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重点培优练11　圆锥曲线中的双切线问题——同构法
1．(2025·云南师大附中模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上、下顶点与其中一个焦点围成的三角形的面积为，过点P作椭圆C的两条切线，切点为A，B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)过点P作直线l交椭圆C于M，N两点，交直线AB于点Q，求的值．
2．(2025·内蒙古包头二模)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：－y2＝1(a>0)的离心率为，点P是C1上任意一点．抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到准线的距离是1．
(1)求C1，C2的方程；
(2)PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．
重点培优练11
1．解：(1)由题意可知，，①
又·2b·c＝，所以bc＝，②
由①②及a2＝b2＋c2，可得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)先证过椭圆＝1上一点A＝1，
证明如下：当过椭圆上一点A的切线斜率存在时，
设切线方程为y＝kx＋m，
联立x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
因为直线与椭圆相切，
所以Δ＝－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简可得4k2－m2＋3＝0，
所以x1＝，代入y＝kx＋m可得，
y1＝kx1＋m＝k·，
于是k＝－·m＝－··，
故切线方程为y－y1＝－··(x－x1)，即4，
又3＝12，故切线PA的方程为＝1，
当过椭圆上一点A的切线斜率不存在时，切线方程为x＝±2，满足题意．
所以过椭圆＝1上一点A＝1，
故切线PA的方程为＝1，
同理，切线PB的方程为＝1，又因为切线过点P，
所以＝1，＝1，所以x1＋y1＝－1，x2＋y2＝－1，故直线AB的方程为x＋y＋1＝0．
(3)由题意可知直线l的斜率存在，且k>0，设直线l的方程为y＝k－3，
联立椭圆C的方程＝1，
得x＋64k2－96k＋24＝0，Δ>0，令M，N，
所以x3＋x4＝－，
x3·x4＝．
令Q，解方程组
得x0＝．
又
＝
＝
＝
＝2，
所以＝2．
2．解：(1)设双曲线的半焦距为c，则c2＝a2＋1，
又因为离心率为，
代入得＝a2＋1，解得a＝，
所以双曲线C1的方程为－y2＝1．
因为抛物线C2的焦点到准线的距离为1，所以p＝1，所以抛物线C2的方程为x2＝2y．
(2)设P(x0，y0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
因为函数y＝x2的导数为y'＝x，
所以直线PC的方程为y－y1＝x1(x－x1)，由于P(x0，y0)在直线PC上，
则y0－y1＝x1(x0－x1)＝x0x1－2y1，y0＋y1＝x0x1，同理y0＋y2＝x0x2，
所以C(x1，y1)，D(x2，y2)均满足方程y0＋y＝x0x，
所以直线CD的方程为x0x＝y＋y0，
联立方程得x2－2x0x＋2y0＝0，所以x1＋x2＝2x0，x1x2＝2y0，
则|CD|＝·，又因为P到直线CD的距离d＝，
所以△PCD的面积S＝|CD|·d＝·|＝(，
又因为，所以S≥，当P为时，S取最小值，所以△PCD面积的最小值为．
1/2培优课11　圆锥曲线中的双切线问题——同构法
我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题，这类问题由于涉及双切线、双切点、双斜率，在引参、设点、设直线方程和求解过程中，处理方法特殊技巧性强，对运算能力和方程思想的理解要求较高，是圆锥曲线的一个难点和热点问题．
类型1　彭赛列闭合定理的应用
【典例1】　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟
1．双切线问题同构转化后的表达式多角度进行抽象：(1)从方程(根)的角度；(2)从直线(点)的角度．
2．双切线问题的求解思路
已知曲线外一点A1(x0，y0)，向二次曲线C引两条切线A1A2，A1A3，切点分别为A2，A3．设A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分别写出切线A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：联立A1A2，A1A3与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系式①，②，从而以A1的横或纵坐标为参数，进一步构造点A2，A3的横或纵坐标满足的同构方程③；
第3步：利用方程③中根与系数的关系判断，A2A3与曲线的位置关系，或完成其他问题．
1．(2025·福建泉州模拟)已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝4y，过点(0，4)的直线l与C相交于M，N两点．
(1)求∠MON．
(2)过M，N分别作C的两条切线l1，l2，记l1，l2的交点为P．
(ⅰ)求△PMN的面积的最小值；
(ⅱ)设A，B分别为l1，l2与x轴的交点，证明：△PAB的外接圆过定点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　阿基米德三角形的应用
【典例2】　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB的面积的最大值．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　对于抛物线C：y2＝2px(p＞0)，设P(x0，y0)(在抛物线C外)，PA，PB是C的两条切线，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则阿基米德三角形PAB的面积S△PAB＝＝．
2．已知抛物线E：y2＝4x，焦点为F，动点P(－1，t)在抛物线E的准线上，过点P作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是(　　)
A．PA⊥PB
B．PF⊥AB
C．直线AB的方程为2x－ty－2＝0
D．△PAB面积的最小值为2
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)作直线l交抛物线于A，B两点．过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，且直线l1与直线l2相交于点M，问：点M是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优课11　圆锥曲线中的双切线问题——同构法
典例1　解：(1)依题意，设抛物线C：y2＝2px(p>0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)，
因为OP⊥OQ，所以·＝1－2p＝0，所以2p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝x．
因为M(2，0)，☉M与x＝1相切，所以半径为1，
所以☉M的方程为(x－2)2＋y2＝1．
(2)法一(方程根的角度)：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x＝1或x＝3，
若A1A2的方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)，
则过A1与☉M相切的另一条直线方程为y＝1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；
若A1A2的方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)，
则过A1与☉M相切的直线A1A3的方程为y－(x－3)，
又，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，
所以直线A2A3与☉M相切．
若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，
则，所以直线A1A2的方程为y－y1＝(x－x1)，
整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理直线A1A3的方程为x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
因为A1A2与☉M相切，
所以＝1，
整理得(－1)＝0，①
A1A3与☉M相切，同理(－1)＝0．②
所以y2，y3为方程(－1)y2＋2y1y＋3－＝0的两根，③
y2＋y3＝－，y2·y3＝，
M到直线A2A3的距离为
＝＝1，
所以直线A2A3与☉M相切．
综上所述，若直线A1A2，A1A3与☉M相切，则直线A2A3与☉M相切．
法二(直线(点)的角度)：
设A1(x1，y1)，＝x1，A2(x2，y2)，＝x2，A3(x3，y3)，＝x3．
当x1＝x2时，则A1A2的方程为x＝1或x＝3，
若A1A2的方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)，
则过A1与☉M相切的另一条直线方程为y＝1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；
若A1A2的方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)，则过A1与☉M相切的直线A1A3的方程为y－(x－3)，又，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与☉M相切．
当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y－y1＝·(x－x1)，
即y＝．
由直线A1A2与☉M相切得
＝1，
化简得2y1y2＋(x1－1)x2－x1＋3＝0，
同理，由直线A1A3与☉M相切得
2y1y3＋(x1－1)x3－x1＋3＝0．
因为方程2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0同时经过点A2，A3，所以直线A2A3的方程为2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0，点M到直线A2A3的距离为＝1．
所以直线A2A3与☉M相切．
综上所述，若直线A1A2，A1A3与☉M相切，则直线A2A3与☉M相切．
考教衔接
1．解：(1)根据题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立抛物线C的方程x2＝4y得x2－4kx－16＝0，Δ＝16k2＋64>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
·＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)＝x1x2＋k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16－16k2＋16k2＋16＝0，
所以∠MON＝．
(2)(ⅰ)抛物线y＝，y'＝，
所以l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，
则l1：y＝，l2：y＝，
交点P，即P(2k，－4)，
点P到直线l的距离d＝，
|MN|＝，S△MNP＝|MN|d＝4(k2＋4)＝4(k2＋4≥32，
当k＝0时取等号，
所以△PMN的面积的最小值为32．
(ⅱ)证明：l1，l2与x轴的交点坐标A，B，P，kPA＝－，PA的中点坐标为，－2，
所以直线PA的垂直平分线所在直线的方程为y＝－2，
又AB的垂直平分线的方程为x＝，
所以△PAB的外接圆圆心为E－2，即E，半径r＝|EA|＝，
所以△PAB的外接圆方程为(x－k)2＋，
即(x－k)2＋，
故x2－2kx＋y2＋3y＝4，
所以恒过定点(0，1)和(0，－4)，
故△PAB的外接圆过定点．
典例2　解：(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立 消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0，　(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝4·．
因为x2＝4y，即y＝，所以y'＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为y－(x－x1)，即y＝．
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝，
联立
则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，　①
且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，
所以－，3≤b≤5，满足(※)式．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5．
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB的面积的最大值为20．
考教衔接
2．ABC　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意求得抛物线E在点A处的切线方程为y1y＝2x1＋2x，
抛物线E在点B处的切线方程为y2y＝2x2＋2x，
将点P的坐标代入两切线方程可得
所以，点A，B的坐标均满足方程2x－ty－2＝0，
又因为两点确定一条直线，故直线AB的方程为2x－ty－2＝0，C正确；
联立 可得y2－2ty－4＝0，Δ＝4t2＋16>0，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－4，故直线PA，PB的斜率之积为kPAkPB＝·＝－1，故PA⊥PB，A正确；
因为则2(x1－x2)＝t(y1－y2)，可得x1－x2＝(y1－y2)，
所以＝(x1－x2，y1－y2)＝(y1－y2)，y1－y2，
易知直线2x－ty－2＝0经过抛物线的焦点F(1，0)，
＝(2，－t)，所以·＝0，则PF⊥AB，B正确；
|AB|＝x1＋x2＋2＝＋4＝t2＋4，
|PF|＝，
则S△PAB＝|PF|·|AB|＝·(t2＋4)＝(t2＋4＝4，
当且仅当t＝0时，等号成立，故△PAB的面积的最小值为4，D错误．故选ABC．]
3．解：设l的方程为x＝my＋2，
联立直线l与抛物线方程化简可得y2－4my－8＝0，
则Δ＝16m2＋32>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
∴x1x2＝＝4，
不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，点B(x2，y2)在x轴下方，
当y≥0时，y＝2，求导可得y'＝，
∴y'，
∴抛物线C上过点A的切线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝＋y1①，
当y<0时，y＝－2，求导可得y'＝－，∴y'，
∴抛物线C上过点B的切线l2的方程为y－y2＝－(x－x2)，即y＝－＋y2②，
联立①②可得，＋y2－y1，
∵y2＝－2，y1＝2，
∴，
∵x1x2＝4，∴x＝－()，
又∵≠0，∴x＝－2，即M的横坐标恒为－2，
∴点M在定直线x＝－2上．
1/4(共67张PPT)
专题五　解析几何
培优课11　圆锥曲线中的双切线问题——同构法
我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题，这类问题由于涉及双切线、双切点、双斜率，在引参、设点、设直线方程和求解过程中，处理方法特殊技巧性强，对运算能力和方程思想的理解要求较高，是圆锥曲线的一个难点和热点问题．
类型1　彭赛列闭合定理的应用
【典例1】　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
[解]　(1)依题意，设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，P(1，y0)，Q(1，
－y0)，
因为OP⊥OQ，所以·＝＝1－2p＝0，所以2p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝x．
因为M(2，0)，⊙M与x＝1相切，所以半径为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1．
(2)法一(方程根的角度)：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x＝1或x＝3，
若A1A2的方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)，
则过A1与⊙M相切的另一条直线方程为y＝1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；
若A1A2的方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)，
则过A1与⊙M相切的直线A1A3的方程为y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，
所以直线A2A3与⊙M相切．
若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，
则＝＝，
＝，所以直线A1A2的方程为y－y1＝(x－x1)，
整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理直线A1A3的方程为x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
因为A1A2与⊙M相切，所以＝1，
整理得＝0，①
A1A3与⊙M相切，同理＝0．②
所以y2，y3为方程＝0的两根，③
y2＋y3＝，y2·y3＝，
M到直线A2A3的距离为
＝＝＝＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上所述，若直线A1A2，A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切．
法二(直线(点)的角度)：
设＝＝＝x3．
当x1＝x2时，则A1A2的方程为x＝1或x＝3，
若A1A2的方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)，
则过A1与⊙M相切的另一条直线方程为y＝1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；
若A1A2的方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)，则过A1与⊙M相切的直线A1A3的方程为y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y－y1＝·(x－x1)，即y＝．
由直线A1A2与⊙M相切得＝1，
化简得2y1y2＋(x1－1)x2－x1＋3＝0，
同理，由直线A1A3与⊙M相切得
2y1y3＋(x1－1)x3－x1＋3＝0．
因为方程2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0同时经过点A2，A3，所以直线A2A3的方程为2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0，
点M到直线A2A3的距离为＝＝1．
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上所述，若直线A1A2，A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切．
反思领悟
1．双切线问题同构转化后的表达式多角度进行抽象：(1)从方程(根)的角度；(2)从直线(点)的角度．
2．双切线问题的求解思路
已知曲线外一点A1(x0，y0)，向二次曲线C引两条切线A1A2，A1A3，切点分别为A2，A3．设A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分别写出切线A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：联立A1A2，A1A3与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系式①，②，从而以A1的横或纵坐标为参数，进一步构造点A2，A3的横或纵坐标满足的同构方程③；
第3步：利用方程③中根与系数的关系判断，A2A3与曲线的位置关系，或完成其他问题．
1．(2025·福建泉州模拟)已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝4y，过点(0，4)的直线l与C相交于M，N两点．
(1)求∠MON．
(2)过M，N分别作C的两条切线l1，l2，记l1，l2的交点为P．
(ⅰ)求△PMN的面积的最小值；
(ⅱ)设A，B分别为l1，l2与x轴的交点，证明：△PAB的外接圆过定点．
[解]　(1)根据题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立抛物线C的方程x2＝4y得x2－4kx－16＝0，
Δ＝16k2＋64>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
·＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)＝x1x2＋k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝
－16－16k2＋16k2＋16＝0，所以∠MON＝．
(2)(ⅰ)抛物线y＝，y′＝，所以l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，
则l1：y＝，l2：y＝，
交点P，即P(2k，－4)，
点P到直线l的距离d＝，|MN|＝＝4，S△MNP＝|MN|d＝4(k2＋4)＝≥32，当k＝0时取等号，
所以△PMN的面积的最小值为32．
(ⅱ)证明：l1，l2与x轴的交点坐标A，B，P，kPA＝－，PA的中点坐标为，
所以直线PA的垂直平分线所在直线的方程为y＝－2，
又AB的垂直平分线的方程为x＝，
所以△PAB的外接圆圆心为E，
即E，半径r＝|EA|＝，
所以△PAB的外接圆方程为(x－k)2＋＝r2＝＋，
即(x－k)2＋＝k2＋，
故x2－2kx＋y2＋3y＝4，
所以恒过定点(0，1)和(0，－4)，
故△PAB的外接圆过定点．
【教用·备选题】
1．(2025·山东德州模拟)如图所示，已知椭圆C：＝1与直线l：＝1．点P在直线l上，由点P引椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，O是坐标原点．
(1)若点P为直线l与y轴的交点，求△PAB的面积S；
(2)若OD⊥AB，D为垂足，求证：存在定点Q，使得为定值．
[解]　(1)由题意知P，过点P与椭圆相切的直线斜率存在，
设切线方程为y＝kx＋3，联立
可得x2＋12kx＋12＝0，(*)
所以Δ＝144k2－48＝48＝0，解得k＝±1，即切线方程为y＝±x＋3．
所以PA⊥PB，
将k＝1代入方程(*)可得x2＋4x＋4＝0，可得x＝－2，此时y＝1，
不妨设点A，同理可得点B，则＝＝＝2，
因此，△PAB的面积S＝·＝4．
(2)证明：设A，B，
因为椭圆＝1在其上一点M处的切线方程为＝1，
则切线PA的方程为＝1，切线PB的方程为＝1．
设P，则
所以点A，B的坐标满足方程＝1，即mx＋2ny－6＝0，
所以直线AB的方程为mx＋2ny－6＝0．
因为点P在直线＝1上，所以m＋2n＝6，则2n＝6－m，
所以直线AB的方程可表示为mx＋y－6＝0，即m＋6＝0．
令可得故直线AB过定点T．
因为OD⊥AB，D，T在直线AB上，OD⊥DT，
故点D在以OT为直径的圆上，
当点Q为线段OT的中点时，＝|OT|＝，此时点Q的坐标为．
故存在定点Q，使得为定值．
2．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．
(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程．
参考结论：点Q(x0，y0)为椭圆＝1上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为＝1．
[解]　(1)证明：由题意可得b＝＝，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，椭圆E的方程为＝1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，
由参考结论知过点P在A处的椭圆E的切线方程为＝1，同理，过点P在B处的椭圆E的切线方程为＝1．
因为点P在直线PA，PB上，所以
所以直线AB的方程为＝1，则直线AB过定点M(2，0)．
(2)设直线AB的方程为x＝ty＋2，
当t＝0时，x＝2，此时|S1－S2|＝0，当t≠0时，
联立得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)＞0，
故y1＋y2＝－，y1y2＝－，|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝＝＝，当且仅当|t|＝，即t＝±时取等号，
此时直线AB的方程为x＝±y＋2．
类型2　阿基米德三角形的应用
【典例2】　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB的面积的最大值．
[解]　(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设，
，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立 消去y得x2·－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0，　(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝4·．
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为＝(x－x1)，即y＝．
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝，
联立则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，　①
且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，
所以－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)式．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5．
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB的面积的最大值为20．
反思领悟　对于抛物线C：y2＝2px(p＞0)，设P(x0，y0)(在抛物线C外)，PA，PB是C的两条切线，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则阿基米德三角形PAB的面积S△PAB＝＝．
√
2．已知抛物线E：y2＝4x，焦点为F，动点P(－1，t)在抛物线E的准线上，过点P作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是(　　)
A．PA⊥PB
B．PF⊥AB
C．直线AB的方程为2x－ty－2＝0
D．△PAB面积的最小值为2
√
√
ABC　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意求得抛物线E在点A处的切线方程为y1y＝2x1＋2x，
抛物线E在点B处的切线方程为y2y＝2x2＋2x，
将点P的坐标代入两切线方程可得
所以，点A，B的坐标均满足方程2x－ty－2＝0，
又因为两点确定一条直线，故直线AB的方程为2x－ty－2＝0，C正确；
联立 可得y2－2ty－4＝0，Δ＝4t2＋16>0，
则y1＋y2＝2t，y1y2＝－4，
故直线PA，PB的斜率之积为kPAkPB＝·＝＝＝－1，故PA⊥PB，A正确；
因为则2(x1－x2)＝t(y1－y2)，
可得x1－x2＝(y1－y2)，
所以＝(x1－x2，y1－y2)＝，
易知直线2x－ty－2＝0经过抛物线的焦点f (1，0)，
＝(2，－t)，所以·＝0，则PF⊥AB，B正确；
|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝＋4＝t2＋4，
|PF|＝，
则S△PAB＝|PF|·|AB|＝·(t2＋4)＝
＝4，
当且仅当t＝0时，等号成立，
故△PAB的面积的最小值为4，D错误．
故选ABC．]
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)作直线l交抛物线于A，B两点．过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，且直线l1与直线l2相交于点M，问：点M是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
[解]　设l的方程为x＝my＋2，
联立直线l与抛物线方程化简可得y2－4my－8＝0，
则Δ＝16m2＋32>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
∴x1x2＝＝4，
不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，点B(x2，y2)在x轴下方，
当y≥0时，y＝2，求导可得y′＝，∴＝，
∴抛物线C上过点A的切线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1①，当y<0时，y＝－2，求导可得y′＝－，
∴＝－，∴抛物线C上过点B的切线l2的方程为y－y2＝
－(x－x2)，即y＝－x＋＋y2②，
联立①②可得，x＝＋y2－y1，
∵y2＝－2，y1＝2，
∴x＝－2－2，
∵x1x2＝4，∴x＝－()，
又∵≠0，∴x＝－2，即M的横坐标恒为－2，
∴点M在定直线x＝－2上．
√
【教用·备选题】
1．(多选)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则(　　)
A．PQ⊥x轴
B．PF⊥AB
C．∠PFA＝∠PFB
D．|AF|＋|BF|＝2|PF|
√
AC　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，Q，
y＝x2，y′＝2x，
过点A的切线方程为y－y1＝2x1(x－x1)，①
过点B的切线方程为y－y2＝2x2(x－x2)，②
①－②得y1－y2＝2x1x－2x2x，
化简可得＝2x(x1－x2)，
x0＝，PQ⊥x轴，A选项正确；
设A(0，0)，B(1，1)，F，
过A点的切线方程为y＝0，过B点的切线方程为y－1＝2(x－1)，交点为P，所以kPF＝－，kAB＝1，kPF·kAB≠－1，所以PF不垂直于AB，B选项错误；
由B可知，|AF|＋|BF|＝＝，
2|PF|＝2＝，
所以|AF|＋|BF|≠2|PF|，D选项错误；
作抛物线准线的垂线AA′，BB′，连接A′P，B′P，PF，AF，BF，
F，A′，kPA＝，
则kFA′＝－，kPA＝2x1，
显然kFA′·kPA＝－1，所以FA′⊥PA．
又由抛物线定义，得|AA′|＝|AF|，故知PA是线段FA′的中垂线，得到|PA′|＝|PF|，则∠PA′A＝∠PFA，
同理可证|PB′|＝|PF|，∠PB′B＝∠PFB，
所以|PA′|＝|PB′|＝|PF|，即∠PA′B′＝∠PB′A′，
所以∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，
即∠PFA＝∠PFB，C选项正确．故选AC．]
2．已知抛物线C：y2＝2x与圆E：(x－m)2＋y2＝4没有公共点，过C上一动点A作圆E的两条切线，切点分别为M，N．
(1)求实数m的取值范围．
(2)若m＝5，求cos ∠MAN的最小值．
(3)设直线AM，AN分别交C于另一点P，Q，是否存在实数m，使得当点A在C上运动时，直线PQ总与圆E相切？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由已知可得圆E的圆心为(m，0)，半径为2，当m<－2时，易知曲线C与圆E没有公共点；
当m≥－2时，联立得消去y得x2＋(2－2m)x＋m2－4＝0，
由Δ＝(2－2m)2－4(m2－4)＝20－8m<0，解得m>，因此，实数m的取值范围是(－∞，－2)．
(2)当m＝5时，圆E：(x－5)2＋y2＝4的圆心为E(5，0)，半径为r＝2，
设点A(x0，y0)，∠MAE＝α，
要使得cos ∠MAN最小，只需α最大，即sin α最大，sin α＝＝＝＝，
当x0＝4时，sin α取最大值，
所以cos ∠MAN的最小值为1－2sin2α＝1－2×＝．
(3)假设存在实数m满足题中条件，则m>，
如图，当A与坐标原点重合时，设切线AM，AN的方程分别为y＝kx，y＝－kx(k≠0)，
则圆心E到直线AM的距离为＝2，
得k2＝①，
将y＝kx，y＝－kx代入抛物线方程y2＝2x，
得P，Q，则直线PQ的方程为x＝，
由直线PQ与圆E相切可得＝2②，由①②解得m＝4(负值已舍去)；
下面证明当m＝4时，对于C上任意一点A，直线PQ总与圆E相切．
设点，
则直线AP的方程为＝，
即2x－(y1＋y0)y＋y0y1＝0，
同理可得直线AQ的方程为2x－(y2＋y0)y＋y2y0＝0，
所以直线PQ的方程为2x－(y2＋y1)y＋y2y1＝0，
因为直线AP与圆E相切，则＝2，即－12)＝0，
同理由直线AQ与圆E相切得－12)＝0，
则y1，y2为方程－12)＝0的两个不等的实根，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
点E到直线PQ的距离为＝＝＝2，
即直线PQ与圆E相切，
综上所述，存在m＝4，使得当点A在曲线C上运动时，直线PQ总与圆E相切．
重点培优练11　圆锥曲线中的双切线问题——同构法
1．(2025·云南师大附中模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上、下顶点与其中一个焦点围成的三角形的面积为，过点P作椭圆C的两条切线，切点为A，B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)过点P作直线l交椭圆C于M，N两点，交直线AB于点Q，求的值．
[解]　(1)由题意可知，＝，①
又·2b·c＝，所以bc＝，②
由①②及a2＝b2＋c2，可得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)先证过椭圆＝1上一点A的切线方程为＝1，
证明如下：当过椭圆上一点A的切线斜率存在时，
设切线方程为y＝kx＋m，
联立可得x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
因为直线与椭圆相切，所以Δ＝－4＝0，
化简可得4k2－m2＋3＝0，
所以x1＝＝，代入y＝kx＋m可得，
y1＝kx1＋m＝k·＋m＝，
于是k＝－＝－·m＝－·＝－·，
故切线方程为y－y1＝－·，即，
又＝12，故切线PA的方程为＝1，
当过椭圆上一点A的切线斜率不存在时，切线方程为x＝±2，满足题意．
所以过椭圆＝1上一点A的切线方程为＝1，
故切线PA的方程为＝1，
同理，切线PB的方程为＝1，又因为切线过点P，
所以＝1，＝1，所以x1＋y1＝－1，x2＋y2＝－1，故直线AB的方程为x＋y＋1＝0．
(3)由题意可知直线l的斜率存在，且k>0，设直线l的方程为y＝k－3，联立椭圆C的方程＝1，
得x2＋x＋64k2－96k＋24＝0，Δ＞0，令M，N，
所以x3＋x4＝－，
x3·x4＝．
令Q，
解方程组 得x0＝．
又＝
＝＝
＝
＝2，所以＝2．
2．(2025·内蒙古包头二模)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：－y2＝1(a>0)的离心率为，点P是C1上任意一点．抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到准线的距离是1．
(1)求C1，C2的方程；
(2)PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．
[解]　(1)设双曲线的半焦距为c，则c2＝a2＋1，
又因为离心率为，所以＝，
代入得＝a2＋1，解得a＝，
所以双曲线C1的方程为－y2＝1．
因为抛物线C2的焦点到准线的距离为1，所以p＝1，
所以抛物线C2的方程为x2＝2y．
(2)设P(x0，y0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
因为函数y＝x2的导数为y′＝x，
所以直线PC的方程为y－y1＝x1(x－x1)，
由于P(x0，y0)在直线PC上，
则y0－y1＝x1(x0－x1)＝x0x1－2y1，y0＋y1＝x0x1，同理y0＋y2＝x0x2，
所以C(x1，y1)，D(x2，y2)均满足方程y0＋y＝x0x，
所以直线CD的方程为x0x＝y＋y0，
联立方程得x2－2x0x＋2y0＝0，
所以x1＋x2＝2x0，x1x2＝2y0，
则|CD|＝|x1－x2|＝，
又因为P到直线CD的距离d＝，
所以△PCD的面积S＝|CD|·d＝＝，
又因为－2y0＝－2y0＋3＝3＋，所以＝，
当P为时，S取最小值，所以△PCD面积的最小值为．
谢 谢！

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