx0)＝0，解得y0＝kx0或y0＝3kx0，
当y0＝kx0时，直线BC过原点，不符合题意；
当y0＝3kx0时，直线BC的方程为y＝kx－2kx0，
则点M的坐标为(2x0，0)，
因此S△AOH＝|OH|·|y0|＝|x0y0|，S△BOM＝|OM|·|y0|＝|x0y0|．
所以S△BOM＝2S△AOH．
1/2课时17　直线与圆锥曲线
[备考指南]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题．备考中学会几何问题代数化，注重转化与化归能力的培养．
命题点1　弦长问题
【典例1】　(2025·天津静海三模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点E坐标为(2，0)，线段AB的垂直平分线分别交直线x＝－和l于点P，M，若|PM|＝2|AB|，求直线l的斜率．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　过焦点的弦的问题，可考虑结合圆锥曲线的定义求解，如抛物线中过焦点F的弦长|AB|＝xA＋xB＋p．
(多选)(2025·安徽黄山二模)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A(8，8)在抛物线上，过点F作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则(　　)
A．|MN|的最小值为4
B．以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切
C．当＝2时，|MN|＝9
D．·＝－12
命题点2　面积问题
【典例2】　(2025·浙江温州三模)已知抛物线C1：x2＝2p1y与C2：y2＝2p2x的焦点分别为F1，F2，A(4，m)(m>0)为C1，C2的一个交点，且|AF2|＝5．
(1)求p1，p2，m的值；
(2)P，Q是C1上的两点，若四边形F1PF2Q(按逆时针排列)为平行四边形，求此四边形的面积．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟
1．三角形面积
如图1，采用三角形面积最基本的算法：S△ABP＝|AB|·d．
如图2，采用割补算法可得S△ABP＝|PG|·|yA－yB|．
2．四边形面积
四边形面积的求解中常见的结构是将其分为三角形处理，个别特殊的算法为：
(1)四边形ABCD对角线夹角为θ：S四边形ABCD＝|AC|·|BD|·sin θ．
(2)平行四边形的面积公式：S四边形ABCD＝底×高(高可以为点线距离或线线距离)．
(2025·全国二卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点3　中点弦问题
【典例3】　已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点(，1)．
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围．
(3)是否存在过点M的直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ的中点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　利用根与系数的关系解题时，需关注直线的斜率是否存在(为零)；点差法在确定范围方面略显不足．
[教材母题改编]已知圆M：(x＋3)2＋y2＝4，圆N：(x－3)2＋y2＝100，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)是否存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点？若存在，求该直线的方程；若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课时17　直线与圆锥曲线
典例1　解：(1)由题意知
解得
∴椭圆C的方程为＝1．
(2)由题意得E(2，0)为椭圆的焦点，当l的斜率不存在时，显然|PM|＝2＋，|AB|＝，
显然|PM|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|AB|＝·|y1－y2|＝·，
此时y0＝，
∴x0＝－，
∴M，
∴kPM＝－m，
∴|PM|＝·
＝·
＝2·，
解得m＝±1或m＝±，
∴直线l的斜率为±1或±．
考教衔接
　BCD　[由题设82＝2p×8 p＝4，则C：y2＝8x，F(2，0)，可设直线MN：x＝ty＋2，联立抛物线方程得y2－8ty－16＝0，显然Δ>0，
所以y1＋y2＝8t，y1y2＝－16，
则|MN|＝·
＝8(1＋t2)≥8，当且仅当t＝0时等号成立，A错误；
由抛物线的定义知|MN|＝x1＋x2＋4，而MN的中点的横坐标为，所以MN的中点与直线x＝－2的距离为＋2，即为|MN|的一半，所以以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切，B正确；
若，且y1>0>y2，则y1＝2|y2|，而y1y2＝－16，所以y1＝4，y2＝－2，
则y1＋y2＝8t＝2，
所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝＋4＝5，
则|MN|＝x1＋x2＋4＝9，C正确；
由·＝x1x2＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2－16＋16t2＋4＝－12，D正确．故选BCD．]
典例2　解：(1)抛物线C2：y2＝2p2x，准线方程为x＝－，
|AF2|＝4＋＝5，所以p2＝2，所以y2＝4x，
因为点A(4，m)在抛物线C2上，所以m2＝4×4＝16，
又m>0，所以m＝4，
将A(4，4)代入抛物线C1：x2＝2p1y，可得p1＝2，
故p1＝2，p2＝2，m＝4．
(2)由(1)可知F1(0，1)，F2(1，0)，设F1F2的中点为M，
因为四边形F1PF2Q为平行四边形，所以M为PQ的中点，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
因为P，Q在抛物线C1上，所以
则＝4(y1－y2)，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，
所以，所以kPQ＝，且直线PQ过点M，
所以lPQ：y－，即2x－8y＋3＝0，
联立整理得2x2－2x－3＝0，
所以x1＋x2＝1，x1x2＝－，
所以|PQ|＝|x1－x2|
＝·
＝，
F1到PQ的距离d＝，
所以＝|PQ|·d＝．
考教衔接
　解：(1)由2a＝4，得a＝2．
由题意得e＝，则c＝，又b2＝a2－c2，所以b＝．
所以C的方程为＝1．
(2)由题意得直线l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＝1，消去y并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0，
由Δ＝16(2k2－1)>0，得k2>，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
S△OAB＝，解得k2＝．
所以|AB|＝|x2－x1|
＝．
典例3　解：(1)因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，1)，
所以
所以双曲线的方程为x2－y2＝1．
(2)设直线l交双曲线左支于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0，
因为直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，
则
解得1(3)若直线m⊥x轴，则直线m与双曲线x2－y2＝1相切，不符合题意，所以直线m的斜率存在．
设点P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
因为M为线段PQ的中点，
则
将点P，Q的坐标代入双曲线的方程，可得
)－()＝0，
即(x3－x4)(x3＋x4)＝(y3－y4)(y3＋y4)，即2(x3－x4)＝(y3－y4)，
所以直线PQ的斜率kPQ＝＝3，
所以直线m的方程为y－＝3(x－1)，
即y＝3x－，
联立可得8x2－16x＋＝0，
则Δ＝162－4×8×<0，
因此，不存在满足题设条件的直线m．
考教衔接
解：(1)设动圆P的半径为r，依题意得
所以|PM|＋|PN|＝12，且12>|MN|＝6，
所以动点P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为12的椭圆，所以2a＝12，2c＝6，即a＝6，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)假设存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点．由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝3，
则，
得，
即kAB＝－，
所以直线AB的方程为y－·(x－1)，即x＋2y－4＝0．
代入椭圆方程中，得4y2－12y－15＝0，因为Δ>0，所以直线AB存在．
所以存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点，且该直线的方程为x＋2y－4＝0．
1/4(共68张PPT)
专题五　解析几何
课时17　直线与圆锥曲线
[备考指南]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题．备考中学会几何问题代数化，注重转化与化归能力的培养．
命题点1　弦长问题
【典例1】　(2025·天津静海三模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点E坐标为(2，0)，线段AB的垂直平分线分别交直线x＝－和l于点P，M，若|PM|＝2|AB|，求直线l的斜率．
[解]　(1)由题意知解得
∴椭圆C的方程为＝1．
(2)由题意得E(2，0)为椭圆的焦点，当l的斜率不存在时，显然|PM|＝2＋＝，|AB|＝＝＝，
显然|PM|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|AB|＝·|y1－y2|＝·＝，
此时y0＝＝－，∴x0＝－＋2＝，
∴M，∴kPM＝－m，∴|PM|＝·＝·＝2·，解得m＝±1或m＝±，
∴直线l的斜率为±1或±．
反思领悟　过焦点的弦的问题，可考虑结合圆锥曲线的定义求解，如抛物线中过焦点F的弦长|AB|＝xA＋xB＋p．
(多选)(2025·安徽黄山二模)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A(8，8)在抛物线上，过点F作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则(　　)
A．|MN|的最小值为4
B．以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切
C．当＝2时，|MN|＝9
D．·＝－12
√
√
√
BCD　[由题设82＝2p×8 p＝4，则C：y2＝8x，f (2，0)，可设直线MN：x＝ty＋2，联立抛物线方程得y2－8ty－16＝0，显然Δ>0，
所以y1＋y2＝8t，y1y2＝－16，
则|MN|＝·
＝8(1＋t2)≥8，当且仅当t＝0时等号成立，A错误；
由抛物线的定义知|MN|＝x1＋x2＋4，而MN的中点的横坐标为，所以MN的中点与直线x＝－2的距离为＋2，即为|MN|的一半，所以以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切，B正确；
若＝2，且y1>0>y2，则y1＝2|y2|，而y1y2＝－16，所以y1＝4，y2＝－2，
则y1＋y2＝8t＝2 t＝，
所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝×2＋4＝5，
则|MN|＝x1＋x2＋4＝9，C正确；
由·＝x1x2＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2－16＋16t2＋4＝－12，D正确．故选BCD．]
【教用·备选题】
(2025·北京三模)已知椭圆W：＝1(a>b>0)过A(0，－1)，B两点．
(1)求椭圆W的方程；
(2)设C(0，2)，D(0，－4)，过点C的直线l与椭圆交于P，Q两点，连接QD，PD分别交x轴于M，N两点(M，N不重合)，已知|ON|＝2|OM|，求直线l的方程．
[解]　(1)将A(0，－1)，B代入椭圆W的方程可得
解得
所以椭圆W的方程为＋y2＝1．
(2)结合题意可知，直线l的斜率存在，
又C(0，2)，设直线l的方程为y＝kx＋2，P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，如图所示．
联立整理可得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)>0，
可得k2>，即k>或k<－．
因为D(0，－4)，所以QD，PD的斜率分别为kQD＝，kPD＝，
因此直线QD，PD的方程分别为y＝x－4，y＝x－4，
则与x轴的交点M，N的坐标为M，N，
结合|ON|＝2|OM|可知＝2，即＝，
也即＝，整理可得kx1x2＋12x2－6x1＝0，
又x1x2＝，可得＋12x2－6x1＝0，
又因为x1＋x2＝，将x1＝－x2代入＋12x2－6x1＝0，
可得＋12x2－6＝0，
解得x2＝－，
所以x1＝－，
代入x1x2＝计算可得＝，解得k2＝1，
即k＝1或k＝－1，经检验符合题意，
所以直线l的方程为y＝－x＋2或y＝x＋2．
命题点2　面积问题
【典例2】　(2025·浙江温州三模)已知抛物线C1：x2＝2p1y与C2：y2＝2p2x的焦点分别为F1，F2，A(4，m)(m>0)为C1，C2的一个交点，且|AF2|＝5．
(1)求p1，p2，m的值；
(2)P，Q是C1上的两点，若四边形F1PF2Q(按逆时针排列)为平行四边形，求此四边形的面积．
[解]　(1)抛物线C2：y2＝2p2x，准线方程为x＝－，
|AF2|＝4＋＝5，所以p2＝2，所以y2＝4x，
因为点A(4，m)在抛物线C2上，所以m2＝4×4＝16，
又m>0，所以m＝4，
将A(4，4)代入抛物线C1：x2＝2p1y，可得p1＝2，
故p1＝2，p2＝2，m＝4．
(2)由(1)可知F1(0，1)，F2(1，0)，设F1F2的中点为M，
因为四边形F1PF2Q为平行四边形，所以M为PQ的中点，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
因为P，Q在抛物线C1上，所以
则＝4(y1－y2)，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，
所以＝，所以kPQ＝，且直线PQ过点M，
所以lPQ：y－＝，即2x－8y＋3＝0，
联立整理得2x2－2x－3＝0，
所以x1＋x2＝1，x1x2＝－，
所以|PQ|＝|x1－x2|＝·＝＝，
F1到PQ的距离d＝＝，
所以＝|PQ|·d＝＝．
反思领悟
1．三角形面积
如图1，采用三角形面积最基本的算法：S△ABP＝|AB|·d．
如图2，采用割补算法可得S△ABP＝|PG|·|yA－yB|．
2．四边形面积
四边形面积的求解中常见的结构是将其分为三角形处理，个别特殊的算法为：
(1)四边形ABCD对角线夹角为θ：S四边形ABCD＝|AC|·|BD|·sin θ．
(2)平行四边形的面积公式：S四边形ABCD＝底×高(高可以为点线距离或线线距离)．
(2025·全国二卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|．
[解]　(1)由2a＝4，得a＝2．
由题意得e＝＝，则c＝a＝，又b2＝a2－c2，所以b＝．
所以C的方程为＝1．
(2)由题意得直线l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＝1，消去y并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0，
由Δ＝16(2k2－1)＞0，得k2＞，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
S△OAB＝×2×|x2－x1|＝＝＝，解得k2＝．
所以|AB|＝|x2－x1|
＝＝．
【教用·备选题】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则m＝(　　)
A． B． C．－ D．－
√
C　[将直线方程与椭圆方程联立得
消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0．
因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4>0，解得－2设F1到直线AB的距离为d1，F2到直线AB的距离为d2，易知F1，F2，
则d1＝，d2＝，
＝＝＝2，
解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C．]
命题点3　中点弦问题
【典例3】　已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点(，1)．
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围．
(3)是否存在过点M的直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ的中点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点(，1)，
所以解得
所以双曲线的方程为x2－y2＝1．
(2)设直线l交双曲线左支于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0，
因为直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，
则
解得1(3)若直线m⊥x轴，则直线m与双曲线x2－y2＝1相切，不符合题意，所以直线m的斜率存在．
设点P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
因为M为线段PQ的中点，
则
将点P，Q的坐标代入双曲线的方程，可得
作差可得＝0，
即(x3－x4)(x3＋x4)＝(y3－y4)(y3＋y4)，
即2(x3－x4)＝(y3－y4)，
所以直线PQ的斜率kPQ＝＝3，
所以直线m的方程为y－＝3(x－1)，
即y＝3x－，
联立可得8x2－16x＋＝0，
则Δ＝162－4×8×＝－<0，
因此，不存在满足题设条件的直线m．
反思领悟　利用根与系数的关系解题时，需关注直线的斜率是否存在(为零)；点差法在确定范围方面略显不足．
[教材母题改编]已知圆M：(x＋3)2＋y2＝4，圆N：(x－3)2＋y2＝100，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)是否存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点？若存在，求该直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设动圆P的半径为r，依题意得
所以|PM|＋|PN|＝12，且12>|MN|＝6，
所以动点P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为12的椭圆，所以2a＝12，2c＝6，即a＝6，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)假设存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点．由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝3，
则两式相减得＝，
得＝－＝－＝－，
即kAB＝－，
所以直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0．
代入椭圆方程中，得4y2－12y－15＝0，因为Δ＞0，所以直线AB存在．
所以存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点，且该直线的方程为x＋2y－4＝0．
【教用·备选题】
(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
√
D　[依题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点坐标为(x0，y0)，设直线AB的方程为y＝kx＋m(提示：根据选项中点与双曲线的位置关系可知，若为线段AB的中点，则直线AB的斜率存在)，与双曲线方程联立可得(9－k2)x2－2kmx－m2－9＝0，则9－k2≠0，Δ＝4k2m2＋4(9－k2)(m2＋9)＞0，即k≠±3，且－k2＋m2＋9＞0．由点A，B在双曲线上可得两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
整理得＝·，即9·＝(提示：弦中点问题常利用点差法)．
对于A选项，直线AB的斜率为＝9，则直线AB的方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8，－k2＋m2＋9＝－81＋64＋9＜0，不符合题意；
对于B选项，直线AB的斜率为＝－，则直线AB的方程为y－2＝
－(x＋1)，即y＝－x－，－k2＋m2＋9＝－＋9＜0，不符合题意；
对于C选项，直线AB的斜率为＝3，不符合题意；
对于D选项，直线AB的斜率为＝，则直线AB的方程为y＋4＝(x＋1)，即y＝x－，－k2＋m2＋9＝－＋9＞0，符合题意．故选D．]
8
课后限时练17　直线与圆锥曲线
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
1．(2025·内蒙古包头二模)已知直线l与双曲线－y2＝1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－3 B．y＝－x－3
C．y＝x＋5 D．y＝－x＋5
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为线段PQ的中点为M(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
所以两式相减可得＝，
即＝(y1＋y2)(y1－y2)，
所以·＝，即＝1，
所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x－4，
化简为y＝x－3，经检验符合题意．故选A．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．(2025·广东湛江二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线l：x－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
整理得＝＝1，
因为线段AB中点的横坐标为7，
所以线段AB中点的纵坐标为4，则y1＋y2＝8，
从而可得p＝4，故选D．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
3．(2025·天津二模)若直线y＝2x与双曲线＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[由题意可知，双曲线的渐近线斜率k＝±，
因为直线y＝2x与双曲线＝1(a>0，b>0)无公共点，
所以≤2，e＝＝＝，
所以双曲线的离心率的取值范围为(1，]．故选B．]
8
4．(2025·重庆模拟)已知椭圆C：＋x2＝1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是，则|AB|＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[如图所示，
由题意，不妨设f (0，2)，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(k2＋9)x2－9＝0，Δ＝36(k2＋9)>0，
则x1＋x2＝0，x1x2＝，
所以S△ABF＝|OF|·|x1－x2|＝×2＝＝，
解得k＝±6，故|AB|＝|x1－x2|＝＝．故选D．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
5．(多选)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则(　　)
A．△PQF2的周长为8
B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1
C．若线段PQ的中点坐标为，则直线l的方程为2x＋8y－5＝0
D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2＋(y－2)2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为＋1
√
√
√
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
BCD　[对于A，若直线l经过点F1，如图1，则△PF2Q的周长为4a＝4×2＝8，
若直线l不经过点F1，如图2，则△PF2Q的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|<|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝4a＝8，故A错误；
对于B，过左焦点F1的椭圆的焦点弦中，通径最短，即＝＝1，故B正确；
对于C，显然直线l的斜率存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
易知 整理得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以·＝－＝·kPQ，
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
因为PQ的中点坐标为，则x1＋x2＝y1＋y2＝1，所以kPQ＝－，
则直线l的方程为y－＝－，即2x＋8y－5＝0，故C正确；
对于D，设M(x0，y0)，圆心D(0，2)，
则|MD|＝＝＝，
因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，|MD|取得最大值＝，
此时|MN|取得最大值＋1，故D正确．故选BCD．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．(2025·湖北武汉二模)已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AB|＝12，△OAB的面积为4，则p＝________．
4　[抛物线y2＝2px的焦点F，设直线AB：x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去x得y2－2pty－p2＝0，Δ＞0，
4
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝t(y1＋y2)＋2p＝2p(t2＋1)＝12，即p(t2＋1)＝6，
|y1－y2|＝＝＝2p，
S△OAB＝|OF||y1－y2|＝p2＝4，
则p2＝8，因此p3＝64，所以p＝4．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
7．(2025·湖北襄阳模拟)如图，斜率为的直线与椭圆C：＝1(02　
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AN|＝|NM|＝|MB|，
所以M(－x1，0)，N，则B，
则 由
两式相减得＝0，
即·＝－，
因为＝，所以＝，所以＝1，
＝＝－＝－，所以·＝－，解得b＝1，
所以c＝＝，所以椭圆C的焦距为2．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
7
8．(2025·湖北襄阳二模)已知椭圆E：＝1(a＞b>0)的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程；
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
(3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，AH⊥x轴于点H，直线BC与x轴交于点M．用S△BOM与S△AOH分别表示△BOM与△AOH的面积，证明：S△BOM＝2S△AOH．
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
[解]　(1)依题意，2a＝2，解得a＝，由离心率为，得c＝2，则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆E的方程为＝1．
(2)由消去y得2x2＋2mx＋3m2－6＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(xN，yN)，
Δ＝12m2－24(m2－2)＝12(4－m2)>0，解得－2x1＋x2＝－m，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2m＝m，
由N是线段PQ的中点，得xN＝－m，yN＝m，
因此xN＋yN＝0，－1所以线段PQ的中点N的轨迹方程为x＋y＝0(－1题号
1
3
5
2
4
6
7
8
(3)证明：由题意，设点A(x0，y0)(x0y0≠0)，则点B(－x0，－y0)，H(x0，0)，
设直线BC的方程为y＋y0＝k(x＋x0)，点C(xC，yC)，
由
得(3k2＋1)x2＋6k(kx0－y0)x＋3(kx0－y0)2－6＝0，
则－x0＋xC＝，－x0xC＝，
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
xC＝＋x0，yC＝kxC＋kx0－y0＝＋2kx0－y0．
由AB⊥AC，得·＝(x0，y0)·＝0，
整理得(y0－kx0)(y0－3kx0)＝0，解得y0＝kx0或y0＝3kx0，
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
当y0＝kx0时，直线BC过原点，不符合题意；
当y0＝3kx0时，直线BC的方程为y＝kx－2kx0，
则点M的坐标为(2x0，0)，
因此S△AOH＝|OH|·|y0|＝|x0y0|，S△BOM＝|OM|·|y0|＝|x0y0|．
所以S△BOM＝2S△AOH．
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
谢 谢！

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